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江苏省泰州市期末联考高三数学模拟试题


江苏省泰州市期末联考高三数学模拟试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置 Y C 1、分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数,依次记为 m 和 n,则 m ? n 的概率为 Y 2、一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图 (如下图).为了分析居民的收

入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10 000 人中再用分层抽样 方法抽出 100 人作进一步调查,则在[2500,3000)(元)月收入段应抽出 人. 频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 3、已知 ? , ? 、 ? 是三个互不重合的平面, l 是一条直线,给出下列四个命题: ① ? ? ? , l ? ? ,则 l // ? ; 若 ③ l 上有两个点到 ? 的距离相等,则 l // ? ; 若 其中正确命题的序号是 4、 ( ② l ? ? ,l // ? ,则 ? ? ? ; 若 ④ ? ? ? , ? // ? ,则 ? ? ? 。 若 月收入(元)

1? i 2 ) = 1? i

5、已知 点 A、B、C 满足 AB ? 3 , BC ? 4 , CA ? 5 ,则 AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值 是 _____________. 6、若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ?10n(n ? 1 2,?) ,则数列 ?nan ? 中数值最小的项是第 ,3, 项.

E 7、 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 的 8 个顶点都在球 O 的表面上, ,F 分别是棱 AA1 , 1 的 中 DD 1
点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为

x2 y 2 8、设 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右准线上存在 P, 使线段 PF1 的 a b
中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是 9、实数 x, y 满足 tan x ? x, tan y ? y ,且 x ? y ,则

sin( x ? y ) sin( x ? y) ? ? x? y x? y

10、已知 0 ? k ? 4, 直线 l1 : kx ? 2 y ? 2k ? 8 ? 0 和直线 l2 : 2x ? k 2 y ? 4k 2 ? 4 ? 0 与两坐标轴;围成一个 四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为
0 11、正三棱锥 P ? ABC 高为 2,侧棱与底面成 45 角,则点 A 到侧面 PBC 的距离是

???? ? ???? ? ??? ???? ? ??? ???? ? 12、已知 O 为坐标原点, OM ? ? ?1, 1? , NM ? ? ?5, 5? , 集合 A ? OR RN ? 2 , OP, OQ ? A

?

?

-1-

???? ???? ? ???? ???? ? 且 MP ? ? MQ ? ? ? R, 且? ? 0?,则 MP ? MQ ?
13、已知 f ? x ? 是以 2 为周期的偶函数,当 x ??0,1? 时, f ? x? ? x ,且在 ? ?1, 3? 内,关于 x 的方程

f ? x? ? kx ? k ?1? k ? R, k ? ?1? 有四个根,则 k 得取值范围是
14、已知点 p(a, b)与点Q (1,0)在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,则下列说法 (1) 2a ? 3b ? 1 ? 0 (2) a ? 0 时,

b 有最小值,无最大值 a

(3) ?M ? R? , 使 a 2 ? b 2 ? M 恒成立 (4) a ? 0且 a ? 1 , b ? 0时 , 则 其中正确的是

b 1 2 的取值范围为(- ?, ? ) ? ( , ? ?) a ?1 3 3
(把你认为所有正确的命题的序号都填上)

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 3π 15、已知向量 a=(3sinα,cosα),b=(2sinα, 5sinα-4cosα),α∈ ( , ),且 a⊥ b. 2π 2 (1)求 tanα 的值; ? π (2)求 cos( ? )的值. 2 3

16、如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 、 DB 的 1 中点. (1)求证: EF //平面 ABC1D1 ; (2)求证: EF ? B1C ;
D1

(3)求三棱锥 VB1 ?EFC 的体积.

C1 B1

A1 E

D F A B

C

-2-

? 17、将圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 按向量 a = (1, - 1) 平移得到圆 O ,直线 l 与圆 O 相交于 A 、 ???? ??? ??? ? ? ? ???? ? B 两点,若在圆 O 上存在点 C ,使 OC + OA + OB = 0, 且OC = l a. 求直线 l 的方程.

18、如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相等的两 部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥0),ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里?如果 DE 是参观线路, 则希望它最长,DE 的位置又应在哪里?请予证明

A x D B y C E

-3-

19、已知数列 {an } , {bn } 中, a1 ? t (t ? 0且t ? 1), a2 ? t 2 ,且 x ?

t 是函数

1 f ( x) ? (a n ?1 ? a n ) x 3 ? (a n ? a n ?1 ) x 的一个极值点. 3
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 若点 Pn 的坐标为(1, bn )( n ? N * ) ,过函数 g ( x) ? ln( ? x 2 ) 图像上的点 (an , g (an )) 的切线 1 始终与 OP 平行(O 为原点),求证:当 n
n

1 ? t ? 2, 且t ? 1 时,不等式 2

? 1 1 1 ? ? ... ? ? 2n ? 2 2 对任意 n ? N * 都成立. b1 b2 bn

20、已知 f ? x ? ? ax ? ln?? x ?, x ? (?e,0), g ( x) ? ? (1)讨论 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, | f ( x ) |? g ( x ) ?

ln( ? x) 其中 e 是自然常数, a ? R. x

1 . 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,如果存在,求出 a 的值;如果不存在,说明理由。

-4-

理科加试题
1、 在一次抗洪抢险中, 准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐.已知只有 5 发子弹备用, 且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射击命中率都是 (1) 求油罐被引爆的概率. (2) 如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ ,求ξ 的分布列及ξ 的数学期望
2 .,每次命中与否互相独立. 3

2、已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 直线l1 : y ? ?t 2 ? 8t (其中 ? t ? 2.t 为常数); l 2 : x ? 2 .若直线 0
l 1、 l 2 与函数 f(x)的图象以及 l 1,y 轴与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.

(1)求 a 、b、c 的值 (2)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S(t)的解析式;

3、选修 4-2:矩阵与变换 在直角坐标系中,已知△ABC 的顶点坐标为 A(0,0)、B(1,1)、C(0,2),求△ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形的面积 这里 M= ? ?

?0 1 ? ? 0 ? 1? ? N= ? ? ?1 0 ? ? ?1 0 ? ? ?

4、选修 4-4:坐标系与参数方程

? O1 和 ? O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? .
(1)把 ? O1 和 ? O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过 ? O1 , ? O2 交点的直线的直角坐标方程.

-5-

数学试卷参考答案
一、填空题 1、

3 5

2、40

3、② ④ )

4、-1

5、 ? 25

6、3

7、 2

8、 ?

? 3 ? , 1? ? ? 3 ?

9、1

10、

1 8

11、

6 5 5

12、46

13、 ? ? , 0 ?

? 1 ? 3

? ?

14、(3)(4) 二、解答题 15、解:(1)∵ b,∴ b=0.而 a=(3sinα,cosα),b=(2sinα, 5sinα-4cosα), a⊥ a· 2 故 a· b=6sin α+5sinαcosα-4cos2α=0.……………………………………2 分 由 于 cosα≠0 , ∴ 2α + 5tanα - 4 = 0 . 解 之 , 得 tanα = - 6tan

4 , 或 tanα = 3

1 .……………………………………………6 分 2 1 4 3π ∵ ( , ),tanα<0,故 tanα= (舍去).∴ α∈ tanα=- .…………7 分 2π 2 2 3 ? 3π 3π (2)∵ ( , ),∴ ? α∈ . 2π ( ,π) 2 2 4 4 ? 1 ? 由 tanα=- ,求得 tan ? ? , tan =2(舍去). 3 2 2 2 ? 5 ? 2 5
∴sin cos(
2 ? 5 , cos 2 ?? 5

,…………………………………………………………12 分

?
2

?

? π ? π π )= cos cos ? sin sin 2 3 2 3 3 2 5 1 5 3 2 5 ? 15 ? ? ? =? =? . ………………………14 分 5 2 5 2 10

16、证明:(1)连结 BD1 ,在 ?DD1 B 中, E 、 F 分别为 D1D , DB 的中点,则

? ? D1 B ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // 平面ABC1D1 EF ? 平面ABC1 D1 ? ? EF // D1 B
(2)

D1 A1 E B1

C1

? ? B1C ? BC1 ? ?? AB, B1C ? 平面ABC1D1 ? ? AB ? BC1 ? B ?
B1C ? 平面ABC1D1 ? ?? BD1 ? 平面ABC1 D1 ?
A

B1C ? AB

D F B

C

B1C ? BD1 ? ? ? EF ? B1C EF // BD1 ?
-6-

(3)?CF ? 平面BDD1B1

?CF ? 平面EFB1
? EF ?



C F? B F 2 ?

1 BD1 ? 3 , B1 F ? BF 2 ? BB12 ? ( 2)2 ? 22 ? 6 2

B1 E ? B1 D12 ? D1 E 2 ? 12 ? (2 2)2 ? 3
∴ EF 2 ? B1F 2 ? B1E 2 即 ?EFB1 ? 90?

1 1 1 ?VB1 ? EFC ? VC ? B1EF ? ? S ?B1EF ? CF = ? ? EF ? B1 F ? CF 3 3 2
=

1 1 ? ? 3? 6 ? 2 ?1 3 2

17、解:由已知圆的方程为 ( x + 1)2 + ( y - 1)2 = 2 ,
? 按 a = (1, - 1) 平移得到 ? O : x 2 + y 2 = 2 .
???? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ∵OC = - (OA + OB), ∴OC ?AB

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 ??? 2 ? ? - (OA + OB) ?(OB OA) = OA - OB = 0 .

即 OC ^

AB .

???? ? ? 又 OC = l a ,且 a = (1, - 1) ,∴kOC = - 1 .∴k AB = 1 .

设 l AB : x - y + m = 0 , AB 的中点为 D.

???? ???? ???? ???? ??? ??? ? ? ???? 由 OC = - (OA + OB) = - 2OD ,则 OC = 2 OD ,又 OC =
∴O 到 AB 的距离等于
2 . 2

???? 2, \ OD =

2 . 2



m 2

=

2 , 2

∴m =

1.

∴ 直线 l 的方程为: x - y - 1 = 0 或 x ? y ? 1 ? 0 .

18、(1)在△ADE 中,y2=x2+AE2-2x· cos60° y2=x2+AE2-x· AE· AE,① ? 又 S△ADE=

1 3 2 1 S△ABC= a = x· sin60° x· AE· ? AE=2.② 2 2 2

2 ② 代入① y2=x2+ ( ) -2(y>0), ∴ 得 y= x ?
2

2 x

4 ? 2 (1≤x≤2)。。。.6 分 x2

(2)如果 DE 是水管 y= x ?
2

4 ? 2 ≥ 2?2 ? 2 ? 2 , x2
-7-

4 ,即 x= 2 时“=”成立,故 DE∥ BC,且 DE= 2 . x2 4 如果 DE 是参观线路,记 f(x)=x2+ 2 ,可知 x
当且仅当 x2= 函数在[1, 2 ]上递减,在[ 2 ,2]上递增, 故 f(x)
max=f(1)=f(2)=5.

∴ max= 5 ? 2 ? 3 . y

即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时,DE 最长.。。。。。。。。。。。8 分

19、解:(1)由 f / ( t ) ? 0得(an?1 ? an ) ? t (an ? an?1 )(n ? 2)

?

a n?1 ? a n ? t ,?{a n?1 ? a n } 是首项为 t 2 ? t ,公比为 t 的等比数列 a n ? a n?1

当 t ? 1 时, an?1 ? an ? t n?1 ? t n , ? an ? t n (t ? 1) 所以 an ? t n (t ? 1) (2)由 bn ? g / (an ) 得: bn ?

2an 2t n 1 1 1 ? ,? ? (t n ? n ) 2 2n bn 2 1 ? an 1 ? t t

?

1 1 n 1 ? (2 ? n ) (作差证明) bn 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? [(2 ? 22 ? ... ? 2n ) ? ( ? 2 ? ... ? n )] b1 b2 bn 2 2 2 2
? 1 1 ? 2n ? (1 ? 2? n ) ? 2n ? ? 2 1 ? 2? n ? 2n ? 2 2 2 2 n

综上所述当

? 1 1 1 1 ? t ? 2 时,不等式 ? ? ... ? ? 2n ? 2 2 对任意 n ? N * 都成立. 2 b1 b2 bn

n

20.解.(1)? f ?x ? ? ? x ? ln?? x ?

1 x ?1 ?? x x ? e ? x ? ?1 时, f ' ?x? ? 0 ,此时 f ?x ? 为单调递减 ?当 当 ? 1 ? x ? 0 时, f ' ?x? ? 0 ,此时 f ?x ? 为单调递增 ? f ?x ? 的极小值为 f ?? 1? ? 1 (2)? f ?x ? 的极小值,即 f ?x ? 在 ?? e,0? 的最小值为 1 1 ln?? x ? 1 ? 令 h? x ? ? g ? x ? ? ? ? ? f ?x? min ? 1 2 x 2 f ' ?x ? ? ?1 ?
-8-

ln ?? x ? 1? 当 ? e ? x ? 0 时 h'? x ? ? 0 x2 h?x ? 在 ?? e,0? 上单调递减 1 1 1 1 ? h?x ?max ? h?? e ? ? ? ? ? ? 1 ? f ?x ? min e 2 2 2 1 ? 当 x ? ?? e,0? 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 2 (3)假设存在实数 a ,使 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 有最小值 3, x ? ?? e,0? 1 f ' ?x ? ? a ? x 1 1 ① a ? ? 时,由于 x ? ?? e,0? ,则 f ' ? x ? ? a ? ? 0 当 e x ? 函数 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 是 ?? e,0? 上的增函数 ? f ?x?min ? f ?? e? ? ?ae ? 1 ? 3 4 1 解得 a ? ? ? ? (舍去) e e 1 1 1 ② a ? ? 时,则当 ? e ? x ? 时, f ' ? x ? ? a ? ? 0 当 e a x 此时 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 是减函数 1 1 当 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? a ? ? 0 ,此时 f ?x ? ? ax ? ln?? x ? 是增函数 a x 1? 1? ? ? ? f ?x ?min ? f ? ? ? 1 ? ln? ? ? ? 3 ?a? ? a? 2 解得 a ? ?e

又? h' ? x ? ?

理科加试题 1、(1)“油罐被引爆”的事件为事件 A,其对立事件为 A ,则 P( A )=C 1 ? ?? ? ? ? ? 5
? 1 ? 2 ?? 1 ? 4 ? 1 ?5 ? 232 ∴P(A)=1- ?C5 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?? 3 ? ? 3 ? ? 243 ? ? ?
? 2 ?? 1 ? ? 3 ?? 3 ?
4

?1? ?3?

5

答:油罐被引爆的概率为

232 243

(2)射击次数ξ 的可能取值为 2,3,4,5, P(ξ =2)= ? ? ?
?2? ?3?
2

4 , 9
2

2 1 2 8 P(ξ =3)=C 1 . . . ? 2 3 3 3 27
3



P(ξ =4)=C 1 . .? ? 3

2 ?1? 2 4 1 ? 2 ?? 1 ? ? 1 ? ? , P(ξ =5)=C 1 .? ?? ? ? ? ? ? 4 3 ? 3 ? 3 27 3 ?? 3 ? ? 3 ? 9 ?

4

故ξ 的分布列为: P

ξ

2
4 9

3
8 27

4
4 27

5
1 9

Eξ =2×

4 1 79 8 4 +3× +4× +5× = 9 9 27 27 27
-9-

2、解:(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且 f(x)的最大值为 16

? ?c ? 0 ? ? ?a ? ?1 则 ?a ? 82 ? b ? 8 ? c ? 0 解之得:b ? 8 , ? 2 ?c ? 0 ? 4ac ? b ? ? 16, ? 4a ?
∴函数 f(x)的解析式为 f ( x) ? ? x 2 ? 8x (2)由 ?

? y ? ?t 2 ? 8t ? 得 x 2 ? 8x ? t (t ? 8) ? 0,? x1 ? t , x2 ? 8 ? t , 2 ? y ? ? x ? 8x ?

∵0≤t≤2,∴直线 l1 与 f(x)的图象的交点坐标为( t ,?t 2 ? 8t ) 由定积分的几何意义知:

S (t ) ? ? [(?t 2 ? 8t ) ? (? x 2 ? 8x)]dx ? ? [(? x 2 ? 8x) ? (?t 2 ? 8t ]dx
0 t

t

2

x3 x3 ? [(?t ? 8t ) x ? (? ? 4 x2 )] t0 ?[(? ? 4 x2 ) ? (?t 2 ? 8t ) ? x] 3 3
2

2

t

4 40 ? ? t 3 ? 10t 2 ? 16t ? 3 3

3、 在矩阵 N= ? 解: ?

? 0 ? 1? ?0 0 ? 的作用下, 一个图形变换为其绕原点逆时针旋转 90 得到的图形, 在矩阵 M= ? ? ?1 ?1 0 ? ?

1? ? 的作用下,一个图形变换为与之关于直线 y ? x 对称的图形。因此 0? ?
△ABC 在矩阵 MN 作用下变换所得到的图形与△ABC 全等,从而其面积等于△ABC 的面积,即为 1

4、解:以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (1) x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? . 所以 x ? y ? 4 x .
2 2

即 x ? y ? 4 x ? 0 为 ? O1 的直角坐标方程.
2 2

同理 x ? y ? 4 y ? 0 为 ? O2 的直角坐标方程.
2 2

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x1 ? 0,? x2 ? 2 ? (2)由 ? 2 解得 ? . ? 2 ?x ? y ? 4 y ? 0 ? y1 ? 0, y2 ? ?2 ? ?

0) ? 即 ? O1 , ? O2 交于点 (0, 和 (2, 2) .过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ? x .
- 10 -


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