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等差数列练习题有答案


数列 A、等差数列知识点及例题 一、数列
由 an 与 Sn 的关系求 an
由 Sn 求 an 时,要分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论,然后验证两种情况可否用统一的解析式表示,若 不能,则用分段函数的形式表示为 an ? ?

(n ? 1) ? S1 。 ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)

〖例〗根据下列条

件,确定数列 ?an ? 的通项公式。

分析: (1)可用构造等比数列法求解; (2)可转化后利用累乘法求解; (3)将无理问题有理化,而后利用 an 与 Sn 的关系求解。

解答: (1)

(2)

?? 故

累乘可得,

(3)

1

二、等差数列及其前 n 项和 (一)等差数列的判定 1、等差数列的判定通常有两种方法: 第 一 种 是 利 用 定 义 , an ? an?1 ? d (常数)(n ? 2) , 第 二 种 是 利 用 等 差 中 项 , 即

2an ? an?1 ? an?1 (n ? 2) 。
2、解选择题、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断。 (1)通项法:若数列{ an }的通项公式为 n 的一次函数,即 an =An+B,则{ an }是等差数 列; (2) 前 n 项和法: 若数列{ an }的前 n 项和 Sn 是 Sn ? An2 ? Bn 的形式 (A, B 是常数) , 则{ an }是等差数列。 注:若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。 〖例〗已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 S n ? S n ?1 ? 2S n ?S n ?1 ? 0(n ? 2), a1 ? (1)求证:{

1 2

1 }是等差数列; Sn

(2)求 an 的表达式。 分析:(1) Sn ? Sn?1 ? 2Sn ? Sn?1 ? 0 ?

1 1 与 的关系 ?结论; S n Sn ?1

2

(2)由

1 的关系式 ? Sn 的关系式 ? an Sn 1 1 1 1 1 +2=0,即 =2(n≥2).∴{ } Sn ?1 S n S n Sn ?1 Sn

解答: (1)等式两边同除以 Sn ?Sn ?1 得

是以

1 1 = =2 为首项,以 2 为公差的等差数列。 S1 a1
1 1 1 = + ( n-1 ) d=2+(n-1) × 2=2n, ∴ Sn = ,当 n≥2 时, 2n S n S1

(2)由(1)知

?1 ? 1 1 ?2 。又∵ a1 ? ,不适合上式,故 an ? ? an =2 Sn · Sn?1 = 1 2 2n(n ? 1) ? ? ? 2n(n ? 1)

(n ? 1)


(n ? 2)

【例】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1.其前 n 项和 Sn 满足 2Sn=2pa2 n+an-p(p∈R),则{an}的通
项公式为________.

∵a1=1,∴2a1=2pa2 1+a1-p,

即 2=2p+1-p,得 p=1.

于是 2Sn=2a2 n+an-1.
2 2 当 n≥2 时,有 2Sn-1=2a2 n-1+an-1-1,两式相减,得 2an=2an-2an-1+an-an-1,整理,得

1 2(an+an-1)· (an-an-1- )=0. 2 1 1 n+1 又∵an>0,∴an-an-1= ,于是{an}是等差数列,故 an=1+(n-1)· = . 2 2 2

(二)等差数列的基本运算 1 、 等 差 数 列 的 通 项 公 式 an = a1 + ( n-1 ) d 及 前 n 项 和 公 式

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d ,共涉及五个量 a1 , an ,d,n, Sn ,“知三求二”,体现 2 2
3

了用方程的思想解决问题; 2、数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列 的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。 注:因为

Sn d S d d ? n ? a1 ? ? a1 ? (n ? 1) ,故数列{ n }是等差数列。 n 2 2 2 n

〖例〗 已知数列{ xn }的首项 x1 =3, 通项 xn ? 2n p ? nq(n ? N ? , p, q为常数) , 且 x1 ,x4 ,

x5 成等差数列。求:
(1) p, q 的值; (2)数列{ xn }的前 n 项和 Sn 的公式。 分析:(1)由 x1 =3 与 x1 , x4 , x5 成等差数列列出方程组即可求出 p, q ;(2)通过 xn 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。 解答:(1)由 x1 =3 得 2 p ? q ? 3 ??????????????① 又

x4 ? 24 p ? 4q, x5 ? 25 p ? 5q, 且x1 ? x5 ? 2x4





3 ? 25 p ? 5q ? 25 p ? 8q ???????②
由①②联立得 p ? 1, q ? 1 。 (2)由(1)得 xn ? 2n? n ,

(三)等差数列的性质 1、等差数列的单调性: 等差数列公差为 d,若 d>0,则数列递增;若 d<0,则数列递减;若 d=0,则数列为常数列。 ★2、等差数列的简单性质: 已知数列{ an }是等差数列, Sn 是其前 n 项和。 (1)若 m+n=p+q,则 am ? an ? ap ? aq ,特别:若 m+n=2p,则 am ? an ? 2a p 。 (2) am , am?k , am?2k , am?3k ,?仍是等差数列,公差为 kd;
4

(3)数列 Sm , S2m - Sm , S3m - S2m ,L 也是等差数列; (4) Sn?1 ? (2n ? 1)an ; (5)若 n 为偶数,则 S偶 ? S


?

n d ;若 n 为奇数,则 S偶 ? S 奇 ? a中 ; (中间项) 2

(6)数列 {cg an }, {c + an }, {pan + qbn }也是等差数列,其中 c、p、q 均为常数,是

{bn }等差数列。
典型例题
1.等差数列 ?an ? 中, 若 S n ? 25, S 2n ? 100,则 S3n ? =_____225___; 2.(厦门)在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a8 ? 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 A.18 B 27 C 36 D 9 ( A )

3、 (全国卷Ⅰ理) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 24 4、等差数列{an} 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( C ) (A)130 (B)170 (C)210 (D)160 5.(湖北卷)已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7n ? 45 , ? Bn n?3

则使得 A.2

an 为整数的正整数 n 的个数是( D ) bn
B.3 C .4 D.5

6、在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项 an=________.

由 an+1=2an+3,则有 an+1+3=2(an+3), an+1+3 即 =2. an+3

所以数列{an+3}是以 a1+3 为首项、公比为 2 的等比数列,即 an+3=4· 2n 1=2n 1,所以
- +

an=2n 1-3.


1 7 、已知方程 (x2 - 2x + m)(x2 - 2x + n) = 0 的四个根组成一个首项为 的等差数列,则 |m - n| 的值等于 4

5

________.

如图所示,易知抛物线 y=x2-2x+m 与 y=x2-2x+n 有相同的对称轴 x=1,它们与 x

轴的四个交点依次为 A、B、C、D.

1 7 因为 xA= ,则 xD= . 4 4 3 5 又|AB|=|BC|=|CD|,所以 xB= ,xC= . 4 4 1 7 3 5 1 故|m-n|=| × - × |= . 4 4 4 4 2

8、在等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,则数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值为________.

设公差为 d,则 11(-3+4d)=5(-3+7d)-13, 5 ∴d= . 9

∴数列{an}为递增数列. 5 32 令 an≤0,∴-3+(n-1)· ≤0,∴n≤ , 9 5

∵n∈N*. 29 ∴前 6 项均为负值,∴Sn 的最小值为 S6=- . 3 6. 若两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,且满足 6 . 7. (北京卷) (16) (本小题共 13 分) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。

Sn 7n ? 3 ,则 a8 ? ? Tn n?3 b8

6

(Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ? ★等差数列的最值:

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

若 {an }是等差数列,求前 n 项和的最值时, (1)若 a1>0,d>0,且满足 ?

? an ? 0 ,前 n 项和 Sn 最大; ? an ?1 ? 0 ? an ? 0 ,前 n 项和 Sn 最小; ? an ?1 ? 0

(2)若 a1<0,d>0,且满足 ?

(3)除上面方法外,还可将 {an }的前 n 项和的最值问题看作 Sn 关于 n 的二次函数最 值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意 n ? N 。 〖例〗在等差数列 {an }中, a16 ? a17 ? a18 ? a9 ? ?36 ,其前 n 项和为 Sn 。 (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取最小值时 n 的值; (2)求 Tn ? a1 ? a2 ? ? an 。 分析: (1)可由已知条件,求出 a1,d,利用 ?
?

? an ? 0 求解,亦可用 Sn 利用二次函数求 ? an ?1 ? 0

7

最值; (2)将前面是负值的项转化为正值求解即可。 解答:(1)设等差数列 {an }的首项为 a1 ,公差为 d ,∵

a16 ? a17 ? a18 ? 3a17 ? ?36,? a17 ? ?12,? d ?

a17 ? a9 ? 3, 17 ? 9

?an ? 3n ? 63 ? 0 ?an ? a9 ? (n ? 9)? d ? 3n ? 63, an?1 ? 3n ? 60 ,令 ? , 得 : 20 ? n ? 21, a ? 3 n ? 60 ? 0 ? n?1
? S20 ? S21 ? 20 ? [?60 ? (?3)] ? ?630 ,∴当 n=20 或 21 时, Sn 最小且最小值为-630. 2

(2)由(1)知前 20 项小于零,第 21 项等于 0,以后各项均为正数。 ∴ 当n ? 21时,Tn ? ? Sn ? ?

n(?60 ? 3n ? 63) 3 123 ? ? n2 ? n. 2 2 2

当n ? 21时,Tn ? S n ? 2S 21 ?

n(?60 ? 3n ? 63) 3 123 ? 2S 21 ? n 2 ? n ? 1260. 2 2 2 (n ? 21) . (n ? 21)

? 3 2 123 ? n ? n ? ? 2 2 综上,Tn ? ? ? 3 n 2 ? 123 n ? 1260 ? ?2 2
〖例〗已知数列 {an }是等差数列。

(1)若 am ? n, an ? m(m ? n), 求am?n ; (2)若 Sm ? n, Sn ? m(m ? n), 求Sm?n . 解答:设首项为 a1 ,公差为 d , (1)由 am ? n, an ? m , d ?

n?m ? ?1 m?n

∴ am?n ? am ? (m ? n ? m)d ? n ? n ? (?1) ? 0.

n(n ? 1) ? n 2 ? m 2 ? mn ? m ? n ? m ? na1 ? d a ? ? ? ? ? 1 2 mn , 解得 ? . (2)由已知可得 ? m ( m ? 1) ? 2( m ? n ) ?n ? ma ? ?d ? d 1 ? ? ? 2 mn ?
? Sm ? n ? (m ? n)a1 ? (m ? n)(m ? n ? 1) d ? ?( m ? n) 2

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【例】已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N*,满足关系式
2Sn=3an-3.

(1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设数列{bn}的通项公式是 bn= ,前 n 项和为 Tn,求证:对于任意的正 log3an· log3an+1 整数 n,总有 Tn<1. (1)解 ①当 n=1 时,由 2Sn=3an-3 得,2a1=3a1-3, ∴a1=3. ②当 n≥2 时,由 2Sn=3an-3 得, 2Sn-1=3an-1-3. 两式相减得:2(Sn-Sn-1)=3an-3an-1,即 2an=3an-3an-1, ∴an=3an-1,又∵a1=3≠0,∴{an}是等比数列,∴an=3n. 验证:当 n=1 时,a1=3 也适合 an=3n. ∴{an}的通项公式为 an=3n. 1 1 (2)证明 ∵bn= = + n log3an· log3an+1 log33 · log33n 1 1 1 1 = = - , (n+1)n n n+1 ∴Tn=b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 =(1- )+( - )+?+( - ) 2 2 3 n n+1 1 =1- <1. n+1

B、等比数列知识点及练习题
等比数列及其前 n 项和 (一)等比数列的判定 判定方法有: (1)定义法:若

an?1 a ? q(q为非零常数)或 n ? q(q为非零常数且n ? 2) ,则 ?an ? an an?1

是等比数列; (2)中项公式法:若数列 ?an ? 中, an ? 0且a2n?1 ? an ? an?2 (n ? N ? ) ,则数列 ?an ? 是 等比数列; (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an ? cqn (c, q均为不为0的常数,n ? N ? ) ,

9

则数列 ?an ? 是等比数列; ( 4 ) 前 n 项 和 公 式 法 : 若 数 列

?an ?

的 前

n

项 和

Sn ? ? k n q?( 为常数且 k k

? 0 ,k

,则数列 ? 0q, 1 ? )an ? 是等比数列;

注:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空中 的判定;(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等比数 列即可。 〖例〗在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N ? 。 (1) 证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (2) 求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (3) 证明不等式 Sn?1 ? 4Sn 对任意 n ? N 皆成立。 解答: (1) 由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1, 得 an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n), n ? N ? 。 又 a1 ? 1 ?1 , 所以数列 ?an ? n? 是首项为 1,且公比为 4 的等比数列。 (2)由(1)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n 。所以数列
?

?an ? 的前 n 项和 Sn ?

4n ?1 ? 1 n(n ? 1) ? 。 3 2
?

(3)对任意的 n ? N ,

4n?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) 4n ? 1 n(n ? 1) 1 Sn?1 ? 4Sn ? ? ? 4[ ? ] ? ? (3n2 ? n ? 4) ? 0 ,所 3 2 3 2 2
以不等式 Sn?1 ? 4Sn 对任意 n ? N 皆成立。 (二)等比数列的的运算 等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量 a1 , n , q , an ,
?

Sn ,显然,“知三求二”,通常列方程(组)求解问题。解决此类问题的关键是熟练掌握
等比数列的有关公式,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。 注:在使用等比数列的前 n 项和公式时,应根据公比 q 的情况进行分类讨论,切不可 忽视 q 的取值而盲目用求和公式。
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〖例〗 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 bn =2-2 Sn ;数列 ?an ? 为等差数列,且

a6 ? 14, a7 ? 20 。
(1) 求数列 ?bn ? 的通项公式; (2) 若 cn ? an ? bn (n ? N ? ) ,Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证:Tn ?

7 。 【放缩法】 2 2 解 答 : ( 1 ) 由 bn =2-2 Sn , 得 b1 ? 2 ? 2S1 , 又 S1 = b1 , 所 以 b1 = ,由 3

bn =2-2 Sn ????????①
得 bn?1 ? 2 ? 2Sn?1 ????????????????????② ,∴ ?bn ? 是以

②-①得 bn?1 ? bn ? ?2bn?1 ,∴

2 为首项,以 3

1 2 1 n 为公比的等比数列,所以 bn = · ( ) 。 3 3 3 a7 ? a5 ? 3, (2) ∵ ?an ? 为等差数列, ∴d ? ∴ 7?5
从而

( ) 2 ? 8? ( )3 ? ? ? (3n ? 1)? ( ) n ] ????????????③ ∴ Tn ? 2[2? ? 5? ( ) 2 ? 5? ( )3 ? 8? ( ) 4 ? ? ? (3n ? 4)( ) n ? (3n ? 1)( ) n ?1 ] ???????④ ∴ Tn ? 2[2?
③-④得

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

=




11

(三)等比数列性质的应用 ★在等比数列中常用的性质主要有: (1)对于任意的正整数 特别地,若 (2)对于任意正整数 有 若 ; ; ,则

(3)若数列 ?an ? 是等比数列,则 ?can (c ? 0)? , an

1 ? ??a ? , ? a ? 也是等比数列,若
2 n

? ?

? ?

n

?bn ? 是等比数列,则 ?an ?bn? 也是等比数列;
(4)数列 (5)数列 ★(6)等比数列的单调性 仍成等比数列; 是等比数列(q≠-1);

注:等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同。 1. (全国卷 2 理数) (4) .如果等差数列 ?an ? 中,a3 ? a4 ? a5 ? 12 , 那么 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? (A)14 (B)21 (C)28 (D)35

【考查点】考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】 a3 ? a4 ? a5 ? 3a4 ? 12, a4 ? 4,? a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

7(a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

2.(辽宁理数) (6) 设{an}是有正数组成的等比数列, n 为其前 n 项和。 已知 a2a4=1, 则

S

S3 ? 7 ,

S5 ?
31 (B) 4 33 (C) 4 17 (D) 2
12

15 (A) 2

【考查点】等比数列的通项公式与前 n 项和公式。

【解析】由 a2a4=1 可得

a q ? 1 ,因此
2 1 4

a1 ?

1 2 q 2 ,又因为 S3 ? a1 (1 ? q ? q ) ? 7 ,联力两式

S5 ? 1 1 1 ( ? 3)( ? 2) ? 0 q 有 q ,所以 q= 2 ,所以

4 ? (1 ?

1 ) 25 ? 31 1 4 1? 2 ,

3. (辽宁卷) ( 14 )设 Sn 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3,S6 ? 24 ,则 a9 ? 15 。

解:

3? 2 ? S3 ? 3a1 ? d ?3 ? ?a ? ?1 ? 2 ,解得 ? 1 ,? a9 ? a1 ? 8d ? 15. ? ?d ? 2 ? S ? 6a ? 6 ? 5 d ? 24 6 1 ? 2 ?

4. ( 天 津 卷 ) ( 15 ) 设 {an} 是 等 比 数 列 , 公 比 q ?

2 , Sn 为 {an} 的 前 n 项 和 。 记

Tn ?

17 Sn ? S2 n , n ? N *. T T n an?1 设 n0 为数列{ n }的最大项,则 0 =



【解析】 本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用, 属于中等 题。

17a1[1 ? ( 2)n ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ( 2) 2 n ? 17( 2) n ? 16 1 ? 2 1 ? 2 Tn ? ? ? a1 ( 2)n 1? 2 ( 2) n
? 1 16 16 ? [( 2)n ? ? 17] ( 2)n ? n 1? 2 ( 2) ( 2)n ≧8,当且仅当 ( 2)n =4,即 n=4 时取 因为

等号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 5. (上海卷)已知数列 (1)证明: (2)求数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N *

?an ?1? 是等比数列;

?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .

5 an ? 1 ? (an?1 ? 1) 6 解析:(1) 当 n?1 时,a1??14;当 n≥2 时,an?Sn?Sn?1??5an?5an?1?1,所以 ,

又 a1?1??15≠0,所以数列{an?1}是等比数列;

13

?5? an ? 1 ? ?15 ? ? ? ?6? (2) 由(1)知: ?5? ? ? 由 Sn?1>Sn,得 ? 6 ?
n ?1

n ?1

?5? an ? 1 ? 1 5 ?? ? ?6? , 得

n ?1

?5? Sn ? 75 ? ? ? ?6? , 从而

n ?1

? n ? 90

(n?N*);

?

2 2 n ? log 5 ? 1 ? 14.9 25 5, 6 ,最小正整数 n?15.

【其他考点题】
1、设{an} (n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5 ? S6 , S6 ? S7 ? S8 ,则下列
*

结论错误的是(C) A.d<0 C.S9>S5 B.a7=0 D.S6 与

S7 均为 Sn 的最大值

解析:由 S5<S6 得 a1+a2+a3+?+a5<a1+a2+?+a5+a6,∴a6>0,又 S6=S7,∴a1+a2+?+a6=a1+a2+? +a6+a7,∴a7=0,由 S7>S8,得 a8<0,而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0 ?2(a7+a8)>0,由题 设 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的。

2、 lim

1? 2 ? 3 ??? n =(C) n?? n2 1 (A) 2 (B) 4 (C) 2

(D)0
a c ? 的 x y

3、已知 a、b、c 成等比数列,a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列,且 xy≠0,那么 值为(B ) 。 (A)1 (B)2 4、已知等差数列

(C)3

(D)4

?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? 2n ? q( p, q ? R), n ? N
an ? 2log2 bn ,求数列的{b }前 n 项和。
n

(Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)若 a1 与 a5 的等差中项为 18,bn 满足 (Ⅰ)解法一:当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时,

a1 ? S1 ? p ? 2 ? q ,

an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? 2n ? q ? p(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? q ? 2 pn ? p ? 2 .
? p ? 2 ? q ? 2 p ? p ? 2 , ?q ? 0· · · · · · · · · · · ·4 分

??an ?

是等差数列,

解法二:当 n ? 1 时,

a1 ? S1 ? p ? 2 ? q ,

14

当 n ? 2 时, 当 n ? 3 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? pn2 ? 2n ? q ? p(n ?1)2 ? 2(n ?1) ? q ? 2 pm ? p ? 2 .
a1 ? an?1 ? 2 pn ? p ? 2 ? [2 p(n ?1) ? p ? 2] ? 2 p .

a2 ? p ? 2 ? q ? 2 p ? 3 p ? 2 ? q .


a2 ? 2 p ? 2 ? p ? 2 ? 3 p ? 2 ,

所以 3 p ? 2 ? q ? 3 p ? 2 ,得 q ? 0 .· · · · · · · · · · · ·4 分

(Ⅱ)解: 又 又

? a3 ?

a1 ? a5 2 ,? a3 ? 18 .

a3 ? 6 p ? p ? 2 , ? 6 p ? p ? 2 ? 18 , ? p ? 4
an ? 2log2 b n 得 bn ? 24n?3 .

?an ? 8n ? 6 · · · · · · · · · · · ·8 分

bn?1 24( n?1)?1 ? 4n?3 ? 24 ? 16 ?b ? ?b1 ? 2 , bn 2 ,即 n 是等比数列。

所以数列

?bn ? 的前 n 项和

Tn ?

2(1 ? 16n ) 2 ? (16n ? 1) 1 ? 16 15 .

15


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