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2.3.1 直线与平面垂直的判定(2 )

时间:2018-05-11


2.3.1

直线与平面垂直的判定 第二课时

直线和平面所成的角

问题提出

1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么?
定义:如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直,则称这条直线 与这个平面垂直.
定理:如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直,那么这条直线垂直 于这个平面.

2.当直线与平面相交时,对于直线 与平面垂直的情形,我们已作了一些相 关研究,对于直线与平面不垂直的情形, 我们需要从理论上作些分析.

知识探究(一):平面的斜线

思考1:当直线与平面相交时,它们可 能垂直,也可能不垂直,如果一条直 线和一个平面相交但不垂直,这条直 线叫做这个平面的斜线,斜线和平面 的交点叫做斜足.那么过一点作一个平 面的斜线有多少条?
l

斜线 斜足
α
P

思考2:过斜线上斜足外一点向平面 引垂线,连结垂足和斜足的直线叫 做这条斜线在这个平面上的射影.那 么斜线l在平面α内的射影有几条?
l α A P

B

思考3:两条平行直线、相交直线、 异面直线在同一个平面内的射影可 能是哪些图形?

思考4:如图,过平面α 外一点P引平 面α 的两条斜线段PA、PB,斜足为A、 B,再过点P引平面α 的垂线,垂足 为O,如果PA>PB,那么OA与OB的大 小关系如何?反之成立吗?
P

PA ? PB ? OA ? OB
B

α

A

O

思考5:如图,过平面α 内一点P引平 面α 的两条斜线PA、PB,这两条斜 线段在平面α 内的射影分别为PC、 PD,如果PA>PB,那么PC与PD的大 小关系确定吗? A
B C

α

D P

思考6:如图,直线l是平面α 的一条 斜线,它在平面α 内的射影为b,直 线a在平面α 内,如果a⊥b,那么直 线a与直线l垂直吗?为什么?反之成 立吗?
l
b

α

a

a ?b?a ?l

知识探究(二):直线和平面所成的角

思考1:平面的一条斜线与这个平面总存 在一个相对倾斜度,我们设想用一个平 面角来反映这个倾斜度,并且这个角的 大小由斜线与平面的相对位置关系所确 定,那么角的顶点宜选在何处?
l

α

思考2:如图,AB为平面α 的一条斜 线,A为斜足,AC为平面α 内的任意 一条直线,能否用∠BAC反映斜线AB 与平面α 的相对倾斜度?为什么?
B

A

α

C

思考3:反映斜线与平面相对倾斜度 的平面角的顶点为斜足,角的一边 在斜线上,另一边在平面内的哪个 位置最合适?为什么?
P

α

A

B

思考4:我们把平面的一条斜线和它在平 面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线 和这个平面所成的角.在实际应用或解题 中,怎样去求这个角?
P

α

A

B

思考5:特别地,当一条直线与平面垂 直时,规定它们所成的角为90°;当 一条直线和平面平行或在平面内时, 规定它们所成的角为0°.这样,任何 一条直线和一个平面的相对倾斜度都 可以用一个角来反映,那么直线与平 面所成的角的取值范围是什么?

[0 ,90 ]

思考6:如图,∠BAD为斜线AB与平面 α 所成的角,AC为平面α 内的一条 直线,那么∠BAD与∠BAC的大小关 系如何?
B

∠BAC >∠BAD
A D C

α

思考7:两条平行直线与同一个平面 所成的角的大小关系如何?反之成 立吗?一条直线与两个平行平面所 成的角的大小关系如何?

α

思考8:过平面α 外一点P引平面α 的 斜线,斜足为A,若斜线PA与平面α 所成的角为50°,那么点A在平面α 内的运动轨迹是什么图形?
P

α

A

O

理论迁移

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. (1)求直线A1B和平面ABCD所成的角; 450 (2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

300
A1

D1

C1
B1

O
C D A

例2 如图,AB为平面α 的一条斜线, B为斜足,AO⊥平面α ,垂足为O,直 线BC在平面α 内,已知∠ABC=60°, ∠OBC=45°,求斜线AB和平面α 所成 的角. A
B O

D

α

C

作业: P67 练习:2. P74习题2.3A组:9.


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