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第25讲 2005年全国高中数学联赛试题及详细解析


说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分两档,填空题只设 9 分和 0 分两档;其 他各题的评阅,请严格按照 本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。 2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分,5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次。
[来源:学*科*网 Z*

X*X*K]

一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的 代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在 括号内) ,一律得 0 分。 1.使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是( A. 6 ? 3 B. 3 C. 6 ? 3 D. 6 )

2 .空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11, | DA |? 9, 则 AC ? BD 的取值 ( ) A.只有一个 B.有二个 C.有四个 D.有无穷多个

6.记集合 T ? {0,1,2,3,4,5,6}, M ? { 顺序排列,则第 2005 个数是(

a1 a 2 a3 a 4 ? ? ? | ai ? T , i ? 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的 7 7 2 73 7 4


5 5 6 3 ? 2 ? 3? 4 7 7 7 7 1 1 0 4 C. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7
A.

5 5 6 2 ? 2 ? 3? 4 7 7 7 7 1 1 0 3 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7
B.

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7.将关于 x 的多项式 f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x
2 3 19

? x 20 表为关于 y 的多项式 g ( y) ?

[来源:学科网 ZXXK]

a0 ? a1 y ? a 2 y 2 ? ? ? a19 y 19 ? a 20 y 20 , 其中 y ? x ? 4. 则 a0 ? a1 ? ? ? a20 ?
2 2

.

8.已知 f ( x) 是定义在 (0,??) 上的减函数, 若 f (2a ? a ? 1) ? f (3a ? 4a ? 1) 成立, 则 a 的取值范 围是 。

12.如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列

a1 , a2 , a3 ,?, 若 a n ? 2005 , 则 a5 n ?

.

[来源:Z*xx*k.Com]

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.数列 {a n } 满足: a 0 ? 1, a n ?1 ?
2 7 a n ? 45 a n ? 36

2

, n ? N.

证明: (1)对任意 n ? N , a n 为正整数;(2)对任意 n ? N , a n a n ?1 ? 1 为完全平方数。 14.将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某 种放

法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法) 15.过抛物线 y ? x 上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B.点 C 在抛物线
2

上,点 E 在线段 AC 上,满足

AE BF ? ?1 ;点 F 在线段 BC 上,满足 ? ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ? 1 ,线段 CD 与 EF EC FC

交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. 2005 年全国高中数学联赛试题(二)及参考答案

二、 (本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a, az ? cx ? b; bx ? ay ? c. 求函数 f ( x, y, z ) ? 三、 (本题满分 50 分)

x2 y2 z2 ? ? 的最小值. 1? x 1? y 1? z

当n为平方数, ?0 ? 对每个正整数 n,定义函数 f ( n) ? ? 1 ?[{ n } ]当n不为平方数. ?
(其中[x]表示不超过 x 的最大整数, {x} ? x ? [ x]). 试求:

? f (k ) 的值.
k ?1

240

2005 年全国高中数学联赛解答
一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每小题均给出 A,B,C,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的 代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在 括号内) ,一律得 0 分。 1.使关于 x 的不等式 x ? 3 ? 6 ? x ? k 有解的实数 k 的最大值是( A. 6 ? 3 B. 3 C. 6 ? 3 D. 6 )

2 .空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB |? 3, | BC |? 7, | CD |? 11, | DA |? 9, 则 AC ? BD 的取值 ( ) A.只有一个 【答案】A
2

B.有二个

C.有四个

D.有无穷多个

【解析】注意到 3 ? 11 ? 1130 ? 7 ? 9 , 由于 AB ? BC ? CD ? DA ? 0, 则 DA ? DA =
2 2 2
2

?

2

( AB ? BC ? CD) 2 ? AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2( AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB 2 ?
BC 2 ? CD 2 ? 2( BC ? AB ? BC ? BC ? CD ? CD ? AB) ? AB 2 ? BC 2 ? CD 2 ? 2( AB ?
2

BC ) ? ( BC ? CD), 即 2 AC ? BD ? AD 2 ? BC 2 ? AB 2 ? CD 2 ? 0,? AC ? BD 只有一个值得 0,故选 A。

3 . ?ABC 内接于单位圆,三个内角 A 、 B 、 C 的平分线延长后分别交此圆于 A1 、 B1 、 C1 。则

AA1 ? cos

A B C ? BB1 ? cos ? CC1 ? cos 2 2 2 的值为( sin A ? sin B ? sin C
B.4 C.6

) D.8

A.2 【答 案】A

【解析】如图,连 BA1 ,则 AA1 ? 2sin( B ?

A A? B ?C B C ) ? 2sin( ? ? ) 2 2 2 2

? 2cos(

B C ? ). 2 2

[来源:学&科&网]

? AA1 cos

A B C A A? B ?C A?C ? B ? ? ? 2 cos( ? ) cos ? cos ? cos ? cos( ? C ) ? cos( ? B) 2 2 2 2 2 2 2 2 B C A ? sin C ? sin B,同理BB1 cos ? sin A ? sin C , CC1 cos ? sin A ? sin B,? AA1 cos ? BB1 ? 2 2 2 B C 2(sin A ? sin B ? sin C ) cos ? CC1 cos ? 2(sin A ? sin B ? sin C ),? 原式 ? ? 2.选A. 2 2 sin A ? sin B ? sin C

5.方程

x2 sin 2 ? sin 3

?

y2 cos 2 ? cos 3

? 1 表示的曲线是(
B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线



A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 【答案】C 【解析】? 2 ? 3 ? ? ,? 0 ?

?
2

? 2 ? 3?

?
2

?

?

,? cos( ? 2 ) ? cos( 3 ? ), 即 2 2 2

?

?

sin 2 ? sin 3.

又0 ? 圆。

2?

? ?

, ? 3 ? ? ,? cos 2 ? 0, cos 3 ? 0,? cos 2 ? cos 3 ? 0, 方程表示的曲线是椭 2 2
2? 3 2? 3 ? sin( ? ) ??(?) 2 2 4

? (sin 2 ? sin 3 ) ? (cos 2 ? cos 3 ) ? 2 2 sin

2? 3 2? 3 ? ? 0,? sin ? 0, ? 2 2 2 2 2? 3 ? ? sin( ? ) ? 0,? (?)式 ? 0. 2 4 ? ?

?

2 ? 3 3? 3? ? ,? ? 2 4 4

2? 3 ? ? ? ?. 2 4

即 sin 2 ? sin 3 ? cos 2 ? cos 3. ?曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆,选 C。

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7.将关于 x 的多项式 f ( x) ? 1 ? x ? x ? x ? ? ? x
2 3 19

? x 20 表为关于 y 的多项式 g ( y) ?
.

a0 ? a1 y ? a 2 y 2 ? ? ? a19 y 19 ? a 20 y 20 , 其中 y ? x ? 4. 则 a0 ? a1 ? ? ? a20 ?

5 21 ? 1 【答案】 6
【解析】由题设知, f ( x) 和式中的各项构成首项为 1,公比为 ? x 的等比数列,由等比数列的求和公 式,得: f ( x) ?

( y ? 4) 21 ? 1 (? x) 21 ? 1 x 21 ? 1 , 取 y ? 1, ? . 令 x ? y ? 4, 得 g ( y ) ? y?5 ? x ?1 x ?1

有 a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 20 ? g (1) ?

5 21 ? 1 . 6

9.设 ? 、 ? 、 ? 满足 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,若对于任意 x ? R, cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ?

cos(x ? ? ) ? 0, 则 ? ? ? ?
【答案】



4? . 3

【解析】设 f ( x) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? cos(x ? ? ), 由 x ? R , f ( x) ? 0 知,

f (?? ) ? 0, f (?? ) ? 0, f (? ? ) ? 0, 即 cos(? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ? ?1, cos( ? ? ?) ?

cos( ? ? ? ) ? ?1, cos( ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? ?1.? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?

1 2? 4? ? . ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? ,? ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? { , }, 又 ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ? 2 3 3 2? 4? .?? ? ? ? . ? ? ?. 只有 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3

10.如图,四面体 DABC 的体积为

AC 1 ,且满足 ?ACB ? 45?, AD ? BC ? ? 3, 则 CD ? 6 2

.

【答案】 3 【解析】? 即

1 1 1 AD ? ( ? BC ? AC ? sin 45?) ? VDABC ? , 3 2 6
AD ? BC ?
AC 2 AC 2

AC 2

? 1.



3 ? AD ? BC ?

? 3 AD ? BC ?

? 3,

等号当且仅当 AD ? BC ?

AC 2

? 1 时成立,这时 AB ? 1, AD ? 面 ABC,? DC ? 3 .
2

11.若正方形 ABCD 的一条边在直线 y ? 2 x ? 17 上,另外两个顶点在抛物线 y ? x 上.则该正方形面 积的最小值为 【答案】80 .

【解析】设正方形的边 AB 在直线 y ? 2 x ? 17 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为 C ( x1 , y1 ) 、

D( x2 , y 2 ) , 则 CD 所 在 直 线 l 的 方 程 y ? 2 x ? b, 将 直 线 l 的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 , 得
x 2 ? 2 x ? b ? x1, 2 ? 1 ? b ? 1.
令正方形边长为 a, 则 a ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ? 5( x1 ? x2 ) ? 20(b ? 1). ①
2 2 2 2

在 y ? 2 x ? 17 上任取一点(6,,5) ,它到直线 y ? 2 x ? b 的距离为②.

①、②联立解得或

三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.数列满足: 【解析】证明: (1)对任意为正整数;(2) 对任意为完全平方数。 证明: (1)由题设得且严格单调递增.将条件式变形得两边平方整理得 ① ② ①-②得 ③ 由③式及可知,对任意为正整数.

14.将编号为 1,2,?,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.(注:如果某种放 法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法) 【解析】九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上,每点放一个,相当于九个不同元素在圆周上 的一个圆形排列,故共有 8!种放法,考虑到翻转因素,则本质不同的放法有种. ?5 分 下求使 S 达到最小值的放法数:在圆周上,从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径,对其中任一条路径,设是依 次排列于这段弧上的小球号码,则 上式取等号当且仅当,即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列. 因此. 由上知,当每个弧段上的球号确定之后,达到最小值的排序方案便唯一确定. 在 1,2,?,9 中,除 1 与 9 外,剩下 7 个球号 2,3,?,8,将它们分为两个子集,元素较少的一个 子集共有种情况,每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法,即有利事件总数是种,故所求概率 15.过抛物线上的一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交轴于 D,交轴于 B.点 C 在抛物线上,点 E 在 线段 AC 上,满足;点 F 在线段 BC 上,满足,且,线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程.

当时,EF 方程为:方程为: ,联立解得也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合,∴ ∴所求轨迹方程为

解二:由解一知,AB 的方程为故 D 是 AB 的中点. 令则因为 CD 为的中线, 而是的重心. 设因点 C 异于 A,则故重心 P 的坐标为 消去得 故所求轨迹方程为 2005 年全国高中数学联赛试题(二)及参考答案 一、 (本题满分 50 分) 如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过 A 作△ABC 的外接圆的切线 l,又以 A 为圆心,AC 为半径作圆分别 交线段 AB 于 D;交直线 l 于 E、F。 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

(2)再证 DF 过△ABC 的一个旁心. 连 FD 并延长交∠ABC 的外角平分线于 I1,连 II1、B I1、B I,由(1)知,I 为内心, ∴∠IBI1=90°=∠EDI1,∴D、B、l1、I 四点共圆, ∵∠BI l1 =∠BDI1=90°-∠ADI1 =(∠BAC+∠ADG)-∠ADI=∠BAC+∠IDG,∴A、I、I1 共线. I1 是△ABC 的 BC 边外的旁心 二、 (本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 求函数的最小值.

求函数、 、 )=的最小值. 令则 且

同理, +(取等号当且仅当,此时, 三、 (本题满分 50 分) 对每个正整数 n,定义函数 (其中[x]表示不超过 x 的最大整数, 试求:的值.

示例如下: j i 1 2 3 4 5 6 则 ??② 由此,??③ 记易得的取值情况如下: * 1 * 2 * * * * 3 * 4 * * 5 * 6 * * *

k

1 3

2 5

3 6

4 6

5 7

6 8

7 6

8 9

9 8

10 8

11 8

12 10

13 7

14 10

15 10

因此,??④

2005 年全国高中数学联赛加试第 2 题的探讨

本文对 2005 年的全国高中数学联赛加试第 2 题的解法及来历作以探讨,供感兴趣的读者参考。 题目:设正数 a、b、c、x、y、z 满足 ; ,求函数的最小值。 一.几种迷茫思路的分析 这道题目初看起来比较平易, 给人一种立刻想到直接使用 Cauchy 不等式的通畅思路的惊喜, 殊不知, 这是一个极大的误区,本题的难度和技巧正好在这里设置了较好的陷阱。 思路一: 由 Cauchy 不等式知 到此,在 u>0 的情况下,力图使用函数的性质无法得到最小值。 思路二:考虑到题目的条件是 6 个变量的 3 个等量关系,于是,可根据三个条件等式容易求出 x、y、 z 用 a、b、c 表达的式子: 因为 a、b、c;x、y、z 都是正数,所以,

到此,似乎胜利的曙光就在眼前,立刻想到在区间内使用函数的性质,但也无法得到最小值,而此时的最 0 大值正好与题目的最小值(由于函数的对称性,可以猜测其最小值在 A=B=C=60 时达到)吻合,实际上, 这是一条无用的信息(表明使用 Cauchy 不等式过当! ) ,它是答题人再次陷入不能自拔的困境。 俗话说得好,失败是成功之母,上面的思路也昭示我们,对原式不能直接使用 Cauchy 不等式,需要 再对原式做更好的更有用的恒等变形,可能是正确的途径。 二.赛题的解答 为证明本赛题,我们先证明如下一个引理。 引理:在△ABC 中,求证: ① 等号成立的条件是△ABC 为等边三角形。 证明:用向量方法证明如下 设是平面上的单位向量,且成角为π -A, 成角为π -B, 成角为π -C,那么,
[来源:学科网 ZXXK]

,所以

注意到,在△ABC 中有熟知的等式:. 从而①得证。 有了上面的引理,本题的解答就容易多了,下面看本题的解法。 解:同思路二得到,以 a、b、c 为对应边可以构成一个锐角△ABC, 令从而

等号成立的条件显然是 A=B=C=60 时达到,最后一个不等式是根据引理而得到的。 所以,的最小值为. 显然,在时,等号成立,所以的最小值为. 三.背景探索 早在 1994 年,华东交大刘健先生就提出了如下猜想命题:

0

在△ABC 中,是否有: ② 后来,湖南师大附中黄军华(现为深圳中学教师)先生在文[1]曾证明了这一猜想。 请看证明:分两种情况 0 (1)当△ABC 为钝角三角形时,此时不妨设 A>90 , 于是 , 所以 ,∴ 再据 ,所以,

cos2 A cos2 B cos2 C ? ? sin 2 B ? sin 2 C sin 2 C ? sin 2 A sin 2 A ? sin 2 B cos2 A cos2 C ? ? sin 2 B ? sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B cos2 A cos2 C ? ? sin 2 A ? sin 2 C sin 2 A ? sin 2 B cos2 B ? cos2 C 1 ? ? 2 sin 2 A 2

即三角形为非钝角三角形时结论也成立,综上结论得证。 对比③之后的叙述与今年的这道竞赛加试第 2 题的解法,不难知道,今年的这道赛题无非是在②的 第 2 种情况的基础上增加了一个解方程组的程序(并 由此判断△ABC 为锐角三角形)罢了,即今年的这道 加试题可以看作是由解方程组(初中知识的要求) ,判断三角形种类、与求最值(高中知识的要求)三个 问题的简单合成(串联) 。 顺便指出,①的证明曾经是上世纪 1990 年前后在文[2]等刊物上讨论过几年的一个结论。 四.条件等式的几何解释


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