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辽宁省丹东四校协作体2012届高三下学期第一次联合质量检测考试数学(文)试题


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辽宁省丹东四校协作体 2012 届高三下学期第一次联合质量 检测考试数学(文)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)题~ 第(24)题为选考题,其它题为必考题.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 2 至 5 页.考试结束

后, 将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
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(1)已知集合 M ? {?1,1} , N ? {x | (A) {?1,1} (2)已知 sin(? ?

1 ? 2 x?1 ? 4, x ? Z} ,则 M ? N ? 2 (B) {?1} (C) {1} (D) ?

2? 4 3 ? ) 等于 , ? ? ? ? 0, 则 cos(? ? 3 3 5 2 3 4 3 4 (A) ? (B) ? (C) (D) 5 5 5 5 (3)设 a , b, c 是空间三条直线, ? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不正确的是 (A)当 c ? ? 时,若 c ? ? ,则 ? // ? (B)当 b ? ? 时,若 b ? ? ,则 ? ? ? (C)当 b ? ? , a ? ? 且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b (D)当 b ? ? 且 c ? ? 时,若 c // ? ,则 b // c y 2 x2 (4)设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x2 ? 1 相切,则该双曲线 a b

?

) ? sin ? ? ?

的离心率等于 (A)

5 2

(B) 5

(C) 6

(D)

6 2

(5)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,对任意 x ? R 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? 2 f (2) ,若函 数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且 f (1) ? 2 ,则 f (2011) 等于 (C)-2 (D)-3 ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ???? ??? ? (6)已知 ?ABC 平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,若实数 ? 满足: AB ? AC ? ? AP , 则 ? 的值为 (A)6 (B)3 (C)2 (D) (A)2 (B)3

3 2

(7)定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( ? x) ? f ( ? x) , ( x ? ) f ?( x ) ? 0 ,任意的

5 2 x1 ? x2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 是 x1 ? x2 ? 5 的

5 2

5 2

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m),则该棱锥的全面积是(单位:m2).

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正视图 (A) 4 ? 2 6 (B) 4 ? 6

侧视图 (C) 4 ? 2 2

俯视图 (D) 4 ? 2

(9) 已知 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c, 且a n t 则 tan B 等于 (A)

B?

??? ? ??? ?1 2? 3 , B CB A? ? , 2 2 a ?b ?c 2
2

3 2

(B) 3 ? 1

(C)2

(D) 2 ? 3

(10)关于 x 的不等式 ( x ? 1)2 ? ax 2 有且只有三个整数解,则实数 a 的取值范围是 (A) ( , )

4 3 3 2

(B) ( ,3)

2 3

(C) ( , )

8 5 9 2

(D) (

16 9 , ) 9 4

(11)从点 P 出发的三条射线 PA, PB , PC 两两成 60? 角,且分别与球 O 相切于 A, B, C 三点, 若球的体积为 (A) 2

4? ,则 OP 两点之间的距离为 3
(B) 3 (C)

x ( 12 )已知集合 A ? x ?1 ? x ? 0 , 集合 B ? x ax ? b?2 ?1 ? 0, 0 ? a ? 2,1 ? b ? 3 ,则

?

?

?

3 2

(D)2

?

A ? B ? ? 的概率为
(A)

1 4

(B)

3 4

(C)

1 16

(D)

15 16

第Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡相应的位置. (13)函数 f ( x) ? sin x ? cos x( x ? R) 的图象按向量 ( m, 0) 平移后,得到函数 y ? f ?( x) 的图 象,则 m 的值是_______; (14)给出下列四个命题: ①?x ? R, e x ? ex ;
2 ②?x0 ? (1,2) ,使得 ( x0 ? 3x0 ? 2)ex0 ? 3x0 ? 4 ? 0 成立;

③ 在 ?ABC 中,若 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形. ④ 已知长方体的长、宽、高分别为 a, b, c, 对角线长为 l ,则 l 3 ? a 3 ? b3 ? c3 ;
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其中正确命题的序号是_______; (15)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 左、右焦点分别为 F1、F2 ,过点 F2 作与 x 轴垂直的直线与双 a2 b2

曲线一个交点为 P ,且 ?PF1 F2 ?

?
6

,则双曲线的渐近线方程为_______;

? a, x ? 1 ? (16) 函数 f ( x) ? ? 1 | x ?1| 若关于 x 的方程 2 f 2 ( x) ? (2a ? 3) f ( x) ? 3a ? 0 有五个不同的 ( ) ? 1, x ? 1 ? ? 2
实数解,则 a 的取值范围是_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, q=( 2 a ,1),p=( 2b ? c ,

cos C )且 p // q .求:
(I)求 sin A 的值; (II)求三角函数式

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

(18)(本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,△ PAD 是正三角形,平 面 PAD⊥ 平面 ABCD,E、F、G 分别是 PD、PC、BC 的中点. (I)求证:PA//平面 EFG; (II)求平面 EFG ? 平面 PAD; (III)若 M 是线段 CD 上一点,求三棱锥 M ? EFG 的体积.

(19)(本小题满分 12 分)
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an an?1 an?2 * 已知各项都是正数的等比数列 {xn } ,满足 xn ? xn ?1 ? xn ? 2 (n ? N ).

(I)证明数列 {

1 } 是等差数列; an

(II) 若

1 1 12 ? 1, ? 15 ,当 m ? 1 时, 不等式 an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ? (log(m?1) x ? logm x ? 1) 对 a1 a8 35

n ? 2 的正整数恒成立,求 x 的取值范围.

(20)(本小题满分 12 分)

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴 2 a b 2 长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足
已知椭圆 C : ,当 PA ? PB < OA ? OB ? t OP ( O 为坐标原点)

2 5 时,求实数 t 取值范围. 3

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? bx(a ? 0) . 2

(I) 若 b ? 2 ,且 y ? f ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (II)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,证 明: f '( x0 ) ? 0 .

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请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记
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分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

D, 如图, 直线 AB 经过⊙O 上的点 C , 并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙O 交直线 OB 于 E ,
连接 EC, CD . (I)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (II)若 tan ?CED ?

1 , ⊙O 的半径为 3 ,求 OA 的长. 2
E O D A C B

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? ? ?x=1+tcosα, ?x=cosθ 已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? (θ 为参数). ?y=tsinα, ?y=sinθ, ? ? π (I)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (II)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨 迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

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(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 (| x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) . (I)当 m ? 5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (II)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17)(本小题满分 12 分) 解:(I)∵ p // q ,∴ 2a cos C ? 2b ? c , 根据正弦定理,得 2 sin A cos C ? 2 sin B ? sin C , 又 sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C ,

…………(2 分) …………(4 分)

1 1 ? sin C ? cos A sin C ,? sinC ? 0 ,? cos A ? , 2 2 ? 3 又? 0 ? A ? ? ? A ? ;sinA= 3 2

…………(6 分)

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cosC , (II)原式 ? sin C 1 ? tanC 1? cosC

? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?
∵0 ? C ?

?
4

…………(8 分)

),

…………(10 分)

2 ? ? 13 2 ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ? ,∴ ? ? sin(2C ? ) ? 1 , 2 4 4 4 12 3 ? ∴ ? 1 ? 2 sin(2C ? ) ? 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] . …………(12 分) 4
(18)(本小题满分 12 分) (I)证明:取 AD 的中点 H,连结 EH,HG. ∵ H,G 为 AD,BC 的中点,∴ HG//CD, 又 EF//CD.∴ EF//HG,∴ E,F,G,H 四点共面, …………(2 分) 又∵ PA//EH,EH ? 平面 EFGH,PA ? 平面 EFGH, ∴ PA// 平 EFG
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面 .

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…………(4 分) (II)证明:? AD ? CD , PD ? CD ,

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∴ CD ? 平面 PAD, ………(6 分) ∵ EF//CD,∴ EF ? 平面 PAD, ∵EF ? 平面 EFG,∴平面 EFG ? 平面 PAD;
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…………(8 分)

(III)解:∵ CD//EF,∴CD//平面 EFG,故 CD 上的点 M 到平面 EFG 的距离 等于 D 到平面 EFG 的距离,∴ VM ?EFG ? VD?EFG , …………(10 分)

1 S?EFG ? ? EF ? EH ? 2 ,平面 EFGH ? 平面 PBD 于 EH, 2 ∴D 到平面 EFG 的距离即三角形 EHD 的高,等于 3
∴ VM ? EFG ?

2 3 . 3

………… (12 分)

(II)由(Ⅰ )设 ? 令

?1? 1 1 1 , ? 的公差为 d ,知 ? ? (8 ? 1)d , d ? 2 , an ? 2n ? 1 a8 a1 ? an ?

f (n) ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ,则 f (n ? 1) ? an?2 ? an?3 ? ?? a2n ? a2n?1 ? a2n?2 ,
1 1 1 1 ? ? ? ? 0. 4n ? 1 4n ? 3 2n ? 1 (4n ? 1)(4n ? 3)(2n ? 1)
…………(8 分)

f (n ? 1) ? f (n) ?

∴ 函数 f ( n) 单调递增, 当 n ? 2 时, f ( n) min ? f (2) ? a3 ? a4 ?
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1 1 ? . 5 7

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(Ⅱ )由题意知直线 AB 的斜率存在. 设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2
k2 ? ? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , 1 2
.………… (6 分)

x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 x ? x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

x1 ? x2 8k 2 ∵OA ? OB ? t OP ,∴( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ? , ? t t (1 ? 2k 2 )
y? y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

∵ 点 P 在椭圆上,∴
2 2 2

(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ?2, t 2 (1 ? 2k 2 )2 t 2 (1 ? 2k 2 )2
…………(8 分)

∴16k ? t (1 ? 2k )

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(21)(本小题满分 12 分) 解:(I)当 b ? 2 时, f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x 2 1 ax 2 ? 2 x ? 1 . 则 f '( x) ? ? ax ? 2 ? ? x x
因为函数 f ( x ) 存在单调递减区间,所以 f '( x) <0 有解.

…………(2 分)

又因为 x>0 时,则 ax2+2x-1>0 有 x>0 的解. ① 当 a>0 时,y=ax2+2x-1 为开口向上的抛物线,ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; ② 当 a<0 时,y=ax2+2x-1 为开口向下的抛物线,若 ax2+2x-1>0 总有 x>0 的解; 则需△ =4+4a>0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根.此时,-1<a<0. 综上所述,a 的取值范围为(-1,0)∪ (0,+∞) …………(5 分) (II) 设点 A,B 的坐标分别是(x1, 0),(x2, 0),0<x1<x2. 则点 AB 的中点横坐标为 x0 ?

x1 ? x2 , 2

1 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ln x2 ? ln x1 ? a( x2 ? x12 ) ? b( x2 ? x1 ) 2 ?1 ? ? ln x2 ? ln x1 ? ? a( x2 ? x1 ) ? b ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ?2 ? ?1 ? 则 ln x2 ? ln x1 ? ? a( x2 ? x1 ) ? b ? ( x2 ? x1 ) ?2 ?

…………(7 分)

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f '( x0 ) ?

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ln x2 ? ln x1 1 2 a 2 ? ax0 ? b ? ? ( x2 ? x1 ) ? b ? ? x0 x1 ? x2 2 x1 ? x2 x2 ? x1 2(
…………(9 分)

x2 ? 1) 2( x2 ? x1 ) x1 x 1 1 ? [ ? (ln x2 ? ln x1 )] ? [ ? ln 2 ] x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1 1 ? x2 x1 x1 x 2( 2 ? 1) x x1 x 2(t ? 1) 设t ? 2 , 则 y ? ? ln 2 ? ? ln t , t ? 1. x2 x 1 ? t x1 1 1? x1
令 r (t ) ?

4 1 (t ? 1)2 2(t ? 1) ? ln t , t ? 1. 则 r ?(t ) ? ? ? ? . 1? t (t ? 1)2 t t (t ? 1)2

因为 t ? 1 时, r ?(t ) ? 0 ,所以 r (t ) 在 [1,?? )上单调递减. 故 r (t ) ? r (1) ? 0. 而

1 ? 0 . 故 f '( x0 ) ? 0 x2 ? x1

…………(12 分)

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 π 解: (I)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 的普通方程为 x2+y2=1. 3

?y= 3?x-1?, 1 3 联立方程组? 2 2 解得 C1 与 C2 的交点为(1,0),( ,- ).………… (5 分) 2 2 ?x +y =1, (II)C1 的普通方程为 xsinα-ycosα-sinα=0. A 点坐标为(sin2α,-cosαsinα), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为
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