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【全国百强校首发】江西省吉安市第一中学2016届高三上学期第四次周考(理)数学试题.doc

时间:2016-01-29


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吉安一中 2015-2016 学年度上学期周考(四) 高三数学试卷(理科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 若复数 1+ai

>(

)

2

(为虚数单位)是纯虚数,则实数 a = (

)

A. 1

B. - 1

C. 0
2 2

D. ± 1
3, x ? Z ,则 M ? N = (

2.已知集合 M = x x - 1 ? 0 , N

{

2

}

{x log ( x + 2) < log

}

)

A.

0} {-1,

B. {1}

C. {-1 , 0, 1}
)

D. ?

3.等差数列 {an } 中, a3 = 5, a4 +a8 =22, 则 {an } 的前 8 项和为(

A. 32

B. 64

C. 108

D. 128

4.在样本频率分布直方图中,共有 9 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他 8 个长方形面积和 的

2 ,且样本容量为 140,则中间一组的频数为( 5

)

A. 28

B. 40

C. 56
)

D. 60

5.给出右面的程序框图,若输入的 x 的值为-5,则输出的 y 值是(

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

ì 3x - y - 6 ? 0 ? ? 2 2 6.设 x, y 满足约束条件 í x - y + 2 ? 0 ,若目标函数 z = ax + by (a, b > 0) 的最大值是 12,则 a + b 的最 ? ? ? x, y ? 0
小值是( )

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A.

6 13
)

世纪金榜 36 B. 5

圆您梦想 6 C. 5

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D.

36 13

7.下列说法中正确的是(

2 A. 命题“若 x2 = 1 ,则 x = 1 ”的否命题为: “若 x = 1 ,则 x ? 1 ”

B. 已知 y = f ( x) 是上的可导函数,则“ f ? ( x0 ) = 0 ” 是“ x0 是函数 y = f ( x) 的极值点”的必要
不充分条件
2 “对任意 x ? R ,均有 x + x +1 < 0 ” C. 命题“存在 x ? R ,使得 x 2 + x +1 < 0 ”的否定是:

D. 命题“角 a 的终边在第一象限,则 a 是锐角”的逆否命题为真命题
8.已知函数 f x = sin 琪 琪 -x -

( )

骣 3p 桫4

骣 p 3 cos 琪 x + , x ? R ,则 f ( x) ( 琪 桫 4

)

骣 p A. 最大值为 2,且图象关于点 琪 琪 , 0 对称 12 桫 骣 p B. 周期为 p ,且图象关于点 琪 琪 , 0 对称 12 桫

C. 最大值为 2,且图象关于 x =

5p 对称 12

骣p - ,0 对称 D. 周期为 2p ,且图象关于点 琪 琪 桫 12
9.某几何体的三视图如图示,则此几何体的体积是( )

A.

20 p 3

B. 6p

C.

16 p 3

D.

10 p 3

ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 10.已知 D

a b ABC 是( + = 2c ,则 D sin B sin A

)

A. 等边三角形

B. 锐角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 钝角三角形

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11.经过双曲线

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x2 y 2 = 1( a > b > 0) 的右焦点为 F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相较于 a 2 b2
)

2 OMN 的面积是 a 2 ,则该双曲线的离心率是( M , N 两点,若 O 为坐标原点, D 3

A. 2

B.

5 2

C. 5

D.

6 2

12.已知 f x , g x 都是定义在 R 上的函数, g x ? 0, f ⅱ x g x

( ) ( )

()

() ()

f ( x) g ( x) ,且

f ( x) =a x g ( x) ( a > 0且a ? 1) ,
小值为( )

g (1)

f (1)

g ( - 1)

f ( - 1)

=

禳 2015 5 镲f ( n) ,若数列 睚 的前 n 项和大于 ,则 n 的最 2016 g n 2 镲 ) ( 铪

A. 8

B. 9
第Ⅱ卷(共 90 分)

C. 10

D. 11

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
5 骣 1 2 3 13. 琪 琪 x - 2 y 的展开式中 x y 的系数是____________. 2 桫 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b =4 ,则 b 在 a 方向上的投影为____________. 14.平面向量 a, b 满足 a + b ? 2a b = - 12 ,且 a =2,

( )(

)

15.已知曲线 y = 4 - x 2 与 x 轴交点为 A, B ,分别由 A, B 两点向直线 y = x 作垂线,垂足为 C , D ,沿直 线 y = x 将平面 ACD 折起,使平面 ACD ^ 平面BCD ,则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 ____________. 16.在正方体 ABCD 中, M 是 BD 的中点,且 AM = mAB + nAD m, n ? R ,函数 f x = e - ax +1, 的图象为曲线 G,若曲线 G存在与直线 y = m + n x 垂直的切线( e 为自然对数的底数) ,则实数 a 的取值 范围是____________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
* 17.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2 S n = 1 - an n ? N .

???? ?

??? ?

????

(

)

( )

x

(

)

(

)

(1)求数列 {an } 的通项公式;

(2)设 bn =

bnbn +1 1 , cn = ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . log 1 an n +1 + n
3

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18. (本小题满分 12 分) ,某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了 n 位校友( n > 8, 且n ? N * ) ,其 中女校友 6 位,组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出 2 位校友代表,若选出的 2 位校友是一男一女,则称为“最佳组合” .. (1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于

1 ,求 n 的最大值; 2

1 2 时, (2) 当 n= 设选出的 2 位校友代表中女校友人数为 X , 求随机变量 X 的分布列和数学期望 E X .
19. (本小题满分 12 分)如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上异于 A, B 的一个动点, DC 垂直于圆 O 所在的平面, DC ? EB, DC = EB = 1, AB = 4 . (1)求证: DE ^ 平面ACD ; (2)若 AC = BC ,求平面 AED 与平面 ABE 所成的锐二面角的余弦值.

( )

20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C1 : x = 2 py p > 0 与圆 C2 : x2 + y 2 = 5 的两个交点之间的距离为 4. (1)求 p 的值; (2)设过抛物线 C1 的焦点 F 且斜率为 k 的直线与抛物线交于 A, B 两点,与圆 C2 交于 C , D 两点,当

2

(

)

k ? [ 0,1] 时,求 AB ×CD 的取值范围.
21. (本小题满分 12 分)已知函数 f x = x -

( )

a , g ( x) = 2 ln ( x + m) . x

(1)当 m = 0 ,存在 x0 ? 犏 , e ( e 为自然对数的底数) ,使 f x0 ?

轾 1 犏 e 臌

( )

g ( x0 ) x0

,求实数 a 的取值范围;

(2)当 a = m = 1 时,设 H x = xf x + g x ,在 H x 的图象上是否存在不同的两点

()

()

()

()

骣 x1 + x2 ?( x1 x2 ) ?请说明理由. A( x1, y1) , B ( x2 , y2 )( x1 > x2 > - 1) ,使得 H ( x1 ) - H ( x2 ) = H ?琪 琪 桫 2
请考生在 22、23、两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程
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在极坐标系 Ox 中,直线 C1 的极坐标方程为 r sin q = 2 , M 是 C1 上任意一点,点 P 在射线 OM 上,且 满足 OP ? OM

4 ,记点 P 的轨迹为 C2 .

(1)求曲线 C2 的极坐标方程; (2)求曲线 C2 上的点到直线 C3 : r cos 琪 q+ 琪

骣 p = 2 的距离的最大值. 桫 4

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

高三数学参考答案(理科) 一、选择题

1-4 DABB
二、填空题

5 - 8C D B A 9 - 1 2 DCBC

13. - 2

14. - 2

15. 12p

1 6 .( 1, +?

)
1 3
———————1 分

17.(1)当 n = 1 时,由 2Sn = 1 - an ,得: a1 = . 由 2Sn = 1 - an ① ②

2Sn-1 = 1 - an-1 ( n ? 2)

———————2 分

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(2) bn =

1 = log 1 an
3

1 骣 1 log 1 琪 琪 3 3桫
1 n

n

1 = , n

———————7 分

cn =

n +1 -

n

n ( n +1)

=

1 , n +1

———————9 分

骣1 骣1 骣1 骣 1 1 1 Tn =c1 + c2 +?cn = 琪 1+琪 +琪 +? + 琪 琪 琪 琪 琪 3 桫3 4 桫 2 桫2 桫n
—12 分

1 =1 n +1

1 —————— n +1

1 1 12 n - 6) 12 ( n - 6) 1 Cn - 6C6 18.(1)由题意可知,所选 2 人为“最佳组合”的概率为 ,则 = ( ? 6 Cn n ( n - 1) n ( n - 1) 2

n 化简得 n - 25n +144 ? 0 ,解得 9 #

2

16 ,故 n 的最大值为 16

(2)由题意可得, X 的可能取值为 0,1,2 则P X =0 =

(

)

2 1 1 2 C6 C6 C6 6 C6 5 5 = , P X = 1 = = , P X = 2 = = , ) ) ( ( 2 2 2 C12 22 C12 11 C12 22

X 的分布列为

E ( X ) =1 .
19.(1)? CD ^ 面ABC,\ DC ^ BC 又 AB 是圆 O 的直径,\ AC ^ BC

AC 翘 DC =C, AC, DC 面ACD, \ BC ^ 面ACD
又? DC ? EB, DC = EB,\ 四边形BCDE是平行四边形

\ DE ? BC \ DE ^ 平面ACD ———————4 分
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(2)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系,则 A 2 2, 0, 0 , D 0, 0,1 , B 0, 2 2, 0 , E 0, 2 2,1

(

)

(

)

(

) (

)

???? ???? AD = - 2 2, 0,1 , DE = 0, 2 2, 0 ———————6 分

(

)

(

)

设平面 ADE 的一个法向量为 n1 = x, y, z ,则

??

(

)

?? ???? ì n ? AD - 2 2 x + z = 0 ? 1 ?? í ?? ???? x = 1, 得 n ,令 ? 1 = 1, 0, 2 2 ———————8 分 ? n1 ? DE 2 2 y = 0

(

)

设平面 ABE 的一个法向量为 n2 = x, y, z ,则

?? ?

(

)

?? ??? ? ì n ? AB - 2 2x + 2 2 y = 0 ? 1 ?? ? í ?? ??? ? ,令 x = 1, 得n2 = (1,1,0) ———————10 分 ? n ? BE z = 0 ? 1

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ×n2 1 2 \ cos n1 , n2 = ?? ?? = ? = 6 n1 × n2 3 2

\ 所求余弦值为

2 ———————12 分 6

20. (1)由题意知交点坐标为 - 2,1 , 2,1 ———————2 分 代入抛物线 C1 : x2 = 2 py 解得 p =2 ———————4 分
2 (2) 抛物线 C1 的焦点 F 0,1 , 设直线方程为 y = kx +1 与抛物线 C1 : x = 4 y 联立化简得 x - 4kx - 4 = 0

(

)( )

( )

2

———————6 分 设 A x1, y1 , B x2 , y2 ,则 x1 +x2 =4k , x1 x2 = - 4 ———————7 分

(

) (

)

\ AB = 1 + k 2

( x +x )
1 2

2

- 4 x1 x2 = 1 + k 2
1 1+k 2

( 4k )

2

- 4? ( 4) = 4 1 + k 2 ———————8 分

(

)

圆心 C2 到直线 y = kx +1 的距离为 d =

———————9 分

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CD = 2 5 - d 2 = 2 5 -

1 5k 2 + 4 ———————10 分 = 2 1+k 2 1+k 2

AB ×CD = 4 1 + k

(

2

)

5k 2 + 4 ?2 =8 1+k 2 2 1+k

(

)( 5k 4) = 8
2

5k 4 + 9k 2 + 4 ———————11 分

16, 24 2 .———————12 分 又 k ? 0,1 ,所以 AB ×CD 的取值范围为 轾 犏 臌

[ ]

21. (1) f x0 ?

( )
2

g ( x0 ) x0

可化为 a ? x02

2ln x0

令 h x = x - 2ln x, 则h? x =

( )

( )

2 ( x+1) ( x - 1) ( x > 0) x

轹 1 \ 当x ? ê ,1÷ x) < 0, 当x ? (1 ,e] 时, h? ( ( x) > 0, ÷ 时, h? ê e 滕
又? h 琪 琪 =

骣 1 e 桫

1 + 2 < h ( e) = e2 - 2 ,\ h ( x) max = e2 - 2, 则 a ? e2 2, ———————5 分 2 e
2

(2) H x = x +2 ln x +1 - 1, H ? x = 2 x +

( )

(

)

( )

2 x +1

H ( x1) - H ( x2 ) x1 - x2
故可化为

=

骣 x1 + x2 4 x +1 2 = +( x1 + x2 ) ; ln 1 +( x1 + x2 ) , H ?琪 琪 x1 + x2 + 2 x1 - x2 x2 +1 桫 2

x +1 2 4 x +1 2 ( x1 - x2 ) ,即 ln 1 ———————7 分 ln 1 = = x1 - x2 x2 +1 x1 + x2 + 2 x2 +1 x1 + x2 + 2

又即 ln

x1 +1 2 轾 ( x1 +1) - ( x2 - 1) = 臌 x2 +1 ( x1 +1) + ( x2 +1)

轾 x +1 2 犏1 - 1 犏 x +1 = 臌2 x1 +1 +1 x2 +1





2 t - 1) x1 +1 = t ( t > 1) , ①式可化为 ln t = ( ———————9 分 t +1 x2 +1

令 m t = ln t -

()

2 ( t - 1) t +1

, m?( t ) =

( t - 1) t ( t +1)

2 2

> 0 ,所以\ m( t) 在(1 , +?

) 上递增———————11 分

\ m( t) 砛 m(1) =0; m( t) 无零点,故 A, B 两点不存在———————12 分
22. (1)设 P r ,q , M r 1,q1 , r 1 sinq = 2, r r 1 = 4, 消去 r 1 ,得 C2 : r = 2sin q ———————5 分
2 (2)将 C2 , C3 的极坐标方程转化为直角坐标方程,得 C2 : x + y - 1

(

)

(

)

(

)

2

= 1, C3 : x - y = 2

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C2 是以 ( 0,1) 为圆心,以 1 为半径的圆,圆心到直线 C3 的距离 d =
故曲线 C2 上的点到直线 C3 的距离的最大值为 1+

3 2 2

3 2 ———————10 分 2

23.(1)不等式 f x ? 4 化为 f x = 1 - 2x - 1 + x ? 4

()

()

祆 1 1 ì - 1 #x x? 镲 ? x <-1 或 或? ———————3 分 眄 2 2 镲 ? ? 1 - 2 x +1 + x ? 4 1- 2x - 1- x ? 4 2x 1- 1- x ? 4 铑

x ? 2, 或x ? 6 ,所以不等式的解集为 {x x ? 2, 或x ? 6} ———————5 分
(2)由于函数 g x = 1 + x + a 的图象恒在函数 f x 的图象的上方

( )

()

\ 1 + x + a > 1 - 2x - 1 + x ———————6 分
即不等式 a > 1 - 2x - 2 1 + x 恒成立———————7 分 令 h x = 1 - 2x - 2 1 + x = 1 - 2x - 2 + 2x 由 1 - 2x - 2 + 2x ? 3 ,得 h x

()

()

max

= 3 ———————9 分

所以实数 a 的取值范围 a > 3 ———————10 分

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