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宁夏银川一中10-11学年高二上学期期末考试(数学文)


让学习变得简单

宁夏银川一中 10-11 学年高二上学期期末考试(数学文)
注意事项: 1.考试时间为 120 分钟,考试过程中不得使用计算器; 2.答案一律做在答卷页上. 一.选择题(每题 5 分,满分 60 分) 1. 命题 p : a ? b ? 0(a,b ? R);命题q : (a ? 2) ? | b ? 3 |? 0(a,b ? R)

,下列结论正 确的是( ) A. “p ? q”为真 B. “p ? q”为真 C. “?p”为假 D. “?q”为真
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到它一个焦点的距离是 7,则 P 到另一个焦点的距离是( 25 16 A. 17 B. 15 C. 3 D.1 3.若 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是( )
2.椭圆 A. a ? c ? b ? c B. ac ? bc C.



c2 ?0 a ?b
6 2
B. (

D. (a ? b)c 2 ? 0 )

4. 中心在远点, 焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4,2) 则它的离心率为( , A.

6
+

B.

5 2
2 2

C. )

D.

5

5.若 a,b∈R ,下列不等式中正确的是( A. ( a ? b ) 2 ? ab ? a ? b 2 2 C.

a ? b 2 a 2 ? b2 ) ? ? ab 2 2

a 2 ? b2 a?b 2 ?( ) ? ab 2 2
2

2 2 D. a ? b ? ab ? ( a ? b ) 2 2 2

6.设抛物线 y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA ? l , A 为垂足,如 果直线 AF 斜率为 ? 3 ,那么 PF ? ( A. 8 )

B. 8 3 C. 4 3 D. 16 1 7. 以 x ? ? 为准线的抛物线的标准方程为( ) 4 1 1 2 2 A. y ? x B. y 2 ? x C. x ? y D. x 2 ? y 2 2 x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是( 8. 双曲线 ) 4 9 9 4 3 2 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 4 9 2 3 8 1 9. 已知正数 x、y 满足 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值是( ) x y B.16 C.8 D.10 ?y ? 2 1 ? 10. x 、 y 满足约束条件: ?2 x ? y ? 5 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值是( 2 ?x ? y ? 4 ? 0 ? A. A.18



7 2

B. 2

C.

11 4
1

D. 3

让学习变得简单 11.若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线

支上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 ( A. [3-2 3, ??) B. [3 ? 2 3, ??)

??? ??? ? ?

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右 a2
) C. [-

7 , ?? ) 4

D. [ , ??)

7 4

12.有下列命题:①“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x,y 全是 0”的否命题; ②“全等三角形是相 似三角形”的否命题;③“若 m ? 1 ,则 mx2 ? 2(m ? 1) x ? m ? 3 ? 0 的解集是 R”的 逆命题;④“若 a ? 7 是无理数,则 a 是无理数”的逆否命题。其中正确的是( A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④ 二. 填空题(每题 5 分,满分 20 分) ④ ?x ? R,3x 2 ? 6x ? 4 ? 0 ;⑤ ?x ? R, ( x ? 1) 2 ? 0 . 其中为真命题的是________________. 14.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点为 A(-1,2) ,B(3,4) ,C(4,-2) ,点(x,y)在 四边形 ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是_____________________; y2 x2 7 15.椭圆 ? ? 1 (k ? ? ) 的焦点坐标为_____________________. 4? k 3? k 2 16. 已知直线 y ? kx 与椭圆 )

13.下列命题中:① ?x ? R, ( x ? 3) 2 ? 0 ;② ?x ? R, e x ? 0 ;③ ?x ? Z , lg x ? ?6 ;

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和双曲线 2 ? 2 ? 1 依次交于 A、 B、 a2 b a b

C、D 四点,O 为坐标原点,M 为平面内任意一点(M 与 O 不生命), 若 MA ? MB ? MC ? MD ? ? MO ,则 ? 等于_____________. 三、解答题(共 6 个小题,满分 70 分) 17. (本小题满分 10 分) (1)点 A(2,-4)在以原点为顶点,坐标轴为对称轴的抛物线上,求抛物线方程; (2)已知双曲线 C 经过点 (1,1) ,它渐近线方程为 y ? ? 3x ,求双曲线 C 的标准方程。 18. (本小题满分 12 分)
5 5 2 3 3 2 已知 a, b 都是正数,并且 a ? b,求证: a ? b ? a b ? a b 19.(本小题满分 12 分)
2 2 设 p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足 ?

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 2 ? x ? 2 x ? 8 ? 0. ?

(1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; y (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 已知直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若 | AF |? 4 ,求点 A 的坐标; (2)若直线 l 的倾斜角为 45? ,求线段 AB 的长.
O

A

F x B

21.(本小题满分 12 分) 某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器,运输安装费用 2 千元,每年投保、动力消耗的费 用也为 2 千元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为 2 千元,第二 年为 3 千元,第三年为 4 千元,依此类推,即每年增加 1 千元. (注:若前 n 年平均费用最 小,则称 n 为最佳使用年限) 。问这台机器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用的最
2

让学习变得简单 小值. 22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的两焦点为 F1 (? 3,0) , F2 ( 3,0) ,离心率 e ? (1)求此椭圆的方程; (2)设直线 l : y ? x ? m ,若 l 与此椭圆相交于 P ,Q 两点,且 PQ 等于椭圆的短轴长, 求 m 的值;

3 . 2

参考答案
1—6:ACDBCA 7—12:BCADBD 13. ②⑤; 14. (-14,20) ; 15. (0,1)(0,-1) , ; 17.解: (1)设抛物线方程为 y 2 ? 2 px 或 x 2 ? ?2 py 将点 A(2,-4)代入解得方程为: y 2 ? 8x 或 x 2 ? ? y 16.4 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2 分) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄(5 分)

(2)解析:设双曲线的方程为 y 2 ? 3x2 ? ? (? ? 0) ,将点 (1,1) 代入可得 ? ? ?2 。故答案

3x 2 y 2 ? ? 1。 为 2 2

┄┄┄┄┄┄┄┄ (10 分)

18、证明: 5 5 2 3 3 2 5 3 2 5 2 3 (a + b ) ? (a b + a b ) = ( a ? a b ) + (b ? a b ) ┄┄┄┄┄┄┄┄ (2 分) 3 2 2 3 2 2 2 2 3 3 = a (a ? b ) ? b (a ? b ) = (a ? b ) (a ? b ) 2 2 2 = (a + b)(a ? b) (a + ab + b ) ┄┄┄┄┄┄┄(8 分) 2 2 ∵a, b 都是正数,∴a + b, a + ab + b > 0 2 2 2 2 又∵a ? b,∴(a ? b) > 0 ∴(a + b)(a ? b) (a + ab + b ) > 0 5 5 2 3 3 2 即:a + b > a b + a b ┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12 分)
2 2 19. 解(Ⅰ) 由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a ,

当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .

┄┄┄(3 分) 是2 ? x ? 3.

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? 由? 2 ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围 ?x ? 2x ? 8 ? 0 ?

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . ┄┄┄(7 分) (Ⅱ) ? p 是 ? q 的充分不必要条件,即 ? p ? ? q ,且 ? q

? ?p , ?

3

让学习变得简单 设 A= {x | ?p} ,B= {x | ?q} ,则 A

B ,又 A= {x | ?p} = {x | x ? a或x ? 3a} ,┄(9 分)
┄┄┄(11 分)

B= {x | ?q} = {x ? 2或x ? 3 },则 0< a ? 2 ,且 3a ? 3

所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . ┄┄┄(12 分) 2 20.解:由 y ? 4 x ,得 p ? 2 ,其准线方程为 x ? ?1 ,焦点 F (1,0) . ┄(2 分) y 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . A p A′ (1)由抛物线的定义可知, | AF |? x1 ? ,从而 x1 ? 4 ? 1 ? 3 .

2

代入 y ? 4 x ,解得 y1 ? ?2 3 .
2

F
O

∴ 点 A 的坐标为 (3,2 3) 或 (3, ?2 3) . ┄┄┄┄┄(6 分) B′ ( (2)直线 l 的方程为 y ? 0 ? tan 45?? x ? 1) ,即 y ? x ? 1 .

B

x

? y ? x ?1 与抛物线方程联立,得 ? 2 , ┄┄┄┄┄┄┄(9 分) ? y ? 4x 消 y,整理得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ,其两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ? 6 .
由抛物线的定义可知, | AB |? x1 ? x2 ? p ? 6 ? 2 ? 8 . 所以,线段 AB 的长是 8. ┄┄┄┄┄┄┄(12 分) 21.设这台机器最佳使用年限是 n 年,则 n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为:

n 2 ? 3n , 2 ,┄┄┄┄┄┄┄(4 分) n 2 ? 3n n 2 ? 7n ? 总费用为: 7 ? 0.2 ? 0.2n ? ? 7.2 ? 20 20 0.2 ? 0.3 ? 0.4 ? ? ? ? ? 0.1(n ? 1) ?
7.2 ? ? n年的年平均费用为: y ? n 2 ? 7n 20 ? 0.35? ( n ? 7.2 ), n 20 n

┄┄┄┄┄┄┄(8 分) ┄┄┄┄┄┄┄(10 分)

?

n 7.2 7.2 ? ?2 ? 1.2, 20 n 20

n 7.2 ? 即n ? 12时成立 . ?ymin ?0.35?1.2?1.55(万元) 20 n 答:这台机器最佳使用年限是 12 年,年平均费用的最小值为 1.55 万元.┄┄(12 分)
等号当且仅当 22.解:设椭圆方程为

x2 y2 c 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,则 c ? 3 , ? ,┄┄(4 分) 2 a 2 a b x2 2 2 2 ? y2 ? 1. ┄┄┄┄┄(5 分) ? a ? 2, b ? a ? c ? 1? 所求椭圆方程为 4
?y ? x ? m ?x ? 4 y ? 4
2 2

(2)由 ?

,消去 y,得 5x ? 8mx ? 4(m ? 1) ? 0 ,
2 2

2 2 2 则 ? ? 64m ? 80(m ? 1) ? 0 得 m ? 5

(*)

设 P( x1 , y1 ), Q( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ? ?

4(m 2 ? 1) 8m , x1 x 2 ? , y1 ? y 2 ? x1 ? x2 , 5 5
┄┄┄┄┄┄┄(8 分)

4

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PQ ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[(?
2 解得. m ?

8m 2 16(m 2 ? 1) ) ? ]?2 5 5

15 30 ,满足(*)? m ? ? . 8 4

┄┄┄┄┄┄┄(12 分)

5


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