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2017优化方案高考总复习·数学·文(北师大版)第五章第3讲

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第五章 数 列 第3讲 等比数列及其前n项和 第五章 数 列 1.等比数列的有关概念 (1)定义 2 如果一个数列从第________ 项起, 每一项与它的前一项的比 同一常数 不为零), 等于__________( 那么这个数列就叫作等比数列. 这 公比 ,通常用字母 q 表示,定义 个常数叫作等比数列的________ an+ 1 * = q(q≠ 0, n∈ N ) 的表达式为_________________________ . an 栏目 导引 第五章 数 列 (2)等比中项 G 叫作 a 与 b 的等比 如果 a、G、b 成等比数列,那么________ G2=ab . 中项.即:G 是 a 与 b 的等比中项?________ “a,G,b 成等比数列”是“G 是 a 与 b 的等比中项”的充 分不必要条件. 栏目 导引 第五章 数 列 2.等比数列的有关公式 n- 1 a q 1 (1)通项公式:an=________ . na1 ________ ,q=1, ? ? (2)前 n 项和公式:Sn=?a1(1-qn) a1-anq = ,q≠1. ? 1 - q 1 - q ? 栏目 导引 第五章 数 列 3.等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列,Sn 是其前 n 项和.(m,n,p,q, r,k∈N*) 2 ap· aq a r (1)若 m+n=p+q=2r,则 am·an=________=________ ; (2)数列 am,am+k,am+2k,am+3k,?仍是等比数列; (3)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?仍是等比数列(当{an}的 公比 q=-1 时,m 不取偶数). 栏目 导引 第五章 数 列 1.辨明三个易误点 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母,故每一项均不为 0,因此 q 也不能为 0,但 q 可为正数,也可为负数. (2)由 an+ 1= qan,q≠ 0,并不能立即断言{ an}为等比数列,还 要验证 a1≠ 0. (3)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠ 1 分类讨论,防止因忽略 q= 1 这一特殊情形而导致解题 失误. 栏目 导引 第五章 数 列 2.等比数列的三种判定方法 an+1 (1)定义: =q(q 是不为零的常数,n∈N*)?{an}是等比数 an 列. (2)通项公式: an=cqn 1(c、 q 均是不为零的常数, n∈N*)?{an} - 是等比数列. * (3)等比中项法:a2 = a · a ( a · a · a ≠ 0 , n ∈ N ) + + + + n 1 n n 2 n n 1 n 2 ?{an}是等比数列. 栏目 导引 第五章 数 列 3.求解等比数列的基本量常用的思想方法 (1)方程的思想:等比数列的通项公式、前 n 项和公式中联 系着五个量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量,可以通 过解方 程(组)求出另外两个量;其中基本量是 a1 与 q,在解题中根 据已知条件建立关于 a1 与 q 的方程或者方程组,是解题的 关键. (2)分类讨论思想:在应用等比数列前 n 项和公式时,必须 a1(1-qn) 分类求和, 当 q=1 时, Sn=na1; 当 q≠1 时, Sn= ; 1-q 在判断等比数列单调性时,也必须对 a1 与 q 分类讨论. 栏目 导引 第五章 数 列 1.(2014· 高考重庆卷)对任意等比数列{

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