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圆周运动的较量描述

时间:2011-05-29


第二讲

1.直角坐标系 2.自然坐标系 3.圆周运动的角量描述 4.两类运动学问题

坐标系
坐标系: 为了定量的描述物体的运动, 坐标系: 为了定量的描述物体的运动,在选定的 参考系上建立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系 简称坐标系。 参考系上建立的带有标尺的数学坐标 简称坐标系。坐 标系是固结于参考系上的一个数学抽象。 标系是固结于参考系上的一个数学抽象。 可定量描述 物体的位置及运动。 物体的位置及运动。 如: 直角坐标系 自然坐标系 极坐标系、球坐标系等) (极坐标系、球坐标系等)

要解决任何具体力学问题, 要解决任何具体力学问题,首先应选取一个适当的参考 系,并建立适当的坐标系,否则就无从讨论物体的运动。 并建立适当的坐标系,否则就无从讨论物体的运动。

坐标系 θ

卫星

r
φ
运动质点

切线 法线

自然坐标系
由运动曲线上任 一点的法线和切 线组成

n

τ

直角坐标系
第一讲内容 —— 基本物理量
直角坐标系 位置矢量 位移矢量 速度矢量 加速度矢量

r r,

r r (t )

r r r ? r = r2 ? r1
r r dr v = dt

r 2r r dv d r a = = dt dt 2

自然坐标系
坐标原点固接于质点, 自然坐标系 —— 坐标原点固接于质点 坐标轴沿质点 运动轨道的切向和法向的坐标系,叫做自然坐标系。 叫做自然坐标系。 运动轨道的切向和法向的坐标系,r 切向以质点前进方向为正,记做 τ ,法向以曲线凹 切向以质点前进方向为正, 侧方向为正, 侧方向为正,记做 nr 。

τ
τ
A s o

r

r
?s

B

r n

r n

二、质点运动的自然坐标描述 1. 在自然坐标中描述质点的运动 (1) 位置:在轨道上取一固定点 ,用质点距离 的 位置:在轨道上取一固定点O,用质点距离O的 路程长度 s,可唯一确定质点的位置。 位置 s有正 ,可唯一确定质点的位置。 有正 负之分。 负之分。 (2) 位置变化: 位置变化:

?s
P s

(3) 速度: 沿切线方向。 速度:

r r dr ds Q v = = dt dt r r r ds r ∴ v=v τ= τ dt

?s P ′
r n

τ

r

o

加速度: (4) 加速度:

v ?v
v vA
A B

D

v vB

r ?v
E

r r v A ?v n


C

r ? vτ

r r r 速度的改变为: ?v = ?vτ + ?vn
r ∴a =

B

r vB
r ? vn ?t

lim

?t→ 0

r ?v = ?t

lim

?t→ 0

r ? vτ + ?t

lim

?t→ 0

切向加速度

dv v vdθ r dv r ds dθ r = τ+ n = τ +v n dt dt dt dt ds
dv v v r = τ+ n 法向加速度 dt ρ
2

r dv r 切向加速度: 切向加速度: a τ = τ dt
描述速度大小的改变, 描述速度大小的改变,不影响速度的方向

r v2 r n 法向加速度: 法向加速度: a n =

ρ

描述速度方向的改变, 描述速度方向的改变,不影响速度的大小

r r r dv r v 2 r a = aτ τ + a n n = τ + n dt ρ
(1) aτ = 0 匀速运动 匀速运动; (2) an = 0 直线运动 直线运动; aτ≠ 0 变速运动 an≠ 0 曲线运动

r r r dv r v r a = aτ τ + a n n = n τ + dt ρ r 2 2 大小: 大小:a = aτ + an

2

方向: 方向:

an θ = arctg aτ r r a与aτ的夹角
r dv dv = dt dt ?

r aτ r an
θ
r n

τ

r

r a

讨论

r a

r aτ

的圆周上以速率v 例1:设一质点在半径为r的圆周上以速率 0运动,写出: 设一质点在半径为 的圆周上以速率 运动,写出: (1) 自然坐标系中质点的速度和加速度; 自然坐标系中质点的速度和加速度; (2) 直角坐标系中质点的速度和加速度。 直角坐标系中质点的速度和加速度。 解: (1)以O?为自然坐标系的原点和计时起点 以 ?

r ds r r v = τ = v 0τ dt dv d 2 s aτ = = 2 =0 dt dt 2 2 v v0 an = = ρ r

y r
O

r v0
θ

s
O′

x

r r r v0 r a = aτ + an = n r

2

(2) 取圆心 O为坐标原点,计时起点同上 为坐标原点, 为坐标原点 于是, 于是,t = 0时,x = r, y = 0 时 任意时刻
y r
O

r v0
θ

s v0t x = r cosθ = r cos = r cos r r v0t y = r sinθ = r sin r r v0t r v0t r 所以 r = r cos i + r sin j r r

s
O′

x

v v dr v= dt

v v d r a= 2 dt
2

圆周运动的角量描述
三、圆周运动的角量描述
在自然坐标系下, 线量 —— 在自然坐标系下,基本参 量以 运动曲线为基准,称为线量。 运动曲线为基准,称为线量。如:s,v,an 在极坐标系下, 角量 —— 在极坐标系下,以旋转角度为基 准的基本参量,称为角量。 准的基本参量,称为角量。如:ω,β,θ

1. 角位置: 角位置:

2. 角位移: ?θ 角位移: 单位: 单位:

θ

P?(t+?t) P(t)

O

rad

θ
R

s
O'

x

逆时针为正

3.角速度 .
?θ 平均角速度: ω = ?t

ω
旋转方向 O R θ

r

角速度: 角速度矢量:

?θ dθ ω = lim = ?t → 0 ?t dt

r v

ω

r

方向沿轴

r r r v =ω ×r
大小: 大小:

r αr
O′

P

v = ω rsinα

方向: 方向: 右手螺旋法则

4. 角加速度 平均角加速度: 平均角加速度: 角加速度: 角加速度

5. 角量与线量的关系 s = Rθ ds dθ v= =R = Rω
dt dt

?ω dω d 2θ = = β = lim 2 dt ?t → 0 ?t dt
P?(t+?t) R ?θ O P(t)

?ω β= ?t

θ

s
O'

dv dω aτ = =R = Rβ dt dt v 2 ( Rω ) 2 an = = = Rω 2 ρ R

x

例2.

某发动机工作时, 某发动机工作时,主轴边缘一点作圆周 3 运动方程为 θ = t + 4t + 3 (SI)

(1) t = 2s时,该点的角速度和角加速度为多大? 时 该点的角速度和角加速度为多大? (2) 若主轴直径 = 40 cm,求t = 1s时该点的速度和 若主轴直径D , 时该点的速度和 加速度 解: (1)

θ = t 3 + 4 t + 3 ( SI ) dθ ω = = 3t 2 + 4
dt
2

dω β = = 6t dt
-1
?2

t = 2 s : ω = 3 × 2 + 4 = 16 rad ? s

β = 6 × 2 = 12 rad ? s

(2) 由角量和线量的关系,得边缘一点的速 度、切 向 由角量和线量的关系, 加速度和法向加速度
1 1 2 v = ω r = ω D = (3t + 4) × 0.4 = 0.2 × (3t 2 + 4) 2 2 aτ = β r = 6t × 0.2 = 1.2t
2 2 2

an = ω r = (3t + 4) × 0.2
2

t = 1s时, aτ = 1.2( m ? s ? 2 )
2 2

v = 0 .2 × ( 3 + 4 ) = 1 .4 ( m ? s ?1 ) a n = (3 + 4 ) × 0.2 = 9.8( m ? s ? 2 )

: 此时总加速度的大小为 a = an + aτ = 1.22 + 9.82 = 9.87 (m ? s?2 ) r r an 9.8 a与v的夹角为θ = arctg = arctg = 83.0o : aτ 1.2

r v r a
θ

r aτ r an

质点运动学中的两类基本问题 第二节 两类问题

由初始条件定积分常量

第一类基本问题
例3. 解:

例4.

解:

例5已知 解:

第二类基本问题 (备选例三)
求 得

例6.

解:
即: 即: ∴ ∴ ∴

例7.

解:

例8.

跳伞运动员下落加速度大小的变化规律为 ,其中A、B均为大于零的常量, 且 时 的表达式 任一时刻运动员下落速度大小

解: 由

分离变量求积分得:

( A ? Bv ) ln = ? Bt A

A ? Bt v ( t ) = (1 ? e ) B

例9.

解:

本讲小结
1.不同坐标系中基本物理量的描述 不同坐标系中基本物理量的描述
直角坐标系 位置矢量 位移矢量 速度矢量 自然坐标系 位置 位置变化 S △S

r r,

r r (t )

r r r ? r = r2 ? r1
r r dr v = dt

r ds r τ 速度矢量 v = dt
r 切向加速度 a
法向加速度

加速度矢量

r 2r r dv d r a = = 2 dt dt

dv r τ τ = dt
2

r v r an = n

ρ

2.圆周运动的角量描述 角位置: 角位置: 角位移: 角位移: 角速度: 角加速度: 角加速度 3. 角量与线量的关系

θ

dθ ω= dt

dω d θ β = = 2 dt dt
2

s = Rθ ds dθ v = = R = Rω dt dt

dv dω aτ = = R = Rβ dt dt v2 ( Rω )2 an = = = Rω 2 R ρ

4.质点运动学中的两类基本问题 质点运动学中的两类基本问题

由初始条件定积分常量

作业
? 练习一、二 练习一、


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