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2008~2013年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案


2013 年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答 案
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 集合 P ? {x x ? R, x ? 1 ? 1 }, Q ? {x x ? R, x ? a ? 1}, 且 P ? Q ? ? ,则实数 a 取

值 范围为( ) A. a ? 3 C. a ? ?1 或 a ? 3 B. a ? ?1 . D. ?1 ? a ? 3
?

2. 若 ? , ? ? R, 则 ? ? ? ? 90 是 sin ? ? sin ? ? 1 的( A. 充分而不必要条件 C. 充要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件



3. 已知等比数列{ a ( A. 3 9 81 )

n

}: a1 ? 3, 且第一项至第八项的几何平均数为 9,则第三项是

B. 3 7 81

C.

3

9

D. 3 3

4. 已知复数 z ? x ? yi( x, y ? R, i 为虚数单位) ,且 z ? 8i ,则 z ? (
2



A. z ? 2 ? 2i C. z ? ?2 ? 2i, 或 z ? 2 ? 2i

B. z ? ?2 ? 2i D. z ? 2 ? 2i, 或 z ? ?2 ? 2i

2 5. 已知直线 AB 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,M 为 AB 的中点,C 为抛物线上一个动

点,若 C0 满足 C0 A ? C0 B ? min{CA ? CB} ,则下列一定成立的是( A. C0 M ? AB C. C0 A ? C0 B

???? ???? ? ?

??? ??? ? ?

) 。

B. C0 M ? l , 其中 l 是抛物线过 C0 的切线 D. C0 M ?

1 AB 2


6. 某程序框图如下,当 E ? 0.96 时,则输出的 K=( A. 20 B. 22 C. 24 D. 25

开 始

K=1, S=0

S=S+1/(K(K+1))

S>=E?




K=K+1

输出 K ,

7. 若三位数 abc 被 7 整除,且 a, b, c 成公差非零的等差数列,则这样的整数共有( A.4 B. 6 C. 7 D 8 ) 。

)个。

8. 已知一个立体图形的三视图如下,则该立体的体积为(

A. 3 3

B.

3 3 2

C.

9 3 2
1

D.

9 3 4
1

3 2

9. 设函数 f ( x ) ? x( x ? 1) ( x ? 2) ( x ? 3) ,则函数 y ?2f ( x) 的极大值点为( 3 2
2 3 4



A. x ? 0

B. x ? 1

C. 正视图: x ? 2 上下两个 D. x ? 3
正方形 侧视图

10. 已知 f ( x), g ( x), h( x) 为一次函数,若对实数 x 满足 1

??1, x ? ?1 ? f ( x) ? g ( x) ? h( x) ? ?3 x ? 2, ?1 ? x ? 0 ,则 h ( x ) 的表达式为( ??2 x ? 2, x ? 0 ?

) 。

A. h( x) ? x ?

1 2

B. h( x) ? ? x ?
正三角形

俯视图:边长为 2 的 1

2

1 C. h( x) ? ? x ? 2

1 D. h( x) ? x ? 2

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后 的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 若 tan x tan y ? 2,sin x sin y ?

1 ,则 x ? y ? ________________。 3

12. 已 知 f ( x) ? x ? ( k ? 1) x ? 2 若 当 x ? 0 时 f ( x) 恒 大 于 零 , 则 k 的 取 值 范 围 为 ,
2

_____________ 。 13. 数列 { n n}, n ? 1, 2,? ,则数列中最大项的值为______________。

14. 若 x, y ? R ,满足 2 x ? 2 x y ? 2 y ( x ? x ) ? x ? 5 ,则 x ? _______, y ? ________。
2 2 2 2

3 15. 设直线 l 与曲线 y ? x ? x ? 1 有三个不同的交点 A, B, C ,且 AB ? BC ? 5 ,则直线 l

的方程为_________________。 16. 若 a ? 0, b ? 0, 则 min{max(a, b,

1 1 ? )} ? ______________________。 a 2 b2

17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含第一象限 x, y 轴上的整点) ,其运 动规律为 (m, n) ? (m ? 1, n ? 1) 或 (m, n) ? (m ? 1, n ? 1) 。若该动点从原点出发,经过 6 步 运动到(6,2)点,则有__________________种不同的运动轨迹。

三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分)
2 18. 已知抛物线 y ? 4 x ,过 x 轴上一点 K 的直线与抛物线交于点 P, Q,

两点。证明,存在唯一一点 K ,使得

1 PK
2

?

1 KQ
2

为常数,并确定 K 点的坐标。

19. 设二次函数 f ( x ) ? ax ? (2b ? 1) x ? a ? 2(a, b ? R, a ? 0) 在[3,4]上至少有一个零点,
2

求 a ? b 的最小值。
2 2

? 1? x ? 20. 设 x ? N 满 足 ? ? ? x ?

2013

?

2014 . 数 列 a1 , a2 ? , a2 0 是 公 差 为 x 2013 , 首 项 , 1 3 2013

2 2 a1 ? ( x ? 12) x 0 1 ? 的等差数列; 数列 b1 , b2 ,?, b2013 是公比为 1

1? x , 首项 b1 ? ( x ? 1) x 2013 x

的等比数列,求证: b1 ? a1 ? b2 ? ? ? a2012 ? b2013 。

四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 设 a, b, c ? R , ab ? bc ? ca ? 3, 证明
?

a 5 ? b5 ? c5 ? a 3 (b2 ? c 2 ) ? b3 (c 2 ? a 2 ) ? c3 (a 2 ? b2 ) ? 9 。
22. 从 0,1,2,?,10 中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法” ,若各 条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法” 。 试问:对图 1 和图 2 是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明 理由。 A1 A2 6 10 A3 5

A4

7

A5 A7

1 (图 1 )

9 A6 (图 2) A8

2013 年浙江省高中数学竞赛答案
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后 的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 答案 C

P ? {x 0 ? x ? 2}, Q ? {x a ? 1 ? x ? a ? 1}, 要使 P ? Q ? ? ,则 a ? 1 ? 2 或

a ? 1 ? 0 。解得 a ? ?1 或 a ? 3 。
2. 答案 D 若 ? ? 0, ? ? 90 ? sin ? ? sin ? ? 1 。
?

当 ? ? ? ? 60 ? sin ? ? sin ? ? 3 ? 1 ,但 ? ? ? ? 90 。
?

?

3. 答案 B 计算得 q ? 37 , a3 ? 3 7 81 。

2

4. 答案 D 5. 答案 B

??? ??? ???? ???? ? ? ? ? ???? ???? ? ? ???? 2 ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ? ? ? CA ? CB ? (CM ? AM ) ? (CM ? BM ) ? CM ? CM ( AM ? BM ) ? AM ? BM ? ???? 2 ???? 2 ? ? ??? ??? ????? ? ? ? CM ? AM ? min{CA ? CB} ? CM min ? CM ? l 。

6. 答案 C

S?

1 1 1 1 ? ??? ? 1? ? 0.96 ? k ? 24. 1? 2 2 ? 3 k ? (k ? 1) k ?1

7. 答案 D 设三位数为 (b ? d )b(b ? d ) ? 111b ? 99d (0 ? b ? 9, ?9 ? d ? 9, d ? 0), 由

7 (111b ? 99d ) ? 7 (b ? d ) ? b ? 1, d ? ?1; b ? 2, d ? ?2; b ? 3, d ? ?3; b ? 4, d ? 3, ?4;

b ? 5, d ? 2; b ? 6, d ? 1; b ? 8, d ? ?1 。所以,所有的三位数为 210, 420,630,147,840,357,567,987
8. 答案 D 从图中可知,立体是由两个三棱柱组成。

9. 答案 B 由图象可知 x ? 1 为函数极大值点, x ? 3 是极小值点, x ? 0, 2 不是极值点。

10. 答案 C

h( x ) ?

?2 x ? 2? ? 1 ) ( 1 ? ?x ? 。 2 2

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后 的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 解答:由 tan x tan y ? 2,sin x sin y ?

x ? y ? 2k? ?

?
3

1 1 1 ? cos x cos y ? ? cos( x ? y) ? ,所以 3 6 2



12. 解答 由 x ? (k ? 1) x ? 2 ? 0 ? k ? 1 ? x ?
2

2 2 , x ? ? 2 2 等号在 x ? 2 取得,即 x x

k ? 2 2 ? 1。
1

13. 解答 f ( x ) ? x ? e

1 x

1 ln x x

xx ? f / ( x ) ? 2 (1 ? ln x ) ? x ? e 为极大值点, 所以数列最大项 x

为第三项,其值为 3 3 。 14. 解答 把等式看成关于 x 的一元二次方程

2 ? ? 4( y ? 1)2 ? 20(2 y 2 ? 2 y ? 1) ? 0 ? (3 y ? 2) 2 ? 0 ? y ? ? , x ? 3 。 3
15. 解 答 曲 线 关 于 ( 0,1 ) 点 对 称 , 设 直 线 方 程 为 y ? kx ? 1, A( x, y) , 则

? y ? kx ? 1 ? ? 3 ? (k ? 2)(k 2 ? k ? 2) ? 0 ? k ? 2 。所求直线方程为 y ? 2 x ? 1 。 ? y ? x ? x ?1 ? 2 2 ? x ? ( y ? 1) ? 5 ?

16. 解答 max{a, b, 所以

1 1 1 1 2 ? 2 } ? m ? a ? m, b ? m, 2 ? 2 ? m ? m ? 2 ? m ? 3 2 , 2 a b a b m

min{max(a, b,

1 1 ? 2 )} ? 3 2 。 2 a b

17. 解答

2 1 C6 ? C6 ? 9 .

三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分) 18. 解答 设 K ( a,0 ) ,过 K 点直线方程为 y ? k ( x ? a) ,交抛物线于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 联立方程组

? y2 ? 4x 2(ak 2 ? 2) ? k 2 x 2 ? 2(ak 2 ? 2) x ? a 2 k 2 ? 0 ? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? a 2 ?5 分 ? 2 k ? y ? k ( x ? a)
2 ? PK 2 ? ( x1 ? a ) 2 ? y12 , KQ 2 ? ( x2 ? a ) 2 ? y2 ??????????????7 分

a 1? k 2 1 1 ? ? ? 2 2 2 ,????????????????????12 分 PK 2 KQ 2 a (1 ? k )
令a ? 2 ?

1 1 1 ? ? , K (2, 0) 。????????????????17 分 2 2 4 PK KQ

19. 解法 1 由已知得,设 t 为二次函数在[3,4]上的零点,则有 at ? (2b ? 1)t ? a ? 2 ? 0 ,变
2



(2 ? t )2 ? [a(t 2 ? 1) ? 2bt ]2 ? (a 2 ? b2 )((t 2 ? 1) 2 ? t 2 ) ? (a 2 ? b2 )(1 ? t 2 ) 2 ,??5 分

t ?2 2 1 1 ,???????????12 分 ) ? ? 2 5 1? t 100 2 (t ? 2 ? ? 4) t ?2 5 2 3 因为 t ? 2 ? , t ? [3, 4] 是减函数,上述式子在 t ? 3, a ? ? , b ? ? 时取等号,故 t ?2 25 50 1 。????????????????????????17 分 a2 ? b2 的最小值为 100
于是 a 2 ? b2 ? ( 解法 2 把等式看成关于 a, b 的直线方程 : ( x ? 1)a ? 2 xb ? x ? 2 ? 0 ,利用直线上一点
2
2 2

( a, b )到原点的距离大于原点到直线的距离,即 a ? b ? 上) 。 20. 解:首先, ai ? ( x ? 1) x
2

x?2 ( x 2 ? 1) 2 ? (2 x) 2

(以下同

2012

? 1 ? (i ? 1) x 2013 ,

-----------------2


1 ? x i ?1 bi ? ( x ? 1) x 2013 ( ) ? ( x ? 1) i x 2014?i 。-----------------4 分 x 1? x i bi ?1 ? bi ? x 2013 ( ) ????????????????6 分 x 2014 ? i 用归纳法证明 ai ? bi ? x 2013 , 1 ? i ? 2013 。 2013

由于 a1 ? b1 ? x 2013 ? x 2012 ? 1 ? x 2013 ,即 i=1 成立。????????8 分 假设 1 ? i ? 2012 成立,
1? x i 则 ai ?1 ? bi ?1 ? (ai ?1 ? ai ) ? (bi ?1 ? bi ) ? (ai ? bi ) ? x 2013 ? x 2013 ( ) ? (ai ? bi ) x 1 ? x 203 1 ? x 2013 ? x 2013 ( ) ? (ai ? bi ) ? ? x 2013 ? (ai ? bi ) x 2013 1 2013 ? i ? 1 2014 ? (i ? 1) 。???????14 分 ? ? x 2013 ? x 2013 ? x 2013 2013 2013 2013

所以, ai ? bi , i ? 1,2,?,2013 。 归纳证明 bi ?1 ? ai , i ? 1,2,?,2012 ,首先 b2 ? a1 ? 1 ? 0 ,假设 1 ? i ? 2011 成立, 则

bi ? 2 ? ai ?1 ? (bi ? 2 ? bi ?1 ) ? (ai ?1 ? ai ) ? (bi ?1 ? ai )

1 ? x i ?1 ? x 2013 ( ) ? x 2013 ? (b i ?1 ?ai ) ? 0 。????????????????17 分 x 故命题成立。

四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 解答 原命题等价于 (a3 ? b3 ? c3 )(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? 9 , ????????????10 分
a 2 ? b2 ? c2 3 又 (a ? b ? c ) ? 9( ) , ???????????????????20 分 3
3 3 3 2

故只需要证明 a ? b ? c ? 3 成立。???????????????????25 分
2 2 2

利用已知条件,这是显然的。 22. 解答 对图 1,上述填法即为完美(答案不唯一) 。????????????10 分 对于图 2 不存在完美填法。因为图中一共有 10 条连线,因此各连线上两数之差的绝对值恰 好为,1,2,3,??,10, ????? ?????????????????? 15 分 其和 s ? a1 ? a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? a8 ? 55 为奇数。?????? 20 分

另一方面,图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述 S 的 表达式中出现偶数次。因此 S 应为偶数,矛盾。???????????????25 分 所以,不存在完美填 fa

2011 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后 的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1. 已知 ? ? [

5? 3? , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 可化简为( 4 2 A. 2sin ? B. ?2sin ? C. ?2cos ? D. 2cos?



2.如果复数 ? a ? 2i ??1 ? i ? 的模为 4,则实数 a 的值为( ) A. 2 B. 2 2 C.

?2

D. ?2 2

3. 设 A ,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A ? B , 命题 q: x ? A 或 x ? B ,则 p 是 q 的( ) A. 充分且必要条件 C. 必要非充分条件 B. 充分非必要条件 D. 非充分且非必要条件 )

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 F2 作倾斜角为 45? 弦 AB,则 AB 为( 4. 过椭圆 2
A.

2 6 3

B.

4 6 3
x?0 x?0

C.

4 2 3

D.

4 3 3


?1 ? 5? x 5. 函数 f ( x) ? ? x ? 5 ?1

,则该函数为(

A. 单调增加函数、奇函数 C. 单调增加函数、偶函数

B. 单调递减函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数

6. 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A ) 2 2 2 2 2 3 正视图 A. 4+ 1 侧视图 B. 4+ 1

2

俯视图(圆和正方形) D. 4+ ?

5? 2

3? 2

C. 4+

? 2

7.某程序框图如右图所示,现将输出( x, y ) 值依次记为: ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),?, ( xn , yn ),?; 若程序运行中输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ? ( )

A.64

B.32

C.16

D.8

8. 在平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 上恒有 ax ? 2by ? 2 ,则动点 P(a, b) 所形 成平面区域的面积为( A. 4 B.8 C. 16 ) D. 32

?

?

9. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? 为( ) A. ?

?

? ?? 则 ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点, m 的取值范围 6 ? 2?

?1 ? , 1? ?2 ?

B ? , 1? ?2 ?
2

?1

?

C. ? , 1 ? ?2 ?

?1

?

D. ?

?1 ? , 1? ?2 ?
) D. 1 ? x ? 3

10. 已知 a ?[?1,1] ,则 x ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 的解为( A. x ? 3 或 x ? 2 B. x ? 2 或 x ? 1 C. x ? 3 或 x ? 1

二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分, 共 49 分) 11. 函数 f ( x) ? 2sin

x ? 3 cos x 的最小正周期为__________。 2
?
? ?

12. 已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =__________. 13. 向量 a ? (1,sin ? ) , b ? (cos ? , 3) , ? ? R ,则 a ? b 的取值范围为 。 14. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 是正三角形,P,E 分别为 BB1 , CC1 上的动点 (含端点),D 为 BC 边上的中点,且 PD ? PE 。则直线 AP, PE 的夹角为__。 15.设 x, y 为实数,则

?

5 x 2 ? 4 y 2 ?10 x

max ( x 2 ? y 2 ) ? ____________。

16. 马路上有编号为 1,2,3,?,2011 的 2011 只路灯,为节约用电要求关闭其中的 300 只灯,但不能同时关闭相邻两只,也不能关闭两端的路灯,则满足条件的关灯方法共有 _________种。 (用组合数符号表示) 17. 设 x, y, z 为整数,且 x ? y ? z ? 3, x ? y ? z ? 3 ,则 x ? y ? z ? __。
3 3 3 2 2 2

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 17 分,共计 51 分) 18. 设 a ? 2 ,求 y ? ( x ? 2) x 在 [a, 2] 上的最大值和最小值。

19. 给 定 两 个 数 列

?x n ?



?y n ? 满

足 x0 ? y 0 ? 1 , x n ?

x n ?1 (n ? 1) , 2 ? x n ?1

yn ?

2 y n ?1 (n ? 1) 。证明对于任意的自然数 n,都存在自然数 j n ,使得 y n ? x jn 。 1 ? 2 y n ?1

20. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,过其左焦点 F1 作一条直线交椭圆于 A,B 两点,D (a, 0) 为 F1 右 52 4 2

侧一点,连 AD、BD 分别交椭圆左准线于 M,N。若以 MN 为直径的圆恰好过 F1 ,求 a 的 值。

2011 年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准
1. 解答: 因为 ? ? [

5? 3? 所以 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? = cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ? , ], 4 2
2

? 2 c o? 。正确答案为 D。 s
2.解答:由题意得 2 ? a ? 4 ? 4 ? a ? ?2 。正确答案为 C。 3.解答:P 是 q 的充分非必要条件。正确答案为 B。 4. 解答:椭圆的右焦点为(1,0) ,则弦 AB 为 y ? x ? 1, 代入椭圆方程得

3x 2 ? 4 x ? 0 ? x1 ? 0, x2 ?

4 4 2 ? AB ? 2( x1 ? x2 ) 2 ? 。正确答案为 C。 3 3

5. 解答:由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为 A。 6. 解答:该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分( 何体的体积为 2 ? 2 ?1 ? 3? ?

?
2

? 4?

7. 答案 经计算 x ? 32 。正确答案为 B。

5? 。正确答案为 A。 2

? ) ,所以该几 2

8. 解答:平面区域 ( x, y ) | x |? 1,| y |? 1 的四个边界点(—1,—1)(—1,1)(1,—1) , , , (1,1)满足 ax ? 2by ? 2 ,即有 a ? 2b ? 2, a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2, ?a ? 2b ? 2 ,由此计算 动点 P(a, b) 所形成平面区域的面积为 4。正确答案为 A。 9. 解答:问题等价于函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

?

?

? ?? ) 与直线 y ? m 在 ?0, ? 上有两个交点,所以 6 ? 2?

m 的取值范围为 ? , 1 ? 。正确答案为 C。 10. 解答:不等式的左端看成 a 的一次函数, f (a) ? ( x ? 2)a ? ( x ? 4 x ? 4)
2

?1 ?2

? ?

由 f (?1) ? x ? 5 x ? 6 ? 0, f (1) ? x ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 。正确答案为 C。
2 2

11. 解答:最小正周期为 4 ? 。 12.解答:由 S15 ? 30 ? a1 ? 7d ? 2 ,而 a1 ? a8 ? a15 ? 3(a1 ? 7d ) ? 6 。 13. 解 答 : ,

? ? ? a ? b ? (1 ? cos? )2 ? (sin ? ? 3)2 ? 5 ? 2(cos ? ? 3 sin ? ) = 5 ? 4sin( ? ? ) 6
其最大值为 3,最小值为 1,取值范围为[1,3]。

14. 解答:因为平面 ABC⊥平面 BCC 1 B1 ,AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BCC 1 B1 ,所以 AD⊥ PE,又 PE⊥PD,PE⊥平面 APD,所以 PE⊥PD。即夹角为 90 。 15. 解答: 5 x ? 4 y ? 10 x ? 4 y ? 10 x ? 5 x ? 0 ? 0 ? x ? 2
2 2 2 2

?

4( x 2 ? y 2 ) ? 10 x ? x 2 ? 25 ? (5 ? x)2 ? 25 ? 32 ? x 2 ? y 2 ? 4
16. 解答:问题等价于在 1711 只路灯中插入 300 只暗灯,所以共有 C1710 种关灯方法。 17. 解答:将 z ? 3 ? x ? y 代入 x ? y ? z ? 3 得到 xy ? 3( x ? y ) ? 9 ?
3 3 3
300

8 ,因为 x, y x? y

都是整数,所以 ?

?x ? y ? 1 ?x ? y ? 4 ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 8 ,? ,? ,? , 前两个方程组无解;后两个 ? xy ? 2 ? xy ? 5 ? xy ? 1 ? xy ? 16
2 2 2

方程组解得 x ? y ? z ? 1; x ? y ? 4, z ? ?5 。所以 x ? y ? z ? 3 或 57。 18. 解答:当 x ? 0, y ? ?( x ? 1) ? 1,
2

当 x ? 0, y ? ( x ? 1) ? 1,
2

由此可知 ymax ? 0 。
2 当 1 ? a ? 2, ymin ? a ? 2a ;当 1 ? 2 ? a ? 1, ymin ? ?1 ;

当 a ? 1 ? 2, ymin ? ? a ? 2a 。
2

19. 解答:由已知得到:

1 2 1 1 1 ? 1? ? ? 1 ? 2(1 ? ) ? { ? 1} 为等比数列,首项 xn xn ?1 xn xn ?1 xn

为 2,公比为 2, 所以

1 1 。 ? 1 ? 2n ?1 ? xn ? n ?1 xn 2 ?1

又由已知, yn ? 1 ?

( yn ?1 ? 1) 2 y ?1 y ?1 1 1 2 ? n ? ( n ?1 ) 2 ? 1 ? ? (1 ? ) 1 ? 2 y n ?1 yn y n ?1 yn yn ?1

n 1 1 1 n , 所以取 jn ? 2 ? 1 即可。 ? 2 ? 1 ? ? 22 ? yn ? n y0 yn 22 ? 1 25 20. 解答: F1 (?3, 0), 左准线方程为x ? ? ;AB方程为 y ? k ( x ? 3)(k为斜率) 。 3
由1 ?

? y ? k ( x ? 3) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y2 ?1 ? ? ? 25 16
得 设 M (?

2 2 ? ( 1 6? 2k5 x) ? 1 k 20x ? 5

2 2k2 5 ?

400 ?

0

(3a ? 25) y1 (3a ? 25) y2 25 25 ,同理y4 ? 。 , y3 ), N (? , y4 ) 。由 M、A、D 共线 y3 ? 3(a ? x1 ) 3(a ? x2 ) 3 3

又 F1M ? (? 得

?????

???? ? ????? ???? ? ????? ???? ? 16 16 , y3 ), F1 N ? (? , y4 ),由已知得F1M ? F1 N ? F1M ? F1 N ? 0 , 3 3

y3 y 4? ?
整理得

(3a ? 25) 2 y1 y2 256 (3a ? 25) 2 256k 2 256 , 而y 3 y 4 ? ,即 ? ? =? , 2 9 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 9(a ? x1 )(a ? x2 ) 16 ? 25k 9

(1 ? k 2 )(16a 2 ? 400) ? 0 ? a ? ?5, 又a ? ?3, 所以a ? 5 。

2010 年浙江省高中数学竞赛试卷
说明: 本试卷分为 A 卷和 B 卷:A 卷由本试卷的 22 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题、3 道解答题和 2 道附加题;B 卷由本试卷的前 20 题组成,即 10 道选择题,7 道填空题和 3 道 解答题。

一、选择题(本大题共有 10 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后 的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 5 分,共 50 分) 1.化简三角有理式 A. 1

cos4 x ? sin 4 x ? sin 2 x cos2 x 的值为 sin 6 x ? cos6 x ? 2 sin 2 x cos2 x
B. sin x ? cos x C. sin x cos x

( D.1+ sin x cos x (



2 2.若 p : ( x ? x ? 1) x ? 3 ? 0, q : x ? ?2 ,则 p 是 q 的



A.充分而不必要条件 C.充要条件 3.集合 P={

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 },则集合

x x ? R, x ? 3 ? x ? 6 ? 3

CR P 为





A. {x x ? 6, 或x ? 3} C. {x x ? ?6, 或x ? 3}

B. {x x ? 6, 或x ? ?3} D. {x x ? ?6, 或x ? ?3}

4.设 a , b 为两个相互垂直的单位向量。已知 OP = a , OQ = b , OR =r a +k b .若△PQR 为 等边三角形,则 k,r 的取值为 A. k ? r ? ( B. k ? )

? ?

??? ? ?

???? ?

??? ?

?

?

?1 ? 3 2 1? 3 2

1? 3 1? 3 ,r ? 2 2 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ,r ? 2 2


C. k ? r ?

D. k ?

5. 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB= 2 BB1, CA1 与 C1B 所成的角的大小是 若 则 ( A.60° B.75° C.90° D.105°

6.设 ?an ? ,?bn ? 分别为等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1 ,则以下结论正确 的是 A. a2 ? b2
?

( B. a3 ? b3
15



C. a5 ? b5

D. a6 ? b6 ( )

7.若 x ? R , 则(1 ? 2 x) 的二项式展开式中系数最大的项为 A.第 8 项 C.第 8 项和第 9 项 8.设 f ( x ) ? cos , a ? f (log e 的是 A. a ? b ? c C. c ? a ? b B.第 9 项 D.第 11 项

x 5

1 1 ), b ? f (log? ), c ? f (log 1 2 ) ,则下述关系式正确 ? e e ?
( B. b ? c ? a D. b ? a ? c )

1

9.下面为某一立体的三视图,则该立体的体积为





正视图: 半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形

侧视图: 半径为 1 的 以及高为 1 的矩形

1 圆 4

俯视图: 半径为 1 的圆

A.

3? 2

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

3? 4

10.设有算法如下:

如果输入 A=144, B=39,则输出的结果是 ( ) A.144 B.3 C. 0 D.12 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11 . 满 足 方 程 为 。

x ? 2009 ? 2 x ? 2010 ? x ? 2009 ? 2 x ? 2010 ? 2 所 有 实 数 解

12. x ? R, 函数 f ( x) ? 2sin

x x ? 3cos 的最小正周期为 2 3



13.设 P 是圆 x ? y ? 36 上一动点,A 点坐标为 ? 20, 0 ? 。当 P 在圆上运动时,线段 PA 的
2 2

中点 M 的轨迹方程为 . 14.设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D,使得 AD 把△ABC 分成两个等腰三角形,试 求△ABC 的最小内角的取值范围为 . 15.设 z 是虚数, w ? z ?
2

1 ,且 ?1 ? w ? 2 ,则 z 的实部取值范围为 z
4 4

.

16.设 f ( x) ? k ( x ? x ? 1) ? x (1 ? x) 。如果对任何 x ? [0,1] ,都有 f ( x) ? 0 ,则 k 的最 小值为 .
2

17.设 p, q ? R , f ( x) ? x ? p | x | ? q 。当函数 f (x) 的零点多于 1 个时, f (x) 在以其最 小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 .

三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分) 18.设数列 , , , , , ,?, ,

1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1

1 2 k ,?, ,? , k k ?1 1

问: (1)这个数列第 2010 项的值是多少; (2)在这个数列中,第 2010 个值为 1 的项的序号是多少.

19.设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每 个袋子里三种颜色球都有, 且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。 问共有多少种放 法。

20.已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , Rt ?ABC 以 A (0,1)为直角顶点,边 AB、BC 与椭 a2

圆交于两点 B、C。若△ABC 面积的最大值为

27 ,求 a 的值。 8

四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 )

21. D, F 分别为△ABC 的三边 BC, 设 E, CA, 上的点。 ? ? AB 记 证明: S?DEF ? ??? S?ABC 。

BD CE AF ,? ? ,? ? 。 BC CA AB

22. (1)设 a ? 0 ,平面上的点如其坐标都是整数,则称之为格点。今有曲线 y ? ax 过格
3

点(n,m) ,记 1 ? x ? n 对应的曲线段上的格点数为 N。证明:
n m ? k? N ? ? ? ak 3 ? ? ? ? 3 ? ? mn 。 ? ? k ?1 k ?1 ? a ?

(2)进而设 a 是一个正整数,证明:

??

? k? a 2 3 ? ? n ? ( n ? 1) n (3n ? 1) 。 4 k ?1 ? a ?
an3

(注 [ x] 表示不超过 x 的最大整数)

参考答案
1.解答为 A。

分母=( sin 2 x ? cos2 x)(sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x) ? 2sin 2 x cos2 x

? sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x 。
也可以用特殊值法 2.解答为 B。p 成立 ? x ? ?3 ,所以 p 成立,推不出 q 一定成立。 3.解答:D。 画数轴,由绝对值的几何意义可得 ?6 ? x ? ?3 ,

P ? ? x ? 6 ? x ? ?3? , CR P ? {x x ? ?6, 或x ? ?3} 。
4.解答.C.

PQ? QR ?
2

P, R

即 r ? (k ? 1) ?
2

(r ? 1) 2 ? k 2 ? 2,解得r=k=

1? 3 。 2

5. 解答: 建立空间直角坐标系, A1 B1 所在的直线为 x 轴, C。 以 在平面 A1 B1C1 上垂直于 A1 B1 的直线为 y 轴, BB 1 所在的直线为 z 轴。则

A1 ( 2, 0, 0), C1 (

2 6 2 6 , , 0), C ( , ,1), 2 2 2 2

B(0, 0,1) , CA1 ? (
6.解答:A。

2 6 2 6 ,? , ?1), C1 B ? (? ,? ,1), CA1 ? C1B ? 0 。 2 2 2 2

设等差数列的公差为d,等比数列公比为q,由a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1,得d=-1,q=
3 2 4 。 得a2 ? 3, b2 ? 2 2; a3 ? 2, b3 ? 4; a5 ? 0, b5 ? ; a6 ? ?1, b6 ? 2 4 3 3 3

3

2 2

29 32 ,r=10,第 11 项最大。 ?r? 3 3 x ? 8.解答: D。函数 f ( x) ? cos 为偶函数,在(0, )上, f ( x) ? cos x 为减函数,而 5 2
7.解答:D. Tr ?1 ? C15 2 ,由Tr ? Tr ?1,Tr ? 2 ? Tr ?1 ?
r r

log e

1

?

? ? log e ? , log?

1 1 1 ?? , log 1 2 ? 2log e ? , e log e ? e ?

0?

log e ? 2 log e ? ? 1 ? ? ? ,所以 b ? a ? c 。 5log e ? 5 5 4

9.解答:C.根据题意,该立体图为圆柱和一个 1/4 的球的组合体。 10.解答 B (1)A=144,B=39,C=27: (2)A=39,B=27,C=12: (3)A=27,B=12, C=3: (4)A=12,B=3,C=0。所以 A=3。 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,每空 7 分,共 49 分) 11. 2010 ? x ? 2011 。 解答 变形得 ( x ? 2010 ? 1) ? ( x ? 2010 ? 1) ? 2 ? 0 ?
2 2

x ? 2010 ? 1 , 解得

2010 ? x ? 2011 。
12. 12? . 解答

x x 2 s i n 的周期为 ?4 3 c o s , 的周期为6?,所以函数f x 的周期为 ? 。 2 ( ) 1 2 3
2 2

13. ( x ? 10) ? y ? 9 . 解答 设 M 的坐标为 ( x, y),设P点坐标为( x0 , y0 ), 则有

x?

x0 ? 20 y ,y? 0 2 2

? x0 ? 2 x ? 20, y0 ? 2 y ,因为 P 点在圆上,所以 (2 x ? 20) 2 ? (2 y) 2 ? 36 所以 P 点轨
迹为 ( x ? 10) ? y ? 9 。
2 2

14.30<x<45 或 22.5<x<30. 解答 如图, (1)AD=AC=BD; (2)DC=AC,AD=BD。 A

B

D (1)

C

A

C B D (2) 在(1)中,设最小的角为 x,则 2x<90,得 x<45,又 x+180-4x<90,得 x>30,所以 30<x<45; 在(2)中,设最小的角为 x,则 3x<90,得 x<30,又 180-4x<90,得 x>22.5,所以 22.5<x<30 15. ?

1 ? a ? 1. 2

解答 设 z ? a ? bi ? ?1 ? a ? bi ?

a ? bi b ? 2?b? 2 ?0 2 2 a ?b a ? b2

? b ? 0或a 2 ? b2 ? 1
当 b ? 0 ,无解;当 a ? b ? 1 ? ?
2 2

1 ? a ? 1。 2

16.

1 . 192




x 4 (1 ? x) 2 1 3 3 1 3 k? 2 因为x 2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? ? , x ? 时x 2 ? x ? 1最小值为 2 4 4 2 4 x ? x ?1
分子 x(1 ? x) ?

1 1 1 8 1 。 , x ? 时,x 4 (1 ? x)4 取最大值( ),所以 k 的最小值为 192 2 2 2

17.0 或 q. 解答 因为函数 f ( x) ? x ? p | x | ? q 为偶函数,由对称性以及图象知道, f (x) 在以
2

其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值 0 或 q。 三、解答题(本大题共有 3 小题,每题 17 分,共 51 分) 18.解(1)将数列分组: ( ), ( , ), ( , , ), ?, ( , 因为 1+2+3+?+62=1953;1+2+3+?+63=2016, 所以数列的第 2010 项属于第 63 组倒数第 7 个数,即为

1 1

1 2 2 1

1 2 3 3 2 1

1 2 k ,?, ), ? k k ?1 1 57 。 7
--------- 10 分

(2)由以上分组可以知道,每个奇数组中出现一个 1,所以第 2010 个 1 出现在第 4019 组,而第 4019 组中的 1 位于该组第 2010 位,所以第 2010 个值为 1 的项的序号为 (1+2+3+?+4018)+2010=809428。 ------------ 17 分 19.解:设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 x, y, z ,则有 1 ? x, y, z ? 9 ,且

xyz ? (10 ? x)(10 ? y)(10 ? z)
即有

(*1) ----------------- 5 分

xyz ? 500 ? 50( x ? y ? z) ? 5( xy ? yz ? zx) 。

(*2)

于是有 5 xyz 。因此 x, y, z 中必有一个取 5。不妨设 x ? 5 ,代入(*1)式,得到

y ? z ? 10 。

----------------10 分

此时,y 可取 1,2,?,8,9(相应地 z 取 9,8,?,2,1) ,共 9 种放法。同理可得 y=5 或者 z=5 时,也各有 9 种放法,但有 x ? y ? z 时二种放法重复。因此可得共有 9×3-2 = 25 种放法。 ---------------------17 分 20.解: 不妨设 AB 的方程 y ? kx ? 1?k ? 0? ,则 AC 的方程为 y ? ?

1 x ?1。 k

?y ? kx?1 ?2a 2 k ? 2 2 2 2 , 由 ? x2 得: (1 ? a k ) x ? 2a kx ? 0 ? xB ? 2 1 ? a2k 2 ? 2 ? y ?1 ?a

1 ? ? y ? ? k x ?1 2a 2 k ? 2 2 2 2 , 由? 2 得: (a ? k ) x ? 2a kx ? 0 ? xC ? 2 a ? k2 ? x ? y2 ? 1 ? a2 ?
从而有

AB ? 1 ? k 2

2a 2 k 1 2a 2 k , AC ? 1 ? 2 2 , 1 ? a2k 2 k a ? k2

--------5 分

1 k? 1 k (1 ? k 2 ) k 于是 S ?ABC ? AB AC ? 2a 4 。 ? 2a 4 1 2 (1 ? a 2 k 2 )(a 2 ? k 2 ) 2 2 4 a (k ? 2 ) ? a ? 1 k 1 令 t ? k ? ? 2 ,有 k
S
?ABC ?

2a 4 t ? a 2t 2 ? (a 2 ? 1)2

2a 4 , (a 2 ? 1) 2 2 a t? t

--------- 10 分

因为 a t ?
2

(a 2 ? 1) 2 a2 ?1 时等号成立。 ? 2a(a 2 ? 1), t ? t a a2 ?1 a3 , ( S?ABC ) max ? 2 , a a ?1
------------- 14

因此当 t= 分 令

a3 27 3 ? 297 ? ? (a ? 3)(8a 2 ? 3a ? 9) ? 0 ? a ? 3, a ? 2 a ?1 8 16
--------- 17

a2 ?1 3 ? 297 ? 2 ? a ? 1 ? 2,? a ? (不合题意,舍去), a ? 3. ? a 16
分 四、附加题: (本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分。 ) 21. 证明 由

BD ? BF sin B S ?BFD ? ? ? (1 ? ? ). S ?ABC BC ? BA sin B

---------5 分

同理


S?DEC S ? ? (1 ? ? ), ?AEF ? ? (1 ? ? ) 。 S?ABC S?ABC

---------- 10

所以,

S?DEF S?ABC ? S?BFD ? S?DEC ? S?AEF ? ? 1 ? ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ) ? ? (1 ? ? ) S?ABC S?ABC
----20 分

= (1 ? ? )(1 ? ? )(1 ? ? ) ? ??? ? ??? , 等号成立 ? ? ? 1或? ? 1或? ? 1 。 因此 S?DEF ? ??? S?ABC ,等号成立,当且仅当,D 与 C 重合, 或 E 与 A 重合,或 F 与 B 重合。 ----- 25 分

22.证明 (1)考虑区域 0 ? x ? n,0 ? y ? m, 且该区域上的格点为 nm 个。 又该区域由区域 E:

0 ? x ? n, 0 ? y ? ax3 , 以及区域 F: 0 ? y ? m, 0 ? x ?
?

3

y 组成。 a
3

在区域 E 上,直线段 x ? k (k ? N ,1 ? k ? n) 上的格点为 [ ak ] 个, 所以区域 E 上的 格点数为

?
k ?1

n

[ak 3 ] 。

----------------- 5 分

同理区域 F 上的格点数为
n

?
k ?1

m

[3

k ]。 a

----------------- 10 分

由容斥原理, N ?

m ? k? ? ak 3 ? ? ? ? 3 ? ? mn 。 ? ? ? k ?1 a k ?1 ? ?

-------------------------15 分
?

(2) a 是一个正整数时, 当 曲线 y ? ax 上的点 k , ak )(k ? N ,1 ? k ? n) 都是格点, (
3 3

所以(1)中的 N=n。同时, m ? an 。将以上数据代入(1)得
3

?
k ?1

an3

[3

n k a ] ? an 4 ? a ? k 3 ? n ? n ? (n ? 1)n2 (3n ? 1) 。 a 4 k ?1

----------------- 25 分

2008 年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题 (本大题满分 36 分,每小题 6 分)
2 2 1.已知集合 A ? y y ? x ? 1, x ? R , B ? x x ? x ? 2 ? 0 ,则下列正确的是(

?

?

?

?



A. A ? B ? y y ? 1 , C. A ? B ? y ?2 ? y ? 1 2.当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ?

?

?

B. A ? B ? y y ? 2

?

?

?

?

D. A ? B ? y y ? 2或y ? ?1

?

?

x ,则下列大小关系正确的是( lg x
B. f ( x 2 ) ? f 2 ( x) ? f ( x) D. f ( x 2 ) ? f ( x) ? f 2 ( x)



A. f 2 ( x) ? f ( x 2 ) ? f ( x) C.

f ( x) ? f ( x 2 ) ? f 2 ( x)

3.设 f ( x) 在 [0,1] 上有定义,要使函数 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 有定义,则 a 的取值范围为



) A. (??, ? ) ;

1 2

B. [ ?

1 1 , ]; 2 2

C. ( , ??) ;

1 2

D. (??, ? ] ? [ , ??)

1 2

1 2

4 . 已 知 P 为 三 角 形 ABC 内 部 任 一 点 ( 不 包 括 边 界 ), 且 满 足

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ? ( PB ? PA)( PB ? PA ? 2 PC ) ? 0 ,则△ABC 一定为(
A.直角三角形; B. 等边三角形;

) D. 等腰三角形

C. 等腰直角三角形;

5.已知 f ? x ? ? x 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 x ? a 2 ? 2ab ? b 2 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵 坐标的最大值是( A. 2 B. 2 ) C. 2 2 D. 4

?

?

6.圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形,O 为底面中心,M 为 SO 的中点,动点 P 在圆锥底面内(包括圆周) 。若 AM⊥MP,则 P 点形成的轨迹的长度为( ) A.

7

B.

7 2

C. 3

D.

3 2

二、填空题 (本题满分 54 分,每小题 9 分)
7. cos( 1 ?

x 2 ? 5 x ? 7 ? x 2 ? 5 x ? 6) =



8.设 a, b, c, d 为非负实数,满足

a b c d ,则 ? ? ? b?c?d a?c?d a?b?d a?b?c


a?b b?c c?d d ?a = ? ? ? c?d a?d a?b b?c
9.设 f ( x) ?

1 1 1 1 ? ? ,则 f ( x) ? f ( ) ? _________ 。 lg x lg x lg x 1? 2 1? 4 1? 8 x

10. 设实系数一元二次方程 x2 ? ax ? 2b ? 2 ? 0 有两个相异实根,其中一根在区间 (0,1) 内, 另一根在区间 (1, 2) 内,则 11.已知 ? , ? ? R ,直线

b?4 的取值范围是 a ?1



x y x y ? ?1与 ? ?1 sin ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ?


的交点在直线 y ? ?x 上,则 sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? ?

12.在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三 角形时,顶点 A 正好落在边 BC 上。AD 的长度的最小值为 。

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分。解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤。 )

13. 已知椭圆 C:

x2 y 2 4 25 ( , 两准线之间的距离为 。 求 a, b (1) ? 2 ? 1 a ? b ? 0 ) 其离心率为 , 2 a b 5 2

之值; (2)设点 A 坐标为(6, 0),B 为椭圆 C 上的动点,以 A 为直角 顶点,作等腰直角△ABP(字母 A,B,P 按顺时针方向排列) ,求 P 点的轨迹方 程。

14.求解不等式 x ? a ? x ? 1 ? 1 。
2

15.设非负等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,记 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,证明: 1)若 m, n, p ? N ,且 m ? n ? 2 p ,则
*

1 1 2 ? ? ; Sm Sn S p

2)若 a503 ?

2007 1 1 ? 2008 。 ,则 ? 1005 n ?1 S n

四、附加题(本大题满分 50 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 选考 B 卷的学生选做本大题,不计入总分。 )
16.设 ?1 , ? 2 ,? , ? 2008 为 2008 个整数,且 1 ? ? i ? 9 ( i ? 1, 2,?, 2008 ) 。如果存在某个

k ?{1, 2,?, 2008} ,使得 2008 位数 ? k? k ?1 ?? 2008?1 ?? k ?1 被 101 整除,试证明:对
一切 i ?{1, 2,?, 2008} ,2008 位数 ? i? i ?1 ?? 2008?1 ?? i ?1 均能被 101 整除。

17. 将 3k(k 为正整数)个石子分成五堆。如果通过每次从其中 3 堆中各取走一个石子,而 最后取完,则称这样的分法是“和谐的” 。试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证

明。


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2011~2009年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案

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2008年浙江省高中数学竞赛试卷和答案

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2013年浙江省高数学竞赛试题解答

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