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100测评网山东省潍坊市2008年2月高三教学质量检测——数学(理)


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山东省潍坊市 2008 年高三教学质量检测 数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科

目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.(特别强调:为方 便本次阅卷, 每位考生在认真填涂“数学”答题卡的前提下, 再将Ⅰ卷选择题答案 重涂在另一答题卡上.)如需改动,用橡皮擦干净后,再改图其他答案标号. 一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若复数 z ?

1? i ,则 z 等于 1? i





A.-i B.i C.2i D.1+i 2.甲、乙两名同学在 5 次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示,若甲、乙两人的平 均成绩分别是 X 甲、X 乙,则下列结论正确的是 ( ) A.X 甲<X 乙;乙比甲成绩稳定 B.X 甲>X 乙;甲比乙成绩稳定 C.X 甲>X 乙;乙比甲成绩稳定 D.X 甲<X 乙;甲比乙成绩稳定 3.已知向量 a,b 均为单位向量,若它们的夹角 60°, 则|a-3b|等于 ( ) A. 7 B. 10 C. 13 D.4 ( )

4.在下列各函数中,最小值等于 2 的函数是

1 A. y ? x ? x
C. y ?

1 ? (0 ? x ? ) B. y ? cos x ? cos x 2
D. y ? e ?
x

x2 ? 3 x2 ? 2
2 2

4 ?2 ex

5.已知椭圆 x +2y -4=0,则以 M(1,1)为中点的弦所在的 直线方程是 ( ) A.x+2y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y+3=0 D.2x-y+3=0 6.如图所示的程序框图输出的结果是 ( )

3 4 4 B. 5
A.

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5 6 6 D. 7
C. 7.用单位正方体搭几何体,使它的主视图和俯视图如图所示, 则符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是( ) A.9,13 B.7,16 C.10,15 D.10,16 8.函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(| ? |?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且其图像向左平移

? 个单位后得 6

到的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象 ( )

? , 0) 对称 12 5? , 0) 对称 C.关于点 ( 12
A.关于点 ( 9.函数 y ?| x | 与 y ?

B.关于直线 x ? D.关于直线 x ?

5? 对称 12

?

12

对称 ( )

x2 ? 1 在同一坐标系的图象为

10. 三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在体积为

500? 的球的表面上, 地面 ABC 所在的小圆面积为 3

1( ) , A.7 B.7.5 C.8 D.9 3 ? 2 11. 抛物线 x ? ay(a ? 0) 的准线 l 与 y 轴交于点 P, 若 l 绕点 P 以每秒 弧度的角速度按 , 12 5 逆时针方向旋转 t 秒钟后,恰与抛物线第一次相切,则 t 等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 12.函数 y=f(x)是定义在[a,b]上的增函数,期中 a,b∈R,且 0<b<-a,已知 y=f(x) 2 2 无零点,设函数 F(x)=f (x)+f (-x),则对于 F(x)有如下四个说法: ①定义域是[-b,b]; ②是偶函数; ③最小值是 0; ④在定义域内单调递增 其中正确的说汉的个数有 ( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 1 , 3 , 5

16? ,则该三棱锥的高的最大值为

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注意事项: 1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 ( 13,0) ,则该双曲线的渐近线方程为__________. 9 a

14.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6 ? a14 ? 20 ,则 S19=______________. 15.二项式 ( 6 x ?

1 2 x

)n 展开式中,前三项系数依次组成等差

数列,则展开式中的常数项等于____________________. 16.如图,平面上一长 12cm,宽 10cm 的矩形 ABCD 内有一 半径为 1cm 的圆 O(圆心 O 在矩形对角线交点处).把一 枚半径 1cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内), 则硬币不与圆 O 相碰的概率为_________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 A 为锐角,

? A A ? A A f ( A) ? 2sin( ? ) sin(? ? ) ? cos 2 ( ? ) ? cos 2 (? ? ) 2 2 2 2 2 2
(1)求 f(A)的最小值; (2)若 f ( A) ? ? 2, A ? B ?

7 ? , a ? 6 ,求 b 的大小. 12

18.(本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏,按照规则,甲先从 6 道备选题中一 次性抽取 3 道题独立作答,然后由乙回答剩余 3 题,每人答对其中 2 题就停止答题,即 闯关成功. 已知在 6 道被选题中, 甲能答对其中的 4 道题, 乙答对每道题的概率都是 (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率; (2)设甲答对题目的个数为 ξ 1,求 ξ 的分布列及数学期望.

2 . 3

19.(本小题满分 12 分) 如图, 直四棱柱 ABCD—A1B2C3D4 中, 侧棱 AA1=2, 底面 ABCD 是菱形, AB=2,∠ABC=60°, P 为侧棱 BB1 上的动点. (1)求证:D1P⊥AC; (2)当二面角 D1—AC—P 的大小为 120°,求 BP 的长; (3)在(2)的条件下,求三棱锥 P—ACD1 的体积.

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20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(2 ? 3x) ?

3 2 x . 2

(1)求 f ( x ) 在[0,1]上的单调区间; (2)若对任意 x ? [ ,1] ,不等式 | a ? f ( x) |? ln 5 ,求实数 a 的取值范围.

1 3

21.(本小题满分 12 分)

? y ? 0, ? 已知可行域 ? x ? 3 y ? 2 ? 0, 的外接圆 C 与 x 轴交于点 A1、A2,椭圆 C1 以线段 ? ? 3x ? y ? 2 3 ? 0,
A1A2 为长轴,离心率 e ?

2 . 2

(1)求圆 C 及椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的右焦点为 F,点 P 为圆 C 上异于 A1、A2 的动点,过原点 O 作直线 PF 的 垂线交直线 x ? 2 2 于点 Q,判断直线 PQ 与圆 C 的位置关系,并给出证明.

22.(本小题满分 14 分) 已 知 在 数 列 {an} 中 , a1 ? t, a2 ? t 2 ( t>0 且 t≠1 ) . x ? t 是 函 数

f ( x) ? an?1x3 ? 3[(t ?1)an ? an?1 ]x ?1(n ? 2) 的一个极值点.

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(1)证明数列 {an?1 ? an } 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ? 2(1 ?

1 ) ,当 t=2 时,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn,求使 Sn>2008 的 n 的最 an

小值; ( 3 ) 当 t=2 时 , 是 否 存 在 指 数 函 数 g ( x ) , 使 得 对 于 任 意 的 正 整 数 n 有

? (a
k ?1

k

k

g (k ) 1 ? 成立?若存在,求出满足条件的一个 g(x);若不存在, ? 1)(ak ?1 ? 1) 3

请说明理由.

参考答案 一、选择题: BAADA CDBAC CC 二、填空题

1 14.190 15.7 , 3 三、解答题 , A A 2 A 2 A 5 ? cos 17.(1) f ( A) ? ?2 cos sin ? sin

2 13. y ? ? x 3

16. 1 ?

?
20

2

2

? ? sin A ? cos A ? ? 2 sin( A ? ) 4
∵A 为锐角,∴ 0 ? A ? ∴当 A ?

?

2

2

????4 分

?

?
4

?

?
2

2

,∴

?

4

? A?

?

3 ? ?, 4 4
????6 分

时, f ( A)min ? ? 2

(2)由题意知 f ( A) ? ? 2 sin( A ? 又∵

?
4

) ? ? 2 ,∴ sin( A ?

?
4

) ? 1.
????8 分 ????9 分

3 ? ? ? ? ? ,∴ A ? ? ,∴ A ? , 4 4 4 4 2 4 7 ? ? ,∴ B ? , 又∵ A ? B ? 12 3 ? A? a b a sin B ? 由正弦定理 得b ? ? sin A sin B sin A
18.(1)设甲、乙闯关成功分别为事件 A、B,

?

?

6 ? sin sin

?
3 ? 3.
????12 分

?
4

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则 P( A) ?
1 2 C4 ? C2 4 1 ? ? , 3 20 5 C6

????2 分

2 2 2 1 2 7 P( B) ? (1 ? )3 ? C32 (1 ? ) 2 ? ? ? , 3 3 3 27 9 27
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是

????4 分

1 7 128 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? ? ? . 5 27 135
(2)由题知 ξ 的可能取值是 1,2.
1 2 2 1 3 C4 C2 1 C4 C2 ? C4 4 ? , P ( ? ? 2) ? ? , 3 3 C6 5 C6 5

????6 分 ????7 分

P(? ? 1) ?

则 ξ 的分布列为 ξ P 1 2

1 5

4 5
????10 分

∴ E? ? 1?

1 4 9 ? 2 ? ? .????12 分 5 5 5

19.(1)连接 BD,则 AC⊥BD, ∵D1D⊥地面 ABCD,∴AC⊥D1D ????2 分 ∴AC⊥平面 BB1D1D, ∵D1P ? 平面 BB1D1D,∴D1P⊥AC.????4 分 (2)连接 D1O,OP, ∵D1A=D1C,∴D1O⊥AC,同理 PO⊥AC, ∴∠D1OP 是二面角 D1—AC—P 的平面角.??6 分 ∴∠D1OP =120°. 设 BP ? x(0 ? x ? 2) , ∵ AB=2,?ABC= 60°,则 BO ? DO ? 3 , ∴ PO ?

3 ? x 2 , D1O ? 4 ? 3 ? 7 .

D P ? 12 ? (2 ? x) 2 . 在 Rt ?D1B1P 1 中, 1
在 ?D1OP 中,由余弦定理 D1 P ? D1O ? PO ? 2D1O ? PO ? cos120 得
2 2 2 ?

1 12 ? (2 ? x) 2 ? 7 ? 3 ? x 2 ? 2 ? 7 ? 3 ? x 2 ? ,即 6 ? 4 x ? 7(3 ? x 2 ) . 2 1 1 2 整理得 3x ? 16 x ? 5 ? 0 ,解得 x ? 或 x ? 5 (舍).∴ BP ? . ????9 分 3 3
(3)∵ BP ?

1 1 2 7 ,∴ PO ? 3 ? ? , 3 9 3

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1 1 2 7 3 7 3 , ? PO ? OD1 ? sin 120? ? ? ? 7? ? 2 2 3 2 6

? S ?POD1 ?

∵AC⊥平面 OPD1,

?VP? ACD1 ? VP?OCD1 ? VP?OAD1 ? VA?OAD1 ? VA?OPD1
1 1 7 3 7 3 ? ? S ?OPD1 ? AC ? ? ?2 ? . ????12 分 3 3 6 9
解法二:设上、下底面菱形对角线交点分别为 O1,O, 则 AC ? BD , OO1 ? 平面 ABCD. 如图,以 OD、OC、OO1 所在直线为 xyz 轴,建立空间直角坐标系.????1 分 (1) A(1, ?1,0), C(0,1,0), D( 3,0, 2), B(? 3,0,0) 设 P(? 3,0, x)(0 ? x ? 2) 则 AC ? (0,2,0), D1 P ? (?2 3,0, x ? 2), AC ? D1 P ? 0 ? 0 ? 0( x ? 2) ? 0 ∴ D1P ? AC 即 D1P ? AC . (2) OD1 ? ( 3,0,2), OP ? (? 3,0, x) , ????5 分

OD1 ? AC ? 0, OP ? AC ? 0
∴ OD1 ? AC, OP ? AC ,∴ ? OD1 , OP ? 就是二面角 D1—AC—P 的平面角, ????7 分

? cos ?D1OP ?
解得 x ?

OD1 ? OP | OD | ? | OP |

?

2x ? 3 7 ? 3 ? x2

??

1 , 2
????9 分

1 1 或 x ? 5 (舍),∴ BP ? . 3 3 2 3

(3)同解法一。 20.(1)函数 f(x)的定义域为 {x | x ? ? } ,

f '( x) ?

3 3 ? 6 x ? 9 x 2 ?3( x ? 1)(3x ? 1) ? 3x ? ? 2 ? 3x 2 ? 3x 3x ? 2
1 时, f ?( x) ? 0 时, f ( x) 单调递增; 3

????3 分

∴在[0,1]上,当 0 ? x ? 当

1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. 3

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1] .(开闭均可) ∴ f ( x ) 在[0,1]上的增区间是 [0, ] ,减区间是 [ ,
分 (2)由 | a ? f ( x) |? ln 5 ,可得 a ? f ( x) ? ln 5 或 a ? f ( x)< ? ln 5 , 即 a ? f ( x) ? ln 5 或 a<f ( x) ? ln 5 . 由(1)当 x ? [ ,1] 时, f ( x) nmx ? f ( ) ? ln 3 ? ????7 分

1 3

1 3

????6

1 3

1 3

1 , 6
????9 分

3 f ( x) min ? f (1) ? ln 5 ? . 2
∵ a ? f ( x) ? ln 5 恒成立,∴ a ? ln15 ? ∵ a ? f ( x) ? ln 5 恒成立,∴ a ? ?

1 , 6

3 . 2
????12 分

1 3 ? a 的取值范围为: a ? ln 15 ? 或a ? 6 2

21.(1)由题意可知,可行域是以 A 1 (?2,0), A2 (2,0) 及点 M (1, 3) 为顶点的三角形, ∵ A1M ? A2 M ,∴ ?A1 A2 M 为直角三角形, ????2 分

∴外接圆 C 以原点 O 为圆心,线段 A1A2 为直径,故其方程为 x2 ? y 2 ? 4 . ∵2a=4,∴a=2. 又e ?

2 ,∴ c ? 2 ,可得 b ? 2 . 2
x2 y 2 ? ? 1. 4 2
????6 分

∴所求椭圆 C1 的方程是

(2)直线 PQ 与圆 C 相切.
2 2 设 P( x0 , y0 )( x0 ? ?2) ,则 y0 . ? 4 ? x0

当 x0 ? 2 时, P( 2 ,? 2 ), Q(2 2 ,0), k OP ? k PQ ? ?1,∴ OP ? PQ ;

当 x0 ? 2 时, k PF ?

y0 x0 ? 2

,? k OQ ? ?

x0 ? 2 y0
????8 分

∴直线 OQ 的方程为 y ? ?

x0 ? 2 x. y0 2 2 x0 ? 4 x) . y0

因此,点 Q 的坐标为 (2 2 ,?

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?
∵ k PQ ?

2 x0 ? 4 ? y0 y0 2 2 ? x0

?

2 2 2 x0 ? 4 ? y 0

y 0 ( x0 ? 2 2 )

?

x0 (2 2 ? x0 ) y 0 ( x0 ? 2 2 )

??

x0 , ????10 分 y0

∴当 x0 ? 0 时, kPQ ? 0 , OP ? PQ ; 当 x0 ? 0 时候, kOP ?

y0 ,∴ kPQ kOP ? ?1, OP ? PQ . x0

综上,当 x0 ? ?2 时候, OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 C 相切.????12 分 22.(1) f '( x) ? 3an?1 x2 ? 3[(t ? 1)an ? an?1 ](n ? 2) . 由题意 f ?( t ) ? 0 ,即 3an?1 ( t )2 ? 3[(t ?1)an ? an?1 ](n ? 2) . ∴ an?1 ? an ? t (an ? an?1 )(n ? 2)
2 ∵ t ? 0 且 t ? 1 ,∴数列 {an?1 ? an } 是以 t ? t 为首项,t 为公比的等比数列,

????1 分

????2 分

? a n ?1 ? a n ? (t 2 ? t )t n ?1 ? (t ? 1) ? t n , ? a 2 ? a1 ? (t ? 1)t , a3 ? a 2 ? (t ? 1) ? t 2 , ?? a n ? a n ?1 ? (t ? 1)t n ?1
以上各式两边分别相加得 an ? a1 ? (t ?1)(t ? t 2 ? …t n?1 ) ,∴ an ? t n (n ? 2) , 当 n ? 1 时,上式也成立,∴ an ? t n (2)当 t=2 时, bn ? ????5 分

2(2n ? 1) 1 ? 2 ? n?1 n 2 2

1 1 1 1 2n ? S n ? 2n ? (1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ) ? 2n ? 1 2 2 2 1? 2 1 1 ? 2n ? 2(1 ? n ) ? 2n ? 2 ? 2 ? n . 2 2 1?
由 Sn ? 2008 ,得 2n ? 2 ? 2( ) ? 2008 ,
n

????7 分

1 2

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1 n ? ( ) n ? 1005 , 2
当 n ? 1400时, n ? ( ) ? 1005 , 当n ? 1005时, n ? ( ) ? 1500 ,
n n

????8 分

1 2

1 2

因此 n 的最小值为 1005. (3)∵

????10 分

1 1 1 1 1 ? k ? k( k ? k ?1 ) k ?1 (ak ? 1)(ak ?1 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1 g (k ) 1 1 ? k ? k ?1 (ak ? 1)(ak ?1 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

令 g (k ) ? 2k ,则有:



?(
k ?1

n

n g (k ) 1 1 ? ( k ?1 ? k ?1 ) ? k (a ? 1)(ak ?1 ? 1) k ?1 2 ? 1 2 ? 1

?(

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ?…? ( n ? n ?1 ) ? ? n ?1 ? 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3 2 ?1 3
????13 分

即函数 g (k ) ? 2x 满足条件.

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