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第14课时 等比数列的前n项和(3)(教、学案)


第 14 课时 等比数列的 前 n 项和(3)
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学习要求
1.进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式; 2.提高分析、解决问题能力,能用等比数列的知识解决某些实际问题。

【自学评价】
1.对于分期付款,银行有如下规定: (1)分期付款为复利计息,每期

付款数相同,且在期末付款; (2)到最后一次付款时,各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和. 2.若 {an } 是等比数列,且公比 q ? ?1 ,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…是等比数列; 当 q ? ?1 ,且 n 为偶数时,数列

Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,…是常数数列 0,它不是等比数列. ? a1 n a1 3. 当 q ? 1 时, S n ? q ? ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ?0 ,这是等比数 1? q 1? q 列前 n 项和公式特征,据此判断数列 {an } 是否为等比数列 【精典范例】
【例 1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题.全国 9100 万亩的坡耕地需要退 耕还林,其中西部地区占70%.国家确定 2000 年西部地区退耕土地面积为 515 万亩,以 后每年退耕土地面积递增12%, 那么从 2000 年起到 2005 年底, 西部地区退耕还林的面积 共有多少万亩(精确到万亩)? 【解】根据题意,每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同,所以从 2000 年起,每 年退耕还林的面积(单位:万亩)组成一个等比数列 {an } ,其中

a 1 =515,q=1+12%=1.12,n=6,
则 答 从 2000 年起到 2005 年底,西部地区退耕还林的面积共有 4179 万亩. 【例 2】某人 2004 年初向银行申请个人住房公积金贷款 20 万元购买住房,月利率 3.375‰, 按复利计算, 每月等额还贷一次, 并从贷款后的次月初开始还贷. 如果 10 年还清, 那么每月应还贷多少元? 分析:对于分期付款,银行有如下规定: (1)分期付款为复利计息,每期付款数相同,且在期末付款; (2)到最后一次付款时,各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和. 为解决上述问题,我们先考察一般情形.设某商品一次性付款的金额为a元,以分期付 款的形式等额地分成n次付清,每期期末所付款是x元,则分期付款方式可表示为:

1

从而有

运用等比数列求和公式,化简得

这就是分期付款的数学模型. 【解】 设每月应还贷x元,共付款 12×10=120 次,则有

化简得

答 每月应还贷款 2029.66 元.

追踪训练一
1. 回答我国古代用诗歌形式提出的一个数列问题: 远望巍巍塔七层,红灯向下成倍增, 共灯三百八十一,试问塔顶几盏灯?

【答案】塔顶 3 盏灯 2.我国 1980 年底人口以十亿计算. (1)若我国人口年增长率为 1.2%,则到 2005 年底我国约有多少人口? (2)要使我国到 2010 年底人口不超过 14 亿,那么人口的年平均增长率最高是多少?

【答案】 (1)2005 年底我国约有 13.5 亿人口 (2)人口的年平均增长率最高是 1.1% 3. 顾客采用分期付款的方式购买一件 5000 元的商品,在购买一个月后第一次付款,且每 月等额付款一次,在购买后的第 12 个月将货款全部付清,月利率 0.5%.按复利计算,该顾 客每月应付款多少元?

【答案】顾客每月应付款 430 元 4. 某企业年初有资金 1000 万元, 如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到 50%, 但每年底都要扣除消费基金 x 万元,余下资金投入再生产,为实现经过 5 年资金达到 2000
2

万元(扣除消费基金后) ,那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)? 【解】设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列 ?an ? ,则 a1=1000×(1+50%)-x=1000× a2=(1000× =1000×(

3 -x; 2

2 -x)(1+50%)-x 3

3 2 3 ) -(1+ )x; 2 2 3 5 3 3 3 3 ) -[1+ +( )2+( )3+( )4]x. 2 2 2 2 2

依次类推得 a5=1000×( 由题意知: 1000×( =2000 解得 x≈424 万元

3 5 3 3 3 3 ) -[1+ +( )2+( )3+( )4]x 2 2 2 2 2

【选修延伸】

【例 3】设数列 ?an ? 的首项 a1=1,前 n 项的和 Sn 满足关系式 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(t 为常数,且 t>0, n=2,3,4,……)。 (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2)设 ?an ? 的公比为 f(t),作数列 ?bn ? ,使得 b1=1,bn=f( 式。 (3)求和:b1b2-b2b3+b3b4-…+b2n-1b2n-b2nb2n+1 【解】(1)求得 a1=S1=1 S2=a1+a2=1+a2,代入关系式,得 a 2 ? 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t, 两式相减得 3tan-(2t+3)an-1=0, ∴

1 ) (n=2,3,4,…),求 ?bn ? 的通项公 bn ?1

2t ? 3 ,又 3tSn-(2t+3)Sn-1=3t, 3t

an 2t ? 3 ? an?1 3t
2t ? 3 1 2 ? ? 3t t 3

(2)由 f(t)= 得 bn=f (

1 bn ?1

)?

2 ? bn ?1 3

由此可得 bn ?

2 1 n? 3 3
3

(3)原式 =b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)

4 4 (b2 ? b4 ? ? ? b2 n ) ? ? (2n 2 ? 3n) 3 9 ?2n ? 1(n为奇数) 【例 4】在数列 ?an ? 中, a n ? ? n 求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn. ?3 (n为偶数)
=? 分析:要分成偶数项和奇数项之和分别求解。 【解】当 n=2k(k∈N+)时,a1,a3,a5,…,a2k-1,…,成等差数列,公有效差为 4,首项为 1; 而 a2,a4,…,a2k,…成等比数列,公比为 q,首项为 a2=9,

? S2 k ?

k (1 ? 4k ? 3) 9(1 ? 9k ) ? 2 1? 9 . 9 ? k (2k ? 1) ? (9k ? 1) 8
n n 9 n 代入得 S n ? (n ? 1) ? (3 ? 1) 2 2 8 n(n ? 1) 1 n ?1 9 ? ?3 ? . 2 8 8

将 k=

当 n=2k-1 时,由 S2k-1=S2k-a2k,得 S n ?

追踪训练二
1.已知等比数列{an}中,前 n 项和 Sn=54,S2n=60,则 S3n 等于( C ) A.64 B.66 C.60

2 3

D.66

2 3

2.已知{an 是公比为

1 的等比数列} ,若 a1+a4+a7+…+a97=100,则 a3+a6+a9+…+a99 的值是 2

( A ) A.25 B.50 C.75 D.125 - 2 3.数列 1,1+2,1+2+2 ,…,(1+2+22+…+2n 1),…,前 n 项和等于( B ) A.2n+1-n B.2n+1-n-2 n C.2 -n D.2n 4. 等比数列 {an} 共 2n 项, 其和为-240, 且奇数项的和比偶数项的和大 80, 则公比 q=___2___. 5.若等比数列{an}中,S4=2,S8=6,则 a17+a18+a19+a20 的值等于__32____.

4

【师生互动】

学生质疑

教师释疑

5


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