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数学苏教版必修4 第1章1.3.1三角函数的周期性 作业

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[学业水平训练] 1.函数 y=sin 4x 的周期是________. 2π π 解析:T= = . 4 2 π 答案: 2 π 2.函数 y=2cos( -ωx)(ω<0)的最小正周期是 4π,则 ω=________. 3 2π 1 1 解析:T= =4π,∴|ω|= ,∵ω<0,∴ω=- . 2 2 |-ω| 1 答案:- 2 3.函数 f(x)=cos 2x+|cos 2x|的最小正周期为________. 解析:由 f(x)=cos 2x+|cos 2x| π π 2cos 2x,x∈(kπ- ,kπ+ ](k∈Z), 4 4 = π 3π 0,x∈(kπ+ ,kπ+ ](k∈Z), 4 4 2π 故所求最小正周期 T= =π. 2 答案:π 4.函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数,且 f(1)=2,则 f(5)=________. 解析:因为 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数,所以 f(x+3)=f(x)且 f(-x)=-f(x), 又 f(1)=2,所以 f(5)=f(2+3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2. 答案:-2 5.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(x+4)=-f(x),且 f(4)=5,则:f(-20)=________, f(2 012)=________. 解析:由 f(x+4)=-f(x),得 f(x)=-f(x+4)=-[-f(x+4+4)]=f(x+8),所以 T=8, f(-20)=f(-24+4)=f(4)=5,f(2 012)=f(251× 8+4)=f(4)=5. 答案:5 5 kx π 6.已知函数 f(x)=sin( + ),其中 k≠0,当自变量 x 在任何两整数间(包括整数本身) 10 3 变化时,至少含有 1 个周期,则最小的正整数 k 为________. 2π 20π 解析:由正弦函数的周期公式,得 T= = , k k 10 20π 由题意知:0< ≤1. k 解得 k≥20π≈62.8. ∴正整数 k 的最小值为 63. 答案:63 5π 2π 7 . 设 f(x) 是 定 义 在 R 上 的 最 小 正 周 期 为 的 函 数 , 且 在 [ - , π] 上 f(x) = 3 3 2π ? ?sin x,x∈[- 3 ,0), 16π ? 求 f(- )的值. 3 ? ?cos x,x∈[0,π). 5π 5π 16 16π 5π 11π 解:因为 f(x)的最小正周期为 ,所以 f(x+ )=f(x),f(- π)=f(- + )=f(- ) 3 3 3 3 3 3 11π 5π 6π 6π 5π π =f(- + )=f(- )=f(- + )=f(- ), 3 3 3 3 3 3 ? ? ? 1 π 2π 又- ∈[- ,0), 3 3 π π π 3 所以 f(- )=sin(- )=-sin =- , 3 3 3 2 16 3 所以 f(- π)=- . 3 2 8.定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为 π,且当 x π 5π ∈[0, ]时,f(x)=sin x,求 f( )的值. 2 3 5 2π 2 解:由题意,得 f( π)=f(π+ )=f( π) 3 3 3 π π π =f(π- )=f(- )=-f( ). 3 3 3 π 因为当 x∈[0, ]时,f(x)=sin x, 2 5 π 3 所以 f( π)=-sin =- . 3 3 2

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