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2015高三数学一轮复习第四章第三节


高三一轮总复习数学 ·BS(理科)

第三节
自 主 落 实. 固 基 础

平面向量的数量积

考纲传真

1. 理解平面向量数量积的含义及其物理意

义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积
的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.

能运用数量 积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂 直关系.

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自 主 落 实. 固 基 础

1.两个向量的夹角 → → (1)定义: 已知两个__________ 作O A =a, O B= 非零向量 a 和 b, b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角. (2)范围:0°≤∠AOB≤180°. (3) 向量垂直:∠AOB= 90 °时, a 与 b 垂直,记作 零向量 可与任一向量垂直. _______ a⊥b .规定:________

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2.平面向量的数量积
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(1)射影的定义 |b|cos_θ 叫作 b 在 a 方向上的射影 设 θ 是 a 与 b 的夹角,则 _______ (或投影). (2)平面向量数量积的定义 |a||b|cos_θ 叫 已知两个向量 a 和 b ,它们的夹角为 θ ,把 __________

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作a与b的数量积(或内积),记作_________ a?b .

(3)数量积的几何意义
a与b的数量积等于 a的长度 |a|与b在a方向上的射影|b|?cos_θ 的乘积. ____________________________________
菜 单

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3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
自 主 落 实. 固 基 础

已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
结论 模 夹角 几何表示 |a|= a ? a cos θ = | a| | b| 坐标表示 |a|=________ cos θ = _______________

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a? b

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自 主 落 实. 固 基 础

a⊥b 的充
要条件

a?b=0

x1x2+y1y2=0

|a?b|与 |a||b|的 关系
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|a?b|≤|a|| b|(当且仅当 a∥b 时等号 成立)

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|x1x2+y1y2|≤

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4.平面向量数量积的运算律
自 主 落 实. 固 基 础

(1)a?b=b?a(交换律); λ(a?b) = _________ a?(λb) (数乘结合律); (2)(λa)?b=__________ a?b+a?c (分配律). (3)a?(b+c)= __________

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1 . ( 固基升华 ) 判断下列结论的正误. ( 正确的打 “√”,错误的打“?”) (1)若 a?b=0,则 a=0 或 b=0.( ) → → (2)在△ABC 中,若A B ?B C >0,则△ABC 是钝角三 角形.( ) (3)一个向量在另一个向量方向上的射影是数量,而 不是向量.( ) → → → → → (4)在四边形 ABCD 中, 若A C =A B +A D, 且|A B +A D → → |=|A B -A D |,则四边形 ABCD 是矩形.( )

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自 主 落 实. 固 基 础

【解析】 (1)当 a⊥b 时,a?b=0; → → → → (2)由A B ·B C >0,得B A ·B C <0,所以∠B>90°, 所以△ABC 为钝角三角形. → → → → → → → (4)由A C =A B +A D, 得A B =A C -A D =D C, 所以四 → → → → 边形 ABCD 是平行四边形,又由|A B +A D |=|A B -A D |, → → 得|A C |=|B D |,所以四边形 ABCD 是矩形.

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【答案】

(1)×

(2)√ (3)√

(4)√

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2.(北师大版教材改编题)若 a=(2,3),b=(-4, 7),则 a 在 b 方向上的射影为( ) 13 A.3 B. 5 C. 65 5 D. 65

【解析】
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a 在 b 方向上的射影为
65 = 5 .

a? b
| b| =

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2 ?(-4 )+3 ?7 (-4 )2+7 2
【答案】

C

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3.(2012?福建高考)已知向量 a=(x-1,2),b= (2,1),则 a⊥b 的充要条件是( ) 1 A.x=- 2 C.x=5
【解析】

B.x=-1 D .x =0
∵a=(x-1,2),b=(2,1),∴a?b=2(x- a?b=0,∴2x=0,∴x=0.

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1)+2?1=2x.又a⊥b 【答案】 D

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(

→ → → 4.在△ABC 中(A B +A C )?B C =0,则△ABC 一定是 ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形

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→ → → → 【解析】 由已知得:(A B +A C )?(A C -A B )=0, → → → → ∴A C 2-A B 2=0,∴|A C |=|A B |.
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【答案】

B

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5.(2013?浙江高考)设 e1,e2 为单位向量,非零向
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π | x| 量 b=xe1+ye2,x,y∈R.若 e1,e2 的夹角为 ,则 的最 6 | b| 大值等于________. 【解析】 根据题意,得 ?| ? x| ? ? 2 = ?| ? ? b| ? x2
(xe 1 )2+(y x2 x2+y2+
菜 单

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x2 (xe 1+ye 2 = x2+y2+2xycos )2 =
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x2 π= 6

e2

)2+2xy

e 1 ·e 2

3xy

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1
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1
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= . ? ? ?y? 3y ?y 3 ?2 1 ? ?2 + 1 +? ? + + ? ? 4 x ?x? ?x 2 ? ?y ? 3 ? ?2 1 1 因为? + + ≥ , ? 4 4 ?x 2 ? ?| ? x| | x| ? ?2 所以 0<? ? ≤4,所以 0< ≤2. b| | b| ?| ? | x| 故 的最大值为 2. | b|
【答案】
菜 单

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2

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考向 1 求两平面向量的数量积 【例 1】

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图 4-3-1
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(2012?江苏高考)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2 ,BC → → =2,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若A B ?A F= → → 则A E ?B F 的值是________. 2,
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自 主 落 实. 固 基 础

→ 【思路点拨】 先确定点 F 的位置, 然后求出向量B F → 的坐标,或将B F 用基底表示.再根据数量积的计算方法 → → 求A E ·B F 的值.
【尝试解答】 法一 以 A为坐标原点, AB, AD 所在

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直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
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→ 则 A(0,0),B( 2 ,0),E( 2 ,1),F(x,2).故A B
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→ → → =( 2 , 0), A F =(x, 2), A E =( 2 , 1), B F =(x- 2 , → → → → 2),∴A B ·A F =( 2 ,0)?(x,2)= 2x.又A B ·A F= → 2 ,∴x=1.∴B F =(1- 2 ,2). → → ∴A E ·B F = 2 -2+2= 2.

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→ → → → 法二 设D F =xA B ,则C F =(x-1)A B. → → → → → → → → → A B ·A F =A B ·(A D +D F )=A B ·(A D +xA B )=xA B
2

→ → =2x,∵A B ·A F = 2 ,∴x=

2 2 .

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自 主 落 实. 固 基 础

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? 2 ? ? ?→ → → → → ∴B F =B C +C F =B C +? -1 ?A B . ? 2 ? ? ? 2 ? ? ?→ ? ?→? → → → → ∴A E ·B F =(A B +B E )??B C +? -1 ? A B ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ?? 1 ?→ ? ?→ ?? → ? → =?A B + B C ??B C +? -1 ?A B ? 2 ?? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ?→2 1 →2 =? -1 ?A B + B C 2 ? 2 ?

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? 2 ? 1 ? ? =? -1 ??2+ ?4= 2. 2 ? 2 ? 【答案】
菜 单

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2

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规律方法 1

平面向量的数量积的运算有两种形

式:一是依据长度和夹角;二是利用坐标计算.对于第
一种形式,要注意确定这两个向量的夹角,否则,易出 错.

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变式训练 1 已知 A, B, C 是圆 O: x2+y2=V2 上三点, → → → → → 且O A +O B =O C ,则A B ?O C 等于( ) A.0 1 B. 2 3 C. 2 3 D.- 2

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→ → → → → → → 【解析】 A B ·O C =(O B -O A )(O B +O A )=O B2 → → → -O A 2=|O B |2-|O A |2=V2-V2=0.
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【答案】

A

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考向2 平面向量的夹角与模
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【例2】

已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)?(2a+b)=61.

(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|和|a-b|.

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【思路点拨】 (1)由平面向量数量积的运算法则得 a?b 的值,再求其夹角的余弦值,从而得其夹角. (2) 根据|a±b|= a 2±2 a ·b +b 2求解.

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【尝试解答】 得 a?b=-6.

(1)由(2a- 3b)?(2a+ b)= 61,解 -6 1

∴cos θ= = =- .又 0≤θ ≤π, ∴θ = | a| | b | 4 ?3 2 2π 3 . (2)|a+b|2=a2+2a?b+b2=13,∴|a+b|= 13 , |a-b|2=a2-2a?b+b2=37. ∴|a-b|= 37 .

a? b

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规律方法2 点”.

1.(1)计算向量的模与夹角时,关键是求

出向量的数量积; (2) 研究两向量的夹角应注意 “ 共起

2 . (1) 求 两向 量的 夹角 ,进 而确 定两 直线的 夹 角 时,要注意两者的区别与联系.(2)求向量的长度,进而 可解决平面上两点间的距离、线段的长度问题.
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变式训练2
自 主 落 实. 固 基 础

(2013?安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=

3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________.

【解析】 由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=(a +2b)2=|a|2+4|b|2+4a?b,所以 a?b=-|b|2.又|a|
2 -| b| 1 =3|b|,所以 cos〈a,b〉= = =- . 2 | a| | b | 3| b| 3

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a? b

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1 【答案】 - 3

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考向 3
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平面向量的垂直问题

→ 【例 3】 (2013?福建高考)在四边形 ABCD 中,A C → =(1,2),B D =(-4,2),则该四边形的面积为( ) A. 5
【思路点拨】

B.2 5

C.5

D.10

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先利用向量的数量积证明四边形的对角
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线垂直,再求面积.





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→ → 【尝试解答】 ∵A C ·B D =(1,2)?(-4,2)=- 1 1 → → → → 4+4=0, ∴A C ⊥B D, ∴S 四边形 ABCD= |A C |· |B D |= ? 2 2 ?2 5 =5. 5

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【答案】

C
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规律方法 3
a?b=0

1. 非零向量垂直的充要条件: a⊥b
x1x2+y1y2=0. a?b=0,体现

|a+b|=|a-b|

2. (1)a⊥b

a?b= 0是对非零向量而言的,若 a =

0时,a?b=0,但不能说a⊥b.(2)a⊥b

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了“形”与“数”的转化,可解决几何问题中的线线垂
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直问题.
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变式训练 3 (2013?郑州质检)已知 A、B、C 是△ABC → → → → → → → 的三个顶点,A B 2 =A B ?A C +A B ?C B +B C ?C A ,则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形 C.等边三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形

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→ → → → → → → 【解析】 因为A B 2=A B· (A C +C B )+B C· C A =A B 2 → → +B C ·C A, → → 所以B C ·C A =0,即 BC⊥AC.
【答案】 B
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两个非零向量垂直的充要条件:
a⊥b x1x2+y1y2=0.

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1.数量积运算不满足消去律, 若向量 a, b, c 满足 a?b =a·c(a≠0),则不一定有 b=c. 2.数量积运算不满足结合律. → 3.领会向量夹角的概念,比如正三角形 ABC 中,A B → 与B C 的夹角应为 120°,而不是 60°.
菜 单

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向量的数量积运算、向量的垂直问题是高考考查的

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热点,属中、低档题目.平面向量数量积的计算,向量
垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题;解答题
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以向量为载体,常与平面几何、三角、解析几何知识交 汇命题,主要考查运算能力及数形结合思想.
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思想方法之十八 坐标法在数量积运算中的应用 (2013?浙江高考)设△ABC,P0 是边 AB 上一定点, 1 → → 满足 P0B= AB,且对于边 AB 上任一点 P, 恒有P B ?P C≥ 4 → P→ ) 0 B ?P 0 C ,则( A.∠ABC=90° C.AB=AC B.∠BAC=90° D.AC=BC

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【解析】 设 AB=4,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴,则 A(-2,0),B(2,0),则 P0(1, → → 0),设 C(a,b),P(x,0),∴P B =(2-x,0),P C =(a → -x,b).∴P→ 0 B =(1,0),P 0 C =(a-1,b). → → → (2-x)?(a-x)≥a-1 恒 则P B ·P C ≥P→ 0 B ·P 0 C 成立,即 x2-(2+a)x+a+1≥0 恒成立. ∴Δ=(2+a)2-4(a+1)=a2≤0 恒成立.∴a=0. 即点 C 在线段 AB 的中垂线上,∴AC=BC.选 D.
【答案】 D

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易错提示:(1)将向量的坐标求错; (2)未掌握数量积的坐标表示造成计算出错; → → → (3)对不等式P B ·P C ≥P→ 0 B ·P 0 C 恒成立这个条件不 知如何使用 ,造成思维受阻. 防范措施:(1)向量的坐标等于该向量的终点坐标减 去始点坐标. (2)要有用向量的坐标表示解题的意识,它能把向量 运算转化为代数运算,给解题带来方便.

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1.(2013?课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a,b的夹角 为60°,c=ta+(1-t)b,若b?c=0,则t=________.

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【解析】 |a|=|b|=1, 〈a,b〉=60°. ∵ c = ta + (1 - t)b , ∴b?c = ta?b + (1 - t)b2 =
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1 t t t?1?1? +(1-t)?1= +1-t=1- . 2 2 2 t ∵b·c=0,∴1- =0,∴t=2. 2
【答案】
菜 单

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2

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2.(2013?课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长 → → 为 2,E 为 CD 的中点,则A E ?B D =________.

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【解析】 如图,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线 为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2), → → ∴A E =(1,2),B D =(-2,2), → → ∴A E ·B D =1?(-2)+2?2=2.
【答案】
菜 单

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2

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