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2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题(含答案解析)


2012 年全国高中数学联赛河南省预赛(高二)试题 本试卷满分 140 分 一.填空题(满分 64 分) 1.在小于 20 的正整数中, 取出三个不同的数, 使它们的和能够被 3 整除, 则不用的取法种数为_________. 2.将长为的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________. ?C 3.在 ?ABC 中, 之间的距离为 2 4.若

锐角 ? 满足 ? ? 2 ,?B ? ? 6 , AC 将 ?ACM 沿 CM ? 2, M 为 AB 中点, 折起, 使 A, B 2 ,则点 M 到面 ABC 的距离为_________________. 1 tan ? 2 ? 2 3 tan10? ? tan ? 2 ,则角 ? 的度数为________________. 5.函数 ?| log 2 x |,0 ? x ? 4 ? ,若 a, b, c, d 互不相同,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? f ( x) ? ? 2 2 70 x ? 8 x ? , x ? 4 ? 3 ?3 f (d ) ,则 abcd 的取值范围是_________________. 6.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 2a4 ? a3 ? 2a2 ? a1 ? 8 ,则 2a8 ? a7 的最小值为______ _. A1B1C1D1 顶点 A 出发,沿着长方体的表面达到顶点 C1 的最短距离为 7.一只蚂蚁由长方体 ABCD ? 6,则长方体的体积最大值为______________. 8. 则 ? log 2 1? ? ? log 2 2? ? ? log 2 3? ? ? ? ? log 2 2012? ? _ ? x ? 表示不超过实数 x 的最大整数, _. 二.(本题满分 16 分)如图,已知四棱锥 E ? 菱形,且 ?ABC ABCD 的地面为 ? ? 3 , AB ? EC ? 2 , AE ? BE ? 2 . (1)求证:平面 EAB ? ABCD 平面; (2)求二面角 A ? EC ? D 的余弦值. 三.(本题满分 20 分)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) . x (1)当时 x ? 0 ,求证: f ( x) ? 2 ; x?2 (2)当 x ? ?1且 x ? 0 时,不等式 f ( x) ? 1 ? kx 成立,求实数的值. 1? x 四.(本题满分 20 分)数列 ? xn ? 中, x1 ? 1 且 xn?1 ? 1 ? ?an ? 的通项公式; 1 . xn ? 1 (1)设 an ? 1 xn ? 2 ,求数列 (2)设 bn ? xn ? 2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项的和为 Sn ,证明: Sn ? 2 2 . x2 ? y 2 ? 1 , P 是圆 x 2 ? y 2 ? 16 上任意一点,过 P 五.(本题满分 20 分) 已知椭圆 4 ??? ? ??? ? 的切线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,求 PA ? PB 的最大值和最小值. 点作椭圆

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