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第四讲 指、对数,幂函数

时间:2013-07-05


第四讲

指、对数(函数) 、幂函数

一 . 基 础 知识 1 . 幂 的 有关 概 念
??n个? ? ? n ? ( 1 ) 正 整 数指 数 幂 a ? a ? a ? a ? ? ? a ( n ? N ) ;

a 0 ? 1 (a ? 0) ( 2 ) 零 指 数幂
a?n ? ( 3

) 负 整 数指 数 幂 1 ? a ? 0, n ? N ? ? ; an

( 4 ) 正 分 数指 数 幂
a ? n am ? a ? 0, m, n ? N ? , n ? 1? ;
m n

( 5 ) 负 分 数指 数 幂
a
m ?n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

? a ? 0, m, n ? N

?

, n ? 1?

(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂 没有意义.

1

2 . 有 理 数 指 数 幂 的 性质

?1? ar as ? ar ?s ? a ? 0, r, s ?Q? r s ? 2 ? ? a ? ? a rs ? a ? 0, r , s ? Q ?
r

? 3?? ab ?

? a r b r ? a ? 0, b ? 0, r ? Q ?

3.根式
n ⑴ 定 义 : 一般 地 , 如 果 x ? a , 那 么 x 叫 做 a ?n ? 1, n ? N ? ?,n a 叫做根式, 的 n 次 方 根, 中 其 n 叫 做 根 指 数 , a 叫 被开 方 数 .

⑵性质:
n n ① 当 n 是奇数,则 a ? a ;
n

当 n 是偶数,则

?a a ? a ?? ?? a
n

a?0 a?0

② 负 数 没 有偶 次 方 根 ③零的任何次方根都是零

2

4.对数 (1)概念 a b ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么 b 叫做以 a 为底 如果 N 的对数,记 b ? loga N (a ? 0, a ? 1) ( 2 ) 性 质 : ① 零 与 负 数没 有 对 数

loga 1 ? 0 ③ loga a ? 1 ④ a loga N ? N (N>0) ②
( 3 ) 对 数 的运 算 性 质 ① loga MN ? loga M ? loga N M ② log a N ? log a M ? log a N

loga M n ? n loga M ③
(其中 a>0,a≠0,M>0,N>0) ( 4 ) 对 数 换底 公 式 :
logm N loga N ? ( N ? 0, a ? 0且a ? 1, m ? 0且m ? 1) logm a

1 log b ? 推论:① a logb a
3



log a m b n ?

n log a b m

5.指数函数

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数 函数

(图像、性质)
a>1
6 5 4 3

0<a<1
6 5 4 3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上增 (4)在 R 上减 记住下列特殊值为底数的函数图象:

4

6.对数函数 函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数;
y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的反函数) (它是指数函数

a>1
3
3

0<a<1
2.5 2 1.5


1
-1

2.5

2

1.5

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) 值域:R 性 过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 质 ? (0,1) 时 x
x ? (1,??) 时

y?0 y?0

x ? (0,1) 时 y ? 0
x ? (1,??) 时 y ? 0

(0,+∞)上增 在(0,+∞)上减
记住下列特殊值为底数的函数图象:
5

7.幂函数

y ? x? ⑴定义: 如 形 其中 ? 为常数.
⑵① y ? x ;
y ? x ?1 ; ④

(a ? R) 的函数称为幂函数,
1 2

y ? x2 ; ②y?x ; ③

y ? x 3 的图象 ⑤ (分为:上凸、下凹、双曲和直线型四种)

6

二 . 应 用 举例 : 例 1 . 计 算下 列 各 式 ① 6 6
( 1 )
? 2 3

3+ 2 1 0 ? +(1.03) ? 3? 2 5+2 6

2(lg 2 ) 2 ? lg 2 ? lg 5 ? (lg 2 ) 2 ? lg 2 ? 1 ②

e x ? e? x 例 2.已知 e x ? e? x ? 2 ,求

x 的值

例 3.
?1? ?1? ? ? ? ,下列 ( 1 ) 已 知 实 数 a 、 b 满足 等 式 ? 2 ? ? 3 ? ? ?
a b

五 个 关 系 式: ① 0<b<a ②a<b<0③0<a<b ④b<a<0 ⑤a=b 其中不可能成立的关系式有: ( )
7

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 (2) 对 于 函 数 f(x) 定 义 域 中 任 意 的

x1 , x2 , ( x1 ? x2 ) ,有如下结论:
① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?0 x1 ? x 2

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ④ f( 2 )? 当 2

f ( x) ? lg x 时 ,

上述结论中正确的序号是____

y ? x ? 在 第 一象 限 ⑶如图所示,曲线是幂函数
内 的图象 ,已 知 ? 应 图 象 依 次为 :
1 ? 1,1, ,2 四个值,则相 分别 取 2



8

例 3.已知函数

f ( x) ? 3 x , 且f ?1 (18) ? a ? 2 , g ( x) ? 3ax ? 4 x
的定义域这区间[-1,1] ⑴求 g(x)的解析式;⑵判断 g(x)的单调性;⑶ 若 方 程 g ( x ) = m 有 解 ,求 m 的 取 值 范 围 .

9


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