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山东省2014届高考数学一轮复习 试题选编20 数列的综合问题 理 新人教A版


山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 20:数列的综合问题
一、选择题 1 . (山东省德州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知定义在 R 上的函数 f(x),g(x)满足

? f ( n) ? f ( x) f (1) f (?1) 5 * ? a x ,且 f ? (x)g(x) ? f ( x) g ?( x), ?

? ,若有穷数列 ? ? ( n ? N ) 的前 n 项和 g ( x) g (1) g (?1) 2 ? g (n) ?
等于 126,则 n 等于 A.4 B.5 【答案】C ( C.6 D.7 )

2 . (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)已知函数 f(x)= ?

?2 x ? 1, ( x ? 0) ? f ( x ? 1) ? 1, ( x ? 0)


,把函数 )

g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为

n(n ? 1) A. a n ? 2 C. a n ? n(n ? 1)

B. a n ? n ? 1 D. a n ? 2 ? 2
n

【答案】B x﹣1 若 0<x≤1,则﹣1<x﹣1<0,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 , x﹣2 若 1<x≤2,则 0<x﹣1≤1,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +1 x﹣3 若 2<x≤3,则 1<x﹣1≤2,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +2 x﹣4 若 3<x≤4,则 2<x﹣1<3,得 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +3 x﹣n﹣1 以此类推,若 n<x≤n+1(其中 n∈N),则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +n, x 下面分析函数 f(x)=2 的图象与直线 y=x+1 的交点 很显然,它们有两个交点(0,1)和(1,2), x 由于指数函数 f(x)=2 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. x x 然后①将函数 f(x)=2 和 y=x+1 的图象同时向下平移一个单位即得到函数 f(x)=2 ﹣1 和 y=x 的图象, 取 x≤0 的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0). 即当 x≤0 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=0. x ②取①中函数 f(x)=2 ﹣1 和 y=x 图象﹣1<x≤0 的部分,再同时向上和向右各平移一个单位, x﹣1 即得 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(1,1). 即当 0<x≤1 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=1. x﹣1 ③取②中函数 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,继续按照上述步骤进行, x﹣2 即得到 f(x)=2 +1 和 y=x 在 1<x≤2 上的图象,显然,此时它们仍然只有一个交点(2,2). 即当 1<x≤2 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=2. ④以此类推,函数 y=f(x)与 y=x 在(2,3],(3,4],(n,n+1]上的交点依次为(3,3),(4,4),(n+1,n+1). 即方程 f(x)﹣x=0 在(2,3],(3,4],(n,n+1]上的根依次为 3,4,n+1. 综上所述方程 f(x)﹣x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0.,1,2,3,4, 其通项公式为 a n ? n ? 1 ,选 B. 二、填空题 3 . (山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)根据下面一组等式

S1 ? 1 S2 ? 2 ? 3 ? 5 S3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 15 S 4 ? 7 ? 8+9+10=34 S5 ? 11 ? 12 ? 13 ? 14 ? 15 ? 65 S6 ? 16 ? 17 ? 18 ? 19 ? 20 ? 21 ? 111 S7 ? 22 ? 23 ? 24 ? 25 ? 26 ? 27 ? 28 ? 175 ? ? ? ? ? ?
1

可得 S1 ? S3 ? S5 ? ? ? S 2 n ?1 ? ______________________. 【答案】 n 4 【 解 析 】 S1 ? 1 ; S1 ? S3 ? 1 ? 15 ? 16 ; S1 ? S3 ? S5 ? 1 ? 15 ? 65 ? 81 , 由 归 纳 推 理 可 知

S1 ? S3 ? S5 ? ? ? S 2n ?1 ? n4 .
4 . (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)对大于 l 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行

?13 ?7 ? 3 3? 3? 3 3 ?15 以下方式的“分裂”:2 ? , 3 ?9 , 4 ? ,,仿此,若 m 的“分裂数”中有一个是 59,则 m 的值为 ?5 ?11 ?17 ? ?19 ?
______________. 【答案】8 3 3 3 3 即 1 =1,2 =3+5,3 =7+9+11,4 =13+15+17+19,m 增加 1,累加的奇数个数便多 1,我们不难计算 59 是第 30 个奇数,若它是 m 的分解,则 1 至 m-1 的分解中,累加的奇数一定不能超过 30 个,故可列出不等式,进行 求解,由 1 ? 2 ? ? ? (m ? 1) ? 30 且 1 ? 2 ? ? ? (m ? 1) ? m ? 30 ,解得 m ? 8 . 5 . (山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下 分解式: 2 2 2 2 =1+3 3 =1+3+5 4 =1+3+5+7 3 3 2 =3+5 3 =7+9+11 4 2 =7+9 4 此规律,5 的分解式中的第三个数为 _____ 【答案】125 【解析】 由题意可知, 3 ? 25 ? 27 ? 29 , 5 ? 121 ? 123 ? 125 ? 127 ? 129 ,所以 5 的分解式中的第三个 数为 125 .
4 4
4

6 . (山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学(理)试题)对正整数 n,设曲线 y ? x (1 ? x) 在
n

x=2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则 { 【答案】 2
n?1

an } 的前 n 项和是_____________. n ?1
n ?1

?2
n n n ?1

【 解 析 】 曲 线 y ? x (1 ? x) ? x ? x

, 曲 线 导 数 为 y ' ? nx

? (n ? 1) x n , 所 以 切 线 效 率 为

k ? n 2n ?1 ? (n ? 1)2n ? ?(n ? 2)2n ?1 ,切点为 (2, ?2n ) ,所以切线方程为 y ? 2n ? ?(n ? 2)2n ?1 ( x ? 2) , a n n n 令 x ? 0 得, y ? 2 ? (n ? 2)2 ,即 y ? (n ? 1)2 ,所以 an ? (n ? 1)2n ,所以 n ? 2n ,是以 2 为首 n ?1 n 2(1 ? 2 ) 项, q ? 2 为公比的等比数列,所以 S n ? ? 2n ?1 ? 2 . 1? 2
7 . (山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)如图,一个类似杨辉三角的数阵, 请写出第 n ? n ? 2 ? 行的第 2 个数为______.

【答案】 n 2 ? 2n ? 3

每行的第二个数构成一个数列 {an } ,由题意知 a2 ? 3, a3 ? 6, a4 ? 11, a5 ? 18 ,

所以 a3 ? a2 ? 3, a4 ? a3 ? 5, a5 ? a4 ? 7, ?
2

an ? an ?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ? 2n ? 3 ,等式两边同时相加得 [2n ? 3 ? 3] ? (n ? 2) an ? a2 ? ? n 2 ? 2n , 2 2 2 所以 an ? n ? 2n ? a2 ? n ? 2n ? 3, ? n ? 2 ? .
8 . (2011 年高考(山东理) )设函数 f ( x) ?

x ( x ? 0) ,观察: x?2

x , x?2 x , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? 3x ? 4 x , f3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? 7x ? 8 f1 ( x) ? f ( x) ?
根据以上事实,由归纳推理可得:

f 4 ( x) ? f ( f3 ( x)) ?

x , 15 x ? 16

* 当 n ? N 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ? _______________.

x x , f3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? 3 , 2 (2 ? 1) x ? 2 (2 ? 1) x ? 23 x x ,以此类推可得 f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ? n . f 4 ( x) ? f ( f3 ( x)) ? 4 4 (2 ? 1) x ? 2 (2 ? 1) x ? 2n x 答案应填: n (2 ? 1) x ? 2n
【答案】解析: f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ?
2

三、解答题 9 . (山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学)(本小题满分】2 分) 某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产 线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护 费用是 4 万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加 2 万元,从第八年开始,每年的维护费 用比上年增加 25% (I)设第 n 年该生产线的维护费用为 an ,求 an 的表达式; (Ⅱ)若该生产线前 n 年每年的平均维护费用大于 12 万元时,需要更新生产线,求该生产线前 n 年每年的 平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线? 【答案】

3

10. (2011 年高考 (山东理) 等比数列 {an } 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、 三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 ) 二、 中的任何两个数不在下表的同一列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足: bn ? an ? (?1) ln an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n .
n

【答案】解析:(Ⅰ)由题意可知 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18 ,公比 q ? 通项公式为 an ? 2 ? 3
n

a2 a3 ? ?3, a1 a2

n ?1

;
n ?1

(Ⅱ) bn ? an ? ? ?1? ln an ? 2 ? 3

? (?1) n ln 2 ? 3n ?1 ? 2 ? 3n ?1 ? (?1) n [ln 2 ? (n ? 1) ln 3]

当 n ? 2k (k ? N*) 时, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? b2 k

? 2(1 ? 3 ? ? ? 32 k ?1 ) ? [1 ? (?2 ? 3) ? ? ? (?(2k ? 2) ? (2k ? 1))]ln 3

1 ? 32 k n ? k ln 3 ? 3n ? 1 ? ln 3 1? 3 2 当 n ? 2k ? 1(k ? N*) 时 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? b2 k ?1 ?2
? 2(1 ? 3 ? ? ? 32 k ?2 ) ? [(1 ? 2) ? ? ? ((2k ? 3) ? (2k ? 2))]ln 3 ? ln 2

1 ? 32 k ?1 (n ? 1) ? (k ? 1) ln 3 ? ln 2 ? 3n ? 1 ? ln 3 ? ln 2 1? 3 2 n ? n n为偶数; ?3 ? 1 ? 2 ln 3, ? 故 Sn ? ? ? 3n ? 1 ? (n ? 1) ln 3 ? ln 2,n为奇数. ? ? 2 ?2
另解:令 Tn ?

? (?1)n ln 2 ? 3n?1 ,即 Tn ? ? (?1)n ln 2 ? ? (?1)n (n ? 1) ln 3
1
2 n

n

n

n

Tn ? [?1 ? (?1) ? ? ? (?1) ]ln 2 ? [(?1) ?1 ? (?1) ? 2 ? ? ? (?1) n ? ( n ? 1)]ln 3
3

1 2

1

4

?Tn ? [(?1)2 ? (?1)3 ? ? ? (?1) n ?1 ]ln 2 ? [(?1)3 ?1 ? (?1) 4 ? 2 ? ? ? (?1) n ?1 ? ( n ? 1)]ln 3
则 2Tn ? [?1 ? (?1)
n ?1

]ln 2 ? [(?1) 2 ? (?1)3 ? ? ? (?1) n ? (?1) n?1 ( n ? 1)]ln 3

1 1 (?1) 2 ? (?1) n ?1 Tn ? [?1 ? (?1) n ?1 ]ln 2 ? [ ? (?1) n ?1 (n ? 1)]ln 3 2 2 2 1 1 Tn ? [?1 ? (?1)n?1 ]ln 2 ? [(?1) 2 ? (?1) n?1 (2n ? 1)]ln 3 2 4 故 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2(1 ? 3 ? ? ? 3n ?1 ) ? Tn 1 1 ? 3n ? 1 ? [?1 ? (?1) n?1 ]ln 2 ? [(?1) 2 ? (?1) n?1 (2n ? 1)]ln 3 . 2 4
1 x 11. (山东省菏泽市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)已知函数 f(x)=a 的图象过点(1, ),且点 2 (n-1, 2)(n∈N )在函数 f(x)=a 的图象上. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)令 bn=an+1- an,若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn<5. 2 1 x 【答案】(1)∵函数 f(x)=a 的图象过点(1, ), 2 1 1 x ∴a= ,f(x)=( ) . 2 2

an n

*

x

an an 1 n * x 又点(n-1, 2)(n∈N )在函数 f(x )=a 的图象上,从而 2= n-1,即 an= n-1. n n 2 2 2 ? n+1? n2 2n+1 (2)证明:由 bn= - n= n 得, n 2 2 2 3 5 2n+1 (3)Sn= + 2++ n , 2 2 2 1 3 5 2n-1 2n+1 则 Sn= 2+ 3++ n + n+1 , 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 2n+1 两式相减得: Sn= +2( 2+ 3++ n)- n+1 , 2 2 2 2 2 2

2

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 2n ? 1 2 sn ? ? 2 4 ? n ?1 1 2 2 2 1? 2
2n+5 ∴Sn=5- n , 2

?

2n ? 5 ? 0 ∴Sn<5 2n

12 . 2013 年 山 东 临 沂 市 高 三 教 学 质 量 检 测 考 试 理 科 数 学 ) 已 知 数 列 { an } 的 前 n 项 和 S n 满 足 (

1 S n ? an ? ( )n ?1 ? 2( n ? N * ) ,设 cn ? 2n an . 2 (I)求证:数列{ cn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式;
(II)按以下规律构造数列{ bn },具体方法如下: b1 ? c1 ,b2 ? c2 ? c3 ,b3 ? c4 ? c5 ? c6 ? c7 ,第 n 项 bn 由相 应的{ cn }中 2 项的和组成,求数列{ bn }的通项 bn . 【答案】
n-1

5

13. (山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知数列 ?an ? 的各项排成如图所示的三角形数 阵 , 数 阵 中 每 一 行 的 第 一 个 数 a1 , a2 , a4 , a7 , ??? 构 成 等 差 数 列 ?bn ? , S n 是 ?bn ? 的 前 n 项 和 , 且

b1 ? a1 ? 1, S5 ? 15

( I )若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列,且公比相等, 已知 a9 ? 16 ,求 a50 的值; (Ⅱ)设 Tn ?

8 1 1 1 ,当 m ? ? ?1,1? 时,对任意 n ? N ? ,不等式 t 2 ? 2mt ? ? Tn 恒成立, ? ? ??? ? 3 S n ?1 S n ? 2 S2 n

求 t 的取值范围. 【答案】解: (Ⅰ)?{bn } 为等差数列,设公差为 d , b1 ? 1, S5 ? 15,? S5 ? 5 ? 10d ? 15, d ? 1 ? bn ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n. 设从第 3 行起,每行的公比都是 q ,且 q ? 0 , a9 ? b4 q 2 , 4q 2 ? 16, q ? 2, 1+2+3++9=45,故 a50 是数阵中第 10 行第 5 个数, 而 a50 ? b10 q 4 ? 10 ? 24 ? 160. n( n ? 1) (Ⅱ)? Sn ? 1 ? 2 ? ? n ? , 2 1 1 1 ?Tn ? ? ? ? Sn ?1 Sn ? 2 S2 n
6

2 2 2 ? ?? ( n ? 1)( n ? 2) ( n ? 2)( n ? 3) 2n(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? 2( ? ? ? ? ? ? ) n ?1 n ? 2 n ? 2 n ? 3 2n 2n ? 1 1 1 2n ? 2( ? )? . n ? 1 2n ? 1 ( n ? 1)(2n ? 1) ?

2 - 4 x2 2x ( , ( x 1) , f ? x ) = ( x + 1) 2 (2 x + 1) 2 ( x + 1)(2 x + 1) ( 1, 当 x ? 1 时 f ? x ) < 0, f ( x ) 在[ + ) 上为减函数,
令 f ( x) =

\ Tn 为递减数列, Tn 的最大值为 T1 =

1 3

\ 不等式变为 t 2 - 2mt - 3 > 0 恒成立,设 g (m) = - 2tm + t 2 - 3, m ? [ 1,1], 2 ì ? ? g (- 1) > 0 ì 2t + t - 3 > 0 则镲 ,解得 t > 3或t < - 3 ,即 眄 镲 (1) > 0 g - 2t + t 2 - 3 > 0 ? ? ? ? 14. (山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知 函数 f ( x) ? ln x 的图象是曲线 C , * 点 An (an , f (an ))(n ? N ) 是曲线 C 上的一系列点,曲线 C 在点 An ( an , f ( an )) 处的切线与 y 轴交于点 Bn (0, bn ) . 若数列 ?bn ? 是公差为 2 的等差数列,且 f (a1 ) ? 3 . (Ⅰ)分别求出数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 O 为坐标原点, S n 表示 ?OAn Bn 的面积,求数列 ?an Sn ? 的前 n 项和 Tn .
【答案】解:(Ⅰ)? f ? ? x ? ?

1 , x
1 ? x ? an ? an

?曲线 C 在点 An ? an , f ? an ? ? 处的切线方程: y ? ln an ? ?该切线与 y 轴交于点 Bn ? 0, bn ? ,? bn ? ln an ? 1
令 x ? 0 ? y ? ln an ? 1 ,

7

15. (山东省菏泽市 2013 届高三 5 月份模拟考试数学(理)试题)已知数列{an}的首项为 a1=5,前 n 项和为 Sn,且 Sn ?1 ? 2Sn ? n ? 5(n ? N ) .
*

(1)证明数列 {an ? 1} 是等比数列 ; (2)令 f ( x) ? a1 x ? a2 x ??? an x , f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数,令 bn ? f '(1) ,求数列 {bn } 的通项
2 n

公式; (3)若 bn ? 30 成立,试求 n 的最大值. 【答案】

8

16 . 山 东 省 2013 届 高 三 高 考 模 拟 卷 ( 一 ) 理 科 数 学 ) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 满 足 (

1 2 2 n ? n ? 3 ,数列 {log 3 bn }( n ? N *) 为等差数列,且 b1 ? 3 , b3 ? 27 . 4 3 (1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; 5 (2)若 cn ? an ? , Tn ? b1c1 ? b2c2 ? b3c3 ? ? ? bncn ,求 Tn 的值. 12 1 2 47 【答案】 【解析】(1)由题意得 a1 ? ? ? 3 ? , 4 3 12 1 2 1 2 n 5 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n2 ? n ? 3 ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? 3 ? ? , 4 3 4 3 2 12 ? 47 ? 12 , n ? 1, 1 5 11 47 ? 又 ? ,所以 an ? ? ? ? ? 2 12 12 12 ? n ? 5 , n ? 2. ? 2 12 ? 设等差数列 {log 3 bn } 的公差为 d .由 b1 ? 3 , b3 ? 27 , Sn ?
可得 2(log 3 3 ? d ) ? log3 3 ? log3 27 ,解得 d ? 1 . 所以 log3 bn ? log3 3 ? (n ? 1) ?1 ? n ,所以 bn ? 3 .
n

5 7 n ? ,当 n ? 2 时, cn ? , 12 2 2 7 21 所以当 n ? 1时, T1 ? b1c1 ? 3 ? ? ; 2 2 当 n ? 2 时, Tn ? b1c1 ? b2 c2 ? b3c3 ? ? ? bn cn
(2)由(1)得,当 n ? 1时, c1 ? a1 ?

7 2 3 n ? 3 ? ? 32 ? ? 33 ? ? ? ? 3n ? 2 2 2 2 21 1 2 ? ? (3 ? 2 ? 33 ? 3 ? ? ? 3n ? n) . 2 2 2 3 n 记 Qn ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ,


n ?1

3Qn ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? (n ? 1) ? 3
3 4 n

? n ,②

①-②得 ? 2Qn ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 3 ? 3
2 3 n

n ?1

? n ? 18 ?

27 ? (3n ? 2 ? 1) ? 3n ?1 ? n , 2

3n ?1 ? 27 3n ?1 ? n ? , 4 2 21 1 3n ?1 ? 27 3n ?1 ? n (2n ? 1) ? 3n ?1 ? 75 ? ? (?9 ? ? )? (n ? 2) . 则 Tn ? 2 2 4 2 8
故 Qn ? ?9 ?
9

1? 32 ? 75 21 (2n ? 1) ? 3n ?1 ? 75 ? ,所以 Tn ? . 8 2 8 17. (2013 山东高考数学(理) )设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1 .
因为 (Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? n 项和 Rn . 【答案】解:(Ⅰ)设等差数列 由

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2 n (n ? N * ) .求数列 ?cn ? 的前 2n

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

S4 ? 4S2 a2 n ? 2an ? 1
,



4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ? a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2( n ? 1) d ? 1 ,
解得, 因此

a1 ? 1 d ? 2 ,

an ? 2n ? 1 (n ? N * )

(Ⅱ)由题意知:

Tn ? ? ?

n 2n ?1

n n ?1 ? n ?2 n ?1 2 2 所以 n ? 2 时, 2n ? 2 1 cn ? b2 n ? 2 n ?1 ? (n ? 1)( )n?1 (n ? N * ) 2 4 故, 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( )2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? (n ? 1) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 , 所以 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( )2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? (n ? 2) ? ( ) n?1 ? (n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( )2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? (n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4 1 1 n ?( ) 4 4 ? (n ? 1)( 1 ) n ? 1 4 1? 4 1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 整理得 1 3n ? 1 ?cn ? 的前 n 项和 Rn ? 9 (4 ? 4n?1 ) 所以数列数列 bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?
18. (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)已知 n ? N? ,数列 ?d n ?满足 d n ?

3 ? (?1) n ,数 2

m n 列 ?a n ? 满足 an ? d1 ? d 2 ? d3 ? ??? ? d 2 n ;又知数列 ?bn ? 中, b1 ? 2 ,且对任意正整数 m, n , bn ? bm .

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 和数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)将数列 ?bn ? 中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,,第 an 项,删去后,剩余的项按从小到大的顺序排成新数 . . . . 列 ?c n ? ,求数列 ?c n ? 的前 2013 项和.
10

3 ? (?1) n 3 ? 2n ,? an ? d1 ? d 2 ? d3 ? ??? ? d 2 n ? ? 3n 2 2 又由题知:令 m ? 1 ,则 b2 ? b12 ? 22 , b3 ? b13 ? 23 ? bn ? b1n ? 2n
【答案】解:? d n ?
m n m n 若 bn ? 2n ,则 bn ? 2nm , bm ? 2mn ,所以 bn ? bm 恒成立 m n 若 bn ? 2n ,当 m ? 1 , bn ? bm 不成立,所以 bn ? 2n

(Ⅱ)由题知将数列 ?bn ? 中的第 3 项、第 6 项、第 9 项删去后构成的新数列 ?c n ? 中的奇数列与偶数列仍 成等比数列,首项分别是 b1 ? 2 , b2 ? 4 公比均是 8,

T2013 ? (c1 ? c3 ? c5 ? ??? ? c2013 ) ? (c2 ? c4 ? c6 ? ??? ? c2012 )
? 2 ? (1 ? 81007 ) 4 ? (1 ? 81006 ) 20 ? 81006 ? 6 ? ? 1? 8 1? 8 7
an , ? n ? N * ?. an ? 3
n

19. (山东省济宁市 2013 届高三 4 月联考理科数学)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 若 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? 3 ? 1
n

?

n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围.
【答案】

? 2n a
n

n

, 数 列 ?bn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 若 不 等 式 ? ?1? ? ? Tn 对 一 切

20. (山东省德州市 2013 届高三第二次模拟考试数学(理)试题)各项均为正数的等比数列{an}中,已知 a1=2,a5=512,Tn 是数列{log2an}的前 n 项和. (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求 Tn; (Ⅲ)求满足 ?1 ?

? ?

? 1 ?? 1? 1 ? ?1 ? ??? ?1 ? T2 ? ? T3 ? ? Tn

? 1011 的最大正整数 n 的值. ?? ? 2013

【答案】 所以数列 ? an ? 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列

11

21 . 山 东 省 淄 博 市 2013 届 高 三 复 习 阶 段 性 检 测 ( 二 模 ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 等 比 数 列 ?cn ? 满 足 ( ....

cn ?1 ? cn ? 10 ? 4n ?1 ? n ? N * ? , 数列?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 an ? log 2 cn .
(I)求 an , S n ; (II)数列 ?bn ? 满足bn ?

1 4Sn ? 1

, Tn为数列?bn ? 的前 n 项和,是否存在正整数 m, k ?1 ? m ? k ? ,使得

T1 , Tm , Tk 成等比数列?若存在,求出所有 m, k 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(本小题满 分 12 分) 解: (Ⅰ) c1 ? c2 ? 10, c2 ? c3 ? 40 ,所以公比 q ? 4 得 c1 ? 2 c1 ? 4c1 ? 10 n ?1 2 n ?1 cn ? 2 ? 4 ? 2 所以 an ? log 2 2

? 2n ? 1 n(a 1 ? an ) n[1 ? (2n ? 1)] Sn ? ? ? n2 2 2 1 1? 1 1 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? ? ? ? ? 2 4n ? 1 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
于是 Tn ?

2 n ?1

假设存在正整数 m, k ?1 ? m ? k ? ,使得 T1 , Tm , Tk 成等比数列,则

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? n ? 1 ?? 1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 ? ? ? 2 n ? 1 2 ?? ? ? ? ? ??
2

1 k ? m ? , ? ? ? ? 3 2k ? 1 ? 2m ? 1 ? 3 ?2m2 ? 4m ? 1 ? 0, 可得 ? k m2 6 6 ? m ? 1? 从而有, 1 ? , 2 2

所以 ?2m ? 4m ? 1 ? 0
2

12

由 m ? N , m ? 1 ,得 m ? 2 此时 k ? 12 . 当且仅当 m ? 2 , k ? 12 时, T1 , Tm , Tk 成等比数列 22. (山东省滨州市 2013 届高三第一次(3 月)模拟考试数学(理)试题)某产品在不做广告宣传且每千克 获利 a 元的前提下,可卖出 b 千克.若做广告宣传,广告费为 n ( n ? N* )千元时比广告费为( n ? 1 )千元 时多卖出

?

b 千克. 2n

(Ⅰ)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 s ; (Ⅱ)试写出销售量 s 与 n 的函数关系式; (Ⅲ)当 a ? 50, b ? 200 时,要使厂家获利最大,销售量 s 和广告费 n 分别应为多少? 【答案】

23. (山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足:a2·a4=65,a1+a5=18. (1)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值; (2)设 bn ?

n ,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1+b2++bn<m 对于任意的正整数 n 均成立,若存 (2n ? 1) S n
13

在,求出常数 m;若不存在,请说明理由.

【答案】

24. (2009 高考(山东理))等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N 函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
x

?

,点 (n, Sn ) ,均在

(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 证明:对任意的 n ? N

bn ? 2(log 2 an ? 1)(n ? N ? )
?

,不等式
?

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· n ·· ·· ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
x

【答案】解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的图像 上 . 所 以 得
n

Sn ? bn ? r
n ?1

,



n ?1



,

a1 ? S1 ? b ? r

,



n?2

时, an ? Sn ? Sn ?1 ? b ? r ? (b 公比为 b , an ? (b ? 1)b
n ?1

? r ) ? b n ? b n?1 ? (b ? 1)b n?1 ,又因为{ an }为等比数列,所以 r ? ?1 ,

(2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b 则

n ?1

? 2n ?1 ,

bn ? 2(log 2 an ? 1) ? 2(log 2 2n?1 ? 1) ? 2n

bn ? 1 2n ? 1 b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b ? 1 b2 ? 1 · ·· n ·· ·· ? ? ? ? ? ,所以 1 b1 b2 bn 2 4 6 2n bn 2n
b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· n ·· ·· ? ? ? ? ? n ? 1 成立. b1 b2 bn 2 4 6 2n

下面用数学归纳法证明不等式

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2
14

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

b ? 1 3 5 7 2k ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · ·· k ·· ·· ? ? ? ? ? k ?1 成 立 . 则 当 b1 b2 bk 2 4 6 2k

n ? k ? 1 时,左边=
? k ?1 ?

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2k ? 1 2k ? 3 · ·· k ·· ·· ? ? ? ??? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2
4( k ? 1) 2 ? 4( k ? 1) ? 1 1 ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 4(k ? 1) 4( k ? 1)

2k ? 3 (2k ? 3) 2 ? ? 2k ? 2 4(k ? 1)

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 25.山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学) ( 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an ?1 ? an ? p ? 3n ( n ? N , p
*

为常数), a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列. (Ⅰ)求 p 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足 bn ?

n2 4 ,证明: bn ≤ . an 9

【答案】解:(Ⅰ)由 a1 ? 3, an ?1 ? an ? p ? 3n , 得 a2 ? 3 ? 3 p, a3 ? a 2 ? 9 p ? 3 ? 12 p. ∵ a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列, ∴ a1 ? a3 ? 2(a2 ? 6), 即 3 ? 3 ? 12 p ? 2(3 ? 3 p ? 6), 得 p ? 2. 依题意知, an ?1 ? an ? 2 ? 3n , 当 n≥2 时, a2 ? a1 ? 2 ? 31 ,

a3 ? a2 ? 2 ? 32 ,

an ? an ?1 ? 2 ? 3n ?1.
相加得 an ? a1 ? 2(31 ? 32 ? … ? 3n ?1 ),

3 ? (1 ? 3n ?1 ) ? 3n ? 3, 1? 3 n ∴ an ? 3 ( n≥2).
∴ an ? a1 ? 2 ? 又 a1 ? 3 适合上式, 故 an ? 3n.

n2 (Ⅱ)证明:∵ an ? 3 , ∴ bn ? n . 3 2 2 (n ? 1) n ?2n 2 ? 2n ? 1 ? n ? (n ? N* ). ∵ bn ?1 ? bn ? n ?1 n ?1 3 3 3 1? 3 2 若 ?2n ? 2n ? 1<0, 则 n> , 2 即当 n≥2 时,有 bn ?1<bn . 1 4 又因为 b1 ? , b2 ? , 3 9
n

15

故 bn ≤ .

4 9

n2 4 (Ⅱ)法二:要证 bn ? n ≤ , 3 9 n 2 只要证 4 ? 3 ≥9n .
下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时,左边=12,右边=9,不等式成立; 当 n ? 2 时,左边=36,右边=36,不等式成立. ②假设当 n ? k (k ? N*且k≥2) 时, 4 ? 3k ≥9k 2 成立. 则当 n ? k ? 1 时,左边=4×3 =3×4×3 ≥3×9k , 2 2 要证 3×9k ≥9(k+1) , 2 2 只要正 3k ≥(k+1) , 2 即证 2k -2k-1≥0.
k+1 k
2

1? 3 , 即 k ? N* 且 k≥2 时,上述不等式成立. 2 由①②可知,对任意 n ? N* ,所证不等式成立.
而当 k ﹥ 26. (山东省临沂市 2013 届高三第三次模拟考试 理科数学)已知当 x ? 5 时,二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c
2

取得最小值,等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? f (n) , a2 ? ?7 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

an 9 ,证明 Tn ≤ ? . n 2 2 【答案】(Ⅰ)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? a ? b ? c,
(Ⅱ)数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn , 且 bn ? 当 n≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? b ? a, 又 a1 适合上式,得 2a ? b ? a ? a ? b ? c, ∴ c ? 0 . 由已知 a2 ? 4a ? b ? a ? 3a ? b ? ?7, ?

b ? 5, 2a

?3a ? b ? ?7, ?a ? 1, ? 解方程组 ? b 得? ?b ? ?10, ? ? 2a ? 5 ? ∴ an ? 2n ? 11 . 2n ? 11 (Ⅱ) bn ? , 2n ?9 ?7 2n ? 11 ∴ Tn ? ① ? 2 ? ??? ? 2 2 2n 1 ?9 2n ? 13 2n ? 11 Tn ? ......... 2 ? ??? ? ? n ?1 ② 2 2 2n 2 1 9 2 2 2n ? 11 ①-②得 Tn ? ? ? 2 ? ... ? n ? 2 2 2 2 2n ?1 1 1 (1 ? n ?1 ) 9 2 2n ? 11 2 ?? ? ? n ?1 1 2 2 1? 2 7 1 2n ? 11 ? ? ? n?1 ? n?1 , 2 2 2 2n ? 7 ∴ Tn ? ?7 ? . 2n
16

9 , 2 9 7 9 T2 ? ? ? < ? , 2 2 2 9 7 5 9 T3 ? ? ? - < ? , 2 2 2 2 2n ? 7 2n ? 7 9 当 n≥4 时, >0, ∴ Tn ? ?7 ? < ? 7< ? , n n 2 2 2 9 综上,得 Tn ≤ ? . 2
则 T1 ? ? 27. (2011 年高考(山东理) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为 ) 圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为

80? 立方米,且 l ? 2r .假设该容器的建造费 3

用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造费用为 l c ( c ? 3 )千元.设该容器的建造费用为 y 千元. r r (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; r r (2)求该容器的建造费用最小时的 r .

4? 3 80 80 4 r ? ? (l ≥ 2r ) ,即 l ? 2 ? r ≥ 2r ,则 0 ? r ≤ 2 . 3 3 3r 3 80 4 2 2 容器的建造费用为 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r ? c ? 6? r ( 2 ? r ) ? 4? r c , 3r 3 160? 即y? ? 8? r 2 ? 4? r 2c ,定义域为 {r 0 ? r ≤ 2} . r 20 160? (Ⅱ) y? ? ? 2 ? 16? r ? 8? rc ,令 y? ? 0 ,得 r ? 3 . c?2 r
【答案】解析:(Ⅰ)由题意可知 ? r l ?
2

令r ?

3

20 ? 2, 即 c ? 4.5 , c?2

(1)当 3 ? c ≤ 4.5 时, 3 (2)当 c ? 4.5 时, 3 此时当 r ?
3

20 ≥ 2, 当 0 ? r ≤ 2 , y? ? 0 ,函数 y 为减函数,当 r ? 2 时 y 有最小值; c?2

20 20 20 ? 2, 当 0 ? r ? 3 , y? ? 0 ;当 r ? 3 时 y? ? 0 , c?2 c?2 c?2

20 时 y 有最小值. c?2

28. (山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学 (理) 试题) 已知数列 {an } 中, a1 ? 1,{an } 的前 n 项和 S n 满足 2 S n ? an ?1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若存在 n ? N * ,使得 ? ? 【答案】

n(n ? 1) ,求实数 ? 的最大值. an

17

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