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新课程标准数学选修1-1第三章课后习题解答[唐金制]


新课程标准数学选修 1—1 第三章课后习题解答
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 练习(P76) 在第 3 h 和 5 h 时,原油温度的瞬时变化率分别为 ?1 和 3. 它说明在第 3 h 附近,原油温度大 约以 1 ℃/h 的速度下降;在第 5 h 时,原油温度大约以 3 ℃/h 的速率上升. 练习(P78) 函数 h(t ) 在 t ? t3 附近单调递

增,在 t ? t4 附近单调递增. 并且,函数 h(t ) 在 t 4 附近比在 t3 附近 增加得慢. 说明:体会“以直代曲”的思想. 练习(P79) 函数 r (V ) ?
3

3V (0 ? V ? 5) 的图象为 4?

根据图象,估算出 r? (0.6) ? 0.3 , r? (1.2) ? 0.2 . 说明:如果没有信息技术,教师可以将此图直接提供给学生,然后让学生根据导数的几何意 义估算两点处的导数. 习题 3.1 A 组(P79) W (t ) ? W1 (t0 ? ?t ) W2 (t0 ) ? W2 (t0 ? ?t ) ? 1、在 t 0 处,虽然 W1 (t0 ) ? W2 (t0 ) ,然而 1 0 . ??t ??t 所以,单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大,因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明:平均变化率的应用,体会平均变化率的内涵. ?h h(1 ? ?t ) ? h(1) ? ? ?4.9?t ? 3.3 ,所以, h?(1) ? ?3.3 . 2、 ?t ?t 这说明运动员在 t ? 1 s 附近以 3.3 m/s 的速度下降. 3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s (t ) 在 t ? 5 时的导数.

?s s ( 5? ?t ) s ( 5 ) ? ? ? ?t ? 10 ,所以, s?(5) ? 10 . ?t ?t
因此,物体在第 5 s 时的瞬时速度为 10 m/s,它在第 5 s 的动能 Ek ? 4、设车轮转动的角度为 ? ,时间为 t ,则 ? ? kt 2 (t ? 0) .
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1 ? 3 ? 102 ? 150 J. 2

由题意可知,当 t ? 0.8 时, ? ? 2? . 所以 k ?

25? 25? 2 t . ,于是 ? ? 8 8

车轮转动开始后第 3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 ? (t ) 在 t ? 3.2 时的导数.

?? ? ( 3 . ? ?t ?)? ( 3 . 2 )? 2 5 2 ? ? ?t ? 20? ,所以 ? ?(3.2) ? 20? . ?t ?t 8 因此,车轮在开始转动后第 3.2 s 时的瞬时角速度为 20? 弧度/秒. 说明:第 2,3,4 题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知,函数 f ( x) 在 x ? ?5 处切线的斜率大于 0,所以函数在 x ? ?5 附近单调递增. 同 理可得,函数 f ( x) 在 x ? ?4 , ?2 ,0,2 附近分别单调递增,几乎没有变化,单调递减,单调 递减. 说明: “以直代曲”思想的应用.

6、函数(1)是一条直线,其斜率是一个小于 0 的常数;函数(2)的 f ?( x ) 均大于 0,并且 随着 x 的增加, f ?( x ) 的值也在增加;对于函数(3) ,当 x 小于 0 时, f ?( x ) 小于 0,当 x 大于 0 时, f ?( x ) 大于 0,并且随着 x 的增加, f ?( x ) 的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函 数图象中的一种.

说明:本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题 3.1 B 组(P80) 1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢,即速度;速度关于时间的导数刻画的是 速度变化的快慢,根据物理知识,这个量就是加速度. 2、

说明:由给出的 v(t ) 的信息获得 s (t ) 的相关信息,并据此画出 s (t ) 的图象的大致形状. 这个 过程基于对导数内涵的了解,以及数与形之间的相互转换. 3、由题意可知,函数 f ( x) 的图象在点 (1, ?5) 处的切线斜率为 ?1 ,所以此点附近曲线呈下降 趋势. 首先画出切线的图象,然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得(2) (3)某点处函数 图象的大致形状. 说明:这是一个综合性问题,包含了对导数内涵、导数几何意义的了解,以及对以直代曲思 想的领悟.
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3.2 导数的计算 练习(P85) 1、 f ?( x) ? 2 x ? 7 ,所以, f ?(2) ? ?3 , f ?(6) ? 5 . 2、 (1) y ? ?

1 ; x ln 2

(2) y? ? 2e x ; (4) y? ? ?3sin x ? 4cos x

(3) y? ? 10 x4 ? 6 x ? 5 ;

习题 3.2 A 组(P85) ?S S (r ? ?r ) ? S (r ) ? ? 2? r ? ?r ,所以, S ?(r ) ? lim (2? r ? ?r ) ? 2? r . 1、 ?r ?0 ?r ?r 2、 h?(t ) ? ?9.8t ? 6.5 . 4、 (1) y ? ? 3 x 2 ? 3、 r ?(V ) ?

13 3 . 3 4? V 2
(3) y ? ? ?

1 ; (2) y? ? nxn?1ex ? xnex ; x ln 2

1 . sin 2 x

5、 f ?( x) ? ?8 ? 2 2x . 由 f ?( x0 ) ? 4 有 4 ? ?8 ? 2 2x0 ,解得 x0 ? 3 2 . 6、 (1) y? ? ln x ? 1 ; (2) y ? x ? 1 . 7、 y ? ?

x

?

?1 .

8、 (1)氨气的散发速度 A?(t ) ? 500 ? ln 0.834 ? 0.834t . (2) A?(7) ? ?25.5 ,它表示氨气在第 7 天左右时,以 25.5 克/天的速率减少. 习题 3.2 B 组(P86) 1、当 y ? 0 时, x ? 0 . 所以函数图象与 x 轴交于点 P(0, 0) .

y? ? ?e x ,所以 y?

x ?0

? ?1 .

所以,曲线在点 P 处的切线的方程为 y ? ? x . 2、 d ?(t ) ? ?4sin t . 所以,上午 6:00 时潮水的速度为 ?0.42 m/h;上午 9:00 时潮水的速度为

?0.63 m/h;中午 12:00 时潮水的速度为 ?0.83 m/h;下午 6:00 时潮水的速度为 ?1.24 m/h. 3.3 导数在研究函数中的应用 练习(P93)
1、 (1)因为 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 ,所以 f ?( x) ? 2 x ? 2 .
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当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 单调递减. (2)因为 f ( x) ? ex ? x ,所以 f ?( x) ? ex ?1 . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时,函数 f ( x) ? ex ? x 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 时,函数 f ( x) ? ex ? x 单调递减. (3)因为 f ( x) ? 3x ? x3 ,所以 f ?( x) ? 3 ? 3x2 . 当 f ?( x) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 时,函数 f ( x) ? 3x ? x3 单调递增; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?1 或 x ? 1 时,函数 f ( x) ? 3x ? x3 单调递减. (4)因为 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ,所以 f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ?1.

1 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ? 或 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x 单调递增; 3 1 当 f ?( x) ? 0 ,即 ? ? x ? 1 时,函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x 单调递减. 3
2、
注:图象形状不唯一.

3、因为 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,所以 f ?( x) ? 2ax ? b . (1)当 a ? 0 时,

b 时,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 单调递增; 2a b f ?( x) ? 0 ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 单调递减. 2a (2)当 a ? 0 时, b f ?( x) ? 0 ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 单调递增; 2a b f ?( x) ? 0 ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 单调递减. 2a

f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?

4、证明:因为 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 ,所以 f ?( x) ? 6 x2 ?12 x . 当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 6 x2 ?12 x ? 0 , 因此函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在 (0, 2) 内是减函数. 练习(P96) 1、 (1)因为 f ( x) ? 6x2 ? x ? 2 ,所以 f ?( x) ? 12 x ?1 .
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令 f ?( x) ? 12 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 当x ?

1 . 12

1 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. 12 12 1 1 1 1 49 所以,当 x ? 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 f ( ) ? 6 ? ( ) 2 ? ? 2 ? ? . 12 12 12 12 24
(2)因为 f ( x) ? x3 ? 27 x ,所以 f ?( x) ? 3x2 ? 27 . 令 f ?( x) ? 3x2 ? 27 ? 0 ,得 x ? ?3 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?3 或 x ? 3 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 ?3 ? x ? 3 时. 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?3)
+ 单调递增

?3
0 54

(?3,3)
- 单调递减

3 0

(3, ??)
+ 单调递增

?54

因此,当 x ? 3 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?54 ; 当 x ? ?3 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 54. (3)因为 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ,所以 f ?( x) ? 12 ? 3x2 . 令 f ?( x) ? 12 ? 3x2 ? 0 ,得 x ? ?2 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 ?2 ? x ? 2 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?2 或 x ? 2 时. 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?2)
- 单调递减

?2

(?2, 2)
+ 单调递增

2 0 22

(2, ??)
- 单调递减

0

?10

因此,当 x ? ?2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?10 ; 当 x ? 2 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 22 (4)因为 f ( x) ? 3x ? x3 ,所以 f ?( x) ? 3 ? 3x2 .
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令 f ?( x) ? 3 ? 3x2 ? 0 ,得 x ? ?1 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?1 或 x ? 1 时. 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?1)
- 单调递减

?1

(?1,1)
+ 单调递增

1 0 2

(1, ??)
- 单调递减

0

?2

因此,当 x ? ?1 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?2 ; 当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 2 2、 x2 , x4 是函数 y ? f ( x) 的极值点, 其中 x ? x2 是函数 y ? f ( x) 的极大值点,其中 x ? x4 是函数 y ? f ( x) 的极小值点. 练习(P98) (1)在 [0, 2] 上,当 x ?

1 1 49 时, f ( x) ? 6x2 ? x ? 2 有极小值,并且极小值为 f ( ) ? ? . 12 12 24

又由于 f (0) ? ?2 , f (2) ? 20 . 因此,函数 f ( x) ? 6x2 ? x ? 2 在 [0, 2] 上的最大值是 20、最小值是 ?

49 . 24

(2)在 [?4, 4] 上,当 x ? ?3 时, f ( x) ? x3 ? 27 x 有极大值,并且极大值为 f (?3) ? 54 ; 当 x ? 3 时, f ( x) ? x3 ? 27 x 有极小值,并且极小值为 f (3) ? ?54 ; 又由于 f (?4) ? 44 , f (4) ? ?44 . 因此,函数 f ( x) ? x3 ? 27 x 在 [?4, 4] 上的最大值是 54、最小值是 ?54 .

1 (3)在 [ ? , 3] 上,当 x ? 2 时, f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 有极大值,并且极大值为 f (2) ? 22 . 3 1 55 又由于 f ( ? ) ? , f (3) ? 15 . 3 27 1 55 因此,函数 f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 在 [ ? , 3] 上的最大值是 22、最小值是 . 3 27
(4)在 [2,3] 上,函数 f ( x) ? 3x ? x3 无极值. 因为 f (2) ? ?2 , f (3) ? ?18 .
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因此,函数 f ( x) ? 3x ? x3 在 [2,3] 上的最大值是 ?2 、最小值是 ?18 . 习题 3.3 A 组(P98) 1、 (1)因为 f ( x) ? ?2 x ? 1,所以 f ?( x) ? ?2 ? 0 . 因此,函数 f ( x) ? ?2 x ? 1是单调递减函数. (2)因为 f ( x) ? x ? cos x , x ? (0, ) ,所以 f ?( x) ? 1 ? sin x ? 0 , x ? (0, ) . 2 2 因此,函数 f ( x) ? x ? cos x 在 (0, ) 上是单调递增函数. 2 (3)因为 f ( x) ? 2 x ? 4 ,所以 f ?( x) ? 2 ? 0 . 因此,函数 f ( x) ? 2 x ? 4 是单调递增函数. (4)因为 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x ,所以 f ?( x) ? 6x2 ? 4 ? 0 . 因此,函数 f ( x) ? 2 x3 ? 4 x 是单调递增函数. 2、 (1)因为 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 ,所以 f ?( x) ? 2 x ? 2 . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 单调递增. 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 单调递减. (2)因为 f ( x) ? 2 x2 ? 3x ? 3 ,所以 f ?( x) ? 4 x ? 3 .

?

?

?

3 时,函数 f ( x) ? 2 x2 ? 3x ? 3 单调递增. 4 3 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 时,函数 f ( x) ? 2 x2 ? 3x ? 3 单调递减. 4
当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? (3)因为 f ( x) ? 3x ? x3 ,所以 f ?( x) ? 3 ? 3x2 ? 0 . 因此,函数 f ( x) ? 3x ? x3 是单调递增函数. (4)因为 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ,所以 f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ?1. 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?1 或 x ?

1 时,函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x 单调递增. 3

1 当 f ?( x) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 时,函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x 单调递减. 3 3、 (1)图略. (2)加速度等于 0.
4、 (1)在 x ? x2 处,导函数 y ? f ?( x) 有极大值; (2)在 x ? x1 和 x ? x4 处,导函数 y ? f ?( x) 有极小值;
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(3)在 x ? x3 处,函数 y ? f ( x) 有极大值; (4)在 x ? x5 处,函数 y ? f ( x) 有极小值. 5、 (1)因为 f ( x) ? 6x2 ? x ? 2 ,所以 f ?( x) ? 12 x ? 1 . 令 f ?( x) ? 12 x ? 1 ? 0 ,得 x ? ? 当x ??

1 . 12

1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 12 1 当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. 12 1 1 1 1 49 x 所以, ? ? 时,f ( x) 有极小值, 并且极小值为 f (? ) ? 6 ? (? ) 2 ? ? 2 ? ? . 12 12 12 12 24
(2)因为 f ( x) ? x3 ?12 x ,所以 f ?( x) ? 3x2 ?12 . 令 f ?( x) ? 3x2 ?12 ? 0 ,得 x ? ?2 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?2 或 x ? 2 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 ?2 ? x ? 2 时. 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ?2)
+ 单调递增

?2

(?2, 2)
- 单调递减

2 0

(2, ??)
+ 单调递增

0 16

?16

因此,当 x ? ?2 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 16; 当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?16 . (3)因为 f ( x) ? 6 ?12 x ? x3 ,所以 f ?( x) ? ?12 ? 3x2 . 令 f ?( x) ? ?12 ? 3x2 ? 0 ,得 x ? ?2 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?2 或 x ? 2 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 ?2 ? x ? 2 时. 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, ?2)


?2

(?2, 2)


2 0

(2, ??)


0

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f ( x)

单调递增

22

单调递减

?10

单调递增

因此,当 x ? ?2 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 22; 当 x ? 2 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?10 . (4)因为 f ( x) ? 48x ? x3 ,所以 f ?( x) ? 48 ? 3x2 . 令 f ?( x) ? 48 ? 3x2 ? 0 ,得 x ? ?4 . 下面分两种情况讨论: ①当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? ?2 或 x ? 2 时;②当 f ?( x) ? 0 ,即 ?2 ? x ? 2 时. 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, ?4)
- 单调递减

?4
0

(?4, 4)
+ 单调递增

4 0 128

(4, ??)
- 单调递减

f ( x)

?128

因此,当 x ? ?4 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ?128 ; 当 x ? 4 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 128. 6、 (1)当 x ? ?

1 49 时, f ( x) 有极小值,并且极小值为 ? . 12 24

由于 f (?1) ? 7 , f (1) ? 9 , 所以,函数 f ( x) ? 6x2 ? x ? 2 在 [?1,1] 上的最大值和最小值分别为 9, ?

49 . 24

(2)在 [?3,3] 上,当 x ? ?2 时,函数 f ( x) ? x3 ?12 x 有极大值,并且极大值为 16; 当 x ? 2 时,函数 f ( x) ? x3 ?12 x 有极小值,并且极小值为 ?16 . 由于 f (?3) ? 9 , f (3) ? ?9 , 所以,函数 f ( x) ? x3 ?12 x 在 [?3,3] 上的最大值和最小值分别为 16, ?16 .

1 (3)函数 f ( x) ? 6 ?12 x ? x3 在 [ ? ,1] 上无极值. 3 1 1 269 因为 f ( x) ? 6 ?12 x ? x3 在 [ ? ,1] 上单调递减,且 f ( ? ) ? , f (1) ? ?5 , 3 3 27 1 269 所以,函数 f ( x) ? 6 ?12 x ? x3 在 [ ? ,1] 上的最大值和最小值分别为 , ?5 . 3 27

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(4)当 x ? 4 时, f ( x) 有极大值,并且极大值为 128.. 由于 f (?3) ? ?117 , f (5) ? 115 , 所以,函数 f ( x) ? 48x ? x3 在 [?3,5] 上的最大值和最小值分别为 128, ?128 . 习题 3.3 B 组(P99) (1)证明:设 f ( x) ? sin x ? x , x ? (0, ? ) . 因为 f ?( x) ? cos x ? 1 ? 0 , x ? (0, ? ) 所以 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 内单调递减 因此 f ( x) ? sin x ? x ? f (0) ? 0 , x ? (0, ? ) ,即 sin x ? x , x ? (0, ? ) . (2)证明:设 f ( x) ? x ? x2 , x ? (0,1) . 因为 f ?( x) ? 1 ? 2 x , x ? (0,1) 图略

1 所以,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 1 ? 2 x ? 0 , f ( x) 单调递增, 2

f ( x) ? x ? x2 ? f (0) ? 0 ;
1 当 x ? ( ,1) 时, f ?( x) ? 1 ? 2 x ? 0 , f ( x) 单调递减, 2

f ( x) ? x ? x2 ? f (1) ? 0 ;
1 1 又 f ( ) ? ? 0 . 因此, x ? x 2 ? 0 , x ? (0,1) . 2 4
(3)证明:设 f ( x) ? e x ? 1 ? x , x ? 0 . 因为 f ?( x) ? ex ?1 , x ? 0 所以,当 x ? 0 时, f ?( x) ? ex ?1 ? 0 , f ( x) 单调递增, 图略

f ( x) ? ex ?1 ? x ? f (0) ? 0 ;
当 x ? 0 时, f ?( x) ? ex ?1 ? 0 , f ( x) 单调递减,

f ( x) ? ex ?1 ? x ? f (0) ? 0 ;
综上, e x ? 1 ? x , x ? 0 . (4)证明:设 f ( x) ? ln x ? x , x ? 0 . 图略

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因为 f ?( x) ?

1 ?1 , x ? 0 x 1 ? 1 ? 0 , f ( x) 单调递增, x

所以,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ?

f ( x) ? ln x ? x ? f (1) ? ?1 ? 0 ;
当 x ? 1 时, f ?( x) ?

1 ? 1 ? 0 , f ( x) 单调递减, x

f ( x) ? ln x ? x ? f (1) ? ?1 ? 0 ;
当 x ? 1 时,显然 ln1 ? 1 . 因此, ln x ? x .

由(3)可知, e x ? x ? 1 ? x , x ? 0 . . 综上, ln x ? x ? e x , x ? 0 图略

3.4 生活中的优化问题举例 习题 3.4 A 组(P104) 1、设两段铁丝的长度分别为 x , l ? x ,则这两个正方形的边长分别为

x l?x , ,两个正方 4 4

x l?x 2 1 ) ? (2 x 2 ? 2lx ? l 2 ) , 0 ? x ? l . 形的面积和为 S ? f ( x) ? ( ) 2 ? ( 4 4 16 l 令 f ?( x) ? 0 ,即 4 x ? 2l ? 0 , x ? . 2 l l 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , l ) 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 l 因此, x ? 是函数 f ( x) 的极小值点,也是最小值点. 2 l 所以,当两段铁丝的长度分别是 时,两个正方形的面积和最小. 2 2、如图所示,由于在边长为 a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为 x 的小正方形,做成一个无盖方盒,所以无 盖方盒的底面为正方形,且边长为 a ? 2 x ,高为 x . a (1)无盖方盒的容积 V ( x) ? (a ? 2 x)2 x , 0 ? x ? . 2
(2)因为 V ( x) ? 4x3 ? 4ax2 ? a2 x , 所以 V ?( x) ? 12 x2 ? 8ax ? a 2 .

x

a

a a (舍去) ,或 x ? . 2 6 a a a 当 x ? (0, ) 时, V ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ) 时, V ?( x) ? 0 . 6 6 2 a 因此, x ? 是函数 V ( x) 的极大值点,也是最大值点. 6 a 所以,当 x ? 时,无盖方盒的容积最大. 6
令 V ?( x) ? 0 ,得 x ?
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(第 2 题)

3、如图,设圆柱的高为 h ,底半径为 R , 则表面积 S ? 2? Rh ? 2? R 由 V ? ? R 2 h ,得 h ?
2

R

V . ? R2 V 2V ? 2? R 2 ? ? 2? R 2 , R ? 0 . 因此, S ( R) ? 2? R 2 ?R R
令 S ?( R) ? ?

h

2V V ? 4? R ? 0 ,解得 R ? 3 . R 2?

当 R ? (0, 3

V ) 时, S ?( R) ? 0 ; 2?
(第 3 题)

当 R?(3

V , ??) 时, S ?( R) ? 0 . 2?
3

因此, R ?

V V V 是函数 S ( R ) 的极小值点,也是最小值点. 此时, h ? ? 23 ? 2R . 2 2? ?R 2?

所以,当罐高与底面直径相等时,所用材料最省. 4、证明:由于 f ( x) ?

1 n 2 n ( x ? ai ) 2 ,所以 f ?( x) ? ? ( x ? ai ) . ? n i ?1 n i ?1 1 n ? ai , n i ?1

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ?

可知, x ?

1 n ? ai 是函数 f ( x) 的极小值点,也是最小值点. n i ?1 1 n ? ai 表示这个物体的长度是合理的,这就 n i ?1

这个结果说明,用 n 个数据的平均值 是最小二乘法的基本原理. 5、设矩形的底宽为 x m,则半圆的半径为

x ? x2 2 m , m,半圆的面积为 2 8

矩形的面积为 a ?

? x2

a ?x )m m 2 ,矩形的另一边长为 ( ? x 8 8

因此铁丝的长为 l ( x) ?

?x
2

?x?

2a ? x ? 2a 8a ? ? (1 ? ) x ? ,0 ? x ? x 4 4 x ?

令 l ?( x) ? 1 ?

?
4

?

2a 8a ? 0 ,得 x ? (负值舍去). 2 x 4 ??

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当 x ? (0,

8a 8a 8a ) 时, l ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ) 时, l ?( x) ? 0 . 4 ?? 4 ?? ? 8a 是函数 l ( x) 的极小值点,也是最小值点. 4 ?? 8a m 时,所用材料最省. 4 ??

因此, x ?

所以,当底宽为

6、利润 L 等于收入 R 减去成本 C ,而收入 R 等于产量乘价格. 由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用导数求最大利润.

1 1 收入 R ? q ? p ? q (25 ? q ) ? 25q ? q 2 , 8 8 1 2 1 利润 L ? R ? C ? (25q ? q ) ? (100 ? 4q) ? ? q 2 ? 21q ? 100 , 0 ? q ? 200 . 8 8 1 L? ? ? q ? 21 4 1 令 L? ? 0 ,即 ? q ? 21 ? 0 , q ? 84 . 4
当 q ? (0,84) 时, L? ? 0 ;当 q ? (84, 200) 时, L? ? 0 ;

因此, q ? 84 是函数 L 的极大值点,也是最大值点.
所以,产量为 84 时,利润 L 最大,

习题 3.4 B 组(P105) 1、设每个房间每天的定价为 x 元, x ? 180 1 )( x ? 20) ? ? x 2 ? 70 x ? 1360 , 180 ? x ? 680 . 那么宾馆利润 L( x) ? (50 ? 10 10 1 令 L?( x) ? ? x ? 70 ? 0 ,解得 x ? 350 . 5 因为 L( x) 只有一个极值,所以 x ? 350 为最大值点. 因此,当每个房间每天的定价为 350 元时,宾馆利润最大. 2、设销售价为 x 元/件时, b?x 4 5b ? 4) ? c( x ? a)(5 ? x) , a ? x ? . 利润 L( x) ? ( x ? a)(c ? c b b 4 8c 4ac ? 5bc 4a ? 5b ? 0 ,解得 x ? 令 L?( x) ? ? x ? . b b 8 4a ? 5b 4a ? 5b 5b ) 时, L?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ) 时, L?( x) ? 0 . 当 x ? ( a, 8 8 4 4a ? 5b 所以,销售价为 元/件时,可获得最大利润. 8

第三章 复习参考题 A 组(P110)
1、 (1)3; (2) y ? ?4 .
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2、 (1) y? ? 3、 F ? ? ?

2sin x cos x ? 2 x ex ? ? e x ln x ? . ; (3) y cos 2 x x

2GMm . r3

4、 (1) f ?(t ) ? 0 . 因为红茶的温度在下降. (2) f ?(3) ? ?4 表明在 3℃附近时,红茶温度约以 4℃/min 的速度下降. 5、因为 f ( x) ? 3 x 2 ,所以 f ?( x) ? 图略.

2 33 x

.

当 f ?( x) ?

2 3 x 2 3 x
3 3

? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递增;

当 f ?( x) ?

? 0 ,即 x ? 0 时, f ( x) 单调递减.

6、因为 f ( x) ? x2 ? px ? q ,所以 f ?( x) ? 2 x ? p . 当 f ?( x) ? 2 x ? p ? 0 ,即 x ? ? 由?

p ? 1 时, f ( x) 有最小值. 2

p ? 1,得 p ? ?2 . 又因为 f (1) ? 1 ? 2 ? q ? 4 ,所以 q ? 5 . 2

7、因为 f ( x) ? x( x ? c)2 ? x3 ? 2cx2 ? c2 x , 所以 f ?( x) ? 3x2 ? 4cx ? c2 ? (3x ? c)( x ? c) . 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ?

c ,或 x ? c 时,函数 f ( x) ? x( x ? c)2 可能有极值. 3

由题意当 x ? 2 时,函数 f ( x) ? x( x ? c)2 有极大值,所以 c ? 0 . 由于

x
f ?( x )

c (??, ) 3
+ 单调递增

c 3
0 极大值

c ( , c) 3
- 单调递减

c
0 极小值

(c, ??)
+ 单调递增

f ( x)
所以,当 x ?

c c 时,函数 f ( x) ? x( x ? c)2 有极大值. 此时, ? 2 , c ? 6 . 3 3

8、设当点 A 的坐标为 ( a, 0) 时, ?AOB 的面积最小. 因为直线 AB 过点 A(a, 0) , P(1,1) ,

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y?0 x?a 1 ? ( x ? a) . ,即 y ? x ? 0 1? a 1? a a a ). 当 x ? 0 时, y ? ,即点 B 的坐标是 (0, a ?1 a ?1
所以直线 AB 的方程为 因此, ?AOB 的面积 S?AOB ? S (a) ?

1 a a2 . a ? 2 a ? 1 2(a ? 1)

1 a 2 ? 2a 令 S ?(a) ? 0 ,即 S ?(a) ? ? ? 0. 2 (a ? 1)2
当 a ? 0 ,或 a ? 2 时, S ?(a) ? 0 , a ? 0 不合题意舍去. 由于

x
f ?( x )

(0, 2)
- 单调递减

2 0 极小值

(2, ??)
+ 单调递增

f ( x)

所以,当 a ? 2 ,即直线 AB 的倾斜角为 135? 时, ?AOB 的面积最小,最小面积为 2. 9、 D . 10、设底面一边的长为 x m,另一边的长为 ( x ? 0.5) m. 因为钢条长为 14.8m. 所以,长方体容器的高为 设容器的容积为 V ,则

14.8 ? 4 x ? 4( x ? 0.5) 12.8 ? 8 x ? ? 3.2 ? 2 x . 4 4

V ? V ( x) ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x) ? ?2 x3 ? 2.2 x2 ?1.6 x .
令 V ?( x) ? 0 ,即 ?6 x 2 ? 4.4 x ? 1.6 ? 0 , 0 ? x ? 1.6 . 所以, x ? ?

4 (舍去) ,或 x ? 1 . 15

x ? 1 是函数 V ( x) 在 (0,1.6) 内唯一极值点,且为极大值点,从而是最大值点.
所以,当长方体容器的高为 1 m 时,容器最大,最大容器为 1.8 m3. 11、设旅游团人数为 100 ? x 时, 旅行社费用为 y ? f ( x) ? (100 ? x)(1000 ? 5x) ? ?5x2 ? 500 ? 100000 (0 ? x ? 80, x ? N ) . 令 f ?( x) ? 0 ,即 ?10 x ? 500 ? 0 , x ? 50 . 又 f (0) ? 100000 , f (80) ? 108000 , f (50) ? 112500 . 所以, x ? 50 是函数 f ( x) 的最大值点. 所以,当旅游团人数为 150 时,可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为 x cm 时,可使其打印面积最大.
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因为打印纸的面积为 623.7,长为 x ,所以宽为 打印面积 S ( x) ? ( x ? 2 ? 2.54)(

623.7 , x

623.7 ? 2 ? 3.17) x 3168.396 ? 6 5 5 . 9 0 ? 2 x .? 4 2 7 6 3 , 5.08 ? x ? 98.38 . x 3168.396 623.7 ? 0 , x ? 22.36 (负值舍去) ? 27.89 . 令 S ?( x) ? 0 ,即 6.34 ? , 2 x 22.36
x ? 2 2 . 3是函数 S ( x) 在 (5.08,98.38) 内唯一极值点,且为极大值,从而是最大值点. 6
所以,打印纸的长、宽分别约为 27.89cm,22.36cm 时,可使其打印面积最大. 13、设每年养 q 头猪时,总利润为 y 元.

1 则 y ? R(q) ? 20000 ? 100q ? ? q 2 ? 300q ? 20000 (0 ? q ? 400, q ? N ) . 2
令 y? ? 0 ,即 ?q ? 300 ? 0 , q ? 300 . 当 q ? 300 时, y ? 25000 ;当 q ? 400 时, y ? 20000 .

q ? 300 是函数 y ( p ) 在 (0, 400] 内唯一极值点,且为极大值点,从而是最大值点.
所以,每年养 300 头猪时,可使总利润最大,最大总利润为 25000 元.

第三章 复习参考题 B 组(P111)
1、 (1) b?(t ) ? 104 ? 2 ?103 t . 所以,细菌在 t ? 5 与 t ? 10 时的瞬时速度分别为 0 和 ?104 . (2)当 0 ? t ? 5 时,细菌在增加;当 5 ? t ? 5 ? 5 5 时,细菌在减少. 2、设扇形的半径为 r ,中心角为 ? 弧度时,扇形的面积为 S . 1 l 因为 S ? ? r 2 , l ? 2r ? ? r ,所以 ? ? ? 2 . 2 r 1 2 1 l 1 l S ? ? r ? ( ? 2)r 2 ? (lr ? 2r 2 ) , 0 ? r ? . 2 2 r 2 2 l 令 S ? ? 0 ,即 l ? 4r ? 0 , r ? ,此时 ? 为 2 弧度. 4 l l r ? 是函数 S (r ) 在 (0, ) 内唯一极值点,且是极大值点,从而是最大值点. 4 2 l 所以,扇形的半径为 、中心角为 2 弧度时,扇形的面积最大. 4 3、设圆锥的底面半径为 r ,高为 h ,体积为 V ,那么 r 2 ? h2 ? R 2 .

1 1 1 1 因此, V ? ? r 2 h ? ? ( R 2 ? h 2 )h ? ? R 2 h ? ? h3 , 0 ? h ? R . 3 3 3 3 1 3 令 V ? ? ? R 2 ? ? h 2 ? 0 ,解得 h ? R. 3 3
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h?

3 R 是函数 V (h) 在 (0, R) 内唯一极值点,且是极大值点,从而是最大值点. 3 6 3 R. R 代入 r 2 ? h2 ? R 2 ,得 r ? 3 3 2 6 ?. 3

把h ?

由 R? ? 2? r ,得 ? ?

所以,圆心角为 ? ?

2 6 ? 时,容积最大. 3
4 . 5 4 2 20 20 x ? ? ? 480 5 x x 9600 ? 16x ? ,x ?0 x

4、由于 80 ? k ?102 ,所以 k ?

设船速为 x km/h 时,总费用为 y ,则 y ?

令 y? ? 0 ,即 16 ?

9600 ? 0 , x ? 24 . x2

x ? 24 是函数 y 在 (0, ??) 上唯一极值点,且是极小值点,从而是最小值点.

9600 20 ? 784 (元). 于是 780 ? ( ) ? 940.8 (元/时) 24 24 所以,船速约为 24km/h 时,总费用最少,此时每小时费用约为 941 元.
当 x ? 24 时, 16 ? 24 ? 5、设汽车以 x km/h 行驶时,行车的总费用 y ?

390 x2 130 (3 ? )? ?14 , 50 ? x ? 100 x 360 x

令 y? ? 0 ,解得 x ? 53 , y ? 114 ;当 x ? 50 , y ? 114 ;当 x ? 100 , y ? 138 . 因此,当 x ? 53 时,行车总费用最少. 所以,最经济的车速约为 53km/h;如果不考虑其他费用,这次行车的总费用约是 114 元.

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