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数列通项公式和求和公式总结


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【一】 求数列通项公式的常用方法 各个求通项的方法之间并不是相互孤立的,有时同一题目中也可能同 时用到几种方法,要具体问题具体分析! 一 公式法
数列符合等差数列或等比数列的定义 , 求通项时 , 只需求出 a1 与 d 或 a1 与 q , 再代入公式

an ? a1 ? ? n ?1? d 或 an ? a1

qn?1 中即可.
例 1 数列 ?an ? 是 等 差数 列 , 数 列 ?bn ? 是 等比 数列 , 数 列 ?cn ? 中对 于任 何 n ? N 都 有
*

1 2 7 cn ? an ? bn, c ,c ,c , 分别求出此三个数列的通项公式. 1 ? 0, c 2 ? 3 ? 4 ? 6 9 54

二 利用 an 与 Sn 的关系
如果给出条件是 an 与 Sn 的关系式 ,可利用 an ? ?

n ?1 ? S1 求解.注意 : 应分 n ? 1 S ? S n ? 2 n ?1 ? n

和 n ? 2 两种情况考虑,若两种情况能统一则应统一,否则应分段表示!
例 2 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ?

3 an ? 3, 求 ?an ? 的通项公式. 2

三 累加法
形如已知 a1 且 an?1 ? an ? f ? n ? ( f ? n ? 为可求和的数列)的形式均可用累加法. 例 3 数列 ?an ? 中已知 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2 ? n , 求 ?an ? 的通项公式.
n

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四 累乘法
形如已知 a1 且

an ?1 ? f ? n ? ( f ? n ? 为可求积的数列)的形式均可用累乘法. an an?1 n ? 2 , 求 ?an ? 的通项公式. ? an n

例 4 数列 ?an ? 中已知 a1 ? 1,

五 构造法
若给出条件直接求 an 较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而求出通 项 .常见的有形如 an?1 ? pan ? q ( p, q 为常数 )且已知 a1 的数列可构造 ?an ? c? 为等比数列求 出 an ? c ,进而求出 an .注意用待定系数法求常数 c 例 5 ①数列 ?an ? 中已知 a1 ? 3, an?1 ? 3an ? 3 , 求 ?an ? 的通项公式; ②数列 ?an ? 中已知 a1 ? 1, an ?
2 2Sn ? n ? 2, n ? N * ? , 求 ?an? 的通项公式. 2Sn ? 1

③数列 ?an ? 中已知 an ? 0, Sn 是数列的前 n 项和,且 an ?

1 ? 2Sn ,求 ?an ? 的通项公式 an

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【二】 数列求和的常用方法 数列求和关键入手点为求出通项公式并观察通项公式存在的特点而 采取恰当的求和方法,另外各个方法之间并不是相互孤立的 ,有时同 一题目中也可能同时用到几种方法,要具体问题具体分析! 一 利用公式
如果可判断出所求数列是等差或等比数列,则可直接利用公式求和.
2 2 2 2 例 6 等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 求 Tn ? a1 的值. ? a2 ? a3 ???? ? an

二 分组求和
所求和的数列 ?cn ? 的通项公式可化成形如 cn ? an ? bn 可采用分组求和. 例 7 求数列

3 9 25 1 ? ? , , , ???, ? n ? n ? , ??? 的前 n 项和. 2 4 8 2 ? ?

三 错位相减
所求和的数列 ?cn ? 的通项公式可化成形如 cn ? an ? bn 其中 ?an ? , ?bn ? 分别为等差和等比数 列,可采用乘公比, 错位相减. (等比数列的求和公式的推导过程) 例 8 求和 Sn ? x ? 2x ? 3x ????? nx
2 3 n

? x ? 0?

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四 裂项相消
常见裂项形式为 an ?

1 1 , an ? 等. n ? n ? 1? ? 2n ? 1?? 2n ? 1?

例 9 求和 Sn ?

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1? 4 4 ? 7 7 ?10 ?3n ? 2 ??3n ? 1?

五 倒序相加
如果一个数列 ?an ? ,与其首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写和 倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,称为倒序相加.(等差数列的求和公式的

推导过程)
例 10 设 f ? x ? ?

4x ? 1 ? ,求和 S ? f ? ?? x 4 ?2 ? 2002 ?

? 2 ? f? ? ? ??? ? ? 2002 ?

? 2001 ? f? ? ? 2002 ?

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