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2016年奉贤区二模数学文科试卷


2015 学年奉贤区调研测试 高三数学试卷(文科) 2016.4
(考试时间:120 分钟,满分 150 分)
一. 填空题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果,1-14 题每个空格填对得 4 分) 1、若 i ? bi ? 1? 是纯虚数, i 是虚数单位,则实数 b ? _______. 2、函数

y ?

2x ? 1 的定义域是_______.(用区间表示) ??? ? ??? ? ??? ? ???? 3 3、已知△ ABC 中, AB ? 2 , AC ? 3 , AB ? AC ? 0 ,且△ ABC 的面积为 ,则 2
?BAC ? _______. 4、双曲线 4 x2 ? y 2 ? 1 的一条渐近线与直线 tx ? y ? 1 ? 0 垂直,则 t ? ________.

5、已知抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 M x0 , 2 3 ,则点 M 到抛物线焦点的距离为________. 6、无穷等比数列首项为 1,公比为 q ? q ? 0? 的等比数列前 n 项和为 Sn ,则 lim S n ? 2 ,
n ??

?

?

则 q ? ________. 7、 在一个水平放置的底面半径为 3 的圆柱形量杯中装有适量的水, 现放入一个半径为 R 的 实心铁球,球完全浸没于水中且无水溢出,若水面高度恰好上升 R ,则 R =________. 8、 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会, 若这 4 人中必须既有男生又有女生, 则不同的选法共有________种. 9、在平面直角坐标系 xOy 中,将点 A(2,1) 绕原点 O 逆时针旋转 10、已知函数 f ? x ? ? 2 ? a ? 2 的反函数是 f
x ?x

倾斜角为 ? ,则 cos ? 的值为_______.

? 到点 B ,若直线 OB 的 4

?1

? x ? , f ?1 ? x ? 在定义域上是奇函数,则正

实数 a ? ________. 11、已知 x ? 1, y ? 0 ,集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 4} , B ? {( x, y) | x ? y ? t ? 0} , 如果 A ? B ? ? ,则 t 的取值范围是_______.

1 ? ? 12、在 ? x ? ? 2 ? 展开式中常数项是_______.(用数值回答) x ? ?
13、如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,如果直 角三角形的直角边长都为 1,那么这个几何体的表面积为_______.
* 14、若数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? 4n ? 2 n ? 1, n ? N

4

?

?

,且 a1 ? x ,

?an ? 单调递增,则 x 的取值范围是_______.

主视图

左视图

(第 13 题) 俯视图

1

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、 平面 ? 的斜线 l 与平面 ? 所成的角是 35°, 则 l 与平面 ? 内所有不过斜足的直线所成的 角的范围是( ) .
0 0 A. 0 , 35 ? ?

?

0 0 B. ? ?35 ,90

?

0 0 C. 0 , 90

?

?

0 0 D.? ?35 ,90 ? ?

16、下列不等式中,与不等式

x ?8 ? 2 解集相同的是( ). x ? 2x ? 3 2 A. ( x ? 8) ? 2 ? x ? 2 x ? 3 ? B. x ? 8 ? 2( x 2 ? 2 x ? 3)
2
[来源:学。科。

1 2 x2 ? 2x ? 3 1 ? ? C. 2 D. x ? 2x ? 3 x ? 8 x ?8 2 2 2 17、若复数 z 满足关系 | z ? 2 | ? | z ? 4i | ? 12, 则z 对应的复平面的点 Z 的轨迹是
18、方程 9 ? 3 ? b ? 5 ?b ? R? 有一个正实数解,则 b 的取值范围为(
x x

( ) . A.圆 A. ? ?5,3?

B.椭圆

C.双曲线

D.直线 ) . D.前三个都不正确

B. ? ?5.25, ?5?

C. ? ?5,5?

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. AP, AB, AC 两两互相垂直, 19、 平面 ABC 外的一点 P , 过 AC 的中点 D 作 ED ? 面 ABC , 且 ED ? 1 , PA ? 2 , AC ? 2 ,连 BP, BE ,多面体 B ? PADE 的体积是 (1)画出面 PBE 与面 ABC 的交线,说明理由; (2)求 BE 与面 PADE 所成的线面角的大小.

3 . 3

P

E

A

D

C

B

2

20、已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的长轴长是短轴长的两倍,焦距为 2 3 . a2 b2

(1)求椭圆 C 的标准方程; ( 2)设 A, B 是四条直线 x ? ?a, y ? ?b 所围成的两个顶点 , P 是椭圆 C 上的任意一点 ,若

??? ? ??? ? ??? ? OP ? mOA ? nOB ,求证:动点 Q ? m, n ? 在定圆上运动.

21、如图所示, A, B 是两个垃圾中转站, B 在 A 的正东方向 16 千米处, AB 的南面为居民 生活区.为了妥善处理生活垃圾,政府决定在 AB 的北面建一个垃圾发电厂 P .垃圾发电厂 P 的选址拟满足以下两个要求( A, B, P 可看成三个点) : ①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相 同;②垃圾发电厂应尽量远离居民区(这里参考的指标是点 P 到直线 AB 的距离要尽可能 大) .现估测得 A, B 两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨. 设 PA ? 5x ? 0 . (1)求 cos ?PAB (用 x 的表达式表示) ; (2)垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求?

P



· A
[来源:学|科|网]

居民生活区 第 21 题图

· B

3

22、 (1)已知 0 ? x1 ? x2 ,求证: (2)已知 f ? x ? ? lg ? x ? 1? ?

x1 ? 1 x1 ? ; x2 ? 1 x2

1 log 3 x ,求证 f ? x ? 在定义域内是单调递减函数; 2

(3)在(2)的条件下,求集合 M ? n f n ? 214n ? 1998 ? 0, n ? Z 的子集个数.
2

? ?

?

?

1 1 ? an ?1 ? an ? bn ? 2 2 ? 23、数列 ?an ? , ?bn ? 满足 ? , a1 ? 0, b1 ? 0 . 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? bn ?1 2 an 2 bn
(1)求证: ?an ? bn ?是常数列; (3)设 a1 ? 4, b1 ? 1 , cn ? log3 (2)若 ?an ? 是递减数列,求 a1 与 b1 的关系;

an ? 2 ,求 ?cn ? 的通项公式. an ? 2

4

1、 0 3、
5? 6

2016 年 4 月奉贤区二模数学文科参考答案 2、 ?0, ??? 4、 ? 6、
1 2

1 2

5、 4 7、 9、
3 2

8、 34 10、 a ? 1 12、70 14、 ?1,3?
18、A 1分 2分 3分 5分 7分 9分 10 分

10 10 11、 ? ?4, 2?
13、

3? 3 2

二、选择 15、D 16、B 17、A 三、解答题 19、(1)根据条件知: PE 与 AD 交点恰好是 C C ? PE ,? C ?面 PBE , C ? AC,?C ?面 ABC

B ? 面 PBE , B ? 面 ABC 面 PBE 与面 ABC 的交线 BC (2)(理) AP, AB, AC 两两互相垂直, BA ? 面 EDAP
多面体 B ? PADE 的体积是 ?

1 1 3 ? PA ? DE ? ? AD ? BA ? 3 2 3

? BA ?

2 3 3

建立空间直角坐标系,设平面的法向量是 n1 ? x, y, z ?

??

?2 3 ? B? , 0, 0 D ? 0,1,0? E ? 0,1,1? P ? 0,0,2? ? ? 3 ? , C ? 0,2,0? ? ? ??? ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? ??? ? BP ? ? ? , 0, 2 ,1,1 , BE ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? ? ? ? ?? ??? ? 2 3 n1 ? BP ? ? x ? 2z ? 0 3 B x ?? ??? ? 2 3 n1 ? BE ? ? x? y? z ?0 3 ?? ? n1 ? 3,1,1 ?? ? 面 ABC 的法向量 n2 ? ? 0,0,1? ?? ?? ? n1 ? n2 1 5 cos ? ? ?? ?? ? ? ? 5 5 n1 ? n2

z
P

E

A

D

C y

?

?

11 分

12 分

5

所以面 PBE 与面 ABC 所成的锐二面角大小 arccos 注:若作出二面角得 2 分,计算再 3 分 (2)(文) AP, AB, AC 两两互相垂直, BA ? 面 EDAP 多面体 B ? PADE 的体积是 ?

5 5

13 分 7分 9分 10 分
P

1 1 3 ? PA ? DE ? ? AD ? BA ? 3 2 3

? BA ?

2 3 3
11 分

连接 AE AE 是 BE 在面 EDAP 的射影 ?BEA 是 BE 与面 PADE 所成的线面角.

E

2 3 6 计算 AE ? 2 , tan ?BAE ? 3 ? 3 2
?BEA 是 BE 与面 PADE 所成的线面角 arctan

12 分

A

D

C

6 . 3

13 分

B

20、解: (1)由已知得 解得 a ? 2, b ? 1
2

?2a ? 2 ? 2b ? ?2c ? 2 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
x ? y2 ? 1 . 4

3分

5分 6分

∴椭圆 C 的标准方程为

(2)(理)由题意可设直线 l 的方程为: y ? kx ? m ? km ? 0? ,

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 ,消去 y 并整理, 2 ? ? y ?1 ?4 2 2 2 得: ?1 ? 4k ? x ? 4kmx ? 4 ? m ? 1? ? 0
2 2 计算 ? ? 16 4k ? m ? 1 ? 0

7分 8分

?

?

此时设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,

4 m2 ? 1 8km 则 x1 ? x2 ? , x1 x 2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2 2 于是 y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m? ? k x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m 又直线 OM , MN , ON 的斜率依次成等比数列,

2 2 y1 y2 k x1 x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m ? ? ? k2 x1 x2 x1 x2

?

?

9分 10 分

11 分

6

∴?

8k 2 m2 1 ? m2 ? 0,? m ? 0,? k 2 ? 2 1 ? 4k 4

12 分 13 分 13 分 8分 9分 11 分 13 分

所以是不定向的, (2)文

? ? 方向向量 d ? ? ?2,1?
可得 A? 2,1? , B ? ?2,1? 设 P xP , y p ,则

?

?

? ? xP ? 2 ? m ? n ? ? ? ? yP ? ? m ? n ? 1 ? m2 ? n2 ? 2

2 xP ? yP 2 ? 1 4

21、解: (1)由条件①,得

? PA ? 5x,? PB ? 3x ,
则 cos ?PAB ?
2 2

PA 50 5 ? ? PB 30 3
2

1分 3分 6分 8分

(5 x) ? 16 ? (3x) 2 ?16 ? 5 x x 8 cos ?PAB ? ? 10 5 x

? x 8 ? ? ? ? 10 5 x ? 所以点 P 到直线 AB 的距离 h ? PA sin ?PAB
(2) sin ?PAB ? 1 ? ?

2

9分 10 分 11 分

x 8 h ? 5x ? 1 ? ( ? )2 10 5 x 1 ? ? x 4 ? 17 x2 ? 64 4 1 ? ? ( x 2 ? 34)2 ? 225 4 x 8 ? cos ?PAB ? 1,? ? ? 1,? 2 ? x ? 8 10 5 x 2 所以当 x ? 34 ,即 x ? 34 时, h 取得最大值 15 千米. 即选址应满足 PA ? 5 34 千米, PB ? 3 34 千米. 22、(1)解:任取 0 ? x1 ? x2 ,则 x ?x x1 ? 1 x1 x2 ? x1 ? 1? ? x1 ? x2 ? 1? ? 2 1 ? ? x2 ? x2 ? 1? x2 ? 1 x2 x2 ? x2 ? 1? x ?x 0 ? x1 ? x2 ,所以 2 1 ? 0 x2 ? x2 ? 1?


12 分

13 分 14 分

3分 4分 5分

x1 ? 1 x1 ? x2 ? 1 x2

7

x1 ? 1 x1 x ?1 x ,∴ lg 1 6分 ? ? lg 1 . x2 ? 1 x2 x2 ? 1 x2 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? lg( x1 ? 1) ? lg( x2 ? 1) - (log 3 x1 ? log 3 x 2 ) 2 x ?1 1 x = lg 1 - log3 1 7分 x2 x2 ? 1 2 x ?1 x x x = lg 1 - log9 1 ? log10 1 ? log9 1 x2 x2 x2 x2 ? 1 logt 9 ? logt 10 1 1 0 ? t ? 1,log10 t ? log9 t ? ? ? logt 10 logt 9 logt 10 ? logt 9 ?logt 9 ? 0,logt 10 ? 0,logt 9 ? logt 10 ? 0,logt 9 ? logt 10 ? 0 log 9 ? logt 10 x x 8分 0 ? t ? 1,? t ? 0 ? log10 1 ? log9 1 ? 0 logt 10 ? logt 9 x2 x2 ∴ f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? 0∴ f ( x) 为 (0,??) 上的减函数 9分 (3)注意到 f (9) ? 0 ∴当 x ? 9 时, f ( x) ? f (9) ? 0 ,当 0 ? x ? 9 时, f ( x) ? f (9) ? 0 , ∴ f ( x) ? 0 有且仅有一个根 x ? 9 . 1
(2)∵ 由 f (n 2 ? 214n ? 1998 ) ? 0 ? f (n 2 ? 214n ? 1998 ) ? f (9) ∴?
2 ? ?n ? 214n ? 1998? 9 2 ? ?n ? 214n ? 1998 ? 0

13 分

? ??9 ? n ? 223 ?? ? ?n ? 107 ? 13447, 或n ? 1007 ? 13447 ∴ n ? 223 或 n ? ?9 ,
∴ M ? {?9,223 } M 的子集的个数是 4.

14 分 15 分 16 分

23、(1) 2an?1 ? an ? bn

1分 2分 3分 4分 5分 6分

a ?b 1 ? n n bn ?1 2anbn 2anbn ? bn ?1 ? an ? bn 2a b ? bn ?1 ? n n 2an ?1 ? an bn ? an?1bn?1 ? .... ? a1b1

?an ? bn ?是常数列; (2) ?an ? 是递减数列, an?1 ? an ? 0
a2 ? a1 ? b ?a 1 1 a1 ? b1 ? a1 ? 1 1 ? 0 2 2 2

? a1 ? b1
8

7分

? a1 ? b1 时 ?an ? 是递减数列
(3) 、 (理)整理得 an ?1 ?

b2 ? a2 a ?b 2a b 2 ? 0,? a2 ? b2 , 1 1 ? 1 1 ,? ? a1 ? b1 ? ? 0 2 2 a1 ? b1 b ? an ? 0,? an ? bn ? a1 ? b1 恒成立 猜想 an ?1 ? an ? n 2 2ak bk ak ? bk ? 2 ? ? ak ? bk ? bk ?1 ? ak ?1 ak ? bk 2 ak ? 2 ? ak ?1 ? ? ? ?0 2 2 4 ? ak ? bk ? a3 ? a2 ?

8分

9分 10 分 11 分 12 分 13 分

1? 4? ? an ? ? 2? an ?

5 2 ?a1 ? 0 ? a2 ? 0 ? a3 ? 0 ? ?an ? 0 a2 ?
n ? 2 , an ?1 ? 2 ?

1? 1 ? an ? 2? an

? ? an ? 2 ? ? 0 ??2 ? 2an ?
2

14 分 15 分

? an?1 ? 2
4 ? an bn ? a n a n 4 ? a2 n an ?1 ? an ? ? ? 2 2 2 an ? an ? 2, ? an?1 ? an ? 0

16 分

??an ? 单调递减,? an ? a2

17 分 18 分

? 5? ? an ? ? 2, ? ? 2? (3) (文) c1 ? 1

11 分 12 分
2

c2 ? 2
an ?1 ? 2 ? 1 ? an ? 2 ? 2 an

13 分
2

1 ? an ? 2 ? an ?1 ? 2 ? 2 an

14 分 15 分 16 分 17 分 18 分

an ?1 ? 2 ? an ? 2 ? ?? ? an ?1 ? 2 ? an ? 2 ?

2

? a ?2? an ?1 ? 2 ? 2log3 ? n ? an ?1 ? 2 ? an ? 2 ? cn?1 ? 2cn log3
cn ? 2n?1

9


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