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职高数学概念公式(最全)


职高数学概念与公式
预备知识: (必会)
1. 相反数、绝对值、分数的运算 2. 因式分解 (1)

? 十字相乘法 如: 3x 2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)(x ? 2)
如: x ? x ? 1 ? ( x ?
2
2

(2) 两根法

1? 5 1?

5 )(x ? ) 2 2
1 4
2

3.

? 配方法

如: 2 x ? x ? 3 ? 2( x ? ) ?

25 8

4. 分数(分式)的运算 5. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法 (1) 代入法 (2) 消元法 6.完全平方和(差)公式: a ? 2ab ? b ? (a ? b)
2 2 2

a 2 ? 2ab ? b 2 ? (a ? b) 2

7.平方差公式: a ? b ? (a ? b)(a ? b)
2 2

8.立方和(差)公式: a ? b ? (a ? b)(a ? ab ? b )
3 3 2 2

a 3 ? b3 ? (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )
9. ? 注:所有的公式中凡含有“ ? ”的,注意把公式反过来运用。

第一章

集合

1. 构成集合的元素必须满足三要素:确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法:列举法、描述法、图像法(文氏图) 。 注: ? 描述法 ? | ? ?, ? ?} ;另重点类型如: y | y ? x ? 3x ? 1, x ? (?1,3] { x x ? x ?? ?? ? { }
2

元素

元素性质 取值范围
*
?

3. 常用数集: N (自然数集) Z (整数集) Q (有理数集) R (实数集) N (正整数集) Z (正 、 、 、 、 、 整数集) 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系: (1) 元素与集合是“ ? ”与“ ? ”的关系。 (2) 集合与集合是“ ? ” “ ” ? ” ? ”的关系。 “ “ ? 注: (1)空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集。 (做题时多考虑 ? 是否满足题意) (2)一个集合含有 n 个元素,则它的子集有 2 个,真子集有 2 ? 1 个,非空真子集有 2 ? 2 个。
n n
n

5. 集合的基本运算(用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法) (1) A ? B ? {x | x ? A且x ? B} : A 与 B 的公共元素(相同元素)组成的集合
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(2) A ? B ? {x | x ? A或x ? B} : A 与 B 的所有元素组成的集合(相同元素只写一次) 。 (3) CU A : U 中元素去掉 A 中元素剩下的元素组成的集合。 注: CU ( A ? B) ? CU A ? CU B

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B

6. 会用文氏图表示相应的集合,会将相应的集合画在文氏图上。 7. 命题:能判断真假的语句。 8. 逻辑联结词: 且( ? ) 、或( ? )非( ? )如果??那么??( ? ) 量词:存在( ? ) 任意( ? ) 真值表: p ? q :其中一个为假则为假,全部为真才为真; p ? q :其中一个为真则为真,全部为假才为假; ? p :与 p 的真假相反。 (同为真时“且”为真,同为假时“或”为假,真的“非”为假,假的“非”为真;真“推”假为假,假“推” 真假均为真。 ) 9. 命题的非 (1)是 ?不是 都是 ?不都是(至少有一个不是) (2) ? ??,使得 p 成立 ?对于 ? ??,都有 ? p 成立。 对于 ? ??,都有 p 成立 ? ? ??,使得 ? p 成立 (3) ?( p ? q) ? ?p ? ?q 10. 充分必要条件

?( p ? q) ? ?p ? ?q

? p 是 q 的??条件

p 是条件, q 是结论

充分 ??? p ???? q 不必要 不充分 ??? p ???? q 必要 充分 ??? p ??? q 必要 不充分 ??? p ??? q 不必要

?

p是q的充分不必要条件(充分条件)

?

p是q的必要不充分条件(必要条件)

?

p是q的 充 分 必 要 条 件 (充要条件)

?

p是q的 既 不 充 分 也 不 必 件 条 要
条件是 q 。 q 是条件, p 是结论) (

注:另外一种情况, p 的

第二章

不等式
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1. 不等式的基本性质: (略) 注: 1)比较两个实数的大小一般用比较差的方法;另外还可以用平方法、倒数法如: (

2010 ? 2009 2009 ? 2008(倒数法)等。 与
(2)不等式两边同时乘以负数要变号! ! (3)同向的不等式可以相加(不能相减) ,同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式: ? 均值定理) (
2 2 (1) a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。

(2) a ? b ? 2 ab(a, b ? R ? ) ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。 (3) a ? b ? c ? 3 abc(a, b, c ? R ? ) ,当且仅当 a ? b ? c 时,等号成立。 注:

a?b (算术平均数) ? ab (几何平均数) 2

3. 一元一次不等式的解法(略) 4. 一元二次不等式的解法 (1) 保证二次项系数为正 (2) 分解因式(十字相乘法、提取公因式、求根公式法) ,目的是求根: (3) 定解: (口诀)大于两根之外,大于大的,小于小的; 小于两根之间 注:若 ? ? 0或? ? 0 ,用配方的方法确定不等式的解集。 5. 绝对值不等式的解法 若 a ? 0 ,则 ?

? | x |? a ? ?a ? x ? a ?| x |? a ? x ? a或x ? ?a

6. 分式不等式的解法:与二次不等式的解法相同。注:分母不能为 0. 7. 多因式不等式的解法:穿根法。 标根后,从右上角开始划线, “奇次一穿而过,偶次穿而不过”

第三章
1. 映射

函数

一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的任何一个元素,在集合 B 中都 有惟一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射,记作: f : A ? B 。 注:理解原象与象及其应用。 (1) A 中每一个元素必有惟一的象; (2)对于 A 中的不同的元素,在 B 中可以有相同的象; (3)允许 B 中元素没有原象。 2. 函数 (1) 定义:函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。 (2) 函数的表示方法:列表法、图像法、解析式法。 注:在解函数题时可以画出图像,运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。
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3. 函数的三要素:定义域、值域、对应法则 (1) ? 定义域的求法:使函数(的解析式)有意义的 x 的取值范围 主要依据: ① 分母不能为 0 ② 偶次根式的被开方式 ? 0 ③ 特殊函数定义域

y ? x0 , x ? 0 y ? a x , (a ? 0且a ? 1), x ? R y ? loga x, (a ? 0且a ? 1), x ? 0
y ? tan x, x ? k? ?
(2)

?
2

, (k ? Z )

? 值域的求法: y 的取值范围

① 正比例函数: y ? kx 和 一次函数: y ? kx ? b 的值域为 R ② 二次函数: y ? ax ? bx ? c 的值域求法:配方法。如果 x 的取值范围不是 R 则还需画图像
2

1 的值域为 { y | y ? 0} x ax ? b a ④ y? 的值域为 { y | y ? } cx ? d c mx ? n ⑤ y? 的值域求法:判别式法 2 ax ? bx ? c
③ 反比例函数: y ? ⑥ 另求值域的方法:换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。 (3) 解析式求法: 在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。 4. 函数图像的变换 (1) 平移

y ? f ( x)

向右平移 ? y ? f ( x ? a) a个单位 向上平移 ? y ? f ( x) ? a a个单位

y ? f ( x)

向左平移 ? y ? f ( x ? a) a个单位 向下平移 ? y ? f ( x) ? a a个单位

y ? f ( x)

y ? f ( x)

(2) 翻折

y ? f ( x)

沿x轴 ? y ? ? f ( x) 上、下对折

y ? f ( x)

保留x轴 上 方 图 像 ? y ?| f ( x) | 下方翻折到上方

y ? f ( x)

保留y轴右边图像 ? y ? f (| x |) 右边翻折到左边
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5. 函数的奇偶性 (1) 定义域关于原点对称 (2) 若 f (? x) ? ? f ( x) ?奇 若 f ( ? x) ? f ( x) ? 偶

注:①若奇函数在 x ? 0 处有意义,则 f (0) ? 0 ②常值函数 f ( x) ? a ( a ? 0 )为偶函数 ③ f ( x) ? 0 既是奇函数又是偶函数 6.

? 函数的单调性

对于 ?x1、x2 ? [a, b] 且 x1 ? x 2 ,若

? f ( x1 ) ? f ( x2 ), 称f ( x)在[a, b]上为增函数 ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ), 称f ( x)在[a, b]上为减函数
增函数: x 值越大,函数值越大; x 值越小,函数值越小。 减函数: x 值越大,函数值反而越小; x 值越小,函数值反而越大。 复合函数的单调性: h( x) ? f ( g ( x))

f (x) 与 g (x) 同增或同减时复合函数 h(x) 为增函数; f (x) 与 g (x) 相异时(一增一减)复合函数 h(x) 为减
函数。 注:奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。 7. 二次函数 (1)二次函数的三种解析式
2 ①一般式: f ( x) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 )

② ? 顶点式: f ( x) ? a( x ? k ) ? h
2

(a ? 0) ,其中 ( k , h) 为顶点 (a ? 0) ,其中 x1、x2 是 f ( x) ? 0 的两根

③两根式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 )

(2)图像与性质 ? 二次函数的图像是一条抛物线,有如下特征与性质: a ? 0 ? 开口向上 a ? 0 ? 开口向下 ① 开口 ② ? 对称轴: x ? ? ③ ? 顶点坐标: (?

b 2a

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

?? ? 0 ? 有两交点 ? ④ ? 与 x 轴的交点: ? ? ? 0 ? 有1交点 ? ? ? 0 ? 无交点 ?
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⑤ 一元二次方程根与系数的关系: (韦达定理)

b ? ? x1 ? x 2 ? ? a ?? c ? x1 ? x 2 ? a ?


f ( x) ? ax2 ? bx ? c 为偶函数的充要条件为 b ? 0

⑦ 二次函数(二次函数恒大(小)于 0)

?a ? 0 f (x) ? 0 ? ? ? 图像位于x轴上方 ?? ? 0 ?a ? 0 f ( x) ? 0 ? ? ? 图像位于x轴下方 ?? ? 0
⑧ 若二次函数对任意 x 都有 f (t ? x) ? f (t ? x) ,则其对称轴是 x ? t 。 ⑨ 若二次函数 f ( x) ? 0 的两根 x1、x2 ⅰ. 若两根 x1、x2 一正一负 则?

? ??0 ? x1 x 2 ? 0

ⅱ. 若两根 x1、x2 同正(同负)

? ??0 ? 若同正,则? x1 ? x 2 ? 0 ? x x ?0 ? 1 2

? ??0 ? 若同负,则? x1 ? x 2 ? 0 ? x x ?0 ? 1 2

ⅲ.若两根 x1、x2 位于 ( a, b) 内,则利用画图像的办法。

? ??0 ? 若a ? 0, 则 ? f ( a ) ? 0 ? f (b ) ? 0 ?

? ??0 ? 若a ? 0, 则 ? f ( a ) ? 0 ? f (b ) ? 0 ?

注:若二次函数 f ( x) ? 0 的两根 x1、x2 ; x1 位于 ( a, b) 内, x2 位于 (c, d ) 内,同样利用画图像的办法。 8. 反函数 (1)函数 y ? f (x) 有反函数的条件

x与y 是一一对应的关系
(2)求 y ? f (x) 的反函数的一般步骤:
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①确定原函数的值域,也就是反函数的定义域 ②由原函数的解析式,求出 x ? ? ③将 x, y 对换得到反函数的解析式,并注明其定义域。 (3) ? 原函数与反函数之间的关系 ① 原函数的定义域是反函数的值域 原函数的值域是反函数的定义域 ② 二者的图像关于直线 y ? x 对称 ③ 原函数过点 ( a, b) ,则反函数必过点 (b, a ) ④ 原函数与反函数的单调性一致

第四章
1. 指数幂的性质与运算 (1)根式的性质: ① n 为任意正整数, (n a) n ? a

指数函数与对数函数

②当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时, n a n ?| a | ③零的任何正整数次方根为零;负数没有偶次方根。 (2) 零次幂: a ? 1
0

( a ? 0)

(3) 负数指数幂:

a ?n ?

1 an

(a ? 0, n ? N * )

(4) 分数指数幂:

a

m n

? n am

(a ? 0, m, n ? N ?且n ? 1)

(5) 实数指数幂的运算法则: (a ? 0, m, n ? R) ①a ?a ? a
m n m? n

② (a ) ? a
m n

mn

③ (a ? b) ? a ? b
n n

n

2. 幂运算时,注意将小数指数、根式都统一化为分数指数;一般将每个数都化为最小的一个数的 n 次方。 3. ? 幂函数 y ? x a ?

?当a ? 0时,y ? x a 在(0, ?)上单调递增 ? a ? ?当a ? 0时,y ? x 在(0, ?)上单调递减
(a ? 0且a ? 1)


4. 指数与对数的互化

a b ? N ? loga N ? b
5. 对数基本性质: ① loga a ? 1

( N ? 0)

② loga 1 ? 0

③a

loga N

?N

④ loga a N ? N

? ⑤ loga b与logb a互为倒数 ? loga b ? logb a ? 1 ? loga b ?

1 logb a
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? ⑥ log a m b n ?

n log a b m log a M ? log M ?log N a a N

6. 对数的基本运算:

? loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
7. 8. 定 义

? 换底公式: loga N ?

logb N logb a

(b ? 0且b ? 1)

? 指数函数、对数函数的图像和性质
指数函数 对数函数

y ? a x (a ? 0, a ? 1 的常数)

y ? loga x(a ? 0, a ? 1 的常数)

图 像

(1) x ? R, y ? 0 性 质 (3) ? (2) ? 图像经过 (0,1) 点

(1) x ? R, y ? 0 (2) ? 图像经过 (1,0) 点 (3) ?

a ? 1, y ? a x为增函数; 0 ? a ? 1, y ? a x为减函数

a ? 1, y ? loga x在(0,??)上为增函数; 0 ? a ? 1, y ? loga x在(0,??)上为减函数

9.

? 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小,将其变为同底、同幂(次)或用换底

公式或是利用中间值 0,1 来过渡。 10. 指数方程和对数方程 (1) 指数式和对数式互化 (2) 同底法 (3) 换元法 (4) 取对数法 (5) ? 超越方程(作图法) 注: ? 解完方程要记得验证根是否是增根,是否失根。

第五章
等差数列 每一项与前一项之差为同一个常数

数列
等比数列 每一项与前一项之比为同一个常数

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定 义 通项 公式 推 论

a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? d
注:当公差 d ? 0 时,数列为常数列

a a 2 a3 ? ? ? ? n ? q (q ? 0) a1 a2 an?1
注:等比数列各项及公比均不能为 0; 当公比为 1 时,数列为常数列

an ? a1 ? (n ? 1)d
(1) d ?

an ? a1q n?1
(1) q n ? m ?

an ? am n?m

an am

(2) an ? am ? (n ? m)d

(2) an ? am q n?m

?(3) m ? n ? p ? q , am ? an ? a p ? aq 若 则
中项 三个数 a、b、c 成等差数列,则有 a?c 公式

? (3)若 m ? n ? p ? q ,则 am an ? a p aq
三个数 a、b、c 成等比数列,则有

2b ? a ? c ? b ?

2

b 2 ? ac

前n 项和 公式 其 它

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

Sn ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ( q ? 1) ? 1? q 1? q

S 2n?1 ? (2n ? 1)an 如: S 7 ? 7a4
? 等差数列的连续 n 项之和仍成等差数列
1. 已知前 n 项和 S n 的解析式,求通项 an

? 等比数列的连续 n 项之和仍成等比数列

( n ? 1) ? S1 an ? ? ?S n ? S n ?1 ( n ? 2)
2.

? 弄懂等差、等比数通项公式和前 n 项和公式的证明方法。 (见教材)

第六章

三角函数

1. 理解正角、负角、零角的定义,并能表示终边相同的角。 2. 弧度和角度的互换

180o ? ? 弧度
1o ?

?
180

弧度 ? 0.01745 弧度

180 o 1 弧度 ? ( ) ? 57 o18'

?

3. 扇形弧长公式和面积公式

? L扇 ?| ? | ?r ? S扇 ?

1 1 Lr ? | ? | ?r 2 2 2

(记忆法:与 S ?ABC ?

1 ah 类似) 2
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注:如果是角度制的可转化为弧度制来计算。 重要例题:3+X 书 P106 例 4. 4. 任意三角函数的定义:

sin ? ?

对边 倒数 1 ?? ? csc ? ? ? sin ? 斜边
1 邻边 倒数 ?? ? sec ? ? ? cos ? 斜边 1 对边 倒数 ?? ? cot ? ? ? tan ? 邻边

记忆法:S、C 互为倒数

cos? ?

记忆法:C、S 互为倒数

tan? ?

5. 特殊三角函数值

?
sin ?

0 ? 00

?
6

? 30 0

?
4

? 45 0

?
3

? 60 0

?
2

? 90 0

一象限

0 2 4 2
0

1 2 3 2

2 2 2 2
1

3 2 1 2

4 2 0 2
不存在

?

cos?

?

tan ?

3 3

3

?

6. 三角函数的符号判定 (1) 口诀:一全二正弦,三切四余弦。 (三角函数中为正的,其余的为负) (2) 图像记忆法 7. ? 三角函数基本公式

tan ? ?

sin ? 1 ? cos ? cot ?

(可用于化简、证明等) (1.可用于已知 sin ? 求 cos? ;或者反过来运用。 2.注意 1 的运用) (可用于已知 cos? (或 sin ? )求 tan ? 或者反过来运用)

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 1 ? tan2 ? ? sec 2 ?

8. 诱导公式 (1) 口诀:奇变偶不变,符号看象限。 解释:指 k ?

?
2

? ? (k ? Z ) ,若 k 为奇数,则函数名要改变,若 k 为偶数函数名不变。

(2) 分类记忆 ① 去掉偶数倍 ? (即 2k? )

? ? ? ② 将剩下的写成 ?(一象限)、 ? ?(二象限)、 ? ?(三象限)、?(四象限) 再看象限定正
负号(函数名称不变) ;或写成

?

- ?(一象限)、 ? ?(二象限),再看象限定正负号(要变函数名 2 2
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?

称) ③ ? 要特别注意以上公式中互余、互补公式及运用;做题时首先观察两角之间是否是互余或互补的关系。 9. 已知三角函数值求角 ? (1) 确定角 ? 所在的象限 (2) 求出函数值的绝对值对应的锐角 ? ' (3) 写出满足条件的 0 ~ 2? 的角 (4) 加上周期(同终边的角的集合) 10. ? 和角、倍角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

注意正负号相同 注意正负号相反

tan( ? ? ) ? ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

?

tan? ? tan ? ? tan( ? ? )(1 ? t a n t a n ) ? ? ?
特别注意当 ? ? ? ?

?
4

时的运用

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? cos3? ? 4 cos3 ? ? 3 cos?
注:半角公式可由倍角公式推得。 另重点类型:

tan

?
2

?

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ?? sin ? 1 ? cos? 1 ? cos?

重要例题: 3 ? X 书 P119 ? P121 例 1~例 3. 11. 三角函数的图像与性质 性质 函数 图像 定义域 值域 同期 奇偶 性 单调性

y ? sin x

x?R

[?1,1]

T ? 2?



]? 2 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ] ? 2 2 2

[2k? ?

?

,2k? ?

?

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y ? cos x

[2k? ? ? ,2k? ] ?
x?R

[?1,1]

T ? 2?



[2k? ,2k? ? ? ] ?

y ? tan x

x ? k? ? k ?Z

?
2
R

T ??



(k? ?

?
2

, k? ?

?
2

)?

12. 正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) (1)定义域 R ,值域 [? A, A] (2)周期: T ?

( A ? 0, ? ? 0)

2?

?

(3)注意平移的问题:一要注意函数名称是否相同,二要注意将 x 的系数提出来,再看是怎样平移的。 (4) y ? a sin x ? b cos x 类型

y ? a sin x ? b cos x

? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
13. 正弦定理

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

( R 为 ?ABC 的外接圆半径)

其他形式: b ? 2 R sin B (1) a ? 2 R sin A (2) a : b : c ? sin A : sin B : sin C 14. 余弦定理

c ? 2 R s i n (注意理解记忆,可只记一个) C

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
15. 三角形面积公式

?

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 2bc

(注意理解记忆,可只记一个)

S ?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

(注意理解记忆,可只记一个)

另海伦公式: ?ABC 中,三边长分别为 a, b, c 则 S ?ABC ?

P(P ? a)(P ? b)(P ? c) (其中 P 为 ?ABC 的半

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周长, P ?

a?b?c ) 2
0

16. 三角函数的应用中,注意同次、同角、同边的原则,以及三角形本身边、角的关系。如两边之各大于第 三边、三内角和为 180 ,第一个内角都在 (0, ? ) 之间等。

第七章
1. 向量的概念 (1) 定义:既有大小又有方向的量。

平面向量

(2) 向量的表示:书写时一定要加箭头!另起点为 A,终点为 B 的向量表示为 AB 。 (3) 向量的模(长度) | AB | 或| a | : (4) 零向量:长度为 0,方向任意。 单位向量:长度为 1 的向量。 向量相等:大小相等,方向相同的两个向量。 反(负)向量:大小相等,方向相反的两个向量。 2. 向量的运算 (1) 图形法则

三角形法则 (2)计算法则 加法: AB ? BC ? AC 减法: AB ? AC ? CA

平形四边形法则

(3)运算律:加法交换律、结合律 3. 数乘向量: ? a (1)模为: | ? || a | 4. 5.

注:乘法(内积)不具有结合律 (2)方向: ? 为正与 a 相同; ? 为负与 a 相反。

AB 的坐标:终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标。 AB ? ( xB ? x A , y B ? y A )
? 向量共线(平行) ? 惟一实数 ? ,使得 a ? ? b 。 :
(可证平行、三点共线问题等)

6. 平面向量分解定理:如果 e1 , e2 是同一平面上的两个不共线的向量,那么对该平面上的任一向量 a ,都 存在惟一的一对实数 a1 , a 2 ,使得 a ? a1 e1 ? a2 e2 。向量 a 在基 e1 , e2 下的坐标为 (a1 , a2 ) 。 7. 中点坐标公式: M 为 AB 的中点,则 OM ? 8.

1 (OA ? OB ) 2

? 注意 ?ABC 中, (1)重心(三条中线交点)、外心(外接圆圆心:三边垂直平分线交点) 、内心(内切
圆圆心:三角平分线交点) 、垂心(三高线的交点)的含义
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(2)若 D 为 BC 边的中点,则 AD ?

1 ( AB ? AC ) 2

坐标:两点坐标相加除以 2

(3)若 O 为 ?ABC 的重心,则 AO ? BO ? CO ? 0 ; (重心坐标:三点坐标相加除以 3) 9. 向量的内积(数量积) (1) 向量之间的夹角:图像上起点在同一位置;范围 [0, ? ] 。 (2) 内积公式: a ? b ?| a || b | cos ? a, b ? 10. 向量内积的性质: (1) cos ? a, b ??

a ?b | a || b |

(夹角公式)

(2) a ⊥ b ? a ? b ? 0 (3) a ? a ?| a | 或 | a |?
2

a?a

(长度公式)

11. 向量的直角坐标运算: (1) AB ? ( xB ? x A , y B ? y A ) (2)设 a ? (a1 , a2 ),b ? (b1 , b2 ) ,则

a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 )

? a ? (?a1 , ?a2 )
a ? b ? a1b1 ? a2b2
(向量的内积等于横坐标之积加纵坐标之积)

12. 向量平行、垂直的充要条件 设 a ? (a1 , a2 ),b ? (b1 , b2 ) ,则

a ∥b ?

a1 b1 ? a 2 b2

(相对应坐标比值相等)

a ⊥ b ? a ? b ? 0 ? a1b1 ? a2 b2 ? 0
13. 长度公式

(两个向量垂直则它们的内积为 0)

(1) 向量长度公式:设 a ? (a1 , a2 ) ,则 | a |?

2 a12 ? a 2

(2) 两点间距离公式:设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则

| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
14. 中点坐标公式:设线段 AB 中点为 M ,且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), M ( x, y) ,则
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x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? y ? y2 ?y ? 1 2 ?

(中点坐标等于两端点坐标相加除以 2)

15. 定比分点公式: P 为有向线段 p1 p 2 的分点,且 P ( x1 , y2 ), P2 ( x2 , y2 ), P( x, y) ,点 P 分有向线段 p1 p 2 1 成定比 ? ?

x ? ?x 2 y ? ?y 2 P1 P (注意方向) (? ? ?1) ,则有 x ? 1 ,y? 1 。 1? ? 1? ? PP2

注:遇到这种类型的题,可用向量的办法来解更简单。利用 P P ? ? PP 用坐标来算。 1 2 16. 向量平移 (1) 平移公式:点 P( x, y) 平移向量 a ? (a1 , a2 )到P' ( x' , y' ) ,则

? x ' ? x ? a1 ? ? y' ? y ? a2

记忆法: “新=旧+向量”

(2) ? 图像平移: y ? f (x) 的图像平移向量 a ? (a1 , a2 ) 后得到的函数解析式为: y ? a2 ? f ( x ? a1 )

第八章

平面解析几何

1. 曲线 C 上的点与方程 F ( x, y) ? 0 之间的关系: (1) 曲线 C 上点的坐标都是方程 F ( x, y) ? 0 的解; (2) 以方程 F ( x, y) ? 0 的解 ( x, y ) 为坐标的点都在曲线 C 上。 则曲线 C 叫做方程 F ( x, y) ? 0 的曲线,方程 F ( x, y) ? 0 叫做曲线 C 的方程。 2.

? 求曲线方程的方法及步骤

(1) 设动点的坐标为 ( x, y ) (2) 写出动点在曲线上的充要条件; (3) 用 x, y 的关系式表示这个条件列出的方程 (4) 化简方程(不需要的全部约掉) (5) 证明化简后的方程是所求曲线的方程 如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。 重要题型:3+X 书 P171 题 4. 3. 两曲线的交点:联立方程组求解即可。 4. 直线 (1) 倾斜角 ? :一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是

[0, ? )
(2) 斜率:
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①倾斜角为 90 的直线没有斜率; ② k ? tan ? (倾斜角的正切) 注:当倾斜角 ? 增大时,斜率 k 也随着增大;当倾斜角 ? 减小时,斜率 k 也随着减小! ③已知直线 l 的方向向量为 v(v1 , v2 ) ,则 k l ?

0

v2 v1 y 2 ? y1 x 2 ? x1
( x1 ? x2 )

④经过两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) 的直线的斜率 K ? 1 ⑤直线 Ax ? By ? C ? 0 的斜率 K ? ? (3) 直线的方程 ① 点向式:

A B

x ? x0 y ? y 0 ? v1 v2 y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1

v(v1 , v2 ) 为 l 的方向向量,方向向量与 l 平行

② 两点式:

③ 点法式: A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ④ ? 斜截式: y ? kx ? b ⑤ ? 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ⑥ 截距式:

v' ( A, B) 为 l 的法向量,法向量与 l 垂直

x y ? ?1 a b

a为l在x轴上的截距, 为l在y轴上的截距 b
其中直线 l 的一个方向向量为 (? B, A)

⑦ ? 一般式: Ax ? By ? C ? 0

注:(Ⅰ)若直线 l 方程为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 ,则与 l 平行的直线可设为 3x ? 4 y ? C ? 0 ;与 l 垂直的直线可 设为 4 x ? 3 y ? C ? 0 。 (ⅰ)求直线的方程最后要化成一般式。 (ⅱ)会求截距,如在 x 轴上的截距即当 y ? 0 , x ? ? 截距可以是 负数! (ⅲ)一般比较复杂的题需要设直线的方程尽量用斜截式或点斜式;同时注意考虑斜率不存在的情况 是否也满足条件。 (4) 两条直线的位置关系 ① 斜截式: l1 : y ? k1 x ? b1 与 l 2 : y ? k 2 x ? b2

l1 ∥ l 2 ? k1 ? k 2且b1 ? b2 l1 与 l 2 重合 ? k1 ? k 2且b1 ? b2
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l1 ⊥ l 2 ? k1 ? k 2 ? ?1 l1 与 l 2 相交 ? k1 ? k 2
② 一般式: l1 : A1 x ? B1 x ? C1 ? 0 与 l 2 : A2 x ? B2 x ? C2 ? 0

l1 ∥ l 2 ?

A1 B1 C 2 ? ? A2 B2 C 2

(相对应系数成比例)

l1 与 l 2 重合 ?

A1 B1 C 2 (相对应系数成比例) ? ? A2 B2 C 2
(与向量一样,横坐标系数之积加纵坐标系数之积等于 0)

l1 ⊥ l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0
l1 与 l 2 相交 ?

A1 B1 ? A2 B2

注:系数为 0 的情况可画图像来判定。 (5) 两直线的夹角公式 ① 定义:两直线相交有四个角,其中不大于 ② 范围: [0,

?
2

? 的那个角。 2

]

③ 斜截式: l1 : y ? k1 x ? b1 与 l 2 : y ? k 2 x ? b2

tan? ?|

k1 ? k 2 | 1 ? k1k 2

(可只记这个公式,如果是一般式方程可化成斜截式来解)

一般式: l1 : A1 x ? B1 x ? C1 ? 0 与 l 2 : A2 x ? B2 x ? C2 ? 0

cos ? ?

| A1 A2 ? B1 B2 | A12 ? B12
2 2 A2 ? B2

(6)点到直线的距离 ① ? 点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 | C1 ? C2 | A2 ? B 2

③ 两平行线 Ax ? By ? C1 ? 0 和 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离: d ? 5. 圆的方程

2 2 2 (1) 标准方程: ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ( r ? 0 )其中圆心 ( a, b) ,半径 r 。 2 2 (2) 一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F ? 0 )
2 2

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圆心( ?

D E ,? ) 2 2

半径: r ?

D 2 ? E 2 ? 4F 2

注:二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是: ①A?C ?0 ②B ? 0 ③ D ? E ? 4F ? 0
2 2

(3)参数方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的参数方程为 ?

? x ? r cos? ? a (? ? [0,2? )) ? y ? r cos? ? b

(4)直线和圆的位置关系:主要用几何法,利用圆心到直线的距离 d 和半径 r 比较。

d ? r ? 相交 ; d ? r ? 相切; d ? r ? 相离
(6) 圆 O1 与圆 O2 的位置关系:利用两圆心的距离 d 与两半径之和 r1 ? r2 及两半径之差 r1 ? r2 比较,再 画个图像来判定。 (总共五种:相离、外切、内切、相交、内含) (7) 圆的切线方程: ① 过圆 x 2 ? y 2 ? 1 上一点 P( x0 , y0 ) 的圆的切线方程: x0 x ? y0 y ? r 2 ② 过圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 外一点 P( x0 , y0 ) 的圆的切线方程:肯定有两条,设切线的斜率为 k , 写出切线方程(点斜式) ,再利用圆心到直线的距离等于半径列出方程解出 k 。 6. 圆锥曲线的定义:动点到定点(焦点)的距离和到定直线(准线)的距离之比为常数 e (离心率)的点 的轨迹。当 0 ? e ? 1 时,为椭圆;当 e ? 1 时,为双曲线;当 e ? 1 时为抛物线。 7. 椭圆 动点与两定点(焦点)的距离之和等于常数 2 a 几何定义

| PF1 | ? | PF2 |? 2a
x2 y2 ? ? 1 (焦点在 x 轴上) a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (焦点在 y 轴上) b2 a2

标准方程

图像

a, b, c 的关系
对称轴与对称中心 顶点坐标

a2 ? b2 ? c2

注意:通常题目会隐藏这个条件

x 轴:长轴长 2a ; y 轴:短轴长 2b ; O(0,0)
(? a,0) (0,?b)
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焦点坐标

(?c,0) 焦距 2c

注:要特别注意焦点在哪个轴上

准线方程

x??

a2 c

离心率

e?

c b2 ? 1? 2 ? 1 a a

曲线范围 渐近线 中心在 ( x0 , y0 ) 的方程 8. 双曲线

? a ? x ? a,?b ? y ? b


( x ? x0 ) 2 ( y ? y 0 ) 2 ? ?1 a2 b2

中心 O' ( x0 , y0 )

动点与两定点(焦点)的距离之差的绝对值等于常数 2 a 几何定义

|| PF1 | ? | PF2 ||? 2a
x2 y2 ? ? 1 (焦点在 x 轴上) a2 b2 y2 x2 ? ? 1 (焦点在 y 轴上) a2 b2

标准方程

图像

a, b, c 的关系
对称轴与对称中心 顶点坐标 焦点坐标

c2 ? a2 ? b2

注意:通常题目会隐藏这个条件

x 轴:实轴长 2a ; y 轴:虚轴长 2b ; O(0,0)
(? a,0) (?c,0) 焦距 2c
注:要特别注意焦点在哪个轴上

准线方程

x??

a2 c

离心率

e?

c b2 ? 1? 2 ? 1 a a
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曲线范围 渐近线

x ? ?a和x ? a , y ? R

y??

b x (焦点在 x 轴上) a

y??

a x (焦点在 y 轴上) b

中心在 ( x0 , y0 ) 的方程

( x ? x0 ) 2 ( y ? y 0 ) 2 ? ? 1 中心 O' ( x0 , y0 ) a2 b2

注:1.等轴双曲线: (1)实轴长和虚轴长相等 ? a ? b (2)离心率 e ?

2 (3)渐近线 y ? ? x

2.(1)以 y ? ? mx 为渐近线的双曲线方程可设为 ( y ? m x)( y ? m x) ? ? (? ? 0)

? (2)与双曲线
9. 抛物线 几何 定义 焦点 位置

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线可设为: 2 ? 2 ? ? a2 b a b

到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹

| MF |? d ( d 为抛物线上一点 M 到准线的距离)

x 轴正半轴

x 轴负半轴

y 轴正半轴

y 轴负半轴

图像

标准 方程 焦点 坐标 准线 方程 顶点 对称 轴

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
p F ( ,0 ) 2 p x?? 2

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)
F (? p ,0) 2 p x? 2

x 2 ? 2 py ( p ? 0)
p F (0, ) 2 p y?? 2

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
p F (0,? ) 2 p y? 2

O(0,0)

x轴
e ?1

y轴

离心 率 注: (1) p 的几何意义表示焦点到准线的距离。 (2) ? 掌握焦点在哪个轴上的判断方法

2 (3)? AB 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点弦, A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ) ,则①弦长 | AB |? x1 ? x2 ? p ②

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x1 x 2 ?

p2 ; y1 y2 ? ? p 2 4

(3) ? 圆锥曲线中凡涉及到弦长,都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式:

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
(4) ? 圆锥曲线中最重要的是它本身的定义! !做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的! (5)掌握椭圆和双曲线中过焦点的弦与另一焦点围成的三角形的周长求法!

第九章

立体几何

1. 空间的基本要素:点、线、面 注:用集合符号表示空间中点(元素) 、线(集合) 、面(集合)的关系 2. 平面的基本性质 (1) 三个公理: ① 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 ② 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。 ③ 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 (2) 三个推论: ① 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 ② 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 3. 两条直线的位置关系: (1) 相交:有且只有一个公共点,记作“ a ? b ? A ” (2) 平行: a. 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。 b . 平行于同一条直线的两条直线平行 (3) 异面: ① 定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线的夹角:对于两条异面直线,平移一条与另一条相交所成的不大于

? 的角。注意在找异面直线 2

之间的夹角时可作其中一条的平行线,让它们相交。 ③ 异面直线间的距离: 与两异面直线都垂直相交的直线为其公垂线; 夹在两异面直线间的部分为公垂线段; 公垂线段的长度为异面直线间的距离。 4. 直线和平面的位置关系: (1) 直线在平面内: l ? ? (2) 直线与平面相交: l ? ? ? A (3) 直线与平面平行 ① 定义:没有公共点,记作: l ∥ ? ② 判定:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,则该直线与平面平行。 ③ 性质:如果一条直线与一平面平行,且过直线的另一平面与该平面相交,则该直线与交线平行。 5. 两个平面的位置关系 (1) 相交: ? ? ? ? l (2) 平行: ① 定义:没有公共点,记作: ? ∥ ? ” “
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② 判定:如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行,则两平面平行 ③ 性质: a. 两个平行平面与第三个平面都相交,则交线互相平行 b . 平行于同一平面的两个平面平行 c. 夹在两平行平面间的平行线段相等 d . 两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例 6. 直线与平面所成的角: (1) 定义:直线与它在平面内的射影所成的角 (2) 范围: [0, 重要定理:

?
2

]

cos? ? cos?1 ? cos? 2
7. 直线与平面垂直 (1) 判定:如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则该直线与平面垂直 (2) 性质: ① 如果一条直线垂直于一平面,则它垂直于该平面内任何直线; ② 垂直于同一平面的两直线平行; ③ 垂直于同一直线的两平面平行。 8. ? 三垂线定理及逆定理: ① 三垂线定理:如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和斜线垂直。 ② 三垂线逆定理:如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。 9. 两个平面垂直 (1) 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则两个平面互相垂直。 (2) 性质定理:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。 10. 二面角 (1) 定义:过二面角 ? ? l ? ? 的棱上一点 O ,分别在两半平面内引棱 l 的垂线 OA、OB ,则 ?AOB 为 二面角的平面角 (2) 范围: [0, ? ] (3) 二面角的平面角构造: ① 按定义,在棱上取一点 O ,分别在两半平面内引棱的垂线 OA、OB ,则 ?AOB 即是 ② 作一平面与二面角的棱垂直,与两半平面分别交于 OA、OB , ?AOB 即是 ③ ? 由三垂线逆定理,在一平面内找一点 A ,分别作 AO ⊥棱 l 于 O , AB 垂直于另一平面于点 B ,连结 OB ,则 ?AOB 即是 11. 向量在几何中的运用

第十章
1.分类用加法: N ? m1 ? m2 ? ?? ? mn
m

排列、组合与二项式定理
分步用乘法: N ? m1m2 ??mn

2.有序为排列: Pn ? n(n ? 1)(n ? 2) ??(n ? m ? 1) ?

n! (n ? m)!

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Pnm n(n ? 1)(n ? 2)??(n ? m ? 1) n! 无序为组合: C ? m ? ? m! m!(n ? m)! Pm
m n

阶乘: Pnn ? n!? n(n ? 1)(n ? 2)??? 3 ? 2 ?1 规定: 0! ? 1
0 Cn ? 1

注: (1)做排列组合题的原则:先特殊,后一般! (2)在一起,用捆绑法;不在一起,用插空法;另外的思考方法:一般法、排除法、分类讨论法、机会均 等法等等。
m n 3.组合数的两个性质: (1) Cn ? Cn ?m m m m (2) Cn?1 ? Cn ? Cn ?1

4.二项式定理:
0 1 r n n (a ? b) n ? Cn a n b 0 ? Cn a n?1b1 ? ??? Cn a n?r b r ? ??Cn ?1a1b n?1 ? Cn a 0b n r r ? 通项: Tr ?1 ? Cn a n?r b r ,其中 Cn 叫做第 r ? 1 项的二项式系数。 r 注: (1)二项展开式中第 r ? 1 项的系数与第 r ? 1 项的二项式系数 C n 是两个不同的概念。

(2)杨辉三角 (3) 6. 二项式系数的性质
r r r (1) 除每行两端的 1 以外,每个数字都等于它肩上两数之和,即 Cn?1 ? Cn ? Cn ?1 r n (2) 与首末两端等距离的两项的二项式系数相等,即 Cn ? Cn ?r

(3)

n (第 ? 1 项) n 为偶数,展开式有奇数项,中间项的二项式系数最大; 2 n ?1 (第 项和后一项) n 为奇数,展开式有偶数项,中间两项的二项式系数最大。 2

0 1 n 7. Cn ? Cn ? ??Cm ? ??Cn ? 2n n 0 2 4 1 3 5 Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? ? 2n?1

8.余数问题和重要例题: 3 ? X 书 P 253 例 3,4,5.

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