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求圆的轨迹方程(专题一)师用

时间:2014-11-15


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1

求圆的轨迹方程

教学目标: 1、 掌握直线与圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程; 2、 掌握直线与圆的位置关系,可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程 3、 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系,会进行互化。

教学重难点: 1、 掌握圆的标准方程与一般方程,能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程; 2、 会求曲线的轨迹方程(圆)

教学过程:

第一部分
一、圆的方程:
2 1.圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 。 2 2

知识点回顾

2.圆的一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2+E2-4F ? 0) 特别提醒:只有当 D +E -4F ? 0 时,方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆心为 (?
2 2

D E ,? ) , 2 2

半径为

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆 2
2 2

思考:二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是什么? 答案: ( A ? C ? 0, 且 B ? 0 且 D ? E ? 4 AF ? 0 ) ) ;
2 2

3.圆的参数方程: 要应用是三角换元:

a ? r cos ? ?xy ? ? b ? r sin ?

( ? 为参数) ,其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r 。圆的参数方程的主

x2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos? , y ? r sin ? ; x2 ? y 2 ? t ? x ? r cos? , y ? r sin ? (0 ? r ? t ) 。
4. A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径端点的圆方程 ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 如
2 2 (1)圆 C 与圆 ( x ?1) ? y ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为____________

(答: x ? ( y ? 1) ? 1 ) ;
2 2

(2)圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ (答: ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 或 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 ) ;
2 2 2 2

(3)已知 P(?1, 3) 是圆

r cos ? ?xy ? ? r sin ?

2

( ? 为参数,0 ? ? ? 2? ) 上的点, 则圆的普通方程为________,

P 点对应的 ? 值为_______,过 P 点的圆的切线方程是___________ (答: x 2 ? y 2=4 ;

2? ; x ? 3y ? 4 ? 0 ) ; 3
2 2

(4)如果直线 l 将圆:x +y -2x-4y=0 平分,且不过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围是_ (答:[0,2]) ; (5)方程 x +y -x+y+k=0 表示一个圆,则实数 k 的取值范围为____(答: k ?
2 2

(6) 若 M ? {( x, y ) |

3cos ? ?xy ? ? 3sin ?

1 ) ; 2

( ? 为参数, 若M ? N ?? , 0 ? ? ? ? )} ,N ? ?( x, y) | y ? x ? b?,

则 b 的取值范围是_________(答: -3,3 2 ? )

?

?

二、点与圆的位置关系:已知点 M ? x0 , y0 ? 及圆 C: ? x-a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0 ? ,
2 2 2 (1)点 M 在圆 C 外 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; 2 2 2 (2)点 M 在圆 C 内 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; 2 2 2 (3)点 M 在圆 C 上 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 。如 2 2

点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y =1 的内部,则 a 的取值范围是______(答: | a |?
2 2

1 ) 13

三、直线与圆的位置关系: 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0? 有相交、相离、相切。可从代数和几
2 2

何两个方面来判断: (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况) : ? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相离; ? ? 0 ? 相切; (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小) : 设圆心到直线的距离为 d ,则 d ? r ? 相交; d ? r ? 相离; d ? r ? 相切。提醒:判断直线与圆 的位置关系一般用几何方法较简捷。如
2 2 (1)圆 2 x ? 2 y ? 1与直线 x sin ? ? y ? 1 ? 0(? ? R, ? ?

?
2

? k? , k ? z ) 的位置关系为____
(答:相离) ;

(2)若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 4 x ?1 ? 0 切于点 P(?1, 2) ,则 ab 的值____
2 2

(答:2) ;
2 2 (3)直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x ? y ? 6x ? 2 y ?15 ? 0 所截得的弦长等于

(答: 4 5 ) ;

3

(4)一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是 (答:4) ; ( 5 )已知 M ( a, b)(ab ? 0)是圆 O : x2 ? y2 ? r 2 内一点,现有以 M 为中点的弦所在直线 m 和直线

2

2

l : ax ? by ? r2 ,则
A. m // l ,且 l 与圆相交 C. m // l ,且 l 与圆相离 B. l ? m ,且 l 与圆相交 D. l ? m ,且 l 与圆相离 (答:C) ; (6)已知圆 C: x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,直线 L: mx ? y ? 1 ? m ? 0 。①求证:对 m ? R ,直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点;②设 L 与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 17 ,求 L 的倾斜角;③求直线 L 中,截 圆所得的弦最长及最短时的直线方程. (答:② 60 或 120 ③最长: y ? 1 ,最短: x ? 1 )

第二部分
一、求圆的轨迹方程 1、用定义法求圆的轨迹方程

直线与圆的典型例题

例 1 设方程 x2 ? y 2 ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m2 ) y ? 16m4 ? 9 ? 0 ,若该方程表示一个圆,求 m 的取值 范围及这时圆心的轨迹方程。 分析:配成圆的标准方程再求解 解:配方得: ? x ? (m ? 3)? ? ? ? y ? (1 ? 4m ) ? ? ? 1 ? 6m ? 7m
2 2 2 2

该方程表示圆,则有 1 ? 6m ? 7m ? 0 ,得 m ? (?
2

?x ? m ? 3 1 ,1) ,此时圆心的轨迹方程为 ? , 2 7 y ? 4 m ? 1 ?

消去 m,得 y ? 4( x ? 3)2 ? 1,由 m ? (?

1 ? 20 ? ,1) 得 x=m+3 ? ? , 4 ? 7 ? 7 ?

? 20 ? ? 所求的轨迹方程是 y ? 4( x ? 3)2 ?1, x ? ? , 4 ? ? 7 ?
注意:方程表示圆的充要条件,求轨迹方程时,一定要讨论变量的取值范围,如题中 x ? ? 变式 1 的方程。 解:原方程可化为 ? x ?
2 2

? 20 ? , 4? ? 7 ?

方程 ax ? ay ? 4(a ?1) x ? 4 y ? 0 表示圆, 求实数 a 的取值范围,并求出其中半径最小的圆

? ?

2(a ? 1) ? 2 2 4(a 2 ? 2a ? 2) ? ( y ? ) ? a ? a a2 ?

2

a2 ? 2a ? 2 ? 0,?当 a ? 0 时,原方程表示圆。

4

2 ? a ? 2? 2a 2 ? 2(a 2 ? 4a ? 4) 4(a 2 ? 2a ? 2) ? ? 2? ? 2 又r ? 2 2 a a a2
2

当 a ? 2, rmin ? 2 ,所以半径最小的圆方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

2、用待定系数法求圆的轨迹方程 例 2 系. 分析:欲求圆的标准方程,需求出圆心坐标的圆的半径的大小,而要判断点 P 与圆的位置关系,只须 看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系,若距离大于半径,则点在圆外;若距离等于半径,则点在圆 上;若距离小于半径,则点在圆内. 解法一: (待定系数法) 设圆的标准方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . ∵圆心在 y ? 0 上,故 b ? 0 . 又∵该圆过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点. ∴圆的方程为 ( x ? a) 2 ? y 2 ? r 2 .
2 2 ? ?(1 ? a ) ? 16 ? r ∴? 2 2 ? ?(3 ? a ) ? 4 ? r

求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关

解之得: a ? ?1 , r ? 20.
2

所以所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 20 . 解法二: (直接求出圆心坐标和半径) 因 为 圆 过 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 两 点 , 所 以 圆 心 C 必 在 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 l 上 , 又 因 为

k AB ?

4?2 ? ?1 , 故 l 的斜率为 1, 又 AB 的中点为 (2 , 3) , 故 AB 的垂直平分线 l 的方程为:y ? 3 ? x ? 2 1? 3

即 x ? y ?1 ? 0 . 又知圆心在直线 y ? 0 上,故圆心坐标为 C (?1 , 0) ∴半径 r ? AC ?

(1 ? 1) 2 ? 42 ? 20 .

故所求圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 20 . 又点 P(2 , 4) 到圆心 C (?1 , 0) 的距离为

d ? PC ? (2 ? 1) 2 ? 4 2 ? 25 ? r .

∴点 P 在圆外.

说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆 心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与 圆的位置关系呢? 例3
2 2 求半径为 4,与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程.

5

分析:根据问题的特征,宜用圆的标准方程求解. 解:则题意,设所求圆的方程为圆 C: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 圆 C 与直线 y ? 0 相切,且半径为 4,则圆心 C 的坐标为 C1 (a , 4) 或 C2 (a , ? 4) . 又已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的圆心 A 的坐标为 (2 , 1) ,半径为 3. 若两圆相切,则 CA ? 4 ? 3 ? 7 或 CA ? 4 ? 3 ? 1. (1)当 C1 (a , 4) 时, (a ? 2)2 ? (4 ?1)2 ? 72 ,或 (a ? 2) 2 ? (4 ? 1) 2 ? 12 (无解),故可得 a ? 2 ? 2 10 . ∴所求圆方程为 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 ,或 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 . (2)当 C2 (a , ? 4) 时, (a ? 2) ? (?4 ?1) ? 7 ,或 (a ? 2) ? (?4 ?1) ? 1 (无解),故 a ? 2 ? 2 6 .
2 2 2 2 2 2

∴所求圆的方程为 ( x ? 2 ? 2 6 )2 ? ( y ? 4)2 ? 42 ,或 ( x ? 2 ? 2 6 )2 ? ( y ? 4)2 ? 42 . 说明:对本题,易发生以下误解: 由 题 意 , 所 求 圆 与 直 线 y ? 0 相 切 且 半 径 为 4 , 则 圆 心 坐 标 为 C (a , 4) , 且 方 程 形 如

( x ? a)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 .
又圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 32 ,其圆心为 A(2 , 1) ,半径为 3. 若两圆相切,则 CA ? 4 ? 3 .故 (a ? 2) ? (4 ?1) ? 7 ,解之得 a ? 2 ? 2 10 .
2 2 2

所以欲求圆的方程为 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 ,或 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 42 . 上述误解只考虑了圆心在直线 y ? 0 上方的情形,而疏漏了圆心在直线 y ? 0 下方的情形.另外,误解 中没有考虑两圆内切的情况.也是不全面的. 点评:在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点: (1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程; (2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得 a 、 b 、 r 或 D 、 E 、 F ; (3)待定系数法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数. 3、用几何方法求圆的轨迹方程 例 4 设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3:1,在满足条件①、 ② 的所有圆中,求圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程。 分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题. 解法一: 设圆心为 P ( a, b) ,半径为 r ,则点 P 到 x 轴, y 轴的距离分别为 | b | , | a | 。 由题设圆 P 截 x 轴所得劣弧对的圆心角为 90 ,知圆 P 截 x 轴的弦长为 2r ,故 r ? 2b
2 ? 2

又圆 P 截 y 轴所得的弦长为 2 ,所以有 r ? a ? 1 .从而得 2b ? a ? 1
2 2 2 2

6

又点 P ( a, b) 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d ?

| a ? 2b | 5

2 所以当且仅当 a ? b 时上式等号成立,此时 5d ? 1 ,从而 d 取得最小值.

解此方程组得 由于 r ? 2b 知 r ?
2 2

2 于是,所求圆的方程是:

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2
解法二:同解法一得

| a ? 2b | ? a ? 2b ? ? 5d 5 得a 2 ? 4b 2 ? 4 5bd ? 5d 2 d?
将 a ? 2b ? 1 代入上式,整理得
2 2

2b2 ? 4 5db ? 5d 2 ? 1 = 0



把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即

? ? 8(5d 2 ? 1) ? 0 ,得 5d 2 ? 1
所以 5d 有最小值1,从而 d 有最小值
2

2

5 5

将其代入②式得2b ±4b+2=0.解得b=±1. 将b=±1代入r =2b ,得r =2.由r =a +1得a=±1. 综上 a=±1,b=±1,r =2. 由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是
2 2 2 2 2 2

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2
点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系 进而求得圆的基本量(圆心、半径)和圆的方程,二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到 有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程. 4、直线与圆的位置关系 例 5 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标 原点 O ,求圆 C 的方程。 2 2 解: (1)设圆心坐标为(m,n)(m<0,n>0),则该圆的方程为(x-m) +(y-n) =8 已知该圆与直线 y=x 相 切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则

m?n 2

=2 2

即 m ? n =4

① m +n =8
2 2

又圆与直线切于原点,将点(0,0)代入得



7

联立方程①和②组成方程组解得
2 2

?m ? ?2 ? ?n ? 2

故 圆的方程为(x+2) +(y-2) =8 点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题 代数化的思想运用.

第三部分
2 2

课堂练习
2 2

1.关于 x,y 的方程 Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F=0 表示一个圆的充要条件是 B=0 且 A=C≠0,D +E -4AF>0 2.过点 P(-8,-1),Q(5,12),R(17,4)三点的圆的圆心坐标是(5,-1) 3.若两直线 y=x+2k 与 y=2x+k+1 的交点 P 在圆 x +y =4 的内部,则 k 的范围是 ?
2 2

1 ? k ?1 5

4. 已知圆心为点( 2 , -3 ) ,一条直径的两个 端点恰好落在两个坐标轴上,则这个圆的方程 是

x2 ? y 2 ? 4 x ? 6 y ? 0
5.直线 y=3x+1 与曲线 x +y =4 相交于 A、B 两点,则 AB 的中点坐标是 ? ?
2 2

? 3 1? , ? ? 10 10 ?

6.方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是_两个半圆
2

7.圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 2 关于直线 x ? y ? 0 的对称圆的方程是 ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 2
2 8.如果实数 x、y 满足等式 ? x ? 2 ? ? y ? 3 ,那么 2

y 的最大值是 3 x

9.已知点 A(?1,1) 和圆 C : ( x ? 5) 2 ? ( y ? 7) 2 ? 4 ,求一束光线从点 A 经 x 轴反射到圆周 C 的最短路 程为___8___ 10.求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x─y─3=0 上的圆的方程; 解:设圆心 P(x0,y0),则有 ? 解得 x0=4, y0=5, ∴半径 r= 10 , ∴所求圆的方程为(x─4) +(y─5) =10
2 2
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?2 x 0 ? y 0 ? 3 ? 0
2 2 2 2 ?( x0 ? 5) ? ( y 0 ? 2) ? ( x0 ? 3) ? ( y 0 ? 2)

,

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11. 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的方程 解:因圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上, 故设圆方程为 ( x ? 3b) ? ( y ? b) ? 9b
2 2 2
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又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 7 , 则有 (

| 3b ? b | 2 ) + ( 7)2 =9b2, 2

解得 b=±1

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故所求圆方程为

( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9

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点拨:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程; (2)待定系数法;(3)尽量利用几何关系 求 a、b、r 或 D、E、F. 12.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 PA , PO , PB 成等比数列,求 PA PB 的取值 范围. 解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即

r?

4 ? 2. 1? 3

得圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 .

(2)不妨设 A( x1,, 0) B( x2,, 0) x1 ? x2 .由 x 2 ? 4 即得

A(?2,, 0) B(2, 0) .
设 P( x,y ) ,由 PA , PO , PB 成等比数列,得 即

( x ? 2) 2 ? y 2

( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,

x2 ? y 2 ? 2 .
PA PB ? (?2 ? x, ? y) (2 ? x, ? y)

? x2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ? 1).
2 2 ? ? x ? y ? 4, 由于点 P 在圆 O 内,故 ? 2 2 ? ? x ? y ? 2.

由此得 y 2 ? 1 . 所以 PA PB 的取值范围为 [?2, 0) .

第四部分

作业练习

1.点 P (a, b ), Q (b+1 , a-1) 关于直线 L 对称,则 L 的方程是 x-y-1=0

9

2.过点 P(2,1)且被圆 x +y -2x+4y=0,截得的弦长最大的直线的方程是 3x-y-5=0 3.如果点(4,a)到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离不大于 3,那么 a 的取值范围是[0,10] 4.直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0, 当 k 变动时,所有直线都过定点(3,1) 5.直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 和直线 (3a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0 平行的充要条件是 a ?

2

2

1 或0 6

1 6.方程 x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t2+9=0(t∈R)表示圆方程,则 t 的取值范围是 - ? t ? 1 7
7.点 A 是圆 C: x2 ? y 2 ? ax ? 4 y ? 5 ? 0 上任意一点,A 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称点也在圆 C 上, 则实数 a 的值为-10 8.过圆 x2+y2=4 外一点 P(4, 2)作圆的两条切线, 切点为 A、 B, 则△ABP 的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5 9.M( x0 , y 0 ) 为圆 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与该圆的位置关 系为相离(填相切、相交、相离) 10.设直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,且弦 AB 的长为 2 3 ,则 a ?0 11.已知圆 C 过点 A(4,-1),且与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 5 ? 0 相切于点 B(1,2),则圆 C 的方程为 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

12. 若点( x,y)在直线3x ? 4 y ? 25 ? 0上移动,则x

2

? y 2的最小值为 25

13.过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜 率k =

2 2
2 2

14.若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线

? ? 5? ? l 的倾斜角的取值范围是 ? , ? ?12 12 ?
15.已知 A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点 D 的坐标,使四边形 ABCD 为等腰梯形. 解:设 D( x, y) ,若 AB

CD ,则 K AB ? KCD , AD ? BC ,易得 D( 16 , 3 )
5 5

若 AD

BC ,则由 ?

? ? k AD ? k BC ,可解得 D(2,3) AB ? CD ? ?

故点 D 的坐标为 (

16 3 , )或(2,3) 5 5

16.已知 ?ABC 的顶点 A 为(3,-1) ,AB 边上的中线所在直线方程为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , ? B 的平

10

分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在直线的方程. 解:设 B(4 y1 ? 10, y1 ) ,由 AB 中点在 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 上, 可得: 6 ?

4 y1 ? 7 y ?1 ? 10 ? 1 ? 59 ? 0 ,y1 = 5,所以 B(10,5) . 2 2

设 A 点关于 x ? 4 y ? 10 ? 0 的对称点为 A '( x ', y ') ,
y? ? 4 ? x? ? 3 ? 4? ? 10 ? 0 ? 2 则有 ? 2 ? A?(1,7) .故 BC : 2 x ? 9 y ? 65 ? 0 ? ? y ? 1 1 ? ? ? ?1 ? ? x? ? 3 4

17. 已 知 圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 和 圆 C2 , 直 线 l 与 圆 C1 相 切 于 点 (1,1) ; 圆 C2 的 圆 心 在 射 线

2 x ? y ? 0 ( x ? 0) 上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 .
(Ⅰ)求直线 l 的方程; (Ⅱ)求圆 C2 的方程. 解:(Ⅰ)(法一)∵点 (1,1) 在圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2 上, ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (法二)当直线 l 垂直 x 轴时,不符合题意. 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 1 ? 0 . 则圆心 C1 (0,0) 到直线 l 的距离 d ? r ? 2 ,即: ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
2 2 2 (Ⅱ)设圆 C2 : ( x ? a) ? ( y ? 2a) ? r (a ? 0) ,∵圆 C2 过原点,∴ 5a ? r .
2 2

| ?k ? 1| k 2 ?1

? 2 ,解得 k ? ?1 ,

2 2 2 ∴圆 C2 的方程为 ( x ? a) ? ( y ? 2a) ? 5a (a ? 0) .

∵圆 C2 被直线 l 截得的弦长为 4 3 ,∴圆心 C2 (a , 2a) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离:

d ? 5a 2 ? 12 ?

| a ? 2a ? 2 | . 2

2 整理得: a ? 12a ? 28 ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? ?14 .

∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 . ∴圆 C2 : ( x ? 2) ? ( y ? 4) ? 20 .
2 2

18.已知过 A(0,1)和 B (4, a ) 且与 x 轴相切的圆只有一个,求 a 的值及圆的方程.

11

解:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 .因为点 A、B 在此圆上, 所以 E ? F ? 1 ? 0 ,① ,

4D ? aE ? F ? a2 ? 16 ? 0 ②,
又知该圆与 x 轴(直线 y ? 0 )相切,所以由 ? ? 0 ? D ? 4 F ? 0 ,③
2

由①、②、③消去 E、F 可得:

1 (1 ? a) D 2 ? 4 D ? a 2 ? a ? 16 ? 0 ,④ 4

由题意方程④有唯一解,当 a ? 1 时, D ? ?4, E ? ?5, F ? 4 ;当 a ? 1 时由 ? ? 0 可解得 a ? 0 , 这时 D ? ?8, E ? ?17, F ? 16 . 综上可知,所求 a 的值为 0 或 1,当 a ? 0 时圆的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ?17 y ? 16 ? 0 ;当 a ? 1 时,圆的方 程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 4 ? 0 . 19.已知圆 O: x2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A,B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为

2 的椭圆,其左焦点 2

为 F.若 P 是圆 O 上一点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切; y (Ⅲ)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、 B 重合),直线 PQ ?若是, Q 与圆 O 是否保持相切的位置关系 请证明;若不是,请说明理由.

P

解:(Ⅰ)因为 a ?

2, e ?

2 ,所以 c=1 2

x2 ? y2 ? 1 则 b=1,即椭圆 C 的标准方程为 2
(Ⅱ)因为 P (1,1),所以 k PF ?

A

F

O

B x

1 ,所以 kOQ ? ?2 ,所以直线 OQ 的方程为 y=第 -2x(7 分) 19 题 2

又椭圆的左准线方程为 x=-2,所以点 Q(-2,4) 所以 kPQ ? ?1 ,又 kOP ? 1 ,所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ , 故直线 PQ 与圆 O 相切 (Ⅲ)当点 P 在圆 O 上运动时,直线 PQ 与圆 O 保持相切 证明:设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? ? 2 ),则 y0 ? 2 ? x0 ,所以 k PF ?
2 2

y0 x ?1 , kOQ ? ? 0 , x0 ? 1 y0

所以直线 OQ 的方程为 y ? ?

x0 ? 1 x y0

12

2 x0 ? 2 ) y0 2x ? 2 y0 ? 0 y0 y 2 ? (2 x0 ? 2) ? x0 2 ? 2 x0 x y 所以 k PQ ? ? 0 ? ? ? 0 ,又 kOP ? 0 , x0 x0 ? 2 ( x0 ? 2) y0 ( x0 ? 2) y0 y0 所以 k OP ? k PQ ? ?1,即 OP ? PQ ,故直线 PQ 始终与圆 O 相切
所以点 Q(-2,


求轨迹方程(师)

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