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双曲线的几何性质


复习回顾: 定义 | |MF1|-|MF2| | =2a(0 < 2a<|F1F2|)
y
M
M F2

y

图象
F1 o F2

x
F1

x

方程

x y ? 2 ?1 2 a b<

br />c ?a ?b
2 2

2

2

y2 x2 ? 2 ?1 2 a b
2

a.b.c 的关系

复习提问: 椭圆的简单几何性质有哪些?
Y
B2

范围

对称性
顶点 离心率

A1 F1

o

A2 F2

X

B1

类比椭圆,探讨双曲线

y

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
的几何性质:

2

2

o

x

范围、对称性、顶点、离心率. 渐近线

探究双曲线的简单几何性质

1、范围

y (-x,y) (x,y)

x ? ?a或x ? a
2、对称性

A1 -a
(-x,-y)

o a A2

x

(x,-y)

a b 3、顶点(与对称轴的交点)

你能从双曲线方程: x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 2 2 x y 又叫做双曲线的中心。? 0, b ? 0) ? ? 1(a
2 2

A1 (?a,0)、A2 (a,0)

得到双曲线这些的几何性质吗?

3、顶点

?1?, A1 A2 ? 实轴;B1B2 ? 虚轴;
实轴长 ? 2a,实半轴长 ? a 虚轴长 ? 2b,虚半轴长 ? b
A1 -a
b

y

B2
o a A2 x

(2) 实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线

-b B 1

5、离心率 c 双曲线的焦距与实轴长的比e ? ,叫做 (1)定义: a 双曲线的 离心率。
(2)e的范围?

? c>a>0 ?

e >1

(3)e的含义?

e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大

4、渐近线
y

观察这两条直线与双曲 线有何关系?
A1

B2
b

A2
o a x

B1

x2 y2 双曲线 a 2 ? b 2 ? 1 的各支向外延伸

时,与这两条直线逐渐接近!故把 这两条直线叫做双曲线的渐近线!

双曲线的渐近线 x2 y 2 b y ? ? x叫做双曲线 2 ? 2 =1 的渐近线.。 ▲规定:直线 a a b 2 2 y x ▲思考: ①双曲线 2 ? 2 ? 1的渐近线方程是什么? a y?? x a b b ②两种双曲线的渐近线方程,怎样统一记忆?
x2 y 2 ? 2 =1 2 a b y2 x2 ? 2 ?1 2 a b x2 y 2 ? 2 =0 2 a b
y2 x2 ? 2 ?0 2 a b
b y?? x a

a y?? x b
y
B2 A1 O
B1

3.双曲线的画法: ①定顶点 ③画渐近线 ②画矩形 ④画双曲线

A2

x

(2)等轴双曲线的渐近线 方程是什么?

y ? ?x

B2

. .
A2

图形

. .
F1

y

y
F2 B1

F2(0,c) x F1(0,-c)

A1 A2
O

F2

x

B2

F1(-c,0)
2 2

B1 F2(c,0)
2

A1O F1

方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线

x y ? ? 1 (a ? b ? 0) a b
2 2

y x ? ? 1 (a ? 0,b ? 0 ) a b
2 2

2

x ? a 或 x ? ?a,y ? R

y ? a 或 y ? ? a,x ? R

关于x轴、y轴、原点对称
A1(- a,0),A2(a,0)

关于x轴、y轴、原点对称
A1(0,-a),A2(0,a)

c e? a
b y?? x a

(e ? 1)

c e? a

(e ? 1)

a y?? x b

练习题:填表
标 程
2a 2b



方 x 2 ? 8 y 2 ? 32

9 x ? y ? 81 x ? y ? ?4
2 2
2 2

x2 y2 ? ? ?1 49 25

8 2
4

6
18 |x|≥3 (±3,0)

4
4 |y|≥2 (0,±2)

10
14

范 围
|x|≥

4 2
2 ,0

|y|≥5 (0,±5)

顶 点 焦 点
离 心 率

?? 4
e?

?

?? 6,0?
3 2 2

?? 3

10 ,0

?

?0,?2 2 ?
e? 2

?0,?
e ?

74

?

e ? 10
y=±3x

渐 进 线

74 5

2 y?? x 4

x ? ?y

x??

7 y 5

典例讲解:
例1. 求双曲线9x -16y =144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐近线方程。
x2 y2 解:把方程化为标准式 2 ? 2 ? 1 4 3
∴实半轴长 a= 4, 虚半轴长b=3, c =5 焦点坐标为 (±5,0)
O
2 2

y

3 y? x 4

x
3 y?? x 4

3 渐近线方程为 y ? ? x 4
2 2

5 离心率为 e ? 4

练一练. 求双曲线16x -25y =-400的实半轴长和虚半轴 长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。

例2、已知双曲线中心在原点,焦点在x轴上,
5 顶点间的距离是16,离心率e ? 4,求双曲

线的标准方程,并求出它的渐近线方程。 2 2
x y 解:依题意可设双曲线的方程为 2 ? 2 ? 1 a b

? 2a ? 16,即a ? 8 c 5 又 ? e ? ? ,? c ? 10 a 4
2 2 2 2

x y ? 双曲线的方程为 ? ?1 64 36 3 ?渐近线方程为y ? ? x 4

?b ? c ? a ? 10 2 ? 8 2 ? 36
2

学习反思:

x2 y2 一、双曲线 2 ? 2 ? 1 的简单几何性质 a b
范围,对称性,顶点,离心率,渐进线

二、比较双曲线的几何性质与椭圆的几 何性质的异同.

用“类比学习法”和“数形结合法” y2 x2 导出双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 的简单几何性质
(1)范围:
y ? a, y ? ?a
-b o b x y

a

(2)对称性: 关于x轴、y轴、原点都对称 (3)顶点: (0,-a)、(0,a)
a y x (4)渐近线: y ? ? b x 或 ? ? 0 a b

-a

c (5)离心率: e ? a


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