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!!!!强烈推荐《高中数学总复习》(全程讲解和习题训练有答案)

时间:2014-03-22


高中数学总复习 目
命题?考题?解题 第一讲 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 第二讲 命题点 1 命题点 2 第三讲 命题点 1 命题点 2 第四讲 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 第五讲 命题点 1 命题点 2 命题点 3 第六讲 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 第七讲 命题点 1 命题点 2 命

题点 3 第八讲 命题点 1 命题点 2 命题点 3 第九讲 命题点 1 命题点 2 第十讲 集合的概念和运算 集合的基本概念 集合的基本运算 集合与不等式 集合与函数和方程 简易逻辑 真假命题及四种命题的概念 充要条件 函数的概念及表示法 映射与函数的概念 函数的表示法与定义域 函数的性质 直接法、配方法与换元法求值域 求值域、已知值域求参数范围 函数的奇偶性与周期性 函数单调性 反函数 基本初等函数 二次函数 指数函数与对数函数 函数图象及函数综合问题 等差数列与等比数列 数列的概念 等差数列基本量的运算 等比数列基本量的运算 等差数列、等比数列前 n 项和及证明 等差、等比数列性质及应用 数列综合问题 数列求和 求数列的通项公式 等差数列与等比数列的综合问题及应用 三角函数的概念、同角三角函数的关系诱导公式 角的概念的推广与弧度值、 三角函数的概念 同角三角函数之间的关系 诱导公式的应用 两角和与差的三角函数、 两角和与差的三角函数、 “角”的形式的转化和差、 三角函数的图象和性制 二倍角公式 二倍角公式的应用 倍角公式的变形



1

命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 第十一讲 命题点 1 命题点 2 第十二讲 命题点 1 命题点 2 命题点 3 第十三讲 命题点 1 命题点 2 第十四讲 命题点 1 命题点 2 第十五讲 命题点 1 命题点 2 第十六讲 命题点 1 命题点 2 第十七讲 命题点 1 命题点 2 第十八讲 命题点 第十九讲 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 第二十讲 命题点 命题点 1 命题点 2 命题点 1 命题点 2 命题点 3

三角函数单调性与解不等式 y=Asin(ω x+φ )+k 的图象和性质 求三角函数值域 三角函数周期性和奇偶性及综合应用 平面向量的基本概念及其运算 向量的基本概念、向量加法、减法 实数与向量的积 平面向量的数量积 平面向量的数量积 数量积的性质 向量的综合问题 线段的定比分点与平移 定比分点及定比分点公式 平移公式及应用 正弦定理、余弦定理与解斜三角形 正弦定理、余弦定理 解斜三角形 不等式的概念和性质 不等式性质 比较大小 不等式证明和均值不等式 均值不等式 不等式的证明 不等式及不等式组的解法 有理不等式的解法 绝对值不等式 不等式的综合应用 不等式的综合应用 直线的方程和两条直线的位置关系 直线的倾斜角和斜率 直线方程 两条直线的位置关系 距离和角 对称问题 简单的线性规划 简单的线性规划 圆 圆的方程 直线与圆、圆与圆的位置关系 椭 圆 椭圆方程 椭圆的性质 直线与椭圆的位置关系 双曲线

第二十一讲

第二十二讲

第二十三讲

2

命题点 1 命题点 2 命题点 1 命题点 2

双曲线方程与双曲线的性质 直线与双曲线的位置关系 抛物线 抛物线方程、抛物线的几何性质 直线与抛物线的位置 轨迹方程 圆锥曲线的综合问题 直线与平面

第二十四讲

第二十五讲 第二十六讲 命题点 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 1 命题点 2 第三十讲 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 1 命题点 2 命题点 1 命题点 2 命题点 命题点 1 命题点 2 命题点 1 命题点 2 命题点 1 命题点 2 第二十九讲 第二十七讲

命题点 直接法、定义法、几何法、 相关点代入法、参数法 圆锥曲线的综合问题 平面的基本性质 空间两条直线位置关系的判断 空间两条直线所成的角与距离 线面关系 线面平行与垂直的概念 线面平行的判定与性质 线面垂直的判定与性质 射影 三垂线定理 面面关系 面面平行 面面垂直 距离与角 空间距离 线面角 二面角 棱柱与棱锥 棱柱 棱锥 多面体与球 多面体 球 空间向量的坐标运算 分类计数原理与分步计数原理 空间向量的坐标运算 分类计数原理(加法原理) 分步计数原理(乘法原理) 排列与组合 排列 组合 二项式定理 通项公式 二项展开式的系数与系数和 概 率

第二十八讲

第三十一讲

第三十二讲

第三十三讲 第三十四讲

第三十五讲

第三十六讲

第三十七讲

3

命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 1 命题点 2 命题点 第四十讲 命题点 命题点 1 命题点 2 命题点 1 命题点 2 命题点 1 命题点 2

等可能性事件的概率 互斥事件有一个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 离散型随机变量的分布列 利用分布列求概率 期望与方差 抽样方法 数学归纳法 数学归纳法 极 限 数列的极限 函数的极限与连续性 导 数 导数的概念与运算 导数的应用 复 数 复数的概念 复数的代数运算 抽样方法

第三十八讲

第三十九讲

第四十一讲

第四十二讲

第四十三讲

第一讲集合的概念和运算 最 新 命 题 特 点 对本部分内容的考查呈现以下特点: 1.高考命题上依然以考查概念和计算为主,题型主要是选择题、填空题,以解答题形式出现的可能性相对较小,以 本节的知识作为工具和其他知识结合起来综合命题的可能性相对大一些. 2.本部分考察的问题难度相对较小,属于高考中的低档题.与之结合的知识也是数学中的常规问题,比如函数中的 定义域值域、不等式的解集、解析几何中的基本图形等.主要是以集合语言和集合思想为载体,考察函数的定义域值域、 方程、不等式、曲线间的相交问题. 3.含参数的集合问题是本部分中的难点问题,多考察集合中元素的互异性,有时需要用到分类讨论、数形结合的思 想. 预计:典型例题本部分仍然要有题目涉及,形式基本固定,但是考察内容可能不拘一格. 应 试 高 分 瓶 颈 1.由于不确定集合类型(数集、点集、图形集)导致丢分. 2.不能准确求解出含参数的方程不等式的解集导致丢分. 3.数形结合思想运用不合理.

命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4

集合的基本概念 集合的基南运算 集合与不等式 集合与函数和方程

命题点 1

集合的基本概念

本类考题解答锦囊
4

解答“集合的基本概念”一类试题,最主要的是注意以下两点: 1.掌握集中的基本概念和表示方法,注意集合中元素的互异性、无序性和确定性. 2.解题时要先化简集合,并弄清集合中的元素是什么.具备什么性质.

Ⅰ高考最新热门题
1.(典型例题)设集合 M={x|x= A.M=N 及运算性质. B .M ? N

k 1 k 1 ? ,k∈Z},N={x| x= ? k∈Z},则 2 4 4 2
D.M∩N=φ

C.M ? N

命题目的与解题技巧:本题主要考查集合的相等及集合之间的关系,解决本题的关键是理解奇偶数的概念,整数的整除

? ? 2k ? 1 k?2 ? ? [解析] M ? x | x ? , k ? Z ?, N ? ? x | x ? , k ? Z ? 当 k∈Z 时,2k+1 和 k+2 分别表示所有奇数和所有整数,故有 4 4 ? ? ? ?
M ? N,选 B [答案]B 4.50%(典型例题)若非空集合 M A.充当非必要条件 N,则“a∈M 或 a∈N”是“a∈M∩N”的 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 B.必要非充分条件

答案: B 指导:注意到“α ∈M”或“α ∈N”也就是“α ∈M∪N”. 5(典型例题春) 设 I 是全集,非空集合 P,Q 满足 P 真含于 Q 真含于 I。若含 P、Q 的一个集合运算表达式,使运算结果 为空集,则这个运算表达式可以是________(只要写出一个表达式)

答案:指导:我们用文氏图来表示.则阴影部分为,显然,所求表达式是,如右图所示. P∩(P 并 Q 的补

集)


1(2005?石家庄)集合 M={1,2 A.29 答案: B B.30

题点经典类型题

,3,4,5}的非空真子集个数是
D.32

C.31

指导:本题是考查子集的概念,由子集的定义. (2^n)-2 个,
x

2(典型例题)集合 A={(x,Y)|y=2 },B={(x,y)|y>0, x∈R}之间的关系是 A.A 真包含于 B B.A 包含于
x

B

C.A=B

D.A∩B=φ

答案: A 指导: ∵A 表示指数函数 y=2 的图象上的点集,B 表示 x 轴上方的点集, ∴选 A. 命题点 2 集合的基本运算

本类考题解答锦囊 解题的一般方法是: 1.先弄清集合中的元素是什么(是数?是点?)而且弄清楚集合的几何意义. 2.当集合有较明显的几何背景时,常利用数形结合的思想方法进行集合的运算:一般抽象集合问题往往借助于文氏图求解; 常集之间的运算常用数轴直观显示;点集可画出满足条件的点构成的图形(直线或圆锥曲线或区域等)进行求解. 3.因集合运算的题目多以选择题的形式出现在高考中,所给集合又常常是非具体的集合,因此特例法也是解决这类问题的

5

常用方法之一.

4.已知集合 P={(x,y)||x|+|y|=1},Q={(x,y)|x2+y2≤1},则 ( ) A.P 包含于 Q B.P=Q C.P 包含 Q D.P∩Q=Q
答案:指导:分四类讨论化简方程|x|+|y|=1 得点集户表示的图形如左下图中的正方形,而点集 Q 表示单位圆面如下右图.∴P 是 Q 的的真子集. Ⅲ 新高考命题探究 集合与不等式

命题点 3

本类考题解答锦囊 解答“集合与不等式”一类测题,主要注意以下几点 1.能化筒的集合先化简,以便使问题进一步明朗化,掌握不等式的解法,如串根法、零点分区间法、平方法、转化法等. 2.在进行集合的运算时,不等式解集端点的合理取舍是难点之一,可以采用验证的方法进行取舍. 3.合理运用数形结合思想,是解决此类问题的关键之一.弄清集合中的元素是什么,然后分别用文氏图、数:轴或坐标平 面表示出相应集合. 4.要注意检验和分类讨论,分类的关键在于确定分类标准,使所分的各类不重复不遗漏. Ⅰ高考最新热门题 1(典型例题)记函数 f(x)= 2 ? (1) 求 A; (2) 若 B ? A,求实数 a 的取值范围. 命题目的与解题技巧: 本题主要考察函数定义域的求法、 分式不等式与含参数的整式不等式的解法、 集合之间的包含关系. 解 决本题的关键在于含参数不等式的正确求解,合理运用数轴来表示集合是解决这类问题的重要技巧.

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-X)](a<1)的定义域为 B x ?1

(1) 或 x≥1 即 A=(-∞,-1)∪[1,+∞] (2)由(x-a-1)(2a-X)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1).
[解答]

2?

x?3 x ?1 ? 0, 得 ?0 x ?1 x ?1 ,x<-1



∵B ? A,∴2a≥l

或 a+1≤-1,即 a≥

1 2或

a≤-2,而 a<1∴ ≤a<1
1 2

1 2

或 a≤-2,故当 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[ .1] 4 设全集 U=R.(1)解关于 x 的不等式|x-1|+a-1>0(a∈R);(2)记 A 为(1)中不等式的解 集,集合 B={x|sin(πx-/π3)+3cos(πx-π/3)=0},若(CuA)∩B 恰有 3 个元素,求 a 的取 值范围.
答案:(1)由|x-1|+a-1>0|x-1|>1-a 当 a>1 时,解集是 R; 当 a≤1 时,解集是{x|x<a 或 x>2-a}. (2)当 a>1 时,=,不符合题意; 当 a≤1 时,A={x|a≤x≤2-a}. 因 sin( ?x ?

B?A

?
3

) ? 3 cos(?x ? ) S

?

? 2[sin(?x ? ? 2 sin?x.

?
3

) ? 3 cos(?x ?

?
S

)

6

由 sinx=0,得(k∈Z).即 B=k∈Z,所以 B=z. 当(A)∩B 恰有 3 个元素时,a 就满足

?a ? 1, ? ?2 ? 2 ? a ? 3,解得 ? 1 ? a ? 0. ?? 1 ? a ? 0 ?
Ⅱ题点经典类型题 1(典型例题海淀)已知关于 x 的不等式 (1)当 a=4 时,求集合 M (2)若 3∈M 且 5 ? M,求实数 a 的取值范围. 命题目的与解题技巧: 本题主要考查分式不等式的解法以及元素与集合的关系. 解决此题的关键是准确的利用串根法求得不 等式的解集,准确把条件 3∈M 且 5∈M 转化为关于。的不等式组. [解答] (1)当 a=4 时,原不等式可化为

ax ? 5 x2 ? a

<0 的解集为 M

4x ? 5 x2 ? 4

<0

解得 x<-2 或<x<2.故 M=(-∞,-2)∪( (2)由 3∈M 得

5 ,2). 4
≥0 解之得:a∈[1,5/3 ]∪(9,25).

3a ? 5 32 ? a

<0,由 5 ? M得

5a ? 5 52? a

2(典型例题)两个集合 A 与 B 之差记作 A/B” ,定义为: A/B={x|x∈A,且 x ? B}},如果集合 A={x|log2x<1, x∈R},集合 B={x||x-2|<1,x∈R},那么,A/B= A.{x|x≤1} C. {x|1≤x<2} B.{x|x≥3} D.{x|0<x≤1}
2

答案: D 指导:A={x|0<x<2,x∈R},B={x|1<x<3,x∈R,A/B={x|0<x≤1,x∈R} 5(2005?天津)已知集合 A={x|-2k+6<x<k -3},B={x|-k<x<k},若 A 是 B 的真子集, ,求实数 k 的取值范围.
正确答案:

A 是 B 的子集,那么 ① 如果 A 是空集,即 -2k+6≥k?-3 => k? +2k -9≤0 => -1-√10 ≤ k ≤ -1+√10 要使 A 为 B 的真子集,那么 B 不能是空集,则 k>0 因此 k 的范围是 0<k≤-1+√10 ② 如果 A 不是空集, 即 -2k+6<k? - 3 , 同时需要满足 -2k+6≥-k 且 k?-3≤k 由此解出 k 的范围 -1+√10 < k ≤(1+√13)/2 考虑取到等号时, k = (1+√13)/2 集合 A 的右端点和 B 相同,但左端点大于 B 的左端点。 所以仍然是 B 的真子集。 因此所求的范围就是 0<k≤(1+√13)/2

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命题点 4

集合与函数和方程

本类考题解答锦囊 解答“集合与函数和方程”一类试题,注意以下几点: 1.解决集合与方程、函数的综合问题时,要注意灵活运用集合的相关知识,掌握函数值域、定义域的求法信方程的解法; 2.要充分利用数形结合的思想方法; 3.要弄清集合中元素是什么?

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4. 对于含参数的方程问题, 一般需要对参数进行讨论, 要特别注意检验集合的元素是否满足 “三性” , 还要提防“空集”这一隐性陷阱. Ⅰ高考最新热门题 1(典型例题)设函数 f(x)= ? b)有 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无数多个 命题目的与解题技巧:本小题主要考查集合的表示和相等,函数值域等知识,解题的关键是掌握函数值域的基本求法,理 解集合相等的概念等. [解析]
x ? ?? 1 ? x x ? 0 ? ? x?0 (方法一)f(x)= ?0 ? x ? x?0 ? ? x ?1

x (x∈R),区间 M=[a,b](a<b),集合 N={y|y=f(x),x∈M},则使 M=N 成立的实数对(a, 1? | x |

由此可知 x>0 时 f(x)<0;x=0 时 f(0)=0;x<0 时 f(x)>0.∴当 x≠0 时 f(x)的定义域 M 与值域 N 不可能相等,而 x=0 时,定 义域为{0},不存在 a,b 且 a<b,使得[a,b]中仅含 0 元素,故选 A (方法二)由 f(-x)=

x ? ? f ( x) 知 f(x)为奇函数,过原点;同时易证 f(x)在 x∈R 上单调递减,故 f(x)与 y=x,y=-x 仅有 1? | x |

原点一个交点.而一个函数 f(x)若想定义域与值域相等,则 f(x)与 y=x 或 y=-x 应有两个交点.故本题中不存在(a,b)使 得 M=N,选 A [答案] A
-x

2(典型例题)若集合 M={y|y=2 }, 集合 P={y|y= x ? 1 },则 M∩P= A.{y|>l} B.{y|y≥1} C.{y|y>0} D.{y|y≥O}

答案: C 指导:M={y|y>0},P={y|y≥0},则 M∪P={y|y>0}.故选 C

? x, x ? P, 3( 典 型 例 题 ? 理 ) 函 数 f(x)= ? 其 中 P , M 为 实 数 集 R 的 两 个 非 空 子 集 , 又 规 定 f(P)={y|y=f(x) , x ∈ ?? x, x ? M ,
P}f(M)={y|y=f(x),x∈M}.给出下列四个判断: ①若 P∩M=φ ,则 f(P)∩f(M)= φ ;②若 P∩M=φ ,则 f(P)∩f(M)=φ ;③若 P∪M=R,则 f(P)∪f(M)=R;④若 P∪M≠R, 则 f(P)∪f(M)≠R 其中正确判断有 A.1 个 答案: B B.2 个 C3 个 D.4 个 指导:由题意知函数 f(P)f(M)的图象如下图所示.

设 P=[x2+∞],M=(-∞,x1)],|x2|<|x1|. f(P)=[f(x2),+∞],f(M)=[f(x1),+∞],P∩M=?. 而 f(P)∩f(M)=[f(x1,+∞)≠?, 同理可知④正确.故①错误,同理可知②正确. 设 P=[x1,+∞),M=(-∞,x2)],|x2|<|x1|,则 P∪M=R f(P)=[f(x1),+∞],f(M)=[f(x2),+∞] f(P)∪f(M)=[f(x2),+∞]≠R,故③错误.同理可知④正确. 4(典型例题)记函数 f(x)= 2 ? (1) 求 A; (2) 若 B ? A,求实数。的取值范围.

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-X)](a<1)的定义域为 B x ?1

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答案:(1)由 2 ?

x?3 x ?1 ? 0, 得 ? 0,? x ? ?1或x ? 1即 A(-∞,-1)∪[1,+∞). x ?1 x ?1

(Ⅱ)由(x-a-)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.∵a <1,∴a+1>2a,∴B=(2a,a+1). ∵B ? A,∴2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥ 而 a<1,∴ Ⅱ

1 或 a≤-2, 2

1 ≤a 或 a≤-2.故当 B A 时,实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪[,1]. 2

题点经典类型题

1 设集合 M={(x,y)|y= 16 ? x 2 ,y≠0}, N={(x,y)|y=x+a},若 M∩N≠φ ,求实数 m 的取值围. 命题目的与解题技巧:本小题主要考查集合的概念和运算,解题的关键是要弄清集合中的元素是函数图像的点集,然后运用 数形结合的思想方法求得答案. [解析] 集合 M,N 有较明显的几何背景,故可画出对应的图形,用数形结合的方法求解.集合 M 表示的图形是园 x +y =16
2 2

在 x 轴上方的部分,集合 N 表示的图形是直线 y=x+a,如图,若 M∩N≠φ ,即半圆(不含端点)与直线没有公共点.当直线与 半圆相切时。a=4 2 ,当直线过 A 时,a=-4,故。的取值范围是 [答案] (-∞,-4)∪(4 2 ,+∞) 2(2005?合肥)若 A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)| x-y=1},则 A∩B 等于 A.{(1,2)} B.{2,1} C.{(2,1)} D.φ

?x ? y ? 3 ?x ? 2 答案: C 指导:∴由 ? 得? ? A ? B ? {21} ?x ? y ? 1 ?y ? 1 ? x ? 2 cos? 3(典型例题)已知集合 A={(x,y), | ? ,? ? [0,? ]} , B={{x,y}|y=kx+k+1},若 A∩B 含有两个元素,则 k∈_________ ? y ? sin?
? x ? 2 cos? x2 答案:指导:∵ ? ? ? [0,? ], ? ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1). 把 y =kx+k+1 代入得 4 ? y ? sin?

(

1 2 2 2 2 2 +k )x +(2k +2k)x+k +2k=0,由△=0 得 k=0 或 k= .又直线 y=kx+k+1 恒过点(-1,1),其与(-2,0)连线的斜率为 1, 4 3 1 2 2 ,由数形结合可得答案.[ ,1])∪[- ,0] 3 3 3
2

与(2,0)连线斜率为 ?

4(典型例题四月)设 f(x)=x ,集合 A={x|f(x)=x,x∈R},B={x|f[f(x)]=x,x∈R},则 A 与 B 的关系 A.A∩B=A C.A∪B=R B.A∩B=φ D.A∪B={-1,0,1}
2 4
2 2

答案: A 指导:由 f(x)=x 得 x =x,∴A={0,1},由 f[f(x)]=x 得 x =x,∴B={0,1}∴A∩B=A,选 A 5(典型例题)求:{x|y=lg(4x -4)}∩{y|y=2x -3}=______________ 答案:[-3,-1]∪(1+∞) 指导:原式={x|4x -4>0}∩{y|y≥-3}={xlx>1 或 x<-1}∩{y|y≥-3}=[-3,-1]∪(1,+∞). Ⅲ 新高考命题探究
2

2

1 已知集合 A={x|x -5x+6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A,则实数 m 组成的集合为 A. {-

1 1 ,- } 2 3

B.{0,

1 } 2

C.{

1 1 , } 2 3

D.{0,-

1 1 ,- } 2 3 1 . m

答案: D 指导:A={2,3},由 A∪B=A,知 B A,若 B≠?,则 m≠0,此时 x ? ?

9

? B ? A,? ?

1 1 1 1 1 ? A,? (? )2 ? 5(? ) ? 6 ? 0.则m ? ? , 或 m= ? , m m m m 2

1 1 故 m 组成的集合是 {0,? ,? } 2 3
2 集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x -ax+(a-1)=0},C={x|x -mx+2=0},已知 A∪B=A,A∩C=C,求 a,m 的值.
? ? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0, 答案:由 ? 消去y, ? ? x ? y ? 1 ? 0(0 ? x ? 2),
2 2 2

得 x +(m-1)x+1=0. ∵A∩B=? ∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 由△≥0,得 m≤-1 或 m≥3. 当 m≤-l 时, 由 x1+x2=-(m-1)>0 及 xlx2=1>0 知,方程①至少有一个根在区间[0,2]内,满足要求; 当 m≥3 时,由 x1+x2=-(m-1)<0 及 xlx2=1>0 知,方程①有两种负根,不符合要求. 综上,m 的取值范围是 m∈(-∞1—1). 考场热身 探究性命题综合测试 1 已知集合 M={x|x=m+ A.M=N P C.M N P 答案: B

2

1 n 1 p 1 ,m∈Z},N={x|x= ? ,n∈Z},P={x|x= ? ,p∈z},则 M、N、P 满足关系 6 2 3 2 6

B.M N=P D.N P M

指导:对于集合 M:

6n ? 1 6(n ? 1) ? 1 3p ?1 ? ? ? ? , n ? Z ?对于集合N : ? x | x ? , p ? Z ?对于集合P : ?x | x ? 6 6 6 ? ? ? 3p ?1 ? ? , p ? Z ? 由于 3(n-1)+1 和 S 都表示被除余 1 的数,而 6m+1 表示被 6 除余 1 的数,故 MN ?x | x ? 6 ? ?
2 设集合 P={3,4,5},Q={4,5,6,7},定义:P★Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则 P★Q 中元素的个数为 A.3 B.7 C.10
2

D.12

答案: D 指导:P:Q 的元素有 S?4=12,故选 D. 3 已知集合 A={(x,y)|x +mx-y+2=0}和 B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},如果 A∩B≠φ ,求实数 m 的取值范围.
? ? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0, 答案:由 ? ? ? x ? y ? 1 ? 0(0 ? x ? 2), 消去y, 得x 2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0.

∵A∩B=,∴方程①在区间[0.2]上至少有一个实数解. 由△≥0,得 m≤-1,或 m≥3.当 m≤-1 时, 由 x1+x2=-(m-1)>0 及 xlx2=1>0 知,方程①至少有一个根在区间[0,2]内,满足要求; 当 m≥3 时,由 x1+x2=-(m-1)>0 及 xix2=1>0 知, 方程①有两负根,不符合要求. 综上,m 的取值范围是 m∈(-∞,-1). 4 已知 P={(x,y)|(x+2) +(y-3) ≤4},Q={(x,y)|(x+1) +(y-m) < 答案:根据题意知, 点集 P 表示以 O1,(-2,3)为圆心,以 2 为半径的圆面(包含边界圆),
2 2 2 2

1 },且 P∩Q=Q,求 m 的取值范围. 4

10

点集 Q 表示以 O2(-1,m)为圆心,以

1 为半径的圆面(不包含边界圆). 2
2 2

为使 P∩Q=Q,应使圆 O2 内含或切于圆 O1.故有|O1O2| ≤(r1-r2) , 即(-l+2) +(m-3) ≤(2解得 S ?
2 2

1 2 ) 2

5 5 ?m?S? . 2 2
1 1 1 2 3 典型例题 )+(x + 2 )(x + 3 )+?+(x )的值. y y y

5 已知集合 M={x,xy,lg(xy)},N={0,|x|,y},并且 M=N,求(x+ 答案:因为{x,xy,lg(xy)}={0,|x|,y}, 所以 lg(xy)=0(因为当 x,y 之一为 0 时 lg(xy)无意义).

即 xy=1 时,再由集合 N 和|x|=1,或 y=1,当 y=1 时,由 xy=1 得 x=1,根据元素的互异性知 y=1 不可能. 当|x|=1 时,同理,由元素的互异性可知,x=1 不可能.故只能取 x=-1,由 xy=1 得 y=-1. 由 x=-1,y=-1,知 x =y ,x
2n 2n 2n-1

=y

2n-1

(n∈N+).所以

1 1 1 1 ( x ? ) ? ( x2 ? 2 ) ? ( x3 ? 3 ) ? ? ? ( x2004 ? 2004 ) ? (-1-1)+(1+1)+(-1-1)+?+(1+1)=0. y 2y y y
6 已知 R 为全集,A={x| log 1 =(3-x)≥-2},B={x|
2

5 ≥1},求 A∩B x?2

?S ? x ? 4 答案:由已知 log 1 (3-x)≥log 1 4,∵y=log 1 x 为减函数,∴S-x≤40 ? ? ?1 ? x ? 3 ?S ? x ? 0 2 2 2
即 A={x|-2<x≤3},又由

5 ≥1 得 B={x|-2<x≤3},∴AA∩B={x|-2<x<-1,或 x=3} x?2 x >0,x∈R}.则 A∩B 的元素个数为________个. 2

7 设集合 A={x|21gx=1g(8x-15),x∈R},B={x|cos
2 2

答案:由已知集合 A,得 lgx =lg(8x-15),∴x -8x+15=0. 解得 x1=3,x2=5.∴A={x|x1=3,x2=5}. cos

又由集合 B,得 ∴2kπ -

x >0. 2

x x x < <2kπ + ,k∈Z. 2 2 2

∴4kπ -π <x<4kπ +π . ∴B={x|4kπ +π .,k∈Z} (1)当 k=0 时,-π <x<π . ∴A∩B={x|x=3}; (2)当 k=1 时,3π <x<5π , ∴A∩B= ? ; (3)当 k=-1 时,-5π <x<-3π , ∴A∩B= ? . 故 A∩B 的元素个数为 1 个. 第二讲 最 新 命 题 特 点 对本部分内容的考查呈现以下特点: 1.逻辑是研究思维的方式及规律的基础学科,逻辑知识是认识问题、研究问题不可缺少的工具,在高考题中,几乎每一 题都要用到逻辑知识; 2.高考中多以选择题和填空题出现,在难度上以易题为主,若以函数、数列、立体几何知识为载体,也考查解答题;另 外,逻辑推理知识是一个新的命题背景; 简易逻辑

11

3.高考中主要考查逻辑连接词及其判断复合命题的真假,命题的四种形式及相互关系;充要条件;反证法. 4.预计:典型例题中仍然以真空或选择题形式出现.逻辑推理知识是新的命题背景. 应 试 高 分 瓶 颈 1.对某些概念理解不清,有关定义不能熟记,因而不能正确判断命题的真伪而导致丢分; 2.不能准确地进行四种命题的转换,导致丢分; 3.判断两个命题的充分、必要关系时方向不清.

命题点 1 命题点 2 命题点 1

真假命题及四种命题的概念 充要条件 真假命题及四种命题的概念

本类考题解答锦囊 解答“真假命题及四种命题的概念”一类试题,主要掌握以下几点:1.对数学概念要有准确的记忆和深层次的理解; 2.掌握真值表是判断真假的前提; 3.判断一个命题真假,可根据定义直接判断,也可利用原命题与其逆否命题的等价关系求解;证明一个结论成立时,也常 转化为证明其逆否命题成立. 4.解这类问题要弄清逻辑连结词和简单命题及复合命题的构成形式,准确地运用真值表进行判断. Ⅰ高考最新热门题 1(2005?上海)设数列{an}的前 n 项和为 sn(n∈N ),则关于数列{an}有下列三个命题: (1)若{an}既是等差数列又是等比数列,则 an=an+1(n∈N ); (2)若 sn=an +bn(a,b∈R),则{an}为等差数列; (3)sn=1-(-1) ,则{an}是等比数列. 这些命题中正确命题的序号是_________ 命题目的与解题技巧:本题以“命题”为工具,主要考查等差、等比数列的基础知识.解决本题的关键是准确掌握等差、等 比数列的定义,an 和 sn 的关系等知识.说明命题为真命题需要证明,说明一个命题为假命题只需单一个反例. [解析] (1)∵{an}为等差数列,设公差为 d,则由题意 an -d,an,an+d 为等比数列,∴a 2 n =(an-d)(an+d),所以 d=0 正确,
n 2 * *

∴(1)正确. (2)当 n=1 时,a1=s1=a+b;当 n≥2 时,an=sn-sn-1=2an -a+b;因 n=1 适合上式,所以 an=sn-sn-1=2an-a+b 而 an+1-an =2a(常数), 所以{an}为等差数列.(3)同(2)得 an= (-1) ?2,而 [答案] (1)
n-1

an?1 =-1(常数).所以{an}为等比数列. an

2(典型例题)在空间中: ①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线; ②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________ 答案: ② 指导: ①中的逆命题是: 若四点任何三点都不共线, 则这四点不共面. 用正方体 AC1 做模型来观察: 上底面 A1B1C1D1 中任何三点都不共线,但 A1、B1、C1、D1 四点共面,所以①中逆命题不真.②中逆命题是:若两条直线是异面直线,则两 条 直线没有公共点,所以②中逆命题是真命题. 3(典型例题)已知函数 y=f(x)(定义域为 D,值城为 A)有反函数 y=f (x),则 f(x)=0 有根为 a 且 f(x)>x(x∈D)的充要条件是 y=f (x)满足________ 答案: f (0)=a,且 f (x)<x(x∈A),或 y=f (x)图象在直线 y=x 的下方,且与 y 轴的交点为(0,a)
-1 -1 -1
-1 -1

12

指导:因为 y=f(x)有反函数,则 y=f(x)必为单调函数,由方程 y=f(x)=0 有解 x=a,则 y=f(a)=0. 又 y=f(x)>x,说明在定义域 D 内,函数 y=f(x)的图象在直线 y=x 的上方.而 y=f(x)的反函数 y=f (x)与 y=f(x) 的图象关于直线 y=x 对称.因此,从代数角度回答有 y=f (0)=a,且 y=f (x)<x(x∈A);从几何角度回答有 y=f (x)图象 在直线 y=x 的下方,且与 y 轴的交点为(0,a). 4(典型例题)α ,β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线.给出四个论断:①m⊥n β ④m⊥α 以其中三个论断作为条件,余下一个论 断作为结论,写出你认为正确的一个命题:________ 答案:指导:以 m 上 n 作为结论,其余 S 个论断作为前提条件,检查命题是否正确:因为 ? ? ? , n ? ? 所以 n//α 或 n ? α . 当 n ? α 时, m ? ? 得 m ? n 当 n//α 时,过作一平面与平面 a 相交于直线 n’,则由前证知,根据线面平行性质这时 n//n’故得 ②α ⊥β ③n⊥
-l -1 -1

-1

m ? n.

? ? ? , n ? ? , m ? ? ? m ? n.
5(典型例题)命题 p: 若 a、b∈R 则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件.命题 q 函数 y= | x ? 1 | ?2 的 定义域是(-∞, -1]∪[3,+∞).则 A. “P 或 q”为假 C. “p 真 q 假” B. “p 且 q”为真 D. “p 假 q 真”

答案: D 指导:∵|a+b|≤|a|+|b|,∴|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的必要而不充分条件,即 p 假;由|x-1|-2≥0,得 x≤-1, 或 x≥3,即 q 真.∴选 D. Ⅱ 题点经典类型题 x≥0 x<0 在 R 上是连续函数,则在下列三个复合命题:

?1 1(2005?合肥)给出命题:p:3≥3,命题 q:函数 f(x)= ? ?? 1
“p 且 q” “p 或 q” “非 p”中,真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

命题目的与解题技巧:本题主要考查连续函数的概念及复合函数真值表.解决本题的关键是准确连续函数的定义及基本知 识.要判断三个复合命题的真假,必须先判断 P 与叮的真假,再结合复合函数的真值表进行判断. [解析] [答案] 要判断三个复合命题的真假,先必须判断 p 与 q 的真假,再结合复合命题的真假表作出判断,p:3≥3 为真命题, 在 R 上是连续函数是假命题,则这 p 或 q 为真,P 且 q 为假,p 为假命题. B D.必要而不充分条件 而 q:f(x)

2(2005?南开中学)今有命题 p、q,若命题 m 为“p 且 q,则“p 或,q”是“m”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案: C 指导:∵“p 且 q”的否定为“┐p 或┐q∴“┐p 或┐q”是“┐m”的充要条件. 3(典型例题)定义在 R 上且不恒为 0 的函数 f(x),满足 f(x)满足 f(x+ 题:①函数 f(x)的最小正周期是 中真命题的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0

3 3 )+f(x)=0,且函数 f(x- )为奇函数, 给出下列命 2 4

3 3 ;②函数 y =f(x)的图象关于点(- ,0)对称;③函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称.其 2 4

3 3 3 3 答案: B 指导:∵ f ( x ? ) ? ? f ( x). ? ( x ? ? ) ? ? f ( x ? ) ? f ( x). 2 2 2 2 3 ∴最小正周期为 3;∵y=f ( x ? ) 为奇函数. 4 3 3 (? ,0) 为对称中心.∵y=f(x ? )为奇函数. 4 4
∴函数 y=f 对称中心为原点,∴函数 y=f(x)以点

13

3 3 3 3 ? f (? x ? ) ? ? f ( x ? ).以x ? 代入得y ? f (? x) ? ? f ( x ? ) ① 4 4 4 2 3 3 3 3 又由 ? f ( x ? ) ? f ( x) ? ? f ( x ? ) ? f ( x) ? ? f ( x ? ) ? ? f ( x ? ) 2 2 2 2
比较①②得 f(-x)=f(x). ∴y=f(x)为偶数.∴命题②、③正确,①错误
2

∴选 B.

4(典型例题)已知原命题: “若 m>0,则关于 x 的方程 x +x-m=0 有实根” ,下面结论中正确的是 A.原命题和逆否命题都是真命题 B.原命题和逆否命题都是假命题 C.原命题是真命题,逆否命题是假命题 D.原命题是假命题,逆否命题是假命题 答案: A 指导:对于方程 x +x-m=0 的△=4m+1, 命题是等价命题,故选 A. Ⅲ 新高考命题探究
x

2

当 m>0 时△>0,∴方程有实根,即原命题是真命题,而逆否命题与原

1 已知命题 p=不等式|x|+|x-1|>m 的解集为 R,命题 q=函数 f(x)=-(5-2m) 是减函数,若 p 或 q 为真命题、p 且 q 为假命题, 则实数 m 的取值是______. 答案:[1,2] 指导:不等式|x|+|x-1|>m 的解集为 R,则 m<1,函数 f(x)=-(5-2m) 是减函数,则 m<2,又由 p 或 q 为真命题、 p 且 q 为假命题,则实数 m 的取值 1≤m≤2. 2 已知函数 f(x)=x +(a+1)x+1g|a+2|(a∈R,且 a≠-2). (1)若 f(x)能表示成一个奇函数 g(x)和一个偶函数 h(x)的和,求 g(x)和 h(x)的解析式; (2)命题 P;函数 f(x)在区间[(a+1) ,+∞]上是增函数;命题 Q;函数 g(x)是减函数,如果命题 p、0 有且仅有一个是真命 题,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,比较 f(2)与 3-lg2 的大小. 答案:(1)∵y=f(x)=g(x)+h(x), g(-x)=-g(x),h(-x)=h(x), ∴f(-x)=-g(x)+h(x).
2 ? ? g ( x) ? h( x) ? x ? (a ? 1) x ? lg | a ? 2 | , ?? 2 ? ?? g ( x) ? h( x) ? x ? (a ? 1) x ? lg | a ? 2 |
2 2

x

解得 g(x)=(a+1)x,h(x)=x +lg|a+2|. (2)∵函数 y=f(x)= ( x ? 解得 a≥-1 或 a≤ ?

2

a ? 1 2 (a ? 1) 2 (a ? 1)2 a ?1 2 2 , ) ? ) ? ? lg | a ? 2 | 在区间[(a+2) ,+∞]上是增函数,∴(a+1) ≥ ? 2 2 4 2

3 且 a≠-2. 2

又由函数 g(x)=(a+1)x 是减函数,得 a+<0, ∴a<-1 且 a≠-2. 命题 Q 为真的条件是:a<-l,∴命题 P 为真的条件是: a≥-1 或 a≤ ?

3 且 a≠-2. 2 3 2

又∵命题 P、Q 有且仅有一个是真命题,∴a> ? (3)由题意得 f(2)=2a+lg|a+2|+6. 又∵a> ?

3 ∴f(2)=2a+lg|a+2|+2|+6. 2

设函数 v(a)=2a+18(a+2)+6,

14

∴v'(a)=2+

1 ln10 ? 0 a ?1 3 ,+∞]上为增函数. 2

∴函数 v(a)在区间[ ? 又∵v( ? 命题点 2

3 3 3 )=3-lg2,∴当 a> ? 时,v(a)>( ? ),即 f(2)>3-lg2. 2 2 2
充要条件

本类考题解答锦囊 解答“充要条件”类试题主要掌握以下几点: 1.判断充要条件要从两方面考虑:一是:解这类问题必须明确哪个是条件,哪个是结论;二是再看是由条件推出吉论,还 是由结论推出条件,应用充分不必要、必要不充分、充要条件的定义加以征明. 2.判断充分条件,必要条件,充要条件,既不充分也不必要条件,最根本的方法是根据定义,运用“ ? ”号: 若 p ? q 且 p ? q,则 p 是 q 的充分不必要条件; 若 p ? q 且 p ? q,则 p 是 q 的必要不充分条件; 若 p ? q,则 p 是 q 的充要条件; Ⅰ 高考最新热门题
2 2

1(典型例题)设 a1、b1、c1、a2、b2、c2 均为非零实数,不等式 a1x +b1x+c1>0 和 a2x +b2x+c2>0 的解集分别出心裁为集合 M 和 N, 那么“

a1 b1 c1 ”是“M=N”的 ? ? a2 b2 c2
B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

A.充分非必要条件 C.充要条件

命题目的与解题技巧:本题主要考察二次不等式的基本知识和充要条件的判定.二次不等式是高考中的热点问题,解决本题 的关键是熟练掌握二次不等式的解法及二次不等式恒成立的问题,熟悉充要条件的判定和方法规律. [解析] 如果

a1 b1 c1 a b c >0 则“M=N” ,如果 1 ? 1 ? 1 <0,则“M≠N” .∴R 反之若 M=N=φ ,既说明二次不等式的解 ? ? a2 b2 c2 a2 b2 c2 a1 b1 c1 ” .因此,既非充分又非 ? ? a2 b2 c2

集为空集,与它们的系数比无任何关系,只要求判别式小于零.因此, “ M=N” “ 必要条件. [答案] B B.充分而不必要条件

2(典型例题)已知数列{an},那么“对任意的 n∈N,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上”是“{an}为等差数列”的 A.必要而不充分条件 C.充要条件 答案: B D.既不充分也不必要条件

指导:由 P: “对任意的 n∈N*,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上” ,即 P: “an=2n+l,n∈N*” ,故 an+1-an=2,∴{an}
2

是以 a1=3 为首项,d=2 为公差的等差数列.q:{an}为等差数列.故 p ? q,而 qp,∴选 B 3(典型例题)函数 f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上存在反函数的充分必要条件是 A.a∈(-∞,1) C.a∈[1,2] 既 a≥2 或 a≤1. 4(典型例题)“cos2α = ? A.必要非充分条件 C.充分必要条件 B.a∈[2,+∞] D.a∈(-∞,1)∪[2,+∞]
2

答案: D 指导:∵f(x)=x -2ax-3 的对称轴为 x=a,∴y=f(x)在[1,2]上存在反函数的充要条件为[1,2] (-∞,a)或[1,2] [a,+∞],

3 5? 是? ? k? ? ,k ? Z 2 12
B.充分非必要条件



D.既非充分又非必要条件

15

答案: A 指导:∵ó cos 2? ? ? Ⅱ 题点经典类型题

3 5? ,? 2? ? 2k? ? , k ? Z. 2 6

? 2? ? 2k? ?

5? ,k ? Z 2

1(典型例题)指出下列各组命题中,p 是 q 的什么条件(在“充分而不必要条件” 、 “必要而不充分条件、 ” “充要条件” 、 “既不 充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC 中,p:A>B,q:BC>AC; (2)对于实数 x,y,p:x+y≠8,q:x≠2 或 y≠6; (3)在△ABC 中,p:sinA>sinB,q:tanA>tanB; (4)已知 x,y ∈ R,p;(x-1) +(y-2) =0,q;(x-1)(y 一 2)=0. 命题目的与解题技巧:本题主要考查条件的判定,关键是分清条件和结论,条件→ 结论的充分性,结论→条件的必要性. [解析] (1)在△ABC 中,显然有 A>B ? BC>AC,∴p 是 q 的充要条件. x+y=8,∴p 是 q 的充分不必要条件. (2)∵逆否命题:x=2 且 y=6
2 2

(3)取 A=120°,B=30°,p ? q,又取 A=30°,B=120°,q ? p,∴p 是 q 的既不充分又不必要条件. (4)∵p={(1,2)},q={(x,y),|x=1 或 y=2},pq,∴p 是 q 的充分不必要条件. [答案] 略
2

2(典型例题)一元二次方程 ax +2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 答案: C 指导:方程 ax +2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为 x1x2= ∴它的一个充分不必要条件为 C 选项. 3(2005?河南)给出两个命题:p:|x|=x 的充要条件是 x 为正实数;q:存在反函数的函数一定是单调函数.则下列复合命 题中真命题是 A.p 且 q B.p 或 q C.p 且 q D.p 或 q
2

1 <0 a

答案: D 指导:|x|=x 得 x≥0.∴p 为假命题,q 也为假命题,如: y ?

1 存在反函数,但不单调.∴选 D. x

4(2005?西城)已知命题 p:函数 y=log(ax+2a)(a>0 且 a≠1)的图象必过定点(-1,1);命题 q:如果函数 y=f(x-3)的图象关 于原点对称,那么函数 y=f(x)的图象关于(3,0)点对称.则 A. “p 且 q”为真 C.p 真 q 假 B. “p 或 q”为假 D.P 假 q 真

答案: C 指导:显然 p 为真命题,由命题 q,得 y=f(x)的图象关于(-3,0)点对称.∴选 C 5(典型例题)设 x,y∈R,求证: ,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥O. 答案:充分性是证:xy≥0|x+y|=|x|+|y|;必要性是证:|x+y||x|+|y| ? xy≥0. 先证充分性:如果 xy=0,那么①x=0,y≠0;②y=0,x≠0;③x=0,y=0.于是|x+y|=|x|+|y| 如果 xy>0,即 x>0,y>0,或 x<0,y<0。 当 x>0,y>0 时,|x+y|=|x|+|y| 当 x<0,y<0 时,有|x+y|=-(x+y)=-x+(-y)=|x|+|y|. 总之,当 xy≥0 时,有|x+y|=|x|+|y|.再证必要性:由|x+y|=|x|+|y|及 x,y∈R,得(x+y) =(|x|+|y|) . 即 x +2xyy =x +2|xy|+y ,即|xy|=xy,∴xy≥0. Ⅲ新高考命题探究 1 命题甲:(
2 2 2 2

2

2

1 x 1-x x2 ) ,2 , 2 成等比数列;命题乙:lgx,lg(x+1),lg(x+3)成等差数列,则甲是乙的 2
B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

A.充分非必要条件 C.充要条件 答案: B

指导:甲乙而乙甲,故甲是乙的必要非充分条件.

2 0<x<5 是不等式|X-2|<4 成立的

16

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

答案: A 指导:设 A={x|0<x<5},B={|x||x-2|<4}={x|-2<x<6},AB,故 A 中的元素一定是 B 中元素,而 B 中的元素不一定 是 A 中的元素,选 A. 3 已知 a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,是各项大于零的数列.命 题①a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,不是等比数列;命题 ②a1+a8<a4+a5 则命题②是命题①的 A.充分且必要条件 C.必要但不充分条件 答案: B 考场热身 探究性命题综合测试 1 已知直线 m、n 和平面α ,则 m∥n 的一个必要条件是 A.m∥α ,n∥α C.m∥α ,n ? α
2

B.充分但不必要条件 D.既不充分也不必要条件
7 1 3 4 7 3 4 1 4 3

指导:若是等比数列,则 a1+a8=a1(1+q ).a4+a5=a (q +q ).所以 a1+a8-(a4+a5)=a1(q -q -q +1)=a (q -1)(q -1). 故命题② ? ①

∵a1>0,q>0,∴al+a8≥a4+a5

B.m⊥α ,n⊥α D.m、n 与α 成等角
2

答案: D 指导:由 m∥n 可得 m、n 与α 成等角,由 m、n 与α 成等角不能得 m∥n.∴选 D 2 已知 a∈R,b∈R,则 a +b =0 是函数 f(x)=x|x+a|+b 为奇函数的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2 2 2 2

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件
2 2

答案: C 指导:若 a +b =0 即 a=b=0 时,f(-x)-x|x+0|+0=-x|x|=-f(x), ∴a +b =0 是 f(x)为奇函数的充分条件.又若 f(x)为奇函数即 f(-x)=-x|(-x)+a|+b= -(x|x+a|+b),则必有 a=b=0 即 a +b =0. ∴a +b =0 是 f(x)为奇函数的必要条件. 3 在△ABC 中,条件甲:A<B;条件乙:cos A>cos B,则甲是乙的 A.充分但非必要条件 C.充要条件 B.必要但非充分条件 D.既非充分又非必要条件
2 2 2 2

答案: C 指导:设 a、b、c 分别为△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边,则由正弦定理

a b C =2R ? ? sin A sin sin C

? A ? B ? a ? b ? 2R sin A ? 2R sin B ? sin A ? sin B ? sin2 A ? sin2 B ? 1 ? sin2 A ? 1 ? sin2 B ? cos2 A ? cos2 B. ∴ 选
C 4 已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,

c d ? >0(其中 a,b,c,d 均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等 a b
D.3 个

式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个

答案: D 指导:①

1 ? ? 0? c d ???是真命题;② ab ? ? ? ? 0, ? a b ? bc ? ad ? 0 ? ab ? 0 ?

c d ? ? ? 0? ? bc - ad ? 0, 是真命题; a b ?

③ ?

c a

d bc ? ad ad ? ?0? ?0? ? 0? ? ad ? 0 是真命题. b ad bc ? ad ?
2

5 已知函数 f(x)=2x +mx+n,求证:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 1. 答案:证明:假设原命题不成立,即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于 1.

17

? f (1) ? 1, ??1 ? 2 ? m ? n, ? ? 则 ? f (2) ? 1, ? ?? 1 ? 8 ? 2m ? n ? 1, ? f (1) ? 3 ?? 1 ? 198 ? 3m ? n ? 1, ? ?
①+③,得-11<2m+n<-9 与②-9<2m+n<-7 矛盾,所以假设不成立. 即|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于 1. 第三讲 函数的概念及表示法 最 新 命 题 特 点 对本部分内容的考查呈现以下特点: 1.本单元是本章乃至全书的基础.可以说无处不函数,函数不仅是高中数学的核心内容,还是学习高等数学的基础, 所以高考中函数占有极其重要的地位.其试题一般都是中高档题,不但形式多样,而且突出考查数学思想方法,考查思 维能力、运算能力、分析问题解决问题的能力以及理论联系实际能力,是高考靠能力靠素质的主阵地; 2.纵观近几年高考试题,在选择、填空、解答三种题型中都有函数试题,是高考中的热点内容. 3.函数的表示方法、分段函数也是考查的重点之一. 预计典型例题延续原来的命题风格,并将重点考查分段函数. 应 试 高 分 瓶 颈 命题点 1 命题点 2 命题点 1 映射与函数概念 函数的表示法与定义域 映射与函数的概念 1. 映射的概念及用映射来刻画函数的概念不清晰. 2.对含参数的函数定义域的字母参数分类讨论. 3.对函数对应法则“f”理解不深刻.

本类考题解答锦囊 解答“映射与函数的概念”一类试题,主要掌握以下几点: 1.象与原象是映射中的两个重要概念,常列方程,用方程的思想求解. 2. 函数概念题主要考查对“对应法则厂’的理解,特别是分段函数的题型,要注重分类讨论、数形结合等重要数学思想的 运用. Ⅰ高考最新热门题 1(典型例题)设集合 A 和 B 都是自然数集合 N,映射 f:A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2+n, 则在映射 f 下,象 20 的原象是 A.2 [解析] [答案] B.3 C.4 D.5 命题目的与解题技巧:本题主要考查映射的概念及象、原象的概念.解题的方法一般是列方程,用方程思想解决此类题. 设 n∈A 且 n 的象为 20.由条件知:n 的象为 2+n 则 2+n=20.故 n=4. ∴选择 C C , 其 中 P 、 M 为 实 数 集 R 的 两 个 非 空 子 集 , 又 规 定 f(P)={y|y=f(x) , x ∈

? x, x ? P 2( 典 型 例 题 ) 函 数 f(x)= ? ?? x, x ? M
①若 P∩M=φ ,则 f(P)∩f(M)= φ ②若 P∩M≠φ ,则 f(P)∩f(M)= φ ③ 若 P∪M=R,则 f(P)∪f(M)=R;

P},f(M)={y|y=f(x),x∈M},给出下列四个判断:

④若 P∪M≠R,则 f(P)∪f(M)≠R; 其中正确判断有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

18

答案: B

指导:若 P={1,2},M={-1,-2},

则 P∩M=?,但 f(P)={1,2,3},f(M)={1,2},所以 f(P)∩f(M)={1,2},①不正确; 若 P∩M= ?,由函数的概念知,P、M 有且只有一个公共元素 O,所以 f(P)与 f(M)也至少有公共元素 O,所以 f(p)与 f(M) 也至少有公共元素 O,②正确; 若 P={x|x≥>0},M={x|x<0},P∪M=R,则 f(P)={x|x≥0},f(M)={x|x>0},所以 f(P)∪f(M)≠R,③不正确. 若 P∪M≠R,设 x0 且 x0M,则 x0f(P)且-x0f(M),如果 f(P)∪f(M)=R,则 x0∈(M)且-x0∈f(P),即-x0∈M 且-x0∈P,由函 数的概念知,x0=0.而当 0P∪M 时,必有 0f(P)∪f(M),④正确. 3(典型例题)已知函数 f(x)= lg A.b B.-b C.

1? x ,若 f(a)=b,则 f(-a)等于 1? x
D.-

1 b

1 b

答案: B 指导:∵f(-x)=

1? x ? ? f (? x), 1? x

∴函数 f(x)是奇函数.∴f(-a)=-f(a)=-b. 4(典型例题)判断下列各组函数是否表示同一个函数 A.y=

x2 ? 1 与 y=x+1 x ?1

B.y=lgx 与 y=

1 lg x 2 2

C.y= x 2 -1 与 y=x-1 D.y=x 与 y=logaa (a>0 且 a≠1) 答案: D 指导:选项 A 表示不同函数,因为定义域不同.选项 B 的两函数的定义域不同,分别为(0,+∞)和(-∞,0)∪(0, +∞),所以两函数不是相同函数.
x

? x ? 1( x ? 0) 选项 C 因为 y= x 2 ? 1 ? ? ' 它与 y=x-1 的 ?? x ? 1( x ? 0)
对应法则不相同,所以两函数不是相同函数.选项 D 表示相同的函数. Ⅱ 题点经典类型题 1(典型例题十校)设函数 f(x)的定义域为 R+,且满足条件 f(4)=1,对于任意 x1,x2∈R+,有 f(x1,x2)=f(x1)+ f(x2),当 x1>x2 时,有 f(x1)>f(x2). (1) 求 f(l)的值; (2)如果 f(3x+1)+f(2x-6)≤3,求 x 的取值范围. 命题目的与解题技巧:本题考查“对应法则 F”和函数定义域等等知识的理解.解决此题的关键一是注意定义域,二是将抽 象函数解析式转化为不含“F”的形式。 [ 解 析 ]
2

(1)0

(2)3<x ≤ 5 ① f(x1 ? x2)=f(x1)+f(x2) 令 x1==x2=1 得 f(1)=f(1)+f(1) , ∴ f(1)=0 . ②

f(4 )=f(4 ? 4)=f(4)+f(4)=2f(64)=f(16)+f(4)=3 ∴ 由 f(3x+1)+f(2x-6) ≤ 3 得 f[(3x+1)(2x-6)] ≤ f(64) 又 x1>x2 时 有 f(x1)>f(x2)

?3x ? 1 ? 0 ? ∴ ?2 x ? 6 ? 0 ?(3x ? 1)( 2 x ? 6) ? 64 ?
[答案] I f(1)=0,Ⅱ 3<x≤5.
4 3 2 4 3 2

2(典型例题)由等式 x +a1x +a2x +a3x+a4=(x+1) +b1(x+1) +b2(x+1) +b3(x+1)+b4 定义映射 f:(a1, a2,a3,a4,)→b1+b2+b3+b4, 则 f(4,3,1)等于 答案: D 指导:由 f(a1,a2,a3,a4)=b1+b2+b3+b4 及 f(4、3、2、1)

19

知 a1=4,a2=3,a3=2,a4=1,则 x +4x +3x +2x+1= (x+1) +b1(x+1) +b2(x+1) +b3(x+1)+b 取 x=0 得 I=14+b2+b3+b4=0,选 D. 3(典型例题)定义集合 A*B 的一种运算:A*B={x|x=x1 +x2,其中 x1∈A,x2∈B},若 A={1,2,3},B={1,2},则 A*B 中的所 有元素数字之和为 A.9 B.14 C.18 D.21 答案: B 指导:由 A*B={x~x=x1+x2~及 A={1,2,3,},B={1,2,}.得 x0=1+1=2,x1=1+2+3,x2=2+2=4,x3=2+3=5,和为 143.选 B.

4

3

2

4

3

2

4

?1, ( x ? 0) ? sgnx 4(2005?南昌)定义符号函数 sgnx= ?0, ( x ? 0) ,则不等式: x+2>(2x<0) 的解集是_______________, ?? 1, ( x ? 0) ?
答案: {x ~ ?
3 ? 33 ? x ? 3} 4
4

? x ? 0, 指导 : 原不等式 ? ? ?x ? 2 ? 2x ? 1
3 2 4 3

? x ? 0, ? ?x ? 0 ? 或 1 ? 0 ?x ? 2 ? . ? 2 ? ( ? 1 ) ? ? 2x ? 1 ?
2

5(2005, 江西)由关于 x 的恒等式 x +a1x +a2x +a3x+a4 =(x+1) +b1(x+1) +b2(x+1) +b3(x+1)+b4, 定义 映射 f(a1、 a2、 a3,a4)→(b1. b2、 b3,b4),则 f(4,3,2.1)等于 A.10 答案: D
r

B.7

C.-1

D.0
3 2 4 3 2

指导:由题知 a1=4,a2=2,a3=2,a4=1,则 x4+4x +3x +2x+1=(x+1) +b1(x+1) +x1(x+1) +b3(x+1)+b4

取 x=0 得 1+1 +b1+b2+b3+b4,即 b1+b2+b3+b4=0. 6(2005,东城)设映射 f:x→-x+2x 是实数集 M 到实数集 N 的映射,若对于实数 P∈N,在 M 中不存在原象,则 P 的取值范围 是 A.(1,+∞) n.[1,+∞] 答案: A Ⅲ C.(-∞,1) D.(-∞,1)
2 2

指导:由题意知要使存在对应的原象,则方程-x +2x=p 有根;若不存在,方程 x -2x+p=0 无实数根,即

△=4-4p<0,得 p<1,故选 A.
新高考命题探究
2

1 已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应法则 f:y=x -2x+3, x∈a,y∈B.对于集合 B 中的元素 1。下列说法正确的是 A.在 A 中有 1 个原象 C.在 A 中有 3 个原象 答案: D B.在 A 中有 2 个原象 D.在 A 中无原象
2

指导:令 y=1,则 x -2x+2=0 无实数根,故 1 在 A 中无原象.

2.A、B 两地相距 150 公里.某汽车以 50)公里/小时的速度从 A 地到 B 地,在 B 地停留 2 小时之后.又以 60 公里/小时的速 度返回 A 地,写出该车离开 A 地的距离 S(公里)关于 时间 t(小时)的函数关系式。并画出图象. 答案:当 t∈[0,3]时,s=50t;t∈(S,5)时,s=150,t∈(5,7.5)时,x=150-60(t-5), 故 s 与 t 的函数关系式为

?50t , t ? [0,3] ? s ?150t , t ? ( S ,5] ?450 ? 60t , t ? [5,7,5] ?
图象如下图所示 3 已知(x,y)在映射 f 的作用下的象是(x+y,xy)。求(-2,3)在 f 作用下的象和(2.-3)在 f 作用 下 的原象. 答案: (-2,3)在 f 作用下的象是(1,-6);(2,-3)在 f 作用下的象是(3,-1)或(-1,3) 命题点 2 函数的表示法与定义域 本类考题解答锦囊 解答“函数的表示法与定义域”一类试题,主要掌握以下几点: 1.求定义域除考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题或几何问题有意义. 2.熟练掌握基本初等函数(尤其是分式函数、指数函数,对数函数、三个函数)的定义域是求出函数定义域的关键. 3.复合函数求定义域问题一般步骤:若已知 f(x)定义域为[a,b],则复合函数 f[g(x)]的定义域应由不等式 a≤g(x)≤b

20

解出. 4.求函数解析式,我们常用“配凑” 、 “等量代换法” 、 “待定系数法” 、 “函数方程法”等. 5.对于含有字母系数的函数的定义域,或已知定义域,求参数的取值范围,必须对字母的取值情况进行分类讨论. Ⅰ高考最新热门题 1(典型例题)已知二次函数 y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数 y=f2(x)的图象与直线 y=x 的两个交点间 距离为 8,f(x)=f1(x)+f2(x), (1)求函数 f(x)的表达式; (2)证明:当 a>3 时,关于 x 的方程 f(x)=f(a)有三个实 数解. 命题目的与解题技巧:本题主要考查二次函数、反比例函数和直线和曲线的交点等基础知识.解决本题的关键是熟练运用待 定系数法,及函数与方程思想的运用. [解析] (1)由题意设 f1(x)=ax ,f1(1)=1,∴a=1,故 f1(x)=x 又设 f2(x)=
2 2

k ,因其与 y=x 有两个交点,故 k>0,且两交点 x

坐标为 A(- k ,- k ),B( k , k ),由|AB|=8,得 k=8,故 f2(x)= (2)证明: 由 f(x)=f(a)得 x2 ?
4

8 8 2 ∴f(x)=x + x x

8 8 8 8 2 2 方程 x+a=0 化为 ax +a x-8=0. 由 a>3 ? a 2 ? 即( x ? a)( x ? a ? ) =0 由 x-a=o 得 x1=a. x a, 2x ax

得△=a +32a>0。故此方程有两个不等实数根,设为 x2,x3,x2?x3=2 3 3

8 <0 a

2 ∴x2.x3 为一正一负,不妨设 x2<0,x3>0,又 ax 1 +a x1-8=a +a -8>0,∴x1≠x3 故当 a>3 时原方程有三个实数解.

[答案]

(1)f(x)=X +

2

8 (2)见解析 x 1 )的定义域是 x

2(典型例题)函数 y=lg(1A.{x|x<0} C.{x|0<x<1} 答案: D 指导: 1 ?

B.{x|x>1} D.{x|x<0 或 x>l}

1 1 ? 0, ? 0, x ? 0 或 x>1,故选 D. x x

3(典型例题)已知 f ( A.

1? x 1 ? x2 ,则 f(x)的解析式可取为 )? 1? x 1 ? x2
B. -

x 1? x
2

2x 1? x
2

C.

2x 1? x
2

D.-

x 1 ? x2

答案: C 指导:优解:排除法,由 f

(1 ? x) 1 ? x 2 知 f(1)=1,经验证只有 C 正确. ? (1 ? x) 1 ? x 2

1? t 2 1? ( ) 1? x 1? t 1 ? t ? 2t , 则f ( x) ? 2 x 故选C. 通解:直接法,令 ? t , 则x ? , f (t ) ? 1? t 2 1? t2 1? x 1? x 1 ? x2 1? ( ) 1? t

4(典型例题蒙、琼、陕、藏)函数 y ? log 1 ( x 2?1) 的定义域是
2

A.[- 2 ,-1] ∪(1, 2 ) C.[-2,-1] ∪(1,2)

B.(- 2 ,-1)∪(1, 2 ) D. (-2,-1)∪(1,2)

答案: A 指导: log 1 ( x2 ? 1) ? 0 ? 0 ? x2 ? 1 ? 1 ? 1 ? x2 ? 2. ? ? 2 ? x ? ?1或1 ? x ? 2 .
2

21

5(典型例题)已知函数 f(x) 答 案

x2 1 ? x2

那么 f(1)+f(2)+f(

1 1 1 )+f(3)+f( )+f(4)+f( )______________ 2 3 4
指 导 : 因 为



7 2

f ( x) ?


1 1 1 1 1 1 1 7 ,f( )? , f ( x) ? f ( ) ? 1? f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? ? 1 ? 1 ? 1 ? . 2 x x 2 3 4 2 2 1? x 1? x
2

x2

题点经典类型题
x

1(典型例题市)已知 f(t)的定义域是 t=2 (-1≤x≤1)的值域,求 f(1og2x)的定义域__________ 命题目的与解题技巧: 本题主要考查函数的定义域的求法. 解决本题的关键是将复合函数括号内的式子看成 x 再通过解不等 式即得所求;若已知复合函数的定义域,求原函数定义域,则根据 x 的范围确定复合函数中间变量的范围即可. [解析] 由-1≤x≤1,

1 1 1 ≤t≤2f(x)的定义域为[ ,2],于是 f(1og2x)的定义域由不等式 ≤1og2x≤2 确定,解之得 2 2 2 2

≤x≤4,故 f(1og2x)的定义域为[ 2 ,4]. [答案] [ 2 ,4]

2(典型例题)设函数 f(x)的定义域为 D,如果对于任意的 x∈D,存在惟一的 x1∈D,使 称函数 y=f(x)在 D 上的均值为 C 给出下列四个函数: ①y=x ;②y=4sinx;③y=lgx;④y=2 A.①② B.③④ C.①③④
3 x

f ( x1) ? f ( x2 ) =C(C 为常数) 成立,则 2

则满足在其定义域上均值为 2 的所有函数是 D.①③

答案: D 指导:由定义可知①xl∈R 时,

f ( x1) ? f ( x2 ) ?2 2

3 3 3 3 则 x1 唯一存在,则 y=x 符合定义. ? x2 ? 4 ? x2 ? 3 4 ? x1

②y=4sinx,定义域为 R
x1∈R 时,

f ( x1) ? f ( x2 ) ? 2 ,即 4sinx1+4sinx2=4. 2
+ +

∴sinx2=1-sinx1,而 x2 不是唯一的.故 y=4sinx 不符合定义. ③y=lgx 定义域为 R x1∈R ∴1gx2+lgx1=4.x2 唯一存在.∴y=lgx 符合定义. ④y=2x 定义域为 R,取 x1=2,则
x

2 x1 ? 2 x2 ? 2. ? x x2 ? 0 . 2
2

不存在 x2,∴y=2 不符合定义.综上知 D①③正确. 3(典型例题)已知函数 y=lg[a -1]x +(a+1)+1]的定义域为 R,求实数 a 的取值范围. 答案:由对数的定义及题设条件 (a -1)x +(a+1)x+1>0
2 2
2


2

对 x∈R 恒成立.∴当 a -1≠0 时,应有
2 ? 5 ?a ? 1 ? 0. 解之a ? ?1或a ? . ? 2 2 3 ? ? ? ( a ? 1 ) ? 4 ( a ? 1 ) ? 0 . ?

当 a -1=0 时,若 a=1,不等式①不是绝对不等式; 若 a=-1,则不等式①为 1>0,为绝对不等式. ∴符合题意的 a 的集合为(-∞,-1)∪(,+∞).
x

2

4(典型例题)已知函数 f(x)的图象过点(0,1),且与函数 g(x)= 2 2 22

?1

-a-1 的图象关于直经 y=x—1 成轴对称图形.

(1)求函数 f(x)的解析式及定义域; (2)若三个正数 m、n、l 依次成等比数例,证明 f(m)+f(t)≥2f(n). 答案:(1)设 P(x,y)是 f(x,y)图象上任一点,点 P 关于直线 y= x-1 的对称为 Q(a,b)
? y ?b ? ?1 ? ?a ? y ? 1, ?y?a , 解得? 则? ?b ? x ? 1 ?y?b ? x?a ? 2 ? 2
x

即 Q(y+1,x-1)又 Q 点在 2 2

?1

1

? a ? 1 的图象上,故 x- 1 ? 2 2

( y ?1) ?1

? a ?1 .

由此得 f(x)=2log2(x+a)+1,又 f(0)=l,可得 a=1. ∴f(x)=2log2(x+1)+1,定义域为{x|x>-1}. (Ⅱ)由(1),要证明 f(m)+f(t)≥2f(n),即证 log2(m+1)+log2(t+1)≥2log2(n+1),只要证 log2[(m+1)+(t+1)])≥log2(n+1)2. ∵函数 y=log2x 在(0,+∞)上是增函数,
2 2 ∴只要证 log2[(m+1)(t+1)≥(n+1) ,由已知有 n =mt,故只要证 m+t≥2n,而 m+t≥2 mt ? 2 n 2 ? 2n 是成立的.

∴原不等式得证. 5(2005?河南)函数 f(x)= A.[-1,2] C.[-1,0]
2 ? x ? x2 | x | ?x

的定义域是

B.[-1,0]∪(0,2) D.(0,2)

? ?2 ? x ? x 2 ? 0 ?? 1 ? x ? 2 答案: C 指导:定义域 ? ,即? 即 ? 1 ? x ? 0. ? ?x ? 0 ?~ x ~ ? x ? 0



新高考命题探究

1 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则 f( ? A.0 B.

T )等于 2

T 2

C .T

D. ?

T 2

T T T 答案: A 指导:根据周期性, f (? ) ? f (? ? T ) ? f ( ), 又根 据奇函数性质, 2 2 2 T T T T T T f (? ) ? ? f ( ), 则f ( ) ? ? f ( ), f ( ) ? 0,? f (? ) ? 0 故选 A 2 2 2 2 2 2
2 设函数 f(x)=2+1,且有 ? (1)=3, ? (x)= f[ ? (x-1)],(x≥2), 其中 x∈N+则函数 ? (x)的解析式为 A. ? (x)=2x-1(x∈N+) C. ? (x)=2x+1(2∈N+) 答案: B B. ? (x)=2 -1(x∈N+) D. ? (x)2 -l(x∈N+)
x-1 x+1 x-1 x+1

指导:∵ ? (x)=f( ? (x-1)=2 ? (x-1)+1, ∴ ? (x)+1=2 ? [(x-1)+1], ∴{ ? (x)+1}是以 T 为首项,公比为 2

的等比数列,∴ ? (x)+1=4?2 ,∴(x)=2 -1. 3 已知函数 f(x)=log3(x -2mx+2m + (1)求实数 m 的取值集合 M; (2)求证:对 m∈M 所确定的所有函数 f(x)中,其函数最小的一个是 2,并求使函数值等于 2 的 m 的值和 x 的值. 答案:解答 (1)M={m< 3 或 m> 3 },(Ⅱ)x=m=± 6 时,最小值为 2
2 2

9 m2 ? 3

)的定义域为 R

23

(1)由题意,有 x -2mx+2m +

2

2

9 m ?3
2

>0 对任意的 x∈恒成立,所以△=4m -4(2m +

2

2

9 m ?3
2

)<0.

即?m ?

2

9 m2 ? 3

? 0.

3 (m 2 ? ) ? 27 2 ? ?0 m2 ? 3
2

由于分子恒大于 0,只需 m -3>0 即可, 所以,m<- 3 或 m> 3 . ∴M={m|m<- 3 或 m> 3 } (Ⅱ)x -2mx+2m + ?
2 2

9 m ?3
2

? ( x ? m)2 ? m3 ?

9 m ?3
2

? m2 ?

9 m ?3
2

当且仅当 x=m 时等号成立. 所以,题设对数函数的真数的最小值为 m 又因为以 3 为底的对数函数为增函数
2

9 m ?3
2

? f ( x) ? log3 (m2 ?

9 ) m2 ? 3 9 ) m2 ? 3
6 , log3 (m2 ?

∴当且仅当 x=m(m∈M)时, f(x)有最小值为 log3 (m2 ? 当且仅当 m -3+
2

9 m ?3
2

即 m= ?

9 ) m2 ? 3

f(x)有最小值为 log3 (6 ? 9 ) ? log3 9 ? 2. 6?3 又当 m∈M 时,m2-3>0,
? m2 ? 9 9 ? m2 ? 3 ? 3 ? 2 (m? ? 3) ?3? 9 m2 ? 3 m2 ? 3

当且仅当 m2-3+

9 m2 ? 3

即 m=± 6 时,log3 (m2 ?

9 9 ) 有最小值 log2 (6 ? ) m3 ? 3 6?3

∴当 x=m=± 6 时,其函数有最小值 2. 考场热身 探究性命题综合测试 1 已知函数 f(x)=loga(x+1)的定义域和值域都是[o,1],则 a 的值= A.2 B. 2 C.

2 2

D.

11 3
故必有 f(1)=loga12=1,则 a=2.

答案: A 指导:由 f(x)=loga(x+1)在 x∈[0,1]上单调,且 f(0)=loga|=0. 2 若 2lg(x-y)=lgx+lgy 则

y 的值= x
5 ?1 2

A.

3? 5 3? 5 3? 5 B. C. D. 2 2 2

y y 2 答案: C 指导:由对数及对数运算性质可得:x>0,y>0,x-y>0,(x-y) =xy,∴有 1+ ( )2 ? 3 , x x

24

?

y 3? 5 ? . x 2

∵x>0,y>0,x>y,∴0 故.故选 C
? 1 x ?( ) ( x ? 4) 3 设函数 f(x)= ? 2 ? f ( x ? 3)( x ? 4) ?

则 f(1og23)=

A.-

23 8

B.

1 11

C.

1 1 D. 48 24
13
1

答案: D

1 1 loh 1 1 1 1 1 . 指导 f(1og23)=f(1og23+3)=( )1og23+3= ( )log 3?3 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ? ? 2 2 2 3 8 24 2

4 若函数 f(x+1)的定义域为[0,1],则 f(3x-1)的定义域为___________ 答案:[

2 ,1] 指导:由 f(x+1)定义域为[0,1], 3

即 0≤x≤1,则 l≤x+1≤2. 故 f(3x+1)定义域为 1≤3x-1≤2,即

2 ≤x≤1. 3

?b, a ? b -x x 5 定义运算:a?b= ? 则函数 f(x)=3 ?3 的值域 a , a ? b ?
答案:(0,1) 第四讲 最 新 命 题 特 点
? S ,对于此分段函数通过其单调性和图象特征,可得值域为(0.1). 指导:由题设,则可得 f(x)=S S =○
-x x

x

函数的性质 对本部分内容的考查呈现以下特点: 高考中对函数性质的考查既是重点又是热点,经常出现在解答题中,以中高档题为主,综合考查学生的各方面能 力.由于函数与其他知识联系密切,应用广泛,所以考题中涉及函数的题目很多,占的比重也较大. 预计典型例题考查的重点之一

应 试 高 分 瓶 颈

1.关于抽象函数的题目,因对“F”广的理解不深刻导致丢分. 2.解答题中往往奇偶性、单调性和周期性综合运用,灵活性强,或与其他知识综合运用难度大,导致丢分. 3.函数思想应用不合理.

命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 1

直接法、配方法与换元法求值域 求值域、已知值域求参数范围 函数的奇偶性与周期性 函数单调性 反函数 直接法、配方法与换无法求值域

本类考题解答锦囊 解答“直接法、配方法与换元法求值域”一类试题,主要掌握以下几点: 1.配方法:对于形如 y=ax +bx+c(a≠0)的二次函数或二次复合函数的值域可用配方法.
2

25

2.换元法:对于形如 ax+bx+ cx ? d 的函数可令 t= cx ? d x= 于含

t2 ? d 且 t≥0,使之变形为二次函数,利用再配方;对 c

结构 a 2 ? x 2 的结构函数,可利用三角变换,令 x=acosθ ,θ ∈[0,],或令 x=sinθ ,θ ∈[-

? , 2

? ] 2
3.直接法:对形如 y= I 高考最新热门题 1(典型例题)函数 f(x)=

1 3 ? x2

等一些结构的函数,可用直接法.

1 的最大值是 1 ? x(1 ? x)
C.

A.

4 5

B.

5 4

3 4

D.

4 3

命题目的与解题技巧:本题主要考查配方法求值域,以及运算能力和化归思想的运用,解题关键是求出分母的取值范围. [解析] 首先讨论分母 1-x(1-x)的取值范围:1-x(1-x)=x -x+1=(x2

1 1 2 3 3 4 ) + ≥ 因此,有 0< ≤ 所以,f(x) 1 ? x(1 ? x) 2 4 4 3

的最大值为 [答案] D

4 ,因此答案为 D. 3

2(典型例题)若集合 M={y|y=2 },P={y|y= x ? 1 }, 则 M∩P 等于
x

A.{y|y>1}

B.{y|y≥1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0}

答案: C 指导:y=2x 的值域为了 y>0,y= x ? 1 的值域为 y≥0,因此,其交集为 y>0. 3(典型例题)函数 y= x -x (x≥0)的最大值为______________ 答案:

1 1 1 1 1 1 指导:整理原函数 y= x ? x ? x ? ( x )2 ? ?( x ? )2 ? ,? ym ax ? (此时 x ? ,即x ? ). 4 2 4 4 2 4
2

评述:本题是一元二次函数的最值问题. 4(典型例题)函数 y=x-x (x∈R)的最大值为_______________ 答案:

1 4

1 1 指导:集中变量配方得 y=-(x- ? )2 ? , 2 4 1 1 (此时 x= ). 4 2

因此 ymax= ym ax ? Ⅱ

题点经典类型题

1(典型例题模拟)求下列函数的最值 y=2x+ 1 ? 2 x 命题目的与解题技巧:本题主要考查换元求值域的方法,解题关键是通过换元转化为二次函数问题. [解析]
2

(换元法):令 t= 1 ? 2t (t≥0)

,则 x=

1? t2 2

∴y=-t +t+1=-(t-

1 5 )+ 2 4

26

当 t=

1 3 5 即 x= 时,y= ,无最小值. 2 8 4 5 无最小值 4

[答案] y=

2(典型例题)求函数的最值 y=4- 3 ? 2 x ? x 2 ; 答案:(1)(配方法):由 S+2x-x2≥0,得-1≤x≤3. ∵y= 4 ? ? ( x ? 1) 2 ? 4 , ∴当 x=1 时,ymin=4-2=2 当 x=-1 或 S 时,ymax=4 3(典型例题)求函数的最值 y=|x| 1 ? x 2 答案:(换元法)由 1-x2≥0,得-1≤x≤1. 令 x=cosθ (θ ∈R),则 y=|cosθ )|?|sinθ |= 4(典型例题)函数 y= A.(-∞,0)∪( C.(-∞,

1 1 ~ sin 2? ~? ,? ym in ? 0, ym ax ? 4. 2 2

2 的定义域是(-∞,-1)∪[2,5],则其值域是 x ?1 1 ,2) 2
B.(-∞,2)

1 )∪[2,+∞] D.(0,+∞) 2
2 2 ? x ? ? 1, 由 x<l,得 y<0, x ?1 y

答案: A 指导:由 y ? 由 2≤x<5,得

1 <y≤2. 2 1 ,0) 2

∴函数的值域为(-∞,0)∪( Ⅲ 新高考命题探究 A.[2a,a+b] C.[a,b] B.[0,b-a] D.[-a,a+b]

1 定义域为 R 的函数 y=f(x)的值域为[a,b),则函数 y=f(x+a)的值域为

答案: C 指导:f(x)的值域为[a,b],则 y=f(x+a)是将 y=f(x)的图象左右平移,因而不改变值域. 2 函数 y=x+ 1 ? 2 X 的值域是 A.[-∞,-1] C.R 答案: B B.[-∞,1] D.[1,+∞] 指导:(换元法)令 1 ? 2 x ? t ? 0 ,则 x=

1? t2 2

?y ?

1? t2 1 ? t ? ? (t ? 1)2 ? 1. ? x ? 0, ? y ? 1. 2 2
2

3 已知函数 f(x)=x -4x+5,x∈[2,5],那么 f(x)的值域是_______________ 答案:[1,10] 指导:f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,x∈[2,5] ∴1≤f(x)≤10. 命题点 2 求值域、已知值域求参数范围 本类考题解答锦囊

27

解答“求值域、已知值或求参数范围”一类试题,主要掌握以下几点: 1.反函数法:反函数的定义域即为原函数值域,形如 y=

cx ? d (a≠0)的函数值域可用此法,也可用分离常量法. ax ? b
a1x2 ? b1 ? c (a1, a2 x2 ? b2 x ? c

2.判别式法:把函数转化成关于 x 的二次方程 f(x,y)=0,由△≥0,从而求得原函数的值域,形如 y= a2 不同时为 0)的函数的值域常用此法求解. 3.不等式法:利用基本不等式:a+b≥2 ab 求值域,用此法时,要注意条件“一正二定三相等” .

4.函数的单调性法:函数在定义域或其子集上单调,可直接据单调性求最值或值域,如 y=ax+bx+ cx ? d (ac>0 时);当容 易求得反函数时,可用反函数法.如 y= 5.函数 y=x+

ax ? b ax ? b 等. ,y ? ax ? c cx ? d

k (x>0,k>0),x∈[0, k ]时单调递减;x∈[ k ,+∞]时单调递增。 x a?b 联想斜率,由平方和联想距离等.借助几何法求值域. c?d

6.利用函数所表示的几何意义,如由分式形式

7.可导函数在[a,b)上的值域,寸通过求最值取得. 8.已知函数值域,求函数其他问题,可利用等价转化的思想转化为函数的其他问题. Ⅰ 高考最新热门题
2

1(典型例题)已知函数 f(x)=x +2x?tanθ -1,x∈(-1, 3 ),其中θ ∈((1)当θ =-

? ? , ) 2 2

? 时,求函数 f(x)的最大值与最小值; 6

(2)求θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3 ]上是单调函数. 命题目的与解题技巧:本题主要考查二次函数的单调性及求最值,关键是熟练掌握二次函数性质 [解析] x= -1 时 f(-1)最大 = (1)当θ =-

2 3 3 2 4 3 3 ? 4 2 时,f(x)=x x-1=(x时,f( )最小;当 x=- ;当 ) ? ,x∈[-1, 3 ].∴当 x= 3 3 3 3 3 6 3

2 3 3
2 2

(2)∵f(x)=(x+tanθ ) -1-tan θ 图象的对称轴是 x=tanθ ∴f(x)在[-1, 3 ] 上单调知-tanθ ≤-1 或-tanθ ≥ 3 . 又 ∵θ ∈(-

? ? , ) 2 2
(1)当 x= (2) (-

∴θ 的取值范围是

(-

? ? ? ? ,- )∪[ , ] 2 3 4 2
时 f(-1)最大 =

[答案] [答案]

3 3 4 时, f( )最小 =;当 x=-1 3 3 3

2 3 3

? ? ? ? ,- )∪[ , ] 2 3 4 2
x ?1 ,x∈(1,+∞)的反函数为 x ?1
ex ? 1 ex ? 1 , x∈(o,+∞)

2(典型例题、辽宁)函数 y= ln A.y=

ex ?1 e ?1
x

, x∈(o,+∞)B.y=

28

C.

ex ?1 e ?1
x

, x∈(-∞,0)

D.

ex ? 1 ex ? 1

, x∈(-∞,0)

答案: B 而 y=

指导:因原函数的定义域为(1,+∞).

ex ?1 e ?1
x

?

ex ?1 ? 2 ex ? 1

? 1?

2 ex ? 1

? 1.

因此排除 A、C,又原函数的值域为(0,+∞),排除 D. 3(典型例题)函数 y=1+3x-x 有 A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2
3 2
3

B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值
2

答案: D 指导:由 y=1+3x-x ,得 y'=-3x +3. 令 y'=0,即-3x +3=0.∴x=±1. 当 x=1 时,有 ymax=l+3-1=3; 当 x=-1 时,有 ymax=1-3+l=-1.故应选 D. 4 (典型例题, 春招)已知 sin α +sin β +, sin γ (α 、 β 、 γ 答
2
2 2 2

均为锐角), 那么 cosα cosβ cosγ 的最大值等于_____________ 指 导 :
2




2

2 6 9





c

? ?c

2

o? ? c

o? ?s3 ? (o ? s2 ? s s ? s2 ? s ?i2 ) i ? 3 ?1 i ?2 n.且 nc ? n2 ? c

? o2 ? c ? o2 ?s33 co 2 ? sc
3

?oc s

2

?o

so

s

s

2 2 6 (当且仅当 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? 时,取“=”),∴ cos? cos ? cos ? ? ( ) 2 ? (当且仅当 cos? ? cos ? ? cos ? 时, 3 9

取“=”).即当 cos? ? cos ? ? cos ? 时, cos? cos ? cos ? 有最大值 Ⅱ 题点经典类型题
-|x-3|

2 6 9

1(典型例题)若关于 x 的方程(2-2 [解析] 令 t=2

)=3+a 有实数根,求实数 a 的取值范围.
-|x-3|

命题目的与解题技巧:本题主要考查用单调性求值域及换元的思想方法,解题的关键是用函数的观点将。视为函数因变量. 从函数的观点看,原题可转化为求函数 a=(2-2 ,则, 0<t≤1.
2

)-3(x∈R)的值域.

-|x-3|

∵a=f(c)=(t-2) -3 在区间(0,1)上是递减函数. ∴f(1)≤f(t)<f(0).即-2≤f(t)<1. 故所求实数 a 的取值范围是-2≤a<1. [答案] -2≤a<1

2(2005?海淀)函数 y= A.(-∞,0)∪( C.(-∞.

2 的定义域是(-∞,1)∪[2,5], 则其值域是 x ?1
B.(-∞,2)

1 ,2) 2

1 )∪[2,+∞] D.(0,+∞) 2
2 2 解得 x ? ? 1 ∵x∈(-∞,1)∪[2,5] y x ?1

答案: A 指导:由函数 y=

?

2 2 1 ? 1或2 ? ? 1 ? 5. 解得 y<0 或 <y≤2,故选 A. y y 2

3(典型例题)已知定义在[-1,1]上的函数 y=f(x)的值域为[-2,0],则函数 y=f(cos x )的值域为 A.[-1,1] B.[-3,-1]C.[-2,0] D.不能确定

29

答案: C 指导:当 y=f(x)定义域为[-1,1]时,值域为[-2,0],而 y= (cos x ) 中,f f (cos x ) 取值范围为[-l,1]故其值域为[-2, 0]. 4(典型例题)已知 f(x)=3 A.[2,5]
2-b
x-b

(2≤x≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则 F(x)=[f (x)] -f (x )的值域是 C.[2.10]
x-2 -1
2

-1

2

-1

2

B.[1,+∞]

D.[2,3]
3 2 2 2

答案: A 指导:3 =1∴b=2,f(x)=3 ,f (x)=log3x +2(1≤x≤9),F(x)=(log3x+2)2-(log3x +2)=log3x +2=(log3x) +2log3x+2(1≤x≤3). 令 log3x=t,t∈[0,1],F(t)=t +2t+2,t∈[0,1],由二次函数图像可知,F(t)∈[2,5]. 5(2005?安庆)已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 ? 2 x ? a , x∈[1,+∞], x

1 小时,求 f(x)的最小值; 2

(3) 若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 答案:(1)当 a ?

1 1 时 f(x)= x ? ? 2. 2 2x

∵f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,

7 ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为 f(1)= . 2
(2)在区间[1,+∞]上,f(x)恒成立 ? x2 ? 2 x ? a >0 恒成立. 设 y=x +2x+a,x∈[1,+∞]∵y=(x+1) +a-1 在[1,+∞]递增,∴x=1 时,ymin=3+a,当且仅当 3+a>0 时,函数 f(x)>0 恒成 立.故 a>-3. Ⅲ 新高考命题探究
2 2

1 求下列函数的值域:y= x 2 ? 4 ? x 2 ? 2 x ? 10 答案:(几何法) y= x 2 ? 4 ? x 2 ? 2 x ? 10 可化为:y= ( x ? 0)2 ? (0 ? 2)2 ? [ x ? (?1)]2 ? (0 ? 3)2 . 表示角坐标平面内 x 轴上的点 P(x,0)到两定点 A(0,2)、B(-1,3)的距离之和,如下图,有 y≥|A'B| = (?1 ? 0) 2 ? [3 ? (?2)]2 ? 26 ∴y∈[ 26 ,+∞]. 2 已知二次函数 f(x)=ax +bx 且满足 f(1+x)=f(1-x), 方程 f(x)=x 有两个相等的实根. (1)求 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)在定义域为[m,n]上对应的值域为[2m,2n],求 m,n 的值. 答案:(1)f(x)=ax +bx,f(1-x)=f(1+x).则 f(x)的对称轴为 ? ax +(b-1)x=0 有等根,则(b-1) =0, ∴b=1,a=∴f(x)=(2)f(x)=2 2 2
2

b ? 1. 又 f(x)=x 即 2a

1 , 2

1 2 x +x. 2 1 2 1 2 1 x -x=- (x-1) + 2 2 2

30

∴f(x)的最大值为

1 . 2 1 1 ?? . 2 4

又 f(x)在 x∈[m,n]上的最大值为 2n,则 2n ?

? f (m) ? 2m :∴f(x)在[m,n]上为增函数,得 ? ? f (n) ? 2n
∴m、n 是 f(x)=2x 的两个不等实根. ∴-

1 2 x +x=2x. 2
2

∴x +2x=0,x1=-2,x2=0. 命题点 3 本类考题解答锦囊

∴m=-2,n=0.

函数的奇偶性与周期性

解答“函数的奇偶性与周期性”一类试题,主要掌握以下几点: 1.确定函数的奇偶性,一般先考查函数的定义域是否关于原点对称,然后判断 f(-x)与 f(x)的关系.常用的方法有:①利 用函数的奇偶性定义判断;②用求和(差)法判断;③用求商法,即看

f ( x) 与±1 的关系;④也可结合图像判断. f ( ? x)

2.抽象函数是近几年考查的热点,解决这类问题的基本方法是“赋值法” ,也就是给 x 赋予特殊值.其次要注意联想相关的 函数模型,如 f(x+y)=f(x)+f(y)→f(x)=kx,f(xy)=f(x)+f(y) →f(x)=logax;f(x+y)=f(x)? f(y)→f(x)=a 等,帮助我们 “探索” 、 “猜测”某些结论. 3.准确把握周期函数定义,是解决有关周期问题的关键. I 高考最新热门题
x

1 1(典型例题)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图像关于直线 x=1 对称.对任意 x1、x2∈[0, ]都有 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2). 2
(1)设 f(x1)=2,求 f(

1 1 )f( ); 2 4

(2)证明 f(x)是周期函数. 命题目的与解题技巧:本题在考查函数的奇偶性、周期性的基础上,考查了基本技能的延伸和不同知识点的衔接.解决此题 的关键是准确把握奇偶函数、周期函数的定义,另外有一些基本等而下之式,如 f(x+2)=-f(x),f(x+1)= 以由此求出函数周期. [解析] (1)由 f(x1+x2)=f(x1)?f(x2),x1、x2∈[0,

1 等,都可 f ( x)

1 x x ]知 f (x)=f( )?f( )≥0,x∈[o,1]. 2 2 2

∵f(1)=f(

1 1 1 2 1 )?f( )=f( )] ,∴f( )= 2 2 . 2 2 2 2 1 1 2 1 )=[f( )] ,∴f( )= 2 4 . 2 4 4
又由 f(x)是偶函数知只 f(-x)=f(x),
1

1

同理 f(

(2)依题意设 y=f(x)关于直线 x=1 对称,故 f(x)=f(1+1-X),即 f(x)=f(2-x),x∈R x∈R. ∴f(-X)=f(2-X),x∈R 将上式中-x 以 x 代换,得 f(x)=f(x+2),x∈R. 这表明 f(x)是 R 上的周期函数,且 2 是它的一个周期. [答案]
1 1

1 1 (1)f( )= 2 2 . f( )= 2 4 . 2 4

(2)略

31

2(典型例题)函数 f(x)=1g(1+x ),g(x)=
2

2

? x ? 0( x ? ?1) ? ,h(x):tan2x 中,_____________ 是偶函数. ?0(| x |? 1) ?? x ? 2( x ? 1) ?

答案:指导:(1)f(-x)=lg[1+(-x) ]=f(x),则 f(x)是偶函数. (2)①当 x>1 时,-X<-1,则 g(-x)=-x+2=g(x) ②当 x<-1 时,-x>1,则 g(-x)=-x+2=g(x). ③当|x|≤1 时,|-x|≤1,则 g(-x)=0=g(x). 综上知 g(x)=g(-x).故 g(-x)为偶函数. (3)h(-x)=tan2(-x)=-tan2x=-h(x),则 h(x)为奇函数.∴答案:f(x),g(x)是偶函数. 3(典型例题)已知函数 f(x)=

1 1? x ,求函数 f(x)的定义域,并讨论它的奇遇性和单调性. ? log2 x 1? x

?x ? 0 ? 答案: x 须满足 ?1 ? x 1? x ?1 ? x ? 0由 1 ? x ? 0得 ? 1 ? x ? 1 ?

所以函数 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).因为函数 f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意 x,有

1 1? x 1 1? x f (? x) ? ? ? l o 2 g ? ?( ? l o 2 g ) ? ? f ( x) 所以 f(x)是奇函数. x 1? x x 1? x
研究 f(x)在(0,1)内的单调性.任取 x1、x2∈(0,1),且设 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= 由

1 1 ? x1 1 1 ? x2 1 1 2 2 ? ? log2 ? ? log ? ( ? ) ? [(log2 ? 1) ? (log2 ? 1)]. x1 1 ? x1 x2 1 ? x2 x1 x2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 1 1 ? ? 0 ,即 log ( ? 1) ? log2 ( ? 1) ? 0 . x1 x2 1 ? 2x 1 ? x1
得 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x)在(0,1)内单调递减. 由于 f(x)是奇函数,所以 f(x)在(-1,0)内单调递减.

4(典型例题)已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x≥0 时 f(x)=3 -1,设 f(x)的反函数是 y=g(x),则 g(-8)=_______________ 答案:(理)-2 指导:当 x<0 时,-x>0.∴f(-x)=3 -1. 又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x).
x ? ?3 ? 1, ∴f(x)=-3-x+1∴f(x) ? x ? ?? 3 ? 1,
-x

x

x?0 x ? 0.

又由 y=f(x)与 y=g(x)互为反函数,可知求 g(-8)即求 f(x)=-8 时的 x. 当 x≥0 时,f(x)=-8,即 3x-1=-8,∴3x=-7<0 无解. 当 x<0 时,f(x)=-8,即-3x-1=-8,∴3-x=9.∴x=-2,即 g(-8)=-2. 5(典型例题)设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)= A.0 B.1 C.

1 ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)等于 2

5 2

D.5

答案: C 指导:∵f(x+2)=f(x)+f(2), 且 f(x)为奇函数,f(1)=

1 2

∴f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2). ∴f(2)=2f(1)=2?

1 =1 2

32

∴f(5)=f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+f(2)=2f(2)+f(1)= Ⅱ 题点经典类型题

5 2

1 定义在实数集中的函数 f(x),对任意 x,y∈R,有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)?f(y),且 f(0)≠0. (1)求证:f(o)=1 (2)求证:y=f(x)是偶函数; (3)若存在常数 c,使 f(

c )=0 2 c )=-f(x)成立; 2

(4)求证:对任意 x∈R,有 f(x+

(5)试问函数 f(x)是不是周期函数,如果是,找出它的一个周期;如果不是,请说明理由. 命题目的与解题技巧:本题以抽象函数的形式考查函数的奇偶性和周期性,给已知函数式赋以特殊值是常用的方法. [解析] (1)令 x=y=0,则有 2f(0) =2f(0).
2

∵f(0)≠0,∴f(0)=1. (2)令 x=0,则有 f(y)+f(-y)=2f(0)?f(y)=2f(y), ∴f(-y)=f(y),这说明 f(x)是偶函数. (3)①分别用 x+ ∵f(

c c c c , (c>0)替换 x、y 有:f(x+c)+f(x) =2f (x+ )·f ( ) 2 2 2 2

c )=0∴f(x+c)=-f(x). 2
① 由①结论知:

f(x+2c)=-f(x+c)=-[-f(x)]=f(x)∴f(x)是周期函数, 2c 就是它的一个周期. [答案] 见解析

2(2005 ?吉林 ) 定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足( x+ f(-

4 ? ? ) 时, f(x)=cosx ,则 f( π ) 与 ? ) ? f ( x ? ) ,且当 x ∈ (0, 2 5 5

16 ? )值分别是 3
A.0 和 C.0 和 B.-1 和 D. -1 和

答案: C 指导:由 f ( x ?

4? ? ? 2 ) ? f ( x ? ) ,设 t=x ? ,则 f(t+ ? )=f(t),故 y=f(x)的 T= ? .当 0<x≤1 时,y|y|=1-x ,显然 y 5 5 5

>0.则必有 f(0)=0,f( ? )=f,(0)=0.

f (?

16 ? ? ? 1 ) ? f (?5? ? ) ? f (? ) ? ? f ( ) ? . 故选 C. 3? 3? 3 3 2 x -bsinx+4(其中 a、b 为常数且 ab≠0),如果 f(3)=5,则 f(典型例题)的值为 2
D.5

3(2005?江西)已知 f(x)=atan A.-3 B.-5 C .3

答案: C 指导:f(x)= a tan 则 a tan (atan

x 3 ? b sin x ? 4 是周期 T=2 ? 的函数,f(3)= a tan ? b sin 3 ? 4 ? 5, 2 2

3 ? b sin 3 ? 1. 故 f(典型例题=f(-3)= 2 3 -btan3)+4=-l+4=3.故选 C. 2

33

?2 x ? 3( x ? 0) 4(典型例题)如果函数 ? 是奇函数 f(x)=__________________ ? f ( x)( x ? 0)
答案:2x+3 指导:∵x<0,-x>0,f(x)=-f(-x) =-[2(-x)+3]=-(-2x-3)=2x+3,故 f(x)=2x+3. 5(2005?朝阳)已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求 f(0)的值; (2)证明函数 f(x)是周期函数; (3)若只 f(x)=x(0<x≤1),求 x∈R 时,函数 f(x)的解析式, 并画出满足条件的函数 f(x) 至少一个周期的图象. 答案:(1):∵函数 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x). 令 x=0,f(0)=-f(0),2f(0)=0,∴f(0)=0 (2)证:∵函数 f(x)是奇数,∴f(x)=-f(-x) 在①中的 x 换成 x+1, 即 f(1+x)=-f(-1-x),即 f(1-x)=-f(-1-x). 在①中,将 l-x 换成 x.即 f(x)=-f(-2+x). 在③中,将 x 换成 2+x, 即 f(2+x)=-f(x). ④ 由③、④得:f(-2+x)=f(2+x). 再将 x-2 换成 x 得:f-(x)=f(x+4). ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数. ③ ① 又 f(x)关于直线 x=1 对称,∴f(1+x)=f(1-x),②

(?1 ? x ? 1) ? f ( x) ? ?x (3),解:f(x)= ? ?? x ? 2 (1 ? x ? 3) (4k ? 1 ? x ? 4k ? 1). ? x ? 4k f(x)= ? (4k ? 1 ? x ? 4k ? 3). ?? x ? 2 ? 4k
Ⅲ 新高考命题探究
2

(k ? N )

1 若函数 f(x)(x∈R)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=2x +x, 则 x≤0 时,f(x)的解析式为____________ 答案:指导:设 x<0,则-x>0,f(x)=-f(-x)=-(2x -x)=-2x +x. 当 x=0 时,由奇函数定义可知 f(-x)=-f(-x), 则 f(0)=-f(0),∴f(0)=0. 综上得 x≤0 时,答案 f(x)=-2x +x 2 已知定义在 R 上的函数 f(x),对任意实数 t1,t2 满足 f(t1+t2)+f(t1-t2)=2f(t1)?f(t2),且 f(x)≠0,则 f(x)是 A.奇函数而非偶函数 C.奇函数也是偶函数 答案: B ∵f(0)≠0,∴f(0)=1. 又 f(0+x)+f(0-x)=2f(0)?f(x)=2f(x), ∴f(-X)=f(x). 而 f(x)≠0,故 f(x)是偶函数而不是奇函数. 3 设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数,且满足下列关系 f(x)=f(典型例题,f(典型例题=-f(典型例题,则 f(x)是 A.偶函数,又是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 B.偶函数而非奇函数 D.非奇非偶函数
2

2

2

指导:2f(0)=f(0)+f(0)=f(0+0)+f(0-0) =2f(0)?f(0).

答案: C 指导:f(x)=f(典型例题说明 x=1002 是函数的一个对称轴,f(典型例题=-f(典型例题说明(典型例题是函数的一个对称中 心,若将 x=0 代人 f(典型例题=-f(典型例题中,得 f(典型例题,结合对称性从而 f(0)=0,知原点也是函数的一个对称中心,故

34

函数为奇函数.容易验证 f(2008+x)= f(x),结合我们在三角函数中学过的知识,也不难发现函数具有周期性. 命题点 4 函数单调性 本类考题解答锦囊 解答“函数单调性”一类试题,主要掌握以下几点: 1.用定义判断或证明:其一般步骤是:设元一作差一变形一判断符号一给出结论.其中,关键是变形,变形的目的是确定 符号,变形的方法有:分解因式、配方法等. 2.用基本函数的单调性判断复合函数的单调性,此法一般用于选择题或填空题. 3.从导数入手判断和证明单调性. 4.从图像入手,数形结合,此法一般用于选择题或填空题. 5.抽象函数的题目要充分利用函数据的性质,想法脱掉函数符号“F” ,使之成为具体函数,然后求解. 6.奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,且 f(x) =f(-x)=f(|x|) I 高考最新热门题

1(典型例题)设函数 f(x)=

x?a (a>b>o),求 f(x)的单调区间,并证明 f(x)在其单调区间上的单调性. x?b

命题目的与解题技巧:本题主要考查函数单调性的证明,可用定义法或导数法.解题时要注意定义域. [解析] f(x)的定义域是(-∞,-b)∪(-b,+∞). f(x)在(-∞,-b)上是减函数,在(-b,+∞)上也是减函数,证明如下:
x2 ? a x ?b
2

设 x<x,f(x)-f(x)=

?

x1 ? a (a ? b)( x1 ? x2 ) ? x1 ? b ( x1 ? b)( x2 ? b)

∵a>d, x<2, ∴(a-b)(x1-x2)<0. 当 x1, x2∈(-∞, -b)时, x1+b<0, x2+b<0, (x1+b)(x2+b) >0, 得 f(x2)-f(x1)<0, ∴f(x2)<f(x1). ∴f(x)在区间(-∞,-b)上是减函数.同理为 x1,x2∈(-∞,-b)时,f(x)<f(x),所以 f(x)在(-b,+∞)上也是减函数. [点拨]本题还可以用导数方法证明其单调性.f′(x)=∞)上函数为减函数. [答案] 见解析
2

a?b ( x ? b)2

,当 x≠b 时,f′(x)<0,所以在(-∞ ,-b)上,在(- b,+

2(典型例题)若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)= A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1)

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是 x ?1

B.(-1,0)∪(0,1) D.(0,1)

答案: D 指导:本小题考查二次函数与反比例函数的单调性. f(x)=-(x-a) +a ,当 a≤1 时,f(x)在[1,2]上是减函数,g(x)= 的取值范围是 0<a≤l 故选 D. 3(典型例题理)若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0,+∞]上为增函数,则实数 a、b 的取值范围是 ________________ 答案: a>0 且 b≤0 指导:f(x)=a|x-b|+2 的图象是关于, :占对称的,当 a>0,且对称轴在丁轴左侧或 y 轴上时符合题意.
2 2

a ,当 a>0 时,g(x)在[1,2]上是减函数,则 a x ?1

4(典型例题)已知函数 f(x)=

1 1? x ,求函数 f(x)的定义域,并讨论它的奇偶性和单调性. ? log2 x 1? x

?x ? 0 ? 答案: x 须满足 ?1 ? x 1? x ?1 ? x ? 0,由 1 ? x 得 ?

? 1 ? x ? 1.

所以函数 f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1).因为函数 f(x)的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意, 有 f(-x)= ?

1 1? x 1 1? x ? log2 ? ?( ? log2 ) ? ? f ( x) ,所以 f(x)是奇函数. x 1? x x 1? x

研究 f(x)在(0,1)内的单调性.任取 x1、x2∈(0,1),且设 x1<x2,

35

则 f(x1)-f(x2)= 由

1 1 ? x1 1 1 ? x2 1 1 2 2 ? log2 ? ? log2 ? ( ? ) ? [log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1)]. x1 1 ? x1 x2 1 ? x2 x1 x2 1 ? x2 1 ? x1

1 1 2 2 ? ? 0, log2 ( ? 1) ? log2 ( ? 1) ? 0. x1 x2 1 ? x2 1 ? x1

得 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x)在(0,1)内单调递减. 由于 f(x)是奇函数,所以 f(x)在(-l,0)内单调递减. 5(典型例题)已知函数 f(x)=x +2x?tanθ -1,x∈[-1, 3 ],其中θ ∈((1)当θ 时,求函数 f(x)的最大值与最小值. (2)求θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3 ]上是单调函数. 答案:(1)当 ? ? ? 时, f ( x) ? x 2 ? 6
2

? ? , ) 2 2

?

2 3 3

x ?1

? (x ?
∴x=

3 2 4 ) ? , x ? [1, 3 ], 3 3

3 4 时 f(x)的最小值为 ? . 3 3 3 3 . 3

x=-1 时,f(x)的最大值为

(2)函数 f(x)=(x+tan ? )2 ? 1 ? tan 2 ? ,∴y=f(x)在区间[-1, 3 ]上是单调性函数, ∴-tan ? <-l 或-tan ? ≥ 3 ,即 tan ? ? 1或 tan ? 3 因此, ? 的取值范围是 (? 6(典型例题理)

?

,? ] ? [ , ). 2 3 4 2
2 ax

?

? ?

已知函数 f(x)=x e ,其中 a≤0,e 为自然对数的底数.

(1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)求函数 f(x)在区间[0,1]上的最大值. 答案:(1)f'(x)=x(ax+2)e
ax

(1)当 a=0 时,令 f'(x)=0,得 x=0. 若 x>0,则 f'(x)>0,从而 f(x)在(0,+∞)上单调递增;若 x<0,则 f'(x)<0,从而 f(x)在(-∞,0)上单调递减. (2)当 a<时, 令 f'(x)=0, 得 x(ax+2)=0, 故 x=0 或 x= ? 从而 f(x)在(0, ?

2 2 若 x<0, 则 f'(x)<0, 从而 f(x)在(-∞, 0)上单调递减; 若 x<x< ? 则 f'(x)>0, a a

2 2 2 )上单调递增;若 x> ? ,则 f'(x)<0,从而 f(x)在( ? ,+∞)上单调递减. a a a

(2)(i)当 a=0 时,f(x)在区间[0,1)上的最大值是 f(1)=l (ⅱ)当-2x<a<0 时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是 f(1)=ea.

2 4 (ⅲ)当 a≤-2 时,f(x)在区间[0,1]上的最大值是 ? ) ? 2 2 . a a c
Ⅱ 题点经典类型题
x )=f(x)-f(y) y

1(典型例题)f(x)是定义在(0+∞)上的增函数,且 f( (1)求 f(1)的值;

36

(2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f(

1 )<2 x

命题目的与解题技巧:本题主要考查抽象函数的单调性等知识,第一问用赋值法,这是处理这类问题的一般方法.第二问关 键是整理成 f(m(x))<f(n(x))的形式,再利用单调性脱掉“f” [解析] (令)x=y,得 f(1)=0. (2)由 x+3>0 及

1 1 >0 ,得 x>0,由 f(6)=1 及 f(x+3)- f( )<2,得 f[x(x+3)]<2f(6),即 x x

f[x(x+4)]-f(6)< f(6),亦即 f[

x( x ? 3) ] 6
? 3 ? 3 17 x( x ? 3) <6,解得综上所述,不等式的解集是{x|0<x< 3 6

因为 f(x)在(o,+∞)上是增函数,所以 [答案]{x|0<x<
? 3 ? 3 17 } 3
2

2(典型例题四中)已知函数 f(x)=1og3(x -ax+3a)在区间[2,+∞]是减函数,则实数 a 的取值范围是 A.(-∞,4) B.(0,12)
2

C.(-4,4)

D.(0,4)

答案: C 指导:设 g(x)=x -ax+3a.
a ? ?x ? ? 2 ? ?4 ? a ? 4. 故选 C. 由题意得: ? 2 ? g ( 2) ? 0 ?

3(2005?天津联考)函数 y=1og(2-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围 A.(0,1) 答案: B B.(1,2) C.(0,2) D.[2,+∞] 指导:令 u(x)=2-ax,当 a∈(0,1)时,y=loga(2-ax)在[0,1]上是增函数.

∴a>1.又有 u(x)在(0,1)上恒>0,∴a<2.故选 B. 4(典型例题)已知 y=logb(2-bx)在[0,1]上是增函数,则不等式:logb|x+2|>logb|x-4|的解集是 答案:(-∞,-2)∪(-2,1)由 y=logb(2-bx)在[0,1]上是增函数得 0<b<1.

? x ? ?2 ? ∴log|x+2|>logb|x-4| ? ? x ? 4 ?~ x ? 2 ~?~ x ? 4 ~ ?
∴x<1 且 x≠-2. 5(2005?开封)设函数 f(x)= log 1 ( x ? 1) ?
2

a 在区间[1,+∞]上单调递减,求实数。的取值范围. x

x 2 log 答案: f'(x)= 1 a e x ?1? 2 x

1?

a

由题意得:需使 x≥1 时

a ? x ?1? ? 0 2 ? ? ? x ?a ? x ? x 即? 恒成立。 ? 2 ? ?1 ? a ? 0 ?a ? ? x ? x2 ?

解得 ? 1 ? a ? 2.

另当 a=-1 时,1+

a x2

? 0 恒成立

(仅当 x=1 时取“=”成立).
1 ∴f(x)= log 1 ( x ? 1 ? ) 在[1,+∞]上递减.综上-1≤a<2. x
2

37



新高考命题探究

1 讨论函数 f(x)=x+ 答案: f'(x)=1-

a (a>0)的单调性。 x

a x2

,由 f'(x)>0,得 x a , 或x ? ? a ;

由 f'(x)<0,得 ? a ? x ? 0, 或0 ? x ? a . 而函数 f(z)在 x= a , x ? ? a . 处均连续, ∴f(x)在(-∞上为增函数; f(x)在 [? a ,0), (0, a ] 上为减函数. 2 设 f(x)=(

x ?1 2 ) (x>0), x
-1

(1)判断 f(x)的单调性并证明你的结论; (2)求 f(x)的反函数 f (x); (3)若 x≥2 时,不等式(x-1)f (x)>a(a x )恒成立,试求实数 a 的取值范围。 答案:(1)f'(x)= 2
-1

x ? 1 x ? ( x ? 1) x ?1 ? ? ?2 3 x x2 x

当 x>0 时,f'(x)<0, ∴f(x)(x>0)在(0,+∞)上为单调减函数. (2)x>0 时,f(x)∈(1,+∞),由 y= ( ∴所求反函数为 f (x)=
-1 -1

x ?1 2 ) , 得x ? x

1 y ?1

,

1 x ?1

( x ? 1)

(3)(x-1)f (x)>a (a ? x ) ? x ? 1 ? a2 ? a x ? (a ? 1) ? x ? a2 ? 1 若 a<-1,得 x <a-1,不等式无解; 若 a=-1,得 0>0,不等式无解; 若 a>-l,得 x >a-1. ①-1<a<1 时,不等式的解集为{x|x≥0}; ②a≥1 时,不等式的解为 x>(a-1) ,∵(a-1) <2, ∴1≤a< 2 ? 1 综上可知,a 的取值范围是-l<a< 2 ? 1 命题点 5 反函数 本类考题解答锦囊 解答“反函数”一类试题,主要掌握以下几点: 1.求反函数的步骤:①解关于 x 的方程 y=f(x),用 y 表示 x;②x、y 互换; ③求出并说明反函数定义域。 2.并注意互为反函数性质(单调性、奇偶性)及图像性质在解题中的应用。 Ⅰ 高考最新热门题
2 2

1(典型例题、内蒙古、安徽)函数 y=- 1 ? x (x≤1)的反函数是 38

A.y=x -1(-1≤x≤0) C.y=1-x (x≤0)
2

2

B.y=x -1(0≤x≤1)
2

2

D.y=1-x (0≤x≤1)

命题目的与解题技巧:本题主要考查反函数求法,解题的关键是遵守求反函数的步骤,使问题简化. [解析] 由 y=- 1 ? x (x≤1),得 x=1-y .
2

又∵x≤1,∴y≤0. 故 y= - 1 ? x (x≤1)的反函数为 f(x)=1-x (x≤0)
2

故应选 C [答案] C

2(典型例题)设 a>0,a≠1,函数 y=1ogax 的反函数和 y=1oga A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.y=x 对称 答案: B
x -x

1 的反函数的图象关于 x
x -x

D.原点对称

指导:这是一道富于思考的函数小题.当 a>0,a≠1 时,y=logax 的反函数是 y=a ;y=logax 的反函数是 y=a .而

y=a 与 y=a 两个函数的图象关于丁轴对称.故应选 B. 3(典型例题理)函数 y= 1 ? x +1 (x≥1)的反函数是 A.y=x -2x+2(x<1) C.y=x -2x 答案: B
2 2

B.y=x -2x+2(x≥1) D.y=x -2x(x≥1)
2 2
2

2

(x<1)
x+1

指导:由 y=(x≥1)得(y-1) =x-1.所以 x=y -2y+2 所以 y=x2-2x+2(x≥1). B.y=-1+log3x(x>0) D.y=-1+1og3x(1≤x<3)
x+1

故选 B.

4(2034?天津)函数丁 y=3 (-1≤x<0)的反函数是 A.=1+log3x(x>0) 答案: D 指导:y=3
x+1

C.y=l+log3x(1≤x<3)

x+1=log3y ? x=log3y-1 其反函数解析式为 y=log3x-1,

-1≤x≤0 ? 0≤x≤1 ? 1≤3 <3,其反函数的定义域为[1,3],故选 D. 5(典型例题理)若函数 f(x)的图象可由函数 y=1g(x+1)的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转 A.10 -1 Ⅱ
-x

? 得到,则 f(x)等于 2
-x

B、10 -1

x

C.1-10

-x

D.1-10

x

答案: A 指导:画出 y=lgx 的草图,左移一个单位得到 y=1g(x+ 1)的图象,旋转 90°后得到 y=10 -1. 题点经典类型题
-x

1(典型例题记函数 y=1+3 反函数为了 y=g(x),则 g(10)等于 A.2 B.-2 C .3 O.-1 命题目的与解题技巧:本题主要考查原函数与反函数的对应关系,理解反函数的概念是解决此题的关键. [解析] 设 g(10)=x,则 10=1+ 2? x ? 9 ? 3? x ? ? x ? 2 x=-2
-1

2(2005?南昌)函数 y=log2(x-1)的反函数图象是图 4-5-1 中的 答案: C 指导:f (x)=2x+1.∴选 C 3(2005?郑州)设 f(x)=1+5x-10x +l0x -5x +x 则(x)的反函数的解析式是 A. f ?1( x) ? 1 ? 5 x B. f ?1( x) ? 1 ? 5 x ? 2 C. f ?1( x) ? ?1 ? 5 x ? 2 D. f ?1( x) ? 1 ? 5 x ? 2 答案: B 指导:f(x)=x -5x +10x -10x +5x-1+2= (x-1) +2.
5 4 3 2 5
2 3 4 5

-l 其反函数为 f (x)=1+ 5 x ? 2 故选 B.

39

4(典型例题调研)函数 f(x)有反函数 f (x),已知 f(x)图象经过点(0,-1),则 f(x+4)的反函数图象必经过点 A.(-1,-4) C.(4,一 1) 答案: A B.(-4,-1) D.(1,4)

-1

指导 f(x)的图象(0,-1),∴f(x+4)过(-4,-1).

∴f(x+4)的图象过(-1,-4),故选 A 5(典型例题三校)已知函数 f(x)= ( (1)f (x)的定义域和单调区间; (2)g(x)的最小值. 答案:(1)∵x≥1,∴0 ? 易求 f (x)= ?
-1
-1

1 x ?1 2 -1 ? x ? 2 求: ) (x≥1), f (x)是 f(x)的反函数,记 g(x) ?1 x ?1 f ( x)

x ?1 ? 1从而0 ? y ? 1. x ?1

1? x 1? x

(0 ? x ? 1)
-1 -1

设 x1,x2∈[0,1),且 x1<x2,易证 f (x1)<f (x2). 即 f(x)的定义域是[0,1],所以 f (x)的定义域是[0,1]故[0,1)是 f (x)的单调增区间. (2)∵g(x)=
1? x 1? x ? x ?2? 2 1? x ?1? x ? 2 2
-1 -1

且等号当且仅当

2 1? x

? 1 ? ,即 x= 3 ? 2 2 时成立.

所以 g(x)的最小值为 2 2 . Ⅲ 新高考命题探究
x-1 -1

1 函数 f(x)=10 -2,则 f (8)=______________ 答案: x=2
x-1 -1

指导:设 f (8)=x,则 f(x)=8,
x -1

-1

即 10 -2=8 得 x=2. 2 已知 y=f (x)是 f(x)=2 +a 的反函数,p(x+ay1), Q(x,y),R(2+a,y3)是 y=f (x)图象上不同的三点. (1)如存在实数 x,使得 y1、y2、y3 依次成等差数列,试用 x 表示实数 a; (2)在(1)条件下,如实数 x 是唯一的,求实数 a 的取值范围. 答案: a=x- 2 x (x>0 且 x≠z)a>0 或 a= ?

1 2
2

(1)∵y1=log2x,y2=log2(x-a),y3=1,由 y1+y3=2y2,得 2x=(x-a) .∴a=x- ? 2 x ,(x>0 且 x≠2). (2)令 t= 2 x (t>0,t≠2),则 a a ? 考场热身 探究性命题综合测试
? ?2 x ? 1( x ? 0) 1 设函数 f(x)= ? 2 ? ? x ? 1(? 0)

1 1 1 (t ? 1)2 ? . 利用图象得 a 的范围为 a>0 或 a=2 2 2

3 则 f ?1(? ) 的值是 4 1 2
D.

A.-

5 2

B.

1 8

C.-1

1 2

答案: D 指导:设 f ( ?

3 3 )=x0,则 f(x0)= ? ∈[-1,+∞], 4 4 3 1 1 2 ? x0 ? ? x0 ? , 选 D. 4 4 2

2 ∴x0≥0,f(x0)= x0 ?1 ? ?

40

2 已知函数 f(x)=xsinx,则 f (? ) ,f(1)及 f( ) 的大小关系为 3 4 A. f (? ) >f(1)> f( ) 3 4 B.f(1)> f( C.f( D.f(

?

?

?

?

? ? )>f (? ) 3 4

? ? )>f (? ) > f(1) 3 4 ? ? )>f (? ) > f(1) 3 4

答案: C 指导:易知 f(x)=xsinx 在[ ?

? ?

]上为增函数,则 ( f ) , ] 上是偶函数且在[0, ? f (1) ? f (? ). .故选 C. 2 2 2 3 4

?

?

?

3 已知函数 f(x)=ax+2+1,当 x∈[-1,1]时,f(x)有正值也有负值,则实数 a 的取值范围为_______ 答案:{a|-1<a< ?

1 } 指导:由题意知 ax+2a+1=0 3 2a ? 1 2a ? 1 1 , 只要 ? 1 ? ? 1知 ? 1 ? a ? ? . a a 3

∵a≠0;∴ x ?

4 渔场中鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量,已 知鱼群的年增长量丁吨和实际养殖量 x 吨与空闲率乘积成正比,比例系数为 k(k,0), (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值; (3)当鱼的年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围. 答案:(1)由条件:y=kx( 1 ? (2)y=kx (1 ?

x ) (0<x<m). m

x k m2 km m km (3)由条件 0<x+y<m,即<m,-2<k<2,而 k>0,∴0<k<2. ) ? ? (x ? )? , 当 x= 时,y 取得最大值 m m 2 4 4 2

5 已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ (Ⅰ)求 f(x)的解析式;

1 +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x

(Ⅱ)若 g(x)=f(x)?x+ax,且 g(x)在区间(0,2)上为减函数,求实数 a 的取值范围; (理)若 g(x)=f(x)+ 答案:(1)f(x)=x ?

a ,且 g(x)在区间(0,2)上为减函数,求实数 a 的取值范围. x

1 (2)a≤-4(文),a≥3 x

(1)设 f(x)图象上任一点坐标为(x,y),点(x,y)关于点 A(0,1)的对称点(-x,2-y)在 h(x)图象上. ∴2-y= ? x ?

1 ? 2, ?x

1 1 ∴y=x ? , 即 f ( x) ? x ? . x x 1 2 (2)文:g(x)= ( x ? ) ?x+ax,即 g(x)=x +az+1. x
g(x)在(0,2)上递减 ? ?

a ?1 a ?1 a ,? g ' ( x) ? 1 ? 2 , ? 2 ∴a≤-4.理:g(x)= x ? x 2 x

g(x)在(0,2]上递减,∴≤0 在 x∈(0,2]时恒成立.

41

即 a≥x -1 在 x∈(0,2)时恒成立. ∵x∈(0,2)时,(x -1)max=3,∴a≥3. 第五讲 06 年 命 题 特 点 基本初等函数
2

2

对本部分内容的考查呈现以下特点: 1. 高考函数题主要是以基本初等函数和抽象函数形式出现的, 基本初等函数的性质和复合函数的性质是考查的重点; 2.二次函数是近几年来高考的热点,应予以重视. 预计典型例题综合题有可能以初等函数(尤其是二次函数)为载体.

应 试 高 分 瓶 颈 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 l 二次函数 指数函数与对数函数 函数图象及函数综台问题 二次函数 1.复合函数及函数性质的应用不够熟练. 2.分类讨论的思想运用不够合理. 3.运算能力差导致丢分;

本类考题解答锦囊 解答“二次函数” ,类试题,主要掌握以下几点: 1.求二次函数解析式一般是设出合适的形式,用待定系数法; 2.要充分从二次函数、二次方程与二次不等式联系出发,运用函数性质解题. 3. 二次方程根的分布,主要考虑三个方面:判别式、对称轴位置、区间端点函数值,从而将问题转化为解不等式组问题. Ⅰ高考最新热门题 1(典型例题)设 a 为实数,函数 f(x)=x =x +|x-a|+1,x∈R (1)讨论 f(x)的奇偶性;(2)求 f(x)的最小值. 命题目的与解题技巧:本题主要考查函数奇偶性、二性函数的最值,解题的关键是分类讨论思想的正确使用. [解析] (1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x) +|-x|+1= f(x),此时 f(x)为偶函数.
2 2 2 2 2

当 a≠O 时 f(a)=a +1,f(-a)=a |a|+1,f(a)≠f(-a), f(a)≠-f(-a). 此时 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

1 3 1 2 (2)①当 x≤a 时 f(x)=x -x+a+1= ( x ? )2 ? a ? 若 a≤ ,则函数 f(x)在(-∞,a)上单调递减,从而函数 f(x)在 (-∞,a) 2 4 2
上的最小值为 f(a)=a +1. 若 a>
2

1 1 3 1 ,则函数 f(x)在(-∞,a)上的最小值为 f( )= +a 且(- )≤f(a) 2 2 4 2
2

当 x≥a 时 f(x)=x +x-a+1=若(x+ 若 a>-

1 2 3 1 1 3 1 ) -a+ .若 a≤,则函数 f(x)在(-∞, 0)上的最小值为 f(- )= -a.且 f(- )≤f(a) 2 4 2 2 4 2

1 2 则函数 f(x)在[a+∞]上单调递增,从而函数 f(x)在[a,+∞]上的最小值为 f(a)=a +1. 2 1 3 时,函数 f(x)的最小值为 -a; 2 4

综上,当 a≤-

42

当-

1 1 2 <a≤ ,函数 f(x)的最小值为 a +1; 2 2 1 2
时,函数 f(x)的最小值为 a+ 见解析
2 0

当 a>

3 ; 4

[答案]

2(典型例题)设 a>0,f(x)=ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x ))处切线的倾斜角的取值范围为[0, y=f(x)对称轴距离的取值范围为 A.[0, 答案: B

? ],则 P 到曲线 4

1 ] a

B.[0,

1 ] 2a

C.[0, |

b |] 2a

D.[0,|

b ?1 |] 2a

指导:f(x)的导数为 f'(x)=2ax+b,由已知 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为[0,

? ],因此 4

0≤2ax0+b≤1,而 P 到曲线 y=f(x)的对称轴的距离为 | x0 ?

b | 2ax0 ? b | 1 |? ? [0, ] ,故选 B. 2a 2a 2a

3(典型例题)将长度为 l 的铁丝分成两段,分别围成一个正方形和一个圆形,要使正方形与圆的面积之和最小,正方形的周 长应为__________ 答案:

4

? ?4

指导:设正方形周长为 x(0<x<1),面积和为 S,则

x (1 ? x)2 (? ? 4) x2 ? 8x ? 4 2 S ? ( )2 ? ? . 令 g(x)=( ? +4)?x -8x+4(0<x<1). 4 4? 16?
由二次函数图象:当 x=

4

? ?4

时,g(x)取得最小值, .此时,S 最小∴正方形周长为

4

? ?4

.

4(典型例题)某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费 150 元.未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每鞠车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 答案:解:(1)88 辆,(2)4050 元,307050 元. 指导:(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,未租出的车辆数为 (2)设每辆车的月租金定为 x 元.则租赁公司的月收益为 f(x)= (100 ? f(x)= ?

3600 ? 3000 =12,所以这时租出了 88 辆车. 50 x ? 3000 x ? 3000 )( x ? 150) ? ? 50. 整理得 50 50

x2 1 ? 162x ? 21000 ? ( x ? 4050)2 ? 307050, 所以,当 x=4050 时,f(x)最大,最大值为 f(4050)=307050.即当每辆 50 50

车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大.最大月收益为 307050 元. Ⅱ 题点经典类型题
2

1(典型例题五月)已知函数 f(x)=ax +bx+c,(a>0 且 bc≠0). (1)若|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,试求 f(x)的解析式; (2)令 g(x)=2ax+b,若 g(1)=0,又 f(x)的图象在 x 轴上截得的弦的长度为 l,且 0<l≤2,试确定 c-b 的符号. 命题目的与解题技巧:本题主要考查二次函数图像的对称性、与二次方程的关系等知识.解题的关键是充分利用三个二次的 联系及图像的对称性. [解析]
2

(1)由已知|f(1)|=|f(-1)|,有,|a+b+c|=|a-b+c|
2

(a+b+c) =(a-b+c) 可得 4b(a+c)=0.

∵bc≠0,∴b≠0∴a+c=0. 又由 a>0,有 c<0,∵|c|=l,于是 c =-l,则 a=1,|b|=1.

43

∴f(x)=x ±x-1. (2)g(x)=2ax+b,由 g(1)=0,有 2a+b=0,b<0. 设方程 f(x)=0 的两根为 x1,x2 ∴x1+x2-

2

b c =2,x1·x2= a a
c a

则 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 ? x2 ? 4 ? 4 ? 由已知 0<|x1-x2|≤2,∴0≤ 又∵a>0,bc≠O,∴c>0. ∴c-b>0. [答案] 见解析
2

c <1. a

2(典型例题)函数 y=-x -2ax(0≤x≤-1)的最大值是 a ,则实数 a 的取值范围是 A.0≤a≤1 C.-2≤a≤0 B.0≤a≤2 D.-1≤a≤0
2 2 2 2 2 2

2

答案: D 指导:y=-x -2ax=-(x +2ax)=a -(x+a) ∴-1≤a≤0.

当 x=-a∈[0,1]时,y=-x -2ax 最大值为 a , 3(典型例题)设实数 a∈[-1,3],函数 f(x)=x -(a+3)x+2a,当 f(x)>1,实数 x 的取值范围是 A.[-1,3] C.(-∞,一 1)∪(5,+∞)
2 2 2
2

B.(-5,+∞) D.(-∞,1)∪(5,+∞)

答案: C 指导 f(x)=x -(a+3)x+2a>1 (2-x) a+x -3x-1>0,令 g(a)=(2-x)a+x -3x-1.

? g (?1) ? 0 ∴由题意有: ? ? x ? (??,?1) ? (5,??). ? g (3) ? 0
4(2005?湖南)设函数 f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述命题: ① f(x)有最小值;②当 a=0 时,f(x)的值域为 R;③当 a>0 时 f(x)在区间[2,+∞]上有反函数;④若 f(x)在区间[2, +∞]上单调递增,则实数 a 的取值范围是 a≥-4.则其中正确的命题是 ______________ 答案:②③ 指导:令 u(x)=x +ax-a-1 当 a=0 时,u(x)=x -1≥-1, ∴f(x)在 a=0 时值域为 R,故②对,①错.若 f(x)在[2,+∞]单调递增,
a ? ?x ? ? ? 2 ? a ? ?3 .故④错,③对. 则有 ? 2 ?u ( x ) ? a ? 3 ? 0 ?
2 2

5(典型例题)已知;

1 2 ≤a≤1, 若函数 f(x)=ax -2x+1 在区间[1, 3]上的最大值为 M(a), 最小值为 N(a), 令 g(a)=M(a)-N(a). 3

(1)求 g(a)的函数表达式; (2)判断函数 g(a)在区间[ 答 案 :

1 ,1]上的单调性,并求出 g(a)的最小值. 3
由 于

(1)f(x)=

1 1 a( x ? ) 2 ? 1 ? , a a

1 3



a



1







1



1 a



3



1 1 1 1 y小 ? N (a) ? 1 ? ,当 ? a ? 时,即2 ? ? 3时, y大 ? f (1) ? a ? 1, a 3 2 a

44

1 1 1 当 ? a ? 1,即 1 ? ? 1,即 1 ? ? 2时, y大 ? f (3) ? 9a ? 5, 2 a 2
1 1 1 ? ?a ? 2 ? a ( 3 ? a ? 2 ). ? 1 ? g (a) ? ? ?9a ? 6 ? 1 ( 1 ? a ? 1) ? a 2 ?
1 1 ? ?1 ? 2 ? 0(0 ? a ? 2 ) ? a , (2)g'(a)= ? ?9 ? 1 ? 0( 1 ? a ? 1) ? 2 a2 ?

1 1 1 1 oa∈[ , ]时,g(a)为减函数;a∈[ ,1 ]时,g(a)为增函数,(也可以利用函数 y=x+ 的图象及性质来判断此函数的单调性). 3 2 2 x
当 a= Ⅲ

1 1 时,g(a)的最小值为 2 2
新高考命题探究
2 x x

1 设函数 f(x)=ax +bx+c(b<0)满足 f(1-x)=f(1+x).则 f(2 )与 f(3 )的大小关系是 A.f(3 )>f(2 ) C.f(3 )≥(2 )
x x x x

B.f(3 )<f(2 ) D.f(3 )≤f(2 )
x x

x

x

答案:C 指导:由 f(1-x)=f(1+x)知 x=l 为 f(x)的对称轴,又由 x= ?

b =1 且 b<0 得到 a>0. 2a
x x

∴函数 f(x)在[1,+∞]上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.当 x>0 时,3 >2 >1, ∴f(2 )<f(3 )当 x<0 时,3 <2 <l, ∴f(2 )<f(3 )当 x=0 时,3 =2 =1,∴f(2 )=f(3 )得上 f(2 )≤f(3 ),故选 C 2 已知函数 f(x)=x -6x+8,x∈[1,a],并且函数 f(x)的最小值为 f(a),则实数 a 的取值范围是________________ 答案:{a|1<a≤3} 指导:如下图,x=3 为 f(x)的对称轴,由二次函数的图象及单调性可得 1<a≤3. 3 已知二次函 y=f(x)经过点(0,10),导函数 f(x)=2x-5,当 x∈(n,n+1](n∈N )时 f(x)是整数的个数记为 an (1)求数列|an|的通项公式; (2) 令 bn ?
* 2 x x x x x x x x

x

x

x

x

a ,求数列{an+bn}的前 n(n≥3)项和 Sn an ? an ?1
2

答案:(1)设 f(x)=ax +bx+10 则 f'(x)=2ax+b 由已知 f'(x)=2x-5

?a ? 1. 5 15 ∴? ? f ( x) ? x 2 ? 5 x ? 10 ? ( x ? )2 ? . 2 4 ?b ? ?5
∴f(x)在(1,2]上的值域为(4,6],∴a1=2. f(x)在(2,3]上的值域为(,4],当.a2=1 n≥3 时 f(x)在(n,n+1)上单调递增,其值域为(f(n), f(n+1)] ∴an=f(n+1)-f(n)=2n-1.

(n ? 1) ?2 ? ∴an ?1 (n ? 2) ?2n ? 4 (n ? 3) ?
(2)令 cn=an+bn 则 c1=a1+b1=4,c2=a2+b2=3,当 n≥3 时, Sn =c1+c2+(c3+c4+…+cn)

45

=7+(a3+…an)+(b3+…bn)
2 ? (2n ? 4) 4 4 4 ? (n ? 2) ? ? ??? 2 2? 4 4?6 (2n ? 4)( 2n ? 2) 1 1 ? 7 ? (n ? 1)( n ? 2) ? 2( ? ) 2 2n ? 2 10n ? 11 ? n 2 ? 3n ? . n ?1 ?7?

命题点 2

指数函数与对数函数

本类考题解答锦囊 解答“指数函数与对数函数”一类试题,主要掌握以下几点: 1.分数指数的定义提示了分数指数幂与根式的关系,因此根式的运算一般转化为分数指数幂的运算. 2.在式子的变形、计算结果的过程中,注意运用方程的观点处理问题. 3.比较两个幂值的大小,首先要分清是底数相同还是指数相同,若指数相同,可利用指数函数性质,结全图象解决问题. 4.绝大部分是与其他函数的复合,因此复合函数的单调性是解决这类问题的重要途径之一. 5.对底数不确定的情况要注意分类讨论;对数方程的变形要注意同解变形; 6.复合函数单调性是解决问题的重要途径;注意结合函数图象,合理运用数形结合的思想方法. I 高考最新热门题
x

1(典型例题)函数 f(x)=a +loga(x+1)在[o,1]上的最大值和最小值分别之和为 a,则 a 的值为 A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

命题目的与解题技巧:本题主要考察指数、对数函数的单调性.利用单调性求函数的最值等有关问题,往往使问题变化简单 易解. [解析] ∵y=a 与 y=loga(x+1)的单调性相同,∴函数 f(x)=a +loga(x+1)在 R 上是单调函数,当 a>1 时,f(0)是最小值 f(1) 是最大值; 当 0<a<1 时 f(0)是最大值 f(1)是最小值,故 f(0)+f(1)=a,即 a +loga1+a +loga2=a,化简得 l+loga2=0,解得 a= 2(典型例题)设 y1=4 A.y3>yl>y2
0?9 0 1 x x *

1 2

,y2=8

0?48

,y3=(

1 -1.5 ) ,则 2
D.yl>y3>y2
1.8 1.5

B.y2>y1>y3
1.8 1.44

C.y1>y2>y3 ,y3=2 .
l.44 1.5

答案: D 指导:y1=2 ,y2=2 y1>y3>y2.

由 y=2x 在 R 上是单调递增函数,则 2 <2 <2 3(典型例题)已知 f(x )=lgx,则 f(2)= A.1g2 B.1g32 C.lg
5

即 D.

1 32
1

D.

1 lg2 5
1

答案: D 指导:令 x =2∴x= 2 5
2

5

? f (2) ? lg 2 5 ?

1 lg 2. 5

4(典型例题)方程 lg(x +2)=lgx+lg3 的解是_________________ 答案: x1=1,x2=2
x 2
x

指导:原方程得 x2+2=3x,(x-1)(x-2)=0,x1=1,x2=2,经验证 x1、x2 均为原方程的根.
x x+2

5(典型例题蒙、琼、陕、藏)解方程 4 -2 -12=0. 答案:(2 ) -4(2 )-12=0.(2 -6)(2 +2)=0. 2 =6,2 =-2(无解).所以 x=log26. Ⅱ 题点经典类型题
x

x

x

x

1(南开中学检测)函数 f(x)=

2? x 2ax (a+x) 的定义域为集合 A,关于 x 的不等式 2 <2 (a∈R)的解集为 B,求使 A∩B =A 的实数 a x ?1

46

的取值范围. 命题目的与解题技巧:本题主要考察指数函数性质,集合运算,解不等式等知识,解决本题的关键是对参数。的分类讨论. [解析]
2ax


a+x

2? x ≥0,得 1<x≤2,即 A=(1,2] x ?1

由 2 <2 得 2ax<a+x,∴(2a-1)x<a (1)当 2a-1>0 时,即 a> 时,x>

a a 1 1 2 1 时,x< , ∵A∩B=A,即 A ? B,∴ >2,得 <a< (2)当 2a-1<0 时,即 a< 2 2 3 2 2a ? 1 2a ? 1

a 2a ? 1 a 1 1 ≤1,得 a< (3)当 2a -1=1 时,即 a= 时,x∈R,满足 A∩B=A.由(1),(2),(3)得 a 2 2 2a ? 1

,∵A∩B=A,即 A ? B,∴ ∈(- ?, [答案]

2 ) 3
见解析

2(典型例题)如图 2-7-1 所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y(m2)与时间 t 的关系:y=a′,有以下叙述: ①这个指数函数的底数为 2; ②第 5 个月时,浮萍面积就会超过 30m ; ③浮萍从 4m 蔓延到 12m 需要经过 1.5 个月; ④浮萍每月增加的面积都相等; ⑤若浮萍蔓延到 2m 、3m 、6m 所经过的时间分别为 tl 、t2、t3,则 t1+t2=t3,其中正确的是 A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ D.①②⑤
1 5 5 2
2 2 2 2 2 2

答案: D 指导:①、②正确, ③、④不正确,⑤正确,选 D. 由图象过(1,2),则 a =2,故①正确,若 t=5,则 y=a =2 =3 >30,
t t t1?t 2 故②正确,因 y=2t,且 2 ? 21 ,3 ? 2t ? 2 ? 3 ? 2t 3 ,即 t1+t2=t3,则⑤正确. 2 ,6 ? 23 , 故2

1 1 3(2005?江苏)若方程 ( )2 ? ( ) x ?1 +a =0 有正数解,则实数 a 的取值范围是 4 2
A.(-∞,1) B.(-∞,-2)C.(-3,-2)D.(-3,0) 答案: D 指导:令∵方程有正根,∴t∈(o,1). 方程转化为 t +2t+a=0 ? a=1-(t+1)
2 2

∵t∈(0,1),∴a∈(-3,0).故选 D.
2 n 4(2005?长春)如果函数 y=logax 的图象过点 P(2,-2),则 lim 则(a+a +?+a )的值为________________

n ??

答案: 2 ? 1

指导:把 P(2,-2)代人 y=lognx 得-2loga2,
2 2 2 1? 2

2 a . ? lim (a ? a ? ? a n ) ? ? ∴a= n ?? 2 1? a

? 2 ? 1.

5(典型例题)关于 x 的方程 lgx -1g(x+3)=lga(a∈R+)在区间(3,4)内有解,则 a 的取值范围是______________ 答案: ∴a=

s

x2 3 16 指导:由条件知 a= , ,x∈(3,4),设 t=x+3,则 x=t-3,且 t∈(6,7) ?a? x?3 2 7

(t ? 3)2 9 ? t ? ? 6. t t

易知 a= 在 t∈(6,7)上为增函数.

47

3 16 ∴a∈ , ). 2 7
Ⅲ 新高考命题探究

1 已知函数 f(x)=1g

kx ? 1 (k∈R 且慢 k>0). x ?1

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)在[10,+∞]上单调递增,求 k 的取值范围.
1 k ? 0. 答案:(1)由得 (1)当 0<k<1 时,得: x ?1 x?

(2)当 k=1 时,得

x ?1 ? 0, ∴x≠1 且 x∈R; x ?1 1 或x ? 1. k

(3)当 k>1 时,得 x< 即 x∈(-∞,

1 )∪(1,+∞); k

综上,所求函数的定义域:当 0<k<1 时为(-∞,1)∪+∞);当 k≥1 时为(-∞,)∪(1,+∞). (Ⅱ)由 f(x)在[10+∞)上是增函数, ∴

10k ? 1 1 ? 0得k ? . 10 ? 1 10
kx ? 1 k ? k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 ? lg(k ? ) ? lg(k ? ), 对任意的x1.x2 ,当 10 ? x1 ? x2时, 有f ( x1) ? f ( x2 ),即lg(k ? ) ? lg(k ? ) x ?1 x ?1 x ?1 x1 ? 1 x2 ? 1

又f ( x) ? lg ,得 :

k ?1 k ?1 1 1 1 1 ? ? (k ? 1)( ? ) ? 0.又 ? ? ,? k ? 1 ? 0,? k ? 1. x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

综上可知 k 的取值范围是(

1 ,1). 10
a a2 ? 1
(x-x ),判断函数 f(x)的单调性.
-1

2 已知 a>0 且 a≠l,有 f(1ogax)=
t

答案:设 t=logax,则 x=a (t∈R),得 f(t)= ? ∴f(x)=

a a2 ? 1

(at ? a ?t ).

a a ?1
2

(a -a )(t∈R).

x

-x

任取 x1、x2 使-∞<x1<x2<+∞,那么 f(x1)-f(x2)=
x

a a ?1
2

[a -a -(a -a )

x1

x2

-x1

-x2

x x ? x1 x ? a2 ,a ? a ?a2 ①当 a>l 时,y=a 是增函数,由 x1<x2,-x2<-x1 得 a1

∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. ②当 0<a<1 时,y=ax 是减函数. 同理可证,f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 结合①②知,不论 a>1 或 0<a<1,f(x)在(-∞,+∞)上 都是增函数. 命题点 3 函数图象及函数综合问题 本类考题解答锦囊

48

解答“函数图象及函数综合问题”一类试题,主要掌握以下几点: 1.作函数图象的一般步骤是①求出函数的定义域;②化简函数式;③讨论函数性质(如)奇偶性,周期性)以及图像上的特殊 点(如最高、最低点、拐点、端点等)、线(如渐近线、对称轴等);④利用基本函数图像画出所给函数的图象; 2.要正确使用平移变换和对称变换作函数图像. 3.对于给定的函数图像,要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、奇偶性, 单调性、周期性,注意图像与函数解析式中参数的关系.方程 f(g)=g(x)的解的个数,可以转化为函数 y=f(x)与 y=g(x)图 像的交点个数; 不等式 f(x)>g(x)的解集为 f(x)图像位于 g(x)图像上方的那部分点的横坐标的取值范围. 4.函数定义域始始终影响着求解过程,在研究函数问题时,应首先考虑定义域. 函数的奇偶性和对称性 可以推出周期性. 函数的单调性可以求出函数最值 I 高考最新热门题 1(典型例题)设奇偶数 f(x)的定义域为[-5, 5], 若当 x∈[0, 5]时, f(x)的图象如图 5-3-1, 则不等式 f(x)<0 的解是_______ 命题目的与解题技巧:本题主要考查函数图象与解不等式的知识以及奇函数的性质,解题关键是完成函数图象,结合图象写 出解集. [解析] [答案] f(x)为奇函数,故图象关于原点对称,可得出 f(x)在[-5,0]上的图象,由图象知 f(x)<0 的解为-2<x<0 或 2<x≤5. (-2,0)∪(2,5)

2(典型例题)函数 y=x+sin|x|,x∈[-π π ]的大致图象是 答案: C 指导:∵f(-x)=-x+sin|x|, ∴f(x)为非奇非偶函数, 选项 A、 D 为奇函数, 选项 B 为偶函数, C 为非奇非偶函数. 3( 典型例题 )f(x) 是定义在区间 [-c , c) 上的奇函数,其图象如图 5-3-3 所示:令 g(x)=af(x)+b,则下列关于函数 g(x)的叙述正确的是 A.若 a<0,则函数 g(x)的图象关于原点对称 B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g(x)=0 有大于 2 的实根 C.若 a≠O,b=2,则方程 g(x)=0 有两个实根 D.若 a≥1,b<2,则方 g(x)=0 有三个实根 答案: B 指导:f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,所以 af(x)的图象也关于原点对称,若 b≠0,则 g(x)=af(x)+b 的图象不关于原点对称, A 选项不正确; 若|a|>1, 则 af(x)的极小值小于-2, 当 b=2, g(x)= af(x)+b 的极小值小于 0, 故方程 g(x)=0 有三个根, 若|a|<1 且 a≠0, 则 af(x)的极小值大于-2. 当 b=2 时 g(x)=a(f)+b 的极小值大于 0,故方程 g(x)=0 只有一个根,只有当|a|=1 且 b=2 时,方程 g(x)=0 恰有两个实根,C 不正确; 当 a≥1 时,若 b<-2a,则方程 g(x)=0 只有一个实根,D 选项不正确.所以只有 B 正确. 4(典型例题)如图,已知曲线 C1:y=x (x≥0)与曲线 C :=-2x 十 3x(x≥0)交于点 O、A,直线 x=t(0<t<1)与曲线 C1、C2 分别相 交于点 B、D. (Ⅰ)写出四边形 ABOD 的面积 S 与 t 的函数关系 S=f(t); (Ⅱ)讨论 f(t)的单调性,并求 f(t)的最大值.
3 ? ?y ? x , 得交点O, A的坐标分别是 (0,0), (1,1). f(t)=S△ABC+S△OBD=|BD|?|1-0| 答案:(1)由 ? 3 ? ? y ? ?2 x ? 3x
3 2 3

=

1 1 3 |BD|= (-3t +3t) 2 2 1 3 (t -t),(0<t<1) 2
3 . 3

即 f(t)=-

(2)f'(t)=.令 f'(t)=0 解得 t=

49

当 0<t< 当

3 3 时 f'(t)>0,从而 f(t)在区间(0, )上是增函数; 3 3

3 3 <t<1 时,f'(t)<0,从而 f(t)在区间( ,1)上是减函数 3 3

5(200?北京)f(x)是定义在[0,1]上的增函数,满足 f(x)=2f( 的图象都是斜率为同一常数 k 的直线的一部分.

1 1 x )且 f(1)=1,在每个区间 ( , ) (i=l,2,?)上,y=f(x) 2 2i 2i ?1

1 1 1 (1)求 f(0)及 f( ), f ( ) 的值,并归纳出 f( )(i=1,2,?)的表达式; 2 4 2i
(2) 设直线 x=

1 2i

,x=

1 2i ?1

, x 轴及 y=f(x) 的图象围成的梯形的面积为 ai(i=1 , 2 ,? ) ,记 S(k)=

lim (a +a +?+a ),求 S(k)的表达式,并写出其定义
1 2 n

n ??

答案:(1)由 f(0)=2f(0),得 f(0)=0. 由 f(1)=2f( 同理,f(

1 1 1 1 )及 f(1)=1,得 f( )= f(1)= . 2 2 2 2

1 1 1 1 )= f( )= . 4 2 2 4
1 2i )? 1 2i
1 2
i ?1

归纳得 f ( (2)当

(i ? 1,2,?).
时f ( x) ? 1 2
i ?1

1 2
i

?x?

? k(x ?

1 2
i ?1

), ai ?

1 1 1 1 k ( i ?1 ? i ) ? (1 ? )2 2i ?i (i ? 1,2,?). 2 2 4 2

所以{an}是首项为

1 k 1 (1- ),公比为 的等比数列. 4 2 4

所以 S(k)= lim (a1+a2+?+an)
n ??

1 k (1 ? ) 4 ? 2 (1 ? k ). ? 2 1 3 4 1? 4

s(k)的定义域为 0<k≤1,当 k=1 时取得最小值 Ⅱ 题点经典类型题

1 . 2

1(典型例题)对于在区间[m,n]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果对任意 x∈[m,n]均有|f(x)-g(x)|≤1,则称 f(x) 与 g(x) 在 [m , n] 上 是 接 近 的 , 否 则 称 f(x) 与 g(x) 在 [m , n] 上 是 非 接 近 的 , 现 有 两 个 函 数 f1(x)=loga (x-3a) 与 f2(x)=loga

1 (a>0,a≠1),给定区间[a+2,a+3] x?a

(1)若 f1(x)与 f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上都有意义,求 a 的取值范围。 (2)讨论 f1(x)与 f2 只(x)在给定区间[a+2,a+3]上是否接近的? 命题目的与解题技巧:本题主要考查求定义域、最值等有关知识和逻辑推理能力,可将问题化归为不等式问题. [解析]

? x ? 3a ? 0 ? (1)要使 f1(x)与 f2(x)有意义,则有 ? x ? a ? 0 ? x>3a 要使 f1(x)与 f1(x)在给定区间[a+2,a+3] ?a ? 0且 ? 1 ?

上有意义,等价于:需真数的最小值大于 0。

50

?a ? 2 ? 3a 1 ? 0 ? a ? 1.即 ?0 ? a ?3? a ?a ? 0且a ? 1

(2)f1(x) 与 f2(x) 在 给 定 区 间 [a+2 , a+3] 上 是 接 近 的 ? f1(x)-f2(x)| ≤ 1 ? |loga(x-3a)-longa 1 ? loga[(x-3a)(x-a)]|≤(x-2a) -a ≤ 边,
?a ? hmin ? a ? h ( a ? 2) ? ? ? ?1 ? ?1 ? ? a ? hmax ? a ? h(a ? 3) ? ? 4 ? ?a ? 4 ? 4 a ? ?a ? 5 ?? ? ?1 ? a ? 9 ? 6a ?6a 2 ? 9a ? 1 ? 0 ? ?
2 2a

1 x?a



1 2 2 对于任意 x∈[a+2,a+3]恒成立,设 h(x)=(x+2a) -a ,x∈[a+2,a+3],且其对称轴 x=2a<2 在区间[a+2,a+3]的左 a

4 ? ?a ? 5 9 ? 57 ? ?0?a? ? 12 ?a ? 9 ? 57 或a ? 9 ? 57 ? 12 12 ?

当 0<a ? 当

9 ? 57 时 f1(x)与 f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是接近的; 12

9 ? 57 <a<1 时 f1(x)与 f2(x)在给定区间[a+2,a+3]上是非接近的。 12
x -1 -1

[答案]见解析 2(典型例题)若函数 f(x)=a (a>o 且 a≠1)满足 f (4)=2,则 y=|f (x+1)|的图象可能是 答案: C 指导:由 y=a 得 f (x)=logxa ∵f-1(4)=2,∴a>1.
x 画出 y= loga (a>1)的图象.利用平移和对称变换规律作出 y=|f (x+1)|的图象,故选 C.
-1

x

-1

3(2005?学海大联考)给出下列图象 其中可能为函数 f(x)=x +ax +bx +cx+d(a,b,c,d∈R)的图象是________________ 答案:①③ 指导:由 f(x)的解析式知,无论 x ? +∞还是 x ? -∞都有 f(x) ? +∞,故选①②. 4(典型例题三市联考)已知函数 f(x)=lg(2 -b)(x≥1)的值域是[0,+∞],则 A.b≤1 B.b<1 C.b≥1 D.b=1 答案: D 指导:∵x≥1,∴f(x)≥lg(2-b), ∴lg(2-b)=0.2-b=l,b=1,故选 D. 5(2005?汕头模拟)对于函数 f(x)与 g(x),规定 f(x)≤g(x)时 f(x)*g(x)=f(x),当 f(x)>g(x)时,f(x)*g(x)=g(x),已知 f(x)= x ? 3 ,g(x)=3-x, 则 f(x)*g(x)的最大值为________________ 答案:2 指导:当-3≤x≤l 时,f(x)*g (x)=f(x)= x ? 3 ≤2;当 x>1 时,f(x)*g(x)=g(x)=3-x<2,故最大值为 2; 画图(如右图),当,即 x=1 时,f(x)*g(x)的最大值 2; 6(2005?湖北八校联考)某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为 2500 元,已知每生产 x 件这样的产 品需要再增加可变成本 C(x)=200x+
x 4 3 2

1 3 x (元),若生产出的产品都能以每件 500 元售出,要使利润最 36

大,该厂应生产多少件这种产品?最大利润是多少? 答案:设该厂生产 x 件这种产品的利润为 L(x)为元,则 L(x)=500x-2500-C(x)=500x-2500-(200x+ =300x-

1 3 x ) 36

1 3 x -2500(x∈N) 36

51

令 L'(x)=300-

1 2 x =0,得 x=60(件). 12

又当 0≤x<60 时,L'(x)>0;当 x>60 时,L'(x)<0,所以 x =60 是 L(x)得极大值点.当 x=60 时,L(x)=9500 元. 因此,要使利润最大,该厂应生产 60 件这种产品,最大利润为 9500 元. Ⅲ 新高考命题探究

1 设函数 f(x)最奇函数,并且在 R 上为增函数,若 0≤θ ≤ A.(0,1) C.(-∞,1) B.(-∞,0) D.(-∞,

? 时,f(msinθ )+f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 2

1 ) 2 1 , 1 ? sin?

答案: C 指导:∵f(msin ? )>-f(1-m)=f(m-1),又∵f(x)在 R 上为增函数,∴msin ? >m-1.∴m<

? 1 又∵ ? ? [0, ] ? ? 1,? m ? 1. 2 1 ? sin?
2 已知数实 x,y 满足 y= 1 ? x 2 ,则 x+y 的最小值是 A.-1 B.1 C.

2

D.

1 2

答案: A 指导:由得 x2+y2=1(y≥0), 设 x=cos ? ,y=sin ? (0≤ ? ≤π ) 则 x+y=cos ? +sin ? = 2 sin(? ?
2 2

?
4

? 0 ? ? ? ? . ?当? ? ?时, 有( x ? y)m in ? 2 ? (?

2 ) ? ?1. 2

3 已知 x +y =25,过坐标原点但不与 x 轴重合的直线 l、x 轴的正半轴及圆围成了两个区域如图所示,它们的 面积分别为 p 和 q,则 p 关于 g 的函数图象的大致形状为 答案: B 考场热身 探究性命题综合测试 1 已知函数 f(x)=x +2x+1,若存在实数 t,当∈[1,m]时 f(x+1)≤x 恒成立, 则实数 m 的最大值为 A.2 B.3 C.4 D.5 答案: C 指导:由特殊值法易知,m=5 时,f(x+t)≤x 不恒成立,而 m=4 时,f(x+t)≤x 恒成立,故选 C
2

指导:由题知:p+q=

25? (p>0,q>0)图象如上图. 2

?2? x ? 1( x ? 0) ? 2 设函数 f(x)= ? 1 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是 ? x 2 ( x ? 0) ?
A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-1,∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

?x ? 0 ? ?x ? 0 ? 或? 1 ' 答案: D 指导: ? ? x ? 2 ? 1 ? 1 ?x 2 ? 1 ? ?

∴x>1 或 x<-1.故选 D. 3 若 f(x)(x∈R)是以 3 为周期的奇函数,且 f(1)>1,f(2)=a,则 a 的取值范围是_______________ 答案: a<-1 指导:(-∞,-1)f(2)=-f(-2)=-f(3-2)=-f(1)=a,∵(1)>1,故-f(1)<-1,故 a<-1. 4 设函数 f(x)=a +3a(a>0 且 a≠1)的反函数为 y=f (x).已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f (x)的图象关于点(a,0)对称.
x -1 -1

52

(1)求函数 y=g(x)的解析式; (2)是否存在实数 a,使当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f (x)-g(x)|≤1 成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由. 答案:(1)=g(x)上任意一点为(x,y),(x,y)关于点(a,0)的对称点是(2a-x,-y), 点(2a-x,-y)关于直线 y=x 的对称点是(-y,2a-x),点(-y,2a-x)在函数 y=f(x)图象上,代入 2a-x=a +3a 得 y=g(x)=-loga(-x-a), (另解:函数 y=g(x)上任意一点(x,y)关于点(a,0)的对称点(2a-x,-y)在函数 f (x)=loga(x-3a)图象上,有-y =loga(2a-x-3a) 即 y=g(x)=-loga(-a-x). (2)假设存在实数 a,使当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f (x)-g(-x)|≤1 成立. 即|loga(x-3a)+loga(x-a)|=|loga(x -4ax+3a )|≤1(x>3a) ∵x∈[a+2,a+3]且 x>3a>a
2 2 2 2 2 2 -1 -1 -y
-1

a+2>3a 0<a<1,此时 a+2>2a.
2

则函数 h(x)=x -4ax+3a 在[a+2,a+3]上是增函数,函数 h(x)=loga(x -4ax+3a2)在[a+2,a+3]上是减函数. 函数 h(x)=loga(x -4ax+3a )的最小值是 loga(9-6a),最大值是 loga(4-4a)
?0 ? a ? 1 ? ?0 ? a ? 1 ? 9 ? 57 ? ? 依题意得 ?log4 (9 ? 6a ) ? ?1 ? ? 9 ? 57 4 ? 0 ? a ? 12 . 或a ? ? ?a ? 12 5 ? ? ? ?loga (4 ? 4a ) ? 1

故存在实数 a,使当 x∈[a+2,a+3]时,恒有 |f-1(x)-g(-x)|≤1 成立. 此时,a 的取值范围为 0<a≤ 5.已知 f(x)= log2

9 ? 57 . 12

x?2 ,g(x)=1og2(x-2)+log2(p-x)(p>2). x?2

(1)求使 f(x)、g(x)同时有意义的实数 x 的取值范围; (2)求 F(x)=f(x)+g(x)的值域. 答案:解答:(1)

x?2 ? 0 ? x ? 2 或 x<-2, x?2

?x ? 2 ? 0 又? 又p ? 2, ?p ? x ? 0
∴2<x<p,故 f(x)与 g(x)的公共定义域为(2,p) (2)F(x)=f(x)+g(x)=log2[(x+1)(p-x)]
p?2 2 p?2 2 ) ?( ) ]( 2 ? x ? p). 2 4 p?2 2 p?2 2 令u ( x) ? ?( x ? ) ?( ) , 2 4 ? log2[?( x ?

∴p>2,∴ p ?

p?2 p?2 ,抛物线 u(x)的对称轴 x= . 2 2
p?2 ∈(2,p) 2
∴0<u(x)≤

(ⅰ)当 p>6 时,

( p ? 2)2 .值域为(-∞,2)log2(p+2)-2] 2

(ⅱ)当 2<p≤6 时,即

p?2 ≤2, 2

u(x)在(2,p)上有 0<u(x)<4(p-2) ∴g(x)<log2[4(p-2)]=2+log2(p-2) ∴值域为(-∞,2+log2(P-2)).

53

第六讲等差数列与等比数列 最 新 命 题 特 点 对本部分内容的考查呈现以下特点: 1.高考命题主要考查数列的有关概念、性质和基本量的运算,以及学生建模能力的抽象概括能力; 2. 等差数列与等比数列是重要的知识点, 在高考中应将继续关注, 而单纯以等差数列、 数比数列为考查重点的题型, 估计其运算量和难度不会很大,只要牢固掌握基本的概念和方法,即可顺利过关. 3.这部分高考题型维持难易结合,有基本性质的综合题型、应用题型,也有选择和填空题,客观题突出“小而巧” , 主观题却为“大而全” ,着重考查函数方程,等价转化,分类讲座等重要思想方法. 4.另外也可能出现新的命题背景,例如教育贷款、购房贷款等. 5.预计典型例题选择、填空出现,重在考查性质及基本量计算,解答题多与函数和解析几何加以综合. 应 试 高 分 瓶 颈 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 4 命题点 5 命题点 1 数列的概念 等差数列基本量的运算 等比数列基本量的运算 等差数列、等比数列前 n 项及证明 等差、等比数列性质及应用 数列的概念 1.公式和性质相结合的客观题“小而巧” ,方法灵活,技巧性强,考生如性质掌握不熟练,容易在此消耗过多时间并导 致失分; 2.解决数列问题中,目标意识差,不能围绕目标,选准转化切入点,导致丢分; 3.方程(组)思想运用时,因计算能力差导致丢分; 4.分类讨论,以及解方程组中的整体消元运用不够恰当导致丢分.

本类考题解答锦囊 解答“数列的概念”一类试题,主要掌握以下几点: 1.给出数列的几项,求通项,一般用归纳法写出一个通项公式,往往满足条件的通项公式并非唯一。
?s1, n ? 1 2.已知 Sn 求 an,用 an= ? 这里容易忽视对 n=1 的讨论 ?Sn ? Sn ?1, n ? 2

3.已知递推关系求通项一般有两种方法: (1)通过递推关系,求出数列的前几项,然后观察规律猜想通项,再证明其猜想结论的正确性. (2)转化成等差、等比数列,再求通项. 4. 数列的能项 an=f(n)可视为关于 n 的函数,可用函数的观点方法证明其单调性、有界性、周期性等; 5.要注意方程思想、函数思想方法的运用和函数性质的运用. I 高考最新热门题

1(典型例题)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn=

a1(3n ? 1) (对于所有 n≥1),且 a4=54,则 a1 的数值是_______________ 2

命题目的与解题技巧:本题主要考查由 Sn 和 an 的方法.一般方法是求出 an 再利用 a4 求 a1,但抓住问题的特点,直接点中要 害,可有较简单的解法. [解析] 解法一(优解):利用 s1=a1,是无法求出 a1 的,而题设给出 a4=54,则暗示解题的方向.

∵S4=S3+a4,∴

a1(34 ? 1) a1(33 ? 1) a (34 ? 33 ) ? ? 54.即 1 ? 54 解得 a1=2. 2 2 2

解法二(通解):解此类题我们通常紧紧抓住 Sn 与 an 的关系解题. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 , 即:

an ?

a1(3n ? 1) a1(3n?1 ? 1) a1(3n ? 3n?1) ? ? ? a1 ? 3n ?1. 2 2 2

54

而 a4=54,∴27a1=54,∴a1=2. [答案] a1=2

1 1 2(典型例题)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= a[2 ? ( )n?1] ? b[2 ? (n ? 1)( )n?1] (n=1,2…), 其中 a、 b 是非零常数. 则存在数列{xn}、 2 2
{yn}使得 A.an=xn+yn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列 B.an=xn+yn,其中{xn}和{yn}都为等差数列 C.an=xn?yn,其中{xn}为等差数列,{yn}为等比数列 D.an=xn?yn,其中{xn}和{yn}都为等比数列 答案: C 指导:当 n=1 时,al=Sl=a,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1
1 1 1 1 1 n ?1 1 1 ? a[2 ? ( ) n ?1 ] ? b[2 ? (n ? 1)( ) n ?1 ] ? a[2 ? ( ) n ? 2 ] ? b[2 ? n( ) n ? 2 ] ? a( ) ? b[( ) n ?1 ? n( ) n ?1 ] ? 2 2 2 2 2 2 2 1 n ?1 [a ? (n ? 1)b]( ) . 2

3(典型例题)已知数列{an}满足 a0=1,an=a0+a1+?an-1(n≥1)则当 n≥1 时 an 等于 A.2
n

B.

1 n ? (n ? 1) 2
1

C.2

n-1

D.2 -1

n

答案: C 指导:al=a0=1=20 a2=a0+a1=1+1=2 , a3=ao+a1+a1=1+1+2=4=2 , a4=ao+a1+a2+a3=1+1+2+4=8=2 . 猜想:an=2n-1,故选 C
3 2

?1, n ? 1, 4(典型例题)已知数列{an}满足 a1=l,an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1,(n≥2),则{an}的通项 an= ? ?________,n ? 2,
答案:

n 指导:an=a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1 2

=a1+2a2+…+(n-2)an-2+(n-1)an-1 =an-1+(n-1)an-1(n≥3) an=nan-1(n≥3) ?

a3 a ? 3, 4 ? 4,? a2 a3

an a a a ? n ? 3 ? 4 ? n ? 3 ? 4 ? ?? n an ?1 a2 a3 an ?1
故 an=3×4×…×n

1? 2 ? 3 ? ?? n n! ? . 2 2

?1, ( n ? 1) ? 当 n=2 时,a2=a1=l,则 an= ? n! ? 2 ( n ? 2) ?

5( 典 型 例 题 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 和 数 列 {an} 满 足 下 列 条 件 : a1=a,an=f(an-1)(n=2 , 3 , 4 ? ) , a2 ≠ a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,?)其中 a 为常数,k 为非零常数. (1)令 bn=an+1-an(n∈N ),证明:数列{an}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)当|k|<1 时,求 lim an.
n??
*

答案:(1)证明:由 b1=a2-a1≠0,可得 b2=a3-a2=f(a2)- f(a1)=k(a2-a1)≠0.

55

由数学归纳法可证 bn=an+1-an≠0.(n∈N*).由题设条件,当 n≥2 时,

bn a ?a f (an ) ? f (an?1) k (an ? an ?1) ? n ?1 n ? ? ? k. bn ?1 an ? an?1 an ? an ?1 a n ? an ?1
因此,数列{bn}是一个公比为 k 的等比数列. (2)解:由(1)知,bn=k b1=k (a2-a1)(n∈N*). 当 k≠1 时,b1+b2+?+bn-1=(a2-a1)(n≥2); 当 k=1 时,b1+b2+?+bn-1)=(n-1)(a2-a1)(n≥2). 而 b1+b2+?bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) =an-a1(n≥2). 所以,当 k≠1 时,an-a1=(a2-a1)
n-1 n-1

1 ? k n ?1 (n≥2). 1? k 1 ? k n ?1 (n∈N*). 1? k

上式对 n=1 也成立,所以,数列{an}的通项公式为 an=a+(f(a)-a) 当 k=1 时,an-a1=(n-1)(a2-a1)(n≥2).

上式对 n=1 也成立,所以,数列{an}的通项公式为 an=a+(n-1)(f(a)-a)(n∈N*). (Ⅲ)解:当|k|<1 时
n??

lim [a ? ( f (a) ? a)

1 ? k n ?1 f (a) ? a ]? a? . n?2 1? k



题点经典类型题 且 an=f(n)+f(n-1),则 a1+a2+a3+?+a100 等于

2 ? ?n , (当n为奇数时) 1(典型例题五月)已知函数 f(n)= ? 2 ? ?? n (当n为偶数时)

A.0

B.100

C.-100

D.10200

命题目的与解题技巧: 本题主要考察分段函数及数列通项和前几项中等知识, 解决此题的关键是对 n 为奇数和偶数分别求出 a,再计算 al+a2+?a100 的值. [ 解析 ] 当 n 为奇数时, an=n -(n+1) =(2n+1) ,当 n 为偶数时 an=-n +(n+1) =2n+1 ,则 an=(-1) (2n+ 1).+a1+a2+a3+ ?
2 2 2 2 n

+a100=-3+3-7+9-?-199+201 =2x50=100,故选 B. [答案] B

2(典型例题)已知数列{an}通项公式 an=log2 A.有最小值 63 C.有最小值 31 B.有最大值 63 D.有最大值 31

n ?1 * (n∈N )设其前 n 项和 Sn 则使 Sn<-5 成立的自然数 n n?2

答案: A 指导:要使 Sn<-5 成立,只须 a1+a2+?+an<-5,即 loga ( 2 ? 3 ? ? n ? 1 ) ? log2 1 , 3 4 n?2 32 即

2 1 ,∴n>62,又 n∈N*,即 n 的最小值为 63. ? n ? 2 32 2 ,且 an-1 an+an+1an-2an-1an+1=0,(n≥2), 则 al5 等于 3

3(2005?杭州)已知数列{an}满足 a1=1,a2= A.

1 8

B.

1 7

C.

1 3

D.

8 15

答案: A 指导:由已知得 an-1an+1≠0,

56

an-1an+an+1an-2an-1an+1=0(n≥2),

an a 1 1 2 ? n ? 1, ? ? . 2an?1 2an?1 an?1 an?1 an
∴{

1 1 1 1 1 }是等差数列,首项 ? 1 公差 d ? ? ? . an a1 a2 a1 2

?

1 1 1 ? ? 14d ? 8. ? a15 ? . a15 a1 8
2

4(2005?重庆){an},{bn}满足 anbn=1,an=n +3n+2,则{bn}的前 10 项之和等于 A.

1 3

B.

5 12

C.

1 2

D.

7 12

答案: B

指导: bn ?

1 1 1 1 ? 2 ? ? an n ? 3n ? 2 n ? 1 n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2 1 1 5 ? Sb10 ? ? ? . 2 12 12 Sbn ?

5(典型例题)已知{an}的前 n 项和 Sn=n -4n+1,则|a1|+|a2|+?+|al0|= _____________________
2 ? ? S n ? n ? 4n ? 1 答案:67 指导: ? ①-②得(n≥2),an=2n-5, 2 ? ?S n ? (n ? 1) ? 4(n ? 1) ? 1

2

??2(n ? 1) 当 n>3 时 an>0,当 n>时,an>o.∴an ? ?2n ? 5(n ? 2) ∴|a1|+|a2|+?+|a10|=-a1-a2+a3+a4+?+a10=S10-2S2=67.
6(典型例题)已知数列{an}的的前 n 项和为 Sn,且满足 an ? (1)求数列{bn}的通项公式: (2)当 t≠1 时,设 f(x)=bnx +2bn+1x+bn+2(n∈N )的图象在 x 轴上截得的线段长为 Cn 求 C1C2+C2C3+C3C4+?+Cn+l?Cn(n≥)2); (3)若 dn=( an ?
2 +

1 t ?1 Sn ? 1 (n∈N+),其中 t 为常数,t∈( ,2),bn=lgan. 2 t

1 2 n ),数列{dn}的前 n 项和为 Tn,求证 Tn ? 2n ? ( ) 2 an

1 1 1 答案: (1)a1 ? (1 ? )a1 ? 1,? a1 ? t , an ? 1 ? (1 ? )Sn ? 1an?1 ? (1 ? )Sn?1 ? 1(n ? 2),? an ? t n , bn ? n lgt t t t
(2)由(1)知{bn}为等差数列,故 2bn+1=bn+bn+2 ∴f(x)=(bnx+bn+2)(x+1) ∴f(x)=0 的两根分别为 ? ∴Cn= | 1 ? ①t≠1,∴bn≠0.

bn ? 2 ,?1, bn

bn ? 2 2 ? bn n

∴c1c2+c2c3+c3c4+?+cn-1cn=4 =4 (1 ? (3)dn= 而

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ) ? 4(1 ? ) 2 2 3 n ?1 n n

1 n 1 (t ? n ), 2 t

1 n 1 1 1 1 (2 ? n ? t n ) ? (2n ? t n )(1 ? )t ? ( ,2). n 2 2 2 2 (2t )

57

∴2 >t ,(2t) >1.∴dn< ? Tn< =

n

n

n

1 n 1 (2 ? n ) 2 2

1 1 1 1 1 1 (2 ? ) ? (22 ? 2 ) ? ? ? (2n ? n ) 2 2 2 2 2 2

1 1 n n (2+2 +…+2 )+ 2 2
1 2n 1 1 ) ? 2n ? (1 ? n ) 2 2
1 2n ?( 2 n ) . 2 ? Tn ? 2n ? ( 2 n ) 2

(1 ?
又 Ⅲ

1 1 (1 ? n ) ? 2 2

新高考命题探究 A .典型例题 001 ∵a1=0,∴an=n(n-1) B. 典型例题.典型例题型例题 D .典型例题型例题案: D 指导:由已知得 an-an-1=2(n-1) ,

1 已知数列{an},满足 a1=0,an+1-an=2n,那么 a 典型例题 an-1-an-2=2(n-2),??,a2-a1=2.累加得 an-a1=n(n-1),

2 已知数列{an}的前 n 项的和 Sn ?
? ?6(n ? 1) 答案: An= ? n ? ?3 (n ? 2)

3(3n ? 1) .则数列{an}的通项 an=_______________ 2

指导:n=1 时,a1=S1=6

n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

3(3n ? 1) 3(3n ?1 ? 1) ? ? 3n , 2 2

又 n=1 时,an=3,∴a1 不在 an 内

? ?6 ∴an= ? n ? ?3

(n ? 1) (n ? 2)

3 一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍): 则第 8 行中的第 5 个数是 第一行 第二行 第三行 … 4 … 2 5 6 1 3 7

A.68 答案: B

B.132

C.133

D.260
n-1

指导:观察表格数据发现,第 n 项有 2

数,前 7 行有 1+ 2+4+?+2 =127 个数,那么第 8 行的数为 128,129,

6

130,131,132. 4 已知{an}是由非负整数组成的数列,满足 a1=0,a2=3,an+1an=(an-1+2)(an-2+2),n=3,4,5,? (1)求 a3; (2)证明 an=an-2+2,n=3,4,5,?; (3)求{an}的通项公式及其前 n 项和 Sn 答案:(1)由题设得 a3a4=10,且 a3、a4 均为非负整数,所以 a3 的可能的值为 1,2,5,10. 若 a3=1,则 a4=10,a5=

3 ,与题设矛盾. 2

58

若 a3=5 则 a4=2,a5=

35 3 与题设矛盾.若 a3=10,则 a4=1,a5=60,a6= ,与题设矛盾.所以 a3=2, 2 5

(2)用数字归纳法证明: ①当 n=3,a3=a1+2,等式成立. ②假设当 n=k(k≥3)时等式成立,即 ak=ak-2+2,由题设 ak+1ak=(ak-1+2)?(ak-2+2),因为 ak=ak-22≠0,所以 ak+1=ak-1+2,也就是说,当 n=k+1 时,等式 ak+1=ak-1+2 成立. 根据①和②,对于所有 n≥3,有 an+1=an-2+2. (Ⅲ)由 a2-1=a2(k-1)-1+2,a1=0,及 a2k=a2(k-1)+2,a2=3 得 a2(k-1)=2(k-1),a2k=2k+1,k=1,2,3,?. 即 an=n+(-1) ,n=1,2,3,?
?1 n(n ? 1),当n为偶数 ? ? 所以 Sn= ? 2 ? 1 n(n ? 1) ? 1,当n为奇数 ? ?2
n

命题点 2

等差数列基本量的运算

本类考题解答锦囊 解答“等差数列基本量的运算”一类试题,主要掌握以下几点: 1. 方程观点是解决这类问题的基本数学思想方法; 2. 解题时注意方程思想、消元思想及整体消元思想的运用; 3. 基本公式的运用要注意公式的逆用和变式. Ⅰ高考最新热门题 1(典型例题)设数列{an}是等差数列,且 a2=-6,a8=6,Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 A.S4<S5, B.S4=S5 C.S6<S5 D.S6=S5 命题目的与解题技巧:本小题主要考查等差数列的通项和求和、以及等差数列的性质等基本知识与运算技能,解题的关键熟 练运用公式和等差数列的性质. [解析] (通解)由 a2=-6,a8=6,得 al+d=-6,a1+7d=6. 解得 a1=-8,d=2.∴S4=S5=-20,S6=-18. (优解)由 a2=-6,a8=6 知 a2+a8=0∴a5=0 又 a2<a8,∴d>0,故 S4=S5<S6 故选 B. [答案] A.4 B B.5 C.6 D.7 2(典型例题)在等差数列{an}中,已知 a1+a2+a3+a4+a5=20, 那么 a3,等于 答案: A 指导:因为{an}为等差数列,设首项为 a1,公差为 d,由已知有 5a1+l0d=20,∴a1+2d=4,即 a3=4. 3(典型例题)若{an}是等差数列,首项 a1>0,a 典型例题型例题 a 典型例题型例题则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大门然数 n 是 A.4005 答案: B B.4006 C.4007 D.4008

指导:由题知 a 典型例题 a 典型例题 ∴S4006=

4006(a1 ? a4006) 4007(a1 ? a4007) ? 典型例题 003+a 典型例题,S4007= ? 4007, 2 2

a 典型例题∴使 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n=4006. 4(典型例题)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于 A.160 答案: B B.180 C.200 D.220 指导:∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,又 a1+a20 =a2+19=a3+a18,∴a1+a20=18.

∴S20=

20(a1 ? a20 ) ? 180 . 2

59

5(典型例题)下表给出一个“等差数阵” : 其中每行、每列都是等差数列,aij 表示位于第 i 行第 j 行的数. 4 7 ( ( … Ai1 … ) ) 7 12 ( ( … Ai2 … (1)写出 a45 的值; (2)写出 aij 的计算公式,以及 2008 这个数在等差数阵中所在的一个位置. (3)证明:正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积. 答案:(1)a45=49. (2)该等差数阵的第一行是首项为 4,公差为 3 的等差数列: aij=4+3(j-1),第二行是首项为 7,公差为 5 的等差数列: a2i=7+5(j-1),?? 第 i 行是首项为 4+3(i-1),公差为 2i+1 的等差数,因此 aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1) =2ij+1+j=i(2j+1)+j 要找 2008 在该等差阵中的位置,也就是要找正整数 i,j 使得 2ij+i+j=2008,∴j= ) ) ( ( ( ( … Ai2 … ) ) ) ) ( ( ( ( … Ai4 … ) ) ) ) ( ( ( ( … Ai5 … ) ) ) ) … … … … … … … A1j A2j A3j A4j … aij … … … … … … … …

2008 ? i . 2i ? 1

当 i=1 时,得 j=669. ∴2008 在等差数阵中的一个位置是第 1 行第 699 列. (3)证明:必要性:若 N 在该等差数阵中,则存在正整数 i,j, 使得 N=i(2j+1)+j 从而 2N+1=(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1). 即正整数 2N+l 可分解成两个不是 1 的正整数之积.充分性:若 2N+1 可分解成两个不是 1 的正整数之积.由于 2N+1 是奇数,则它必为两个不是 1 的奇数之 积,即存在正整数 k,l 使得 2N+1=(2k+1)(2l+1)从而 N=k(2l+1)=l=akl. 可见 N 在该等差数阵中综上所述整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可分解成两个不是 l 的正整数之积. Ⅱ 题点经典类型题 A.14 [解析] 而 Sn= B.15 C.16 D.17 1(山西)在等差数列{an}中,若 S9=18,Sn=240,an-4=30, 则 n 的值为 命题目的与解题技巧:本题主要考查前 n 项和与通项公式的应用和运算技能,解题的关键是方程思想的合理运用. B∵S9=9a5,∴a5=2.

n(a1 ? an ) n(an?4 ? a5 ) n(30 ? 2) 而 Sn=240. ? ? 2 2 2
B B.12 C.24 D.48 ∴a9=24.

∴16n=240.∴n=15 [答案] A.6 2(2005?重庆)在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 3a9-a11 的值为 答案: D 指导:∵a1+a15=2a8, ∴a1+3a8+a15=5a8=120. 而 3a9-a11=3(al+8d)-(al+l0d)=2a1 +14d=2(a1+7d)=2a8=48.

60

3(2005?十省预猜卷)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N+),若 a3+a17=10, 则 S19= A.55 答案: B B.95 C.100 D.不确定 指导:∵a1+a19=a3+a1=10,

∴S19 ?

19(a1 ? a19 ) 19 ?10 ? ? 95. 2 2

4(2005?安庆)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 答案:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,a4=5. 又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9.设{an}1 的公差为 d, 则(a4-2d)(a4+2d)=(5-2d)(5+2d)=9.解得 d=±2. 当 d=2 时,an=a4+(n-4)d=2n-3. 当 d=-2 时,an=a4+(n-4)d=13-2n. 5(典型例题)数列{an}中,前 n 项和 Sn=n -2n,这个数列中有连续的五项,其和为 1515,试求出连续五项的项数. 答案:设连续五项的项数为 n+1,n+2,n+3,n+4,n+5,由题意得 Sn+5-Sn=1515, 即[(n+5) -2(n+5)]-(n -2n)=1515. ∴n +10n+25-2n-10-n +2n=1515,l0n=1500, n=150. 所以所求连续五项的项数为 151,152,153,154,155. Ⅲ 新高考命题探究
2 2

2

2

2

2

1 函数 f(x)满足 f(x-1)+f(x+1)=2x -8x+8,f(x+1)-f(x-1)=4(x-2),且 f(x-1),A.2 B.3 C.2 或 3
2

1 ,f(x)成等差数列,则 x 的值是 2

D.2 或-3
2

答案: C 指导:f(x-1)+f(x+1)=2x -8x+8,f(x+1)f(x-1)=4(x-2).两式相加:2f(x+1)=2x -4x, f(x+1)=x -2x,f(x)=x -4x+3,f(x-1)=x -6x+8.由题意{f(x-1)+f(x)=2?(2 2 2

1 )=-1 2

? x -5x+6=0,∴x=2 或 x=3.
2

2 在等差数列{an}中,已知 a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+?+a14=77,ak=13.则 k=_____________ 答案:18 指导:由 a4+a7+a10=3a7=17,∴ a7 ? a4+a5+?+a14=11a9=77,a9=7.
7? 17 3 ? 2 , a ? 7 ? (k ? 9) ? 2 ? 13. k 2 3 3

17 . 3

d?

? k ? 18 .

命题点 3

等比数列基本量的运算

本类考题解答锦囊 解答“等比数列基本量的运算”一类试题,主要掌握以下: 等比数例基本量的运算主要是方程思想的运用, 依据通项公式与前 n 项和公式列方程组来解. 在这里解方程组时整体代入和 两式相除是经常应用的方法. I 高考最新热门题 1(典型例题)若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” ,设{an}是公比为 q 的无穷等比数列,下列{an}的四组 量中,一定能成为该数列“基本量”的是第_____组.(写出所有符合要求的组号) ① S1 与 S2;②a2 与 S3;③a1 与 an;④q 与 an,其中 n 为大于 1 的整数,Sn 为{an}的前 n 项和. 命题目的与解题技巧:本题主要考查等比数列的基本性质和数列的基本概念,特别是对于题目给出新定义的“基本量” ,一 定要认真阅读和体会,对学生思维要求较高,解题的关键是深刻理解等比数列的概念及确定等比数列的条件.

61

[解析] q +(12

① a1=S1 , a2=S2-S1 , q 确 定 , ∴ 等 比 数 列 {an} 唯 一 确 定 . ② 由 S3=a1+a2+a3=

a2 1 S +a2+a2q,q+ +1- 3 =0 , 即 q q a2

a S3 a n-1 )q+l=0,不能唯一确定 q.从而该数列不能唯一确定.③q = n ,n 为奇数,n-1 为偶数时,q 不唯一.④a1= nn a2 a1 q ?1

唯一确定,∴等比数列{an}唯一确定.故①④满足题意. [答案 l①④ 2(典型例题)等差数列{an}中, a1=2, 公差不为零, 且 a1, a3, all 恰好是某等比数列的前三项, 那么该等比数列公比为________ 答案:4 指导:设{an}公差为 d≠0,由已知得 ∴(a1+2d) =a1(a1+10d),∴d= ∴公比 q=
2

3 3 a1 ? ? 2 ? 3, 2 2

a3 a1 ? 2d 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 4. a1 a1 2

3.(典型例题)据某校环保小组调查,某区垃圾量的年增长率为 b,典型例题的垃圾量为 a 吨.由此预测,该区下一年的垃圾 量为__________吨,2008 年的垃圾量为__________吨. 答案: a(1+b);a(1+b)
5

指导:由题意知,每年的垃圾量{an}成等比数列,公比为(1+b),故下一年的垃圾量为数列的第 2
5

项 a6=a(1+b),2008 年的垃圾量为数列的第 6 项 a6=a(1+6) . 4(典型例题)若首项为 a1,公比为 q 的等比数列{an}的前 n 项和总小于这个数列的各项和,则首项 a1,公比 q 的一组 取值可 以是(a1,q)=_________ 答案:(1,

1 )(注:本题结论不唯一,只要满足 a1>0,0<q<1 或 a1<0,-1<q<0 可). 2

n 指导:设 Sn a1(1 ? q ) ? a1 ? a1. 1? q 1? q

∴a1q >0∴a1>0 且 0<q<l 或 a1<0 且-1<q<0, 故可取 a1=1,q=

n

1 2

5(典型例题)设{an}是公比为 q 的等比数列 Sn 是它的前 n 项和,若 Sn 是等差数列,则 q=__________ 答案: q=1 指导:因为{an}是公比为 q 的等比数列,所以 q≠0 且数列的前 n 项和为
?na1 ? Sn= ? a ? a q n 1 1 ? 1 ? q ? (q ? 1) (q ? 1)

q),S3=a1(1+q+q2),a1≠0 所以 S1、S2、S3 不成等差数列, 从而{Sn}不可能是等差数列,要使{Sn}为等差数列,只能是 Sn=na1,这样一种情况,此时 q=1. Ⅱ 题点经典类型题 1(典型例题)设 a, b∈N , {an}是首项为 a, 公差为 b 的等差数列, {bn}是首项为 b, 公比为 a 的等比数列, 且满足 a1<b1<a2<b2<a3. (1)求 a 的值;(2)对于某项 am 存在 bn,使 am+l=bn 成立,求 b 值并推得 m 与 n 的关系式;(3)在{an}中,对满足(2)的项,求 它的前 A 项和. 命题目的与解题技巧:本题主要考查等比、等差数列的基本公式的运用,解题的关键是熟练运用方程思想,求。时先根据条 件求范围. [解析] (1)由已知得 a<b<a+b<ba<a+2b,∴1<a<3,且 a∈N ,∴a=2
n-1 n-1 n-1 n-1 k-1 k n-1 n-1 n-1 * *

(2)由 am+1=bn 得 a+(m-1)b+l=b?a ,∴(2 -m+ 1)b=3∵2 -m+1=1,b=3,∴m=2 (3)在{an}中满足 m=2 的项为 am=a+(2 -1)b=3?2 [答案] 见解析

-1(n=1,2,?,k),∴Sk=3(1+2+?+2 )-k=3?2 (k +3).

62

2(典型例题)等比数列{an}中,a1=512,公比 q=大的是 A.∏11 B.∏10 C.∏9 D.∏8

1 ,用∏n 表示它的前 n 项之积:∏n =a1?a2???an,则,∏1, ∏2?,中最 2

答案: C 指导:an=512?(令|an|≥1.即|(-1) ?2 ∴当 n=10 时|an|=1
n-1

1 n-1 n-1 10-n ) =(-1) ?2 , 2
≥1,n≤10.

10-n

当 n<10 时|an|>1,当>10 时|an|<1 ∴|∏9|=|∏10|,而∏9>0,∏10<0,故∏9 最大. 3(典型例题)在等比数列{an}中,a5+a6=a(a≠o),a15+a16=b 则 a25+a26 的值是 A.

b a

B.

b2 a
2

C.

b2 a

D.

b a2

答案: C 指导:设等比数列的公比为 q

a15 ? a16 b a ?a ? q10 ? , 而 25 26 ? q10 , a5 ? a6 a a15 ? a16
∴a25+a26=(a15+a16)?q10=b?q10=

b2 . a
n

4(2005?长春)在数列{an}中,an+1=can(c 为非零常数)且前 n 项和 Sn=3 +k,则 k 等于 A.-1 B.1 C .0 D.2 答案: A 指导:优解:S1=a1=3+k S2=a2+a1=9+k,∴a2=6. S3=S2+a3=27+k,∴a3=18. ∵an+1=can,∴{an}成等比数列.
2 ∴ a2 =a3?a1,即 36=(3+k)?18.

∴k=-1

5(2005?河南)已知-l,x,-4 成等比数列,则 x 的值为 A.2 B.

5 2

C.2 或-2

D.

5 5 或2 2

答案: C 指导:∵-1,x,-4 成等比数例, ∴x =-1?(-4)=4.∴x=2 或-2. 6(2005?江苏)已知数列 1,a1,a2,4 成等差数列 1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则
2 答案:2.5 指导:∵a1+a2=1+4=5, b2 =1?4=4 且 b 与 1,
2

a1 ? a2 的值为 b2

4 同号.∴b2=2,∴ Ⅲ

a1 ? a2 5 ? ? 2.5 b2 2

新高考命题探究 A.a1+a8>a4+a5 ∴a1+a8>a4+a5 B.a1+a8=a4+a5 C.al+a8<a4+a5 D.a1+a8 与 a4+a5 的大小不确定
7 3 4 3 4

1.a1,a2,?,an 为各项都大于零的等比数列,公比 q≠1,则 答案: A 指导:设公比为 q(q>0 且 q≠1),则 a1+a8-a4-a5=a1(1+q -q -q )=a1(1-q )(1-q )>0, 2 在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a5?a6=9,则 log3al+log3a2+?+log3a10 等于 A.12 B.10 C.8 D.2+log 3 5 63

答案: B

指导:在等比数列中,a1?a10=a2?a9=a2?a9=a4?a7
5

=a5· a6=9. ∴log3a1+log3a2+?+log3a1=log39 =10. 3 等比数列{an}的各项为正,公比 q 满足 q =4,则
2

a3 ? a4 的值为 a4 ? a5

A.

1 4
2

B.2

C. ?

1 2

D.

1 2

答案: D 指导:因为此等比数列的各项为正 ∴q>0 又 q =4,∴q=2. 故 命题点 4
a3 ? a4 a1q 2 ? a1q3 1 1 ? ? ? , 选 D. a4 ? a5 a1q3 ? a1q 4 q 2

等差数列、等比数列前 n 项和及证明

本类考题解答锦囊 解答“等差数列、等比数列前 n 项和及证明”一类试题,主要掌握以下几点: 1.求等差数列前几项和 sn 的最值有以下两种方法:
? an ? 0 (1)利用 ? ,则 sn 为最大; ?an ?1 ? 0

( 2)利用二次函数的图象和性质. 2. 利用等比数列求和公式时,若事先不知道公比是否为 1,则要分类讨论. 3. 判断一个数列是等差数列的方法主要有 (1)用定义证明 an-an-1(n≥2)为常数; (2)利用中项性质证明 2an=an-1+an+1(n≥2); (3)通项公式法:an=pn+q(p,q 为常数) ? {an}是等差数列; (4)前 n 项公式法:Sn=An +Bn(A、B 为常数) ? {an}是等差数列.
2

4. 等比数列的判断方法有以下几种 (1)定义法:

an ?1 * ? q (q 是不为 0 的常数,n∈N ) ? {an}是等比数列; an
n * 2 *

(2)②通项公式法:an=cq (c,q 是不为 0 的常数,n∈N ) ? {an}是等比数列; (3)中项公式法:an+1 =anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N ) ? {an}是等比数列; (4)前 n 项和公式法:Sn= Ⅰ 高考最新热门题 1(典型例题)设{an}(n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是 A.d<0 [解析] ∴a7=0. B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 命题目的与解题技巧:本题主要考查等差数列的基本性质及 Sn 的函数性.解题关键是对前 n 项和公式的使用和理解. 方法一: 由 S5<S6 得 a1+a2+a3+a4+a5<a1+a2 +a3+a4+a5+a6, ∴a6>0. 又 S6=s7, ∴a1+a2+a3+a4+a5 +a6=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7, 由 S7>S8
2 *

a1 n a a q ? 1 ? kq n ? k (k ? 1 是常数,且 q≠0,q≠1) ? {an} 是等比数列 q ?1 q ?1 q ?1

得 a8<0,而 C 选项 S9>S5

即 a6+a7+a8+a9>0 ? 2(a7+a8)>0.则题设 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的.

方法二:令 Sn=an +bn 表示二次函数,∵S6=S7,∴对称轴为 Sn 递减. ∴S6、S7 是 Sn 的最大值.∴d<0,a7=0 而 S9>S5 故选 C. [答案] C
*

13 又 S5<S6,S7>S8∴Sn 开口向下,即当 n≤6 时 Sn 递增,n≥7 时 2

2(典型例题)设{an}|(n∈N )是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误的是 A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值

64

答案: C 指导:由 S5<S6 得 a1+a2+a3+?+a5<a1+a2+?+a5+a6,∴a6>0. 又 S6=S7,∴a1+a2+?+a6=a1+a2+?+a6+a7,∴a7=0 由 S7>S8,得 a8<0.而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0

? 2(a7+a8)>0,
由题设 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的. 3(典型例题)设数列{an}的通项为 an=2n-7(n∈N ),则|a1|+|a2|+?+|a15|=________________ 答案:153 指导:|a1|+|a2|+?+|a15|=5+3+1+1+3+5+?+23=153.
* *

4(典型例题)如图 3-1,在边长为 l 的等边△ABC 中,圆 O1,为△ABC 的内切圆,圆 O2 与圆 O1 外切,且与 AB,BC 相切??圆 On+1 与圆 On 外切,且与 AB、BC 相切,如此无限继续下去,记圆 On 的面积为 an(n∈N ) (1)证明:{an}是等比数列; (2)求 lim (a1+a2+?+an)的值.
n ??

答案:解:(1)证明:记 rn 为 On 的半径, 则 r1=

l 3 tan 30? ? l. 2 6

rn ?1 ? rn 1 1 ? sin 30? ? , 所以rn ? rn ?1(n ? 2). rn ?1 ? rn 2 3
于是 a1= ?r12 ?

?l 2

a r 1 , n ? ( n )2 ? . 12 an ?1 rn ?1 9

故{an}成等比数列.

1 (2)解:因为 an ? ( )n ?1 a1 (n∈N*) 9
所以, lim ( a1 ? a2 ? ? an ) ?
n ??

a1 3?l 2 ? . 1 32 1? 9

5(典型例题)某市典型例题 1 万辆燃油型公交车.有关部门计划于典型例题 128 辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的 投入比上一年增加 50%,试问: (1)该市在 2010 年应该设人多少辆电力型公交车? (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的

1 ? 3

答案:(1)由题意可知,该市逐年投入的电力型公交车数量组成一个等比数列,其中 a1=128,q=1+50%=1.5,到 2010 年应 为 a7 则到 2010 年该市应该投入的电力型公交车为 a7=a1?q6=128?1.56=1458(辆). (2)设经过 n 年电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的,记 Sn=a1+a2+?+an,依题意有 即 Sn>5000(辆),即 Sn=

Sn 1 ? , 10000 ? Sn 3

a1(1 ? q n ) 128(1 ? 1.5n ) n n ? ? 256 (1.5 -1)>5000,解得 1.5 >,有 n≈7.5,故 n≥8,所以,到 2011 1? q 1 ? 1.5

年底,电力型公交车数量开始超过该市公交车总量的 Ⅱ 题点经典类型题

1 . 3

1(典型例题)设{an}是等差数列,求证:bn=

a1 ? a2 ? ? ? a6 (n∈N*)为通项的数列{bn}是等差数列 n

命题目的与解题技巧:本题主要考查证明等差数列的能力,理解等差数列的定义是解题关键. [解析] 设{an}的公差为 d(常数).

65

∵bn-bn-1= 列. [答案]

n(a1 ? an ) 1 (n ? 1)(a1 ? an?1) 1 a ?a a ?a a ?a d ? ? ? ? 1 2 ? 1 n?1 ? n n?1 ? (常数),其中 n≥2,∴ {bn}是等差数 2 n 2 n ?1 2 2 2 2
见解析
2

2(典型例题)若 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=n ,则{an}是 A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,也是等比数列 D.即非等差数列,又非等比数列 答案: B
?S ? 1(n ? 1), 指导:∵an ? ? 1 ?Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 1(n ? 2), ∴an=2n-1(n∈N*).

∴an+1-an=(2n+1)-(2n-1)=2(常数),

an ?1 2n ? 1 ? ? 常数. an 2n ? 1
∴{an}是等差数例,但不是等比数列. 3(2005?哈尔滨)已知等比数列{xn}的各项为不等于 1 的正数,数列{yn}满足 yn?logxna=2(a>0,a≠1).设 y3=18,y6=12.求 数列{yn}的前多少项和最大,最大值是多少? 答案: yn=2logaxn,设{xn}的公比为 q(q≠1), ∵yn+1-yn=2(logaxn+1-logaxn)=2loga xn ?1 ? 2 loga q. xn ∴数列{yn}为等差数列,设公差为 d. ∵y6=y3+3d,∴12=18+3d,∴d=-2. ∴yn=y3+(n-3)?(-2)=-2n+24. 又 y1=22,设前 k 项和最大,
? yk ? 24 ? 2k ? 0, 由? ? yk ?1 ? 24 ? 2(k ? 1) ? 0 得11 ? k ? 12.又k ? N ? ,

∴当 k=11 或 12 时,S11=S12=

12 ? (22 ? 0) ? 132. 2

故前 11 项或 12 项和最大,最大值为 132. 4(2005?安庆)设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3,分别求出{aa}及{bn}的前 10 项的和 S10 及 T10
2 2 2 答案:∵{an}为等差数列,{bn}为等比数列,∴a2+a4=2a3,b2b4= b3 ,已知 a2+a4=b3,b2b4=a3,∴b3=2a3,a3= b3 得 b3= b3

∵b3≠0,∴b3= 由 a1=1,a3=

1 1 ,a3= 2 4

1 3 10 ? 9 55 知{an}的公差为 d= ? ,∴S10=lOa1+ d ? ? .. 4 8 2 8
2 2 b (1 ? q10) 31 1 知{bn}的公比为 q ? 或q ? ? 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2 ). 2 2 1? q 32 2
n

由 b1=1,b3=

5(典型例题)若数列{an}是等差数列, 数列{bn}满足 bn=an? an+1+? an+2(n∈N), {b }的前 n 项和用 Sn 表示, 若{an}中满足 3a5=8a12>0, 试问 n 多大时,Sn 取得最大值?证明你的结论. 答案:∴3a5=8(a5+7d),解得 a5= ?

56 d ? 0 .∴d<0, 5

66

∴a1= ?

76 d ,故{an}是首项为正数的递减数列. 5

? 76 ?? 5 d ? (n ? 1)d ? 0, ?an ? 0, ? 由? 即? ?an ?1 ? 0, ?? 76 d ? nd ? 0. ? ? 5

1 1 ? n ? 16 , 5 5 ? n ? 16,即a16 ? 0, a17 ? 0 解得15 ? a1 ? a2 ? ? ? a16 ? 0 ? a17 ? a18 ? ? ? b1 ? b2 ? ? ? b14 ? 0 ? b17 ? a18 ? ? 而b15 ? a15a16a17 ? 0, b16 ? a16a17a18 ? 0. ? S14 ? S13 ? ? S1.S14 ? S15 , S15 ? S16 , 6 9 又a15 ? ? d ? 0, a18 ? d ? 0, 5 5 ? a15 ?| a18 | ,?| a15 |? a16 ,即b15 ? b16 ? 0 ? S16 ? S14故S n中S16最大.



新高考命题探究 指导:由 a1a3=144,得=144.代入 a2+a4=120,得 a4=108,

1 在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a3=144,a2+a4=120,前 n 项和 Sn>400,则 n 的取值范围是______________ 答案: n≥5,n∈N+ ∴a2=12. ∴a1=4,∴ Sn ?

4 ? (1 ? 3n ) ? 400. 1? 3

? 3n ? 201,? n ? 5, n ? N ? .
2 2 2 等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1,则 a 1 +a 2 2 +?+a n =_____________
n

答案:

1 n 2 2 (4 -1) 指导:{ an }是以 a1 为首项,4 为公比的等比数列, 3
1 ? 4n 1 n ? (4 ? 1). 1? 3 3
*

2 2 2 ∴ a1 ? a2 ? ?an ?

3 在等比数列{an}(n∈N )中,a1>1,公比 q>0.设 bn=log2an,且 b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求{bn}的前 n 项和 Sn 及{an}的通项 an; (3)试比较 an 与 Sn 的大小. 答案:(1)∵bn=log2an,∴bn+1-bn=log2 an ?1 ? log2 q. an ∴数列{bn}为等差数列且公差 d=log2q. (2) ∵b1+b3+b5=6, ∴b5=0 ∵a1>1, ∴b1=log2a1>0. ∵b1b3b5=0, ∴b5=0.
?b1 ? 2d ? 2, ?b ? 4, ∴? 解得 : ? 1 ?d ? ?1. ?b1 ? 4d ? 0.

∴Sn=4n+

n(n ? 1) 9n ? n2 ? (?1) ? . 2 2

67

?log2 q ? ?1, ?? ?log2 a1 ? 4,

1 ? ?q ? , ?? 2 ?a ? 16. ? 1

∴an=2 (n∈N*). (3)显然 an=2 >0,当 n≥9 时,Sn= ∴a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,
5-n

5-n

n(9 ? n) ? 0. 2

a6 ?

1 1 1 , a7 ? , a8 ? , 2 4 8

S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4, ∴当 n=3,4,5,6,7,8 时,an<Sn; 当 n=1,2 或 n≥9 时,an>Sn. 命题点 5 等差、等比数列性质及应用 本类考题解答锦囊 解答“等差、等比数列性质及应用”一类试题,主要掌握以下几点: 1.等差、等比数列的性质要类比理解、记忆,巧用等差数列、等比数列的性质,可达到减少运算量,提高解题速度和正确 率的目的. 2.在求解数列问题时,除注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的思想外,还要注意解题中要有“目标意识” , “需要 什么就求什么” . Ⅰ高考最新热门题 1(典型例题)已知等比数列{xn}的各项为不等于 1 的正数,数列{yn}满足 (1)数列{yn}的前多少项和最大,最大值为多少? (2)试判断是否存在自然数 M,使得当 n>M 时,xn>1 恒成立,若存在,求出相应的 M;若不存在,请说明理由; (3)令 an=1ogxnxn+1(n>13,n∈N),试比较 an 与 an+1 的大小. 命题目的与解题技巧:本题将等比数列、等差数列结合在一起,注重考查方程思想、分类讨论,以及等差、等比数列的性质, 能综合考查分析问题的能力和计算能力. [解析] (1)由题意知{xn}为等比数列,且 xn>0 又 yn =21ogaxn

yn =2(a>0,且 a≠1),设 y3=18,y6=12. loga xn

则 yn+1-yn=21ogaxn+1-21ogaxn=2loga ∵{xn}为等比数列,则 ∴yn+1-yn 为常数 ∴{yn}为等差数列,设公差为 d 则 y6-y3=3d=12-18=-6. =24-2n ∴y1=22 Sn=

xn?1 xn

xn?1 为常数 xn

∴d=-2.

∴yn=y3+(n-3)?d=18+(n-3)?(-2)

n( y1 ? yn ) 2

?

n(22 ? 24 ? 2n) 2 =-n +23n 显然 n=11 或 n=12 时,Sn 取得最大值,且最大值为 132. 2
∴xn=a
12-n

(2)∵yn=24-2n=2logaxn

又 xn>1,即 a >1.

12-n

当 a>1 时,12-n>0,即 n<12. 当 0<a<1 时,12-n<0,即 n>12. ∴当 0<a<l 时,存在 M=12 时,当 n>M 时 xn>1 恒成立.

68

(3)an=logxnxn+1=

loga a12? n

loga a11? n

?

11 ? n 1 ? 1? 12 ? n n ? 12

∵an 在(13,+∞)上为减函数 ∴an>an+l [答案] 见解析
*

2.(典型例题)在等差数列{an}中,若 a10=0 则有等式 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19,n∈N )成立, 类比上述性质,相应地: 在等比数列{bn}中,若 b9=1,则有等式_____________________成立. 答案: b1b2?bn=b1b2?b17-n(n∈N*). 指导:∵a10=0,∴2al0=0. ∴an+1+a19-n=an+2+a19-n-1=?=2a10=0. ∴a1+a2+?an=a1+a2+?+a19-n(n<19,nEN*). 在等比数列{bn}中,∵b9=1, ∴bn+1?a17-n=bn+2?a17-n-1=?=b9?b9=1. ∴b1b2?bn=b1b2?b17-n(n∈N*). 3(典型例题)农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.典型例题区农民人均收人为 3150 元(其中工资性收人为 1800 元,其他收入为 1350),预计该地区自典型例题 5 年内,农民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长,其他收入每年增加 160 元.根据以上数据,2008 该地区农民人均收入介于 A.4200 元~4400 元 答案: B B.4400 元~4600 元 C.4600 元~4800 元 D.4800 元~5000 元 指导:假设典型例题一年,典型例题二年,第 n 年该地区的农民人均工资收入与其他收入分别为 an,bn 元,则
5 5

a1 =1800,b1=1350,由题意知{an}构成公比 q=1.06 的等比数列,{bn}构成公差 d=160 的等差数列,2008 年为第六年, ∴ a8+b8=1800?1.06 +1350+(6-1)?160=2150+1800? (1+0.06)
1 2 =2150+1800?(1+ C5 ? 0.06 ? C5 ? 0.062 ? ?)

=4554.8(元). 4(典型例题)在等差数列{an}中,已知 a1+a2+a3+a4+a5=20,那么 a3_____________ 答案:4 指导:设公差为 d,则 a1+a2+a3+a4+a5=5a1+l0d=20,a1+2d=4,即 a3=4. 5(典型例题、广东、广西)设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3,分别求出 {an}及{bn}的前 10 项 的和 S10 及 T10 答案:∴{an}为等差数列,{bn}为等比数例,
2 ∴a1+a4=2a3,b2b4= b3 ,

2 已知 a2+a4=b3,b2b4=a3,∴b3=2a3,a3= b3 ,

2 得 b3=2 b3 ? b3 ? 0,? b3 ?

1 1 , a3 ? . 2 4

3 由 a1=1,a3 ? 1 知{an}的公差为 d= ? . 8 4
∴S10=10a1 ? 10 ? 9 d ? ? 55 . 2 8 由 b1=1,b3=知{an}的公比为 q=

2 2 或q ? ? . 2 2

69

当q ?

2 b (1 ? q10 ) 31 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2 ). 2 1? q 32 2 b (1 ? q10 ) 31 时, T10 ? 1 ? (2 ? 2 ). 2 1? q 32

当q ? ?


题点经典类型题

1(典型例题)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1a6=21,S6=66, (1)求数列{an}的通项公式 an;
an ? 3 ? 2 4 , 求数列{bn}前 n 项和 Tn. 4 命题目的与解题技巧:本题考查等差数列的概念、性质、基本公式及运算能力.解题时注意方程思想和数列性质的应用,错
an ? 3

(2)设 bn=

位相减是数列求和的常用方法. [解析] (1)∵{an}为等差数列,∴S6=

6(a1 ? a6 ) =66. 2
2

∴a1+a6=22. 又 a1?a6=21,∴a1,a6 是二次方程,x -22x+21=0 的两根. 又公差 d>0,∴a6>a1,∴a1=1,a6=21. 由 a6=al+(6-1)?d=21 解 d=4,∴通项公式 an=4n-3.
an ? 3 ?2 4 2 3 n ∴T=2+2?2 +3?2 +?+n?2 .
an ? 3 4

(2)由 an=4n-3 得 bn=

两边同乘以 2 得 2Tn=2 +2.2 +3.2 +?+(n-1) 两式相减得 -Tn=2+2 +2 +2 +?+2 -n?2?2 =
2 3 4 n n+1 2 3 4

?2 +n?2

n

n+1

2(1 ? 2n ) n+1 n n+1 -n?2 =2 +-2-n?2 1? 2
n+1 n+1

=(1-n)?2 -2.∴Tn=(n-1)?2 +2. [答案] 见解析 2(典型例题)在等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6 =45,求此数列的通项公式. 答案:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,a4=5. 又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9. 解得 d=±2. 设{an}的公差为 d. 则(a4-2d)(a4+2d)=(5-2d)(5+2d)=9. 当 d=2 时,an=a4+(n-4)d=2n-3. 当 d=-2 时,an=a4+(n-4)d=13n-2n. 3(2005?北京)已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18;{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn 的公式; (3)设 Pn=b1+b4+b7+?+b3n-2,Q=b10+b12+b14+?+b2n+8 其中 n=1,2?,试比较 Pn 与 Qn 的大小,并证明你的结论. 答案:(1)设{an}的公比为 q,由 a3=a1q 得 q =
2 2

a3 ? 9, q ? ?3. a1

当 q=-3 时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20,这与 a1+a2 +a3>20 矛盾,故舍去; 当 q=3 时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意. 设数列{bn}的公差为 d,由 b1+b2+b3+b4=26 d=26.又 b1=2,解得 d=3,所以 bn=3n-1.

70

(2)Sn n(b1 ? bn ) ? 3 n2 ? 1 n. 2 2 2 (3)b1,b4,b7,?,b3n-2 组成以 3d 为公差的等差数列,所以 Pn=nb1 nb1 ? n(n ? 1) ? 3d ? 9 n2 ? 5 n; 2 2 2 b10,b12,b14,?,b2n+8 组成以 2d 为公差的等差数列,b10=29,

9 5 3 所以 Qn= ( n2 ? n) ? (3n2 ? 26n) ? (n ? 19) 2 2 2
Pn<Qn.

,所以,对于正整数 n,当 n≥20 时,Pn>Qn;当 n=19 时,Pn=Qn;当≤18 时,

4(2005,大连)设数列{an}为正项数列,前 n 项的和为 Sn,且有 an、Sn、a 2 n 成等差数列. (1)求通项 an; (2)设 f(n)=

an 求 f(n)的最大值. (n ? 50)Sn ?1
2

答案:(1)2Sn=an+a n,①
2 ? a1 ? 0, ∴a1=1 当 n=1 是,S=a2(a1>0),有 a1 2 又 2Sn+1=an+1+ an ?1, ② 2 2 由②-①,得 2an+1=an+1+ an ?1 -an- an , 即(an+1+-an)(an+1-an-1)=0,

an>0,an+1+an>0,an+1-an-1=0,an+1+an=1,,{an}是以 a1=1 为首项,以 1 为公差的等差数列 an=1+(n-1)?1=n (2)Sn=a1+a2+a3+…+an=1+2+3+…+n= f(n)= ?

(1 ? n)n (n ? 1)( n ? 2) Sn+1= . 2 2
1
2

Sn n 1 ? 2 ? ? 100 ( n ? 50) S n ?1 n ? 52n ? 100 n ? ? 52 n

n?

100 ? 52 n

?

1 . 72

5(典型例题)某城市典型例题食储备量为 100 万吨,预计此后第年耗用上一年末粮食储备量的 5%,并且每年新增粮食储备量 均为 x 万吨. (1)记典型例题粮食储备量为 a1 万吨,以后各年末的粮食储备量依次为 a2 万吨,a3 万吨,?,an 万吨.写出 a1, a2,a3 和 an(n ∈N )的表达式; (2)受条件限制,该城市的粮食储备量不能超过 150 万吨,那么每年新增粮食储备量不应超过多少万吨? 答案:
*

100 1 当且驻当 n= n ,即 n=10 时,f(n)有最大值 72 。
2 2

(1)解:a1=100,a2=0.95×100+x,a3=0.95a2+x=0.95 ×100+0.95x+x 对于 n>2,有 an=0.95an-1+x=0.95 an-2+(1+0.95)x=… ∴an=0.95 a1+x(1+0.95+…+0.95n-2)=0.95 ?100+
n-1 n-2

1 ? 0.95n ?1 x ? 20x ? (100 ? 20x) ? 0.95n ?1 0.05

≥0,即 x>5 时,an+1≤an≤…≤a2≤a1=100; (2)解:当 100-20x 当 100-20x<0,即 x>5 时,

lim[20x ? (100 ? 20x) ? 095n?1] ? 20x n??

并且数列{an}逐项增加,可以任意靠近 20x。因此,如果要求

粮食储备不超过 150 万吨,则 an≤150,即 20x≤150. ∴≤7.5.所以,每年新增粮食储备不超过 150 万吨。 Ⅲ 新高考命题探究

1 已知数列 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列,则

a1 ? a2 的值为 b2

71

答案:

5 2 指导:a1+a2+5, b2 =1×4,b2=±2. 2
a1 ? a2 5 ? . b2 2

而 b2 是第三项,第一项和第五贡都是正数,故 b2=2, ∴

2 一个正项等比数列前 n 项和为 S,前 n 项的倒数和为 T,则其前 n 项的积是
n

A. ( ST ) 2

B. (ST )n ?2

S C. ( ) 2 T

n

S D. ( ) n T

1 1 (1 ? n ) a a 1 ? qn S q 2 n ?1 ? 答 案 : C 指 导 : 由 Sn= 1 (1 ? q n ), Tn ? 得 n ? a1 1 , 当 前 n 项 和 之 各 为 Vn. q n ?1 1 1? q T a ( 1 ? q ) q n 1 1? q

Vn ? a1a2 ...? an ? Sn n Sn 2 n ? ? Vn (a1an ) ? ( ) . 又∵Vn>0, ∴ Vn ? ( ) 2 . Vn ? an a1...a1 ? Tn Tn
3 某地区位于沙漠边缘地区,人与自然进行了长期顽强的斗争,到典型例题全地区绿化率已达到 30%.从典型例题,预计出 现以下变化,原有沙漠面积的 16%栽上树,并成为绿洲,同时原有的绿洲面积的 4%又被侵蚀,变为沙漠. (1) 设典型例题化率为 a1,典型例题化率为 a2,从典型例题,经过 n 年,绿化率为 an+1,试将 an+1 用 an 表示出来,并证明数 列

n

4 ? ? 等比数列 ?an ? ? 是等比数列; 5 ? ?
4 5 6 7

(2)从典型例题, 至少经过多少年努力, 才能使全区的绿洲面积超过 60%(参考数据 0. 8 =0. 409 6, 0. 8 = 0. 327 68, 0. 8 =0. 262 14,0.8 =0.209 7.) 答案: (1)a1= ∴an+1=

3 , an?1 ? (1 ? an )16% ? an 91 ? 4%), 10

4 4 an ? (n ? N , ) 1 5 25



an ?1 ?

4 4 4 4 4 5 an ? ? (an ? ) 25 5 ? 5 5 ? 4. 4 ? 5 4 4 a 4 5 an ? an ? n? 5 5 5

∴|an-

4 4 4 3 4 1 |是等比数列,公比为 ,首项为 a1? ?? 5 5 5 = 10 5 2. 4 1 4 1= ? ? ( )n?1 1 5 2 5

(2)由(1)知 an∴an=

4 1 4 n?1 ? ( ) .1 5 2 5 4 1 4 n ?1 3 ? ( ) ? , 5 2 5 5

由 an≥60%,得

∴(

4 n-1 2 ) ≤ , 5 5

即 0.8n-1≤0.4. 由参考数据 n-1≥5,∴n≥6。 即从典型例题,至少经过 5 年努力,才能使全区的绿化面积超过 60%。 考场热身 探究性命题综合测试

72

1 在等差数列{an}中,a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=29,则 a3+a6+a9 等于 A.22 B.20 C 18 D.13 1. 答案: D 指导:a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=29.a3+a6+a9=8,{an}是等差数列,S-29=29-45。解得 S=13。 2 已知数列{an}中 a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+|a3|+?+|a30|等于 A.445 B.765 C 1080 D.3105 答案: B 指导:an+1-an=3,=常数,故{an}为等差数列 an=-60+(n-1)3 an=3n-63,an=0 时 n=21,an>0 时,n>21,an<0,n<21.
1 S30 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ?...? | a30 |

? ?a1 ? a2 ? a3...? a21 ? a22 ? a23 ? ... a30 ? ?2(a1 ? a2 ? ...? a21) ? S30 ? ?2S21 ? S30 ? 765.
3 在等比数列{an}中,若 a1+a5=34,a5-a1=30,则 a3 等于 A.8 答案: B.-8 C.±8 D.16

2 2 ? ?(a1 ? a5 ) ? 34 ? A 指导:由题意有 ?(a1 ? 2a a ? a 2 ) ? 302 1 5 5 ? 2

2 2 2 ? ?a1 ? 2a1a5 ? a5 ? 34 3 两式相减得a1a5 ? 64,即a2 ? 64, 又a5 ? a1, 故a3 ? 8 ? 即 ?a1 ? 2a a ? a5 ? 302 1 5 2 ? 2

选 A. 4(西城四月)关于数列有下面四个判断: ①若 a,b,c,d 成等比数列,则 a+b,b+c,c+d 也成等比数列; ②若数列{an}既是等差数列也是等比数列,则{an}为常数列; ③数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=a -1(a∈R),则{an}为等差或等比数列; ④数列{an}为等差数列,且公差不为零,则数列{an}中不会有 am=an(m≠n). 其中正确判断的序号是_______(注:把你认为是正确判断的序号都填上). 答案: ②④指导:
2 n

①反例:a,b,c,d, ①取值 1,-1,1,-1,时,a+b=0,b+c=0 c+d=0 不成等比例数列。

5 设 M:10a +8la+207,P=a+2,Q=26-2a,若 lgM,1gP,lgQ 适当排序后成等差数列{an}的前三项,且公差为 1. (1)求 a 的值,并求{an}的通项公式; (2) 设 f(x)=anx +2an+1x+an+2(n∈N+)的图象在 x 轴上截得的线段长为 bn 求 b1b2+b2b3+b3b4+?+bn-1bn. 答案: (1)由 M>0,P>0,Q>0,得
2

?10a 2 ? 81a ? 207 ? 0 ? ? 解得 ? 2 ? a ? 13. ?a ? 2 ? 0 ?26 ? 2a ? 0 ? ?
又 M-P=10a +80a+205>0,M-Q=10a +83a+181>0 ∴编排顺序只可能是 1gP,1gQ,1gM 或 1gQ,1gP,1gM.
2 2

?M ? 10Q ?M ? 10P, 1 ? ? 由 ?Q ? 10P 得a ? , 或?P ? 10Q, 无解 2 ?? 2 ? a ? 13 ?? 2 ? a ? 13 ? ?
∴a=

1 , ∴an=1gP+(n-1)==n-2lg2. 2
. 73

(2)令 f(x)=0,得 a an x2 ? 2an ?1x ? an ? 2 ? 0

由 2an+1=an+2an+2,方程化为(x+1)(anx+an+2)=0. x1=-1,x2=∴bnbn-1=

an ? 2 a ?2 2 . ? bn ? 1 ? n ? (an ? 0), an an an

2 2 4(an ? an?1) 1 1 ? ? ? 4( ? ). an an?1 anan?1 an?1 an

? 1 1 1 1 1 1 ? 1 1 4 ?( ? ) ? ? ) ? ... ? ( ? ) ? ? 4( ? ) a a a a a a a a 1 2 2 3 n ? 1 n 1 n ? ∴b1b2+b2b3+…+bn-1bn= ? 1 n ? 4( ? ). 1 ? 2 lg 2 1 ? 2 lg 2
第七讲 最 新 命 题 特 点 数列综合问题

对本部分内容的考查呈现以下特点: 1.本专题题型能有效的考查综合利用这两个重要数列的能力,是高考的常见题,经常以选择题、填空题形式出现,也有 解答题出现,主要考查列方程组解题的能力. 2.这类题型多与函数、不等式紧密结合,经常以平面几何、解析几何、平面向量为背景,以考查代数推理能力为主,是 近年高命题热点. 3.预计继续考查数列基本知识和性质的灵活运用;与其他分支的综合题,以考查综合推理能力为主;应用题以考查建立 数学模型能力为主.

应 试 高 分 瓶 颈 命题点 1 命题点 2 命题点 3 命题点 l

1. 基本知识和性质的灵活运用不好,导致耗费时间或丢分; 2.综合推理能力和数学建模能力差.

数列求币口 求数列的通项公式 等差数列与等比数列的综合问题及应用 数列求和

本类考题解答锦囊 解答“数列求和”一类试题,主要掌握以下几点: 1.公式法:先确定所给数列的特征,看是否是等差数列、等比数列,如是则直接用两类基本数列的求和公式求解; 2.分组转化法:分析通项虽不是等差或等比数列,但是通过拆分可化为由等差和等比数列的和的形式,可分别利用基本数 列的求和公式求和; 3.错位相减法:利用等比数列求和以式的推导方法求解,一般可解决形如一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数 列的求和; 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,求和时,正负项相消剩下首尾若干项; 5.倒序相加法:把数列正着写和倒着写再相加. I 高考最新热门题 1(典型例题)设{an}为等比数列,Tn=na1+(n-1)a2+?+2an-1+an 已知 T1=1,T2=4. (1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式. 命题目的与解题技巧:本题考查数列的通项公式及数列求和有关知识,错位相减是常用的求和方法. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,则 Tl=a1,T2=2al +a2=a1(2+q).
n-1 n-1

∵T1=l,T2=4,∴a1=1,q=2. (2)[解法 1]由(1),可知 a1=1,q=2,∴an=a1?q =2 .

74

∴Tn=n?1+(n-1)?2+?+2?2 +1?2 . ∴tn=2Tn-Tn =n?2+(n-1)?2 +?+2?2 +1?2 -[n?1+(n-1)?2+?+2?2 +1?2 ] =-n+2+2 +?+2 +2 =-n+ =-n+2 -2=-(n+2)+2 由(1),知 an=2
n-1 n n+1 n+1 2 n-1 n 2 n-2 n n-2 n-1

n-2

n-1

2 ? 2 ? 2n 1? 2

[解法 2]设 Sn=a1+a2+?+an ∴Sn=1+2+?+2 =2 -1. ∴Tn=na1+(n-1)a2+?+2an-1+an =a1+(a1+a2)+?+(a1+a2+?+an-1+an) =S1+S2+?+Sn =(2-1)+(2 -1)+?+(2 -1) =(2+2 +?+ )-n= =-(n+2)+2 [答案]
n+1 2 2n 2 n n-1

2 ? 2 ? 2n -n 1? 2

见解析 B.12 项 C 11 项 D.10 项

2(典型例题)若一个等差数列前 3 项和为 34,最后 3 项为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有 A.13 项 答案: A 指导:3(a 1+an)=180, a 1+ a n=60. 又∵Sn=

n(a1 ? an ) ? 390,? n ? 13. 2

3(典型例题)等差数列{an}中,a5=,a6=-2,则 a4+a5+?+a10=_______________ 答案:-49 指导:设公差为 d,则 d=a6-a5=-5.a4+a5+…+a10 =

7(a4 ? a10 ) 7(a5 ? d ? a5 ? 5d ) ? ? 7(a5 ? 2d ) 2 2
1 2x ? 2

= 7(3 ? 10) ? ?49 1 4(典型例题)设 f(x)= 的值为_________. 答案: 3 2 1 指导:设 S=f(-5)+f(-4)+…+f(5)+f(6), S=f(6)1+f(5)+…+f(-4)+…+f(-5). 对应项中-5+6=-4+5=…=1 也就是计算 f(x)+f(1-x). f(x)+f(1-x)= , 利用课本中推导等数列前 n 项和公式的方法, 可以求得 f(-5)+f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)

1 2 ? 2
?
x

?

1 2
1? x

? 2
? 2x ? 2 2(2 ? 2 )
x

=

2 2 (2 ? 2 )
x

2x 2? 2 ?2
x

?

2 . 2

2 ? 6 2. ? S ? 3 2. ∴2S=12[(-5)+f(6)]=12 ? 2
Ⅱ 题点经典类型题
n

?

S1 1?

1(典型例题)数列{an}满足 an=3an-l+3 -1(n≥2),其中 a4=365.

75

(1)求 a1,a2,a3;

?a ? ? ? (2)若存在一个实数λ ,使得 ? n n ? 为等差数列,求λ ; ? 3 ?
(3) 求数列{an}的前 n 项和. 命题目的与解题技巧:本题主要考查等差数列、等比数列求和等基本知识.待定系数法、方程思想的运用和数列求和方法等 掌握是解决本题的关键. [解析] (1)由 an=3an-1+3 -1,及 a4=365 知 a4=3a3+3 -1=365,则有 a3=95 同理求得 a2=23,a1=5.
n 4

an ? ? ?a ? ? ? (2) ∵ ? n n =xn+y , ∴ an= (xn+y) ? 3n- λ , 又 由 a1=5 , a2=23 , a3=95 知 ? 为一个等差数列,于是设 3 3n ? ?
?5 ? a1 ? ( x ? y ) ? 3 ? ? ? ?23 ? a2 ? (2 x ? y ) ? 9 ? ? ?95 ? a ? (3x ? y ) ? 27 ? ? 3 ?
?x ? 1 1 1 1 1 1 ? n n 求得 ? 满足递推式.因此λ =1 1 ∴an=(n+ )·3 + 而 an=(n+ )·3 + y ? ? ? ? 2 2 2 2 2 ? 2 2 ?

(3)∵an=(n+ 则 3Tn=(1+

1 1 1 1 1 1 n 2 n )·3n+ ,先求 bn=(n+ )·3 的前 n 项和,记 Tn=(1+ )·3+(2+ )·3 +…+(x+ )·3 2 2 2 2 2 2

1 1 1 3 n+1 )·3n+(2+ )·3 +…+(n+ )·3 由上两式相减 2 2 2
9 32 ? 3n?1 1 1 1 2 3 n n+1 )3+3 +3 +…+3 +(n+ )·3 ,-2Tn= ? ? (n ? ) ? 3n ?1 2 1? 3 2 2 2

Tn-3Tn+(1+ =

9 1 n?1 1 1 ? (3 ? 9) ? (n ? ) ? 3n?1 ? ?n ? 3n?1 ? ?n ? 3n?1Tn ? n ? 3n?1 2 2 2 2 n n n?1 n n n?1 ? ? 3 ? ? (3 ? 1) . 2 2 2 2

因{an}前 n 项和为: Tn ? [答案]见解析

2(2005?江苏)设等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,则下列结论中正确的是 A.Sn=nan-3n(n-1) C.Sn=nan-n(n-1) 答案:A 又 ? Sn ? B.Sn=nan+3n(n-1) D.Sn=nan+n(n-1)

指导:3(a1+an)=180,a1+an=60.

n(a1 ? an) ? 390,? n ? 13. 2

3(典型例题)如图 3-3-2,正方形上连接等腰直角三角形,直角三角形边上再连接正方形??,无限重复.设正方形的面积 为 S1,S2,S3,??,三角形的面积为 T1,T2,T3??, 当 S1 的边长为 2 时,这些正方形和三角形的面积总和为 A.10 B.11 C.12 D.13

答案: A 指导: 依题有正方形边长成公式比为

2 1 的等经数列, 故面积{Sn}成公式为 的等比数例, 且 S1=4, ∴S1+S2+…+… 2 2

?

S1 4 ? ?8 . 1 1 1? 1? 2 2

又三角形直角边成公比为

2 1 的等比数例,故{Tn}成公比为 的等比数列且 T1=1。 2 2
D.9

4(2005?唐山)等差数列{an}的前 n 项和 Sn 若 S3=-6,S18-S15=18,则 S18 等于 A.36 B.18 C.72

76

答案:指导:令 b1=S3=-5,b6=S18-S15=18, ∵{bn}也等差, ∴S18+S3+(S6-S3)+(S9-S6)+…+(S18-S15) =

6(?6 ? 18) ? 36 。 2
2 ?1 ? 2Sn (n≥2)证明:数列 ? ? 是等差数列,并求 Sn 2Sn ? 1 ? Sn ?

5(典型例题联考)在数列{an}中,a1=1,an=

答案:由 an= 故{ ∴

2 2 2Sn 2Sn 1 1 (n ? 2), 得an ? Sn ? Sn ?1 ? 整理, 得Sn ?1 ? Sn ? 2Ssn?1.即 ? ? 2. 2Sn ?1 2Sn ? 1 S Sn ?1

1 1 1 ? ? 1. }是等差数列,公差 d=2,首项 Sn S1 a1

1 1 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1. ? Sn ? Sn 2n?1.

6(典型例题市高考预猜卷)数列{an}中,a1=8,a4=2,且满足 an+2-2an-1+an=0(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn; (3)设 bn=

1 (n∈N+),Tn=b1+b2+?+bn(n∈N+)是否存在最大整数 m,使得对任意 n∈N+,均有 Tn> 成立?若存在,求出 m n(12 ? an )

的值;若不存在,请说明理由. 答案: (1)∵an+2-2an+1+an=0, ∴2an+1+an+2+an. ∴{an}为等差数列。 ∵a1=8,a4=2, ∴d=

8?2 ? ?2 1? 4

∴an=8-2(n-1)=10-2n. (2)a1>a2>a3>a4>a5=0>a6>…+an(n≥6), a6=-2. ∴n≤5 时,Sn=8n+

1 n(n ? 1)(?2) ? 9n ? n2. 2 (n ? 5)(a6 ? an ) 2

n>5 时,Sn=S5-(a6+a7+…+an)=20=20-

(n ? 5)(?2 ? 10 ? ?2n) ? n2 ? 9n ? 40. 2

2 ? ?9n ? n (n ? 5, n ? N ? ), ∴Sn= ? 2 ? ?n ? 9n ? 40(n ? 6, n ? N ? ).

(3) ∵bn ?

1 2 1 1 1 ? ? ( ? ), n(12 ? 10 ? 2n) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

∴Tn=b1+b2+…+bn

1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ...? ( ? )] 2 2 2 3 n n ?1 1 1 ? (1 ? ), n ? N ? . = 2 n ?1 1 1 m m 1 ? ? Tn ? .因为Tn ? 恒成立, 所以 ? , m ? 8. 4 2 32 32 4 即最大整数m ? 7.
Ⅲ 新高考命题探究

1 等差数列{an}中,a1= 3 ,前 n 项和为 Sn 且 S3=S12, :则 a8=___________ 77

答案:0 指导:{an}是等而下之差数列,Sn=An +Bn(n ? N ? )
2

S3=S12,S0=S15 且 S0=0 故 S15=0,因 S15=15a8,故 a8=0. 2 求数列 1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,?的前 n 项和. 答案:由于该数列的有 n 项共有 1+2+3+…+n+ 个奇数,最末一个数字应为 2 ?

n(n ? 1) 2

n(n ? 1) ? 1 ? n2 ? n ? 1, 2

∴Sn

(1 ? n2 ? n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 3 ? ?[ ]. 2 2 2
1 2 n 2 ,求数列{bn}的前 n 项的和. ? ?? , 又bn ? n ?1 n ?1 n ?1 an ? an?1

3 在数列{an}中,an=

1 n (1 ? 2 ? ...? n) ? , n ?1 2 答案: 2 1 1 bn ? ? 8( ? ), n (n ? 1) n n ?1 ? 2 2 ∴数列{bn}的前 n 项的和 an ?

1 1 1 1 1 1 1 1 8n Sn=8 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ...? ( ? 1 )] ? 8(1 ? ) 2 2 3 3 4 n n ?1 n ? 1 n ? 1.
命题点 2 求数列的通项公式 本类考题解答锦囊 解答“求数列的通项公式”一类试题,主要掌握以下几点: 1.由递推关系求通项公式一般有两种方法,一是,由 a1→a2→a3→?猜测 an,再用数学归纳法证明;二是构造基本数列,利 用基本数列的基本性质解决;
?s1n ? 1 2.已知 sn,求 an,可由 an= ? 得,但要注意分。a=1 和 a≥2 两种情况讨论; ?sn ? sn ?1n ? 2

3.已知 sn=f(an),求 an,一般转化为 an=f(an)-f(an-1)或 sn=f(sn-sn-1),再用前面的方法求解. I 高考最新热门题 1(典型例题)设{an}为等比数列,Tn=na1+(n-1)a2+?+2an-1+an 已知 T1=1,T2=4. (1)求数列{an}的首项和公比; (2)求数列{Tn}的通项公式. 命题目的与解题技巧:本题主要考查求数列通项的方法,关键是观察数列的特点,选择合适的方法求通项. [解析] (1)设等比数列{an}的公比为 q,则 T1=al,T2=2a1 +a2=a1(2+q). ∵T1=l,T2=4,∴a1=1,q=2; (2)解法 1:由(1),可知 a1=a,q=2, ∴an=a1?q =2 . ∴Tn=n·1+(n-1)?2+?+2?2 +1?2 ∴Tn=2Tn-Tn =n?2+(n-1)?2 +?+2?2 +1 ?2 -[n? l+(n-1)?2+?+2?2 +1 ?2 ] =-n+2+2 +?+2 +2 =-n+
2 n-1 n 2 n-1 n n-2 n-1 n-2 n-1 n-1 n-1

2 ? 2 ? 2n n+1 -n+2 -2 1? 2
n+1

=-(n+2)+2

解法 2:设 Sn=a1+a2+?+an

78

由(1),知 an=2

n-1 n

∴Sn=1+2+?+2 =2 -1. ∴Tn=nal+(n-1)a2+?+2an-1+an =a1+(al+a2)+?+(a1+a2+?+an-1an) =S1+S2+?+Sn =(2-1)+(2 -1)+?+(2 -1) =(2+2 +?+2 )-n =
2 n 2 n

n-1

2 ? 2 ? 2n ?n 1? 2
n+1

=-(n+2)+2 [答案]

见解析

2(典型例题)设数列 an+1=a 2 n -nan+1,n=1,2,3,?,当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式.
2 ? a1 ? 1 ? 3, 答案:∵a1=2, ∴a2= a1 2 2 ? 2a2 ? 1 ? 4, a4 ? a3 ? 3a3 ? 1 ? 5. a3= a2

由此猜想|an|=n+1( n ? 1, n ? N ? ) 3(典型例题程)已知数列{an}满足 a1=1,an=3 +an-1 (n≥2). (1)求 a2,a3; (2)证明:an=
n-1

3n ? 1 2
n-1

答案:(1)a2=4,a3=13. (2)an-an-1=3 ,3
n-1

虽不是常数,但是{3 }是一个等比数列,因此考虑用叠加法:
2 n-1

n-1

an=a1+(a2+a1)+(a3-a2)+…(an-an-1)=1+2+3 +…-3 = Ⅱ 题点经典类型题

1 ? 3n 3n ? 1 ? . 1? 3 2
an 则 a10 等于 1 ? an

1(典型例题)在数列{an}中,a1=1,对任意 n∈N ,有 an+1=

*

A.10

B.

1 10

C.5

D.

1 5

命题目的与解题技巧:本题主要考查求通项的方法,构造基本数列是最常用的方法之一. [解析] 由 an+1=

an 1 1 1 1 ,得 ? 1 ? .即 ? ?1 1 ? an an?1 an an ?1 an

∴ ∴

?1 ? 1 =1, ? ? 是公差为 1 的等差数列,且首项为 a a 1 ? n ?

1 =1+(n-1)×1=n. a1
故选 B

1 1 ∴an= . ? a10 ? n 10
[答案] B

2(典型例题)设 a1=2,an+1=2an+3,则 an 可能是 A.5-3n B.3?2 -1
n-1

79

C.5-3n

2

D.3?2 -3

n-1

答案: D 指导:由递推公式得 a1=2,a2=7,代入通项公式验证知 D 成立。 3(2005?南通)如果数列{an}的前 n 项和 sn= A.是等差数列而不是等比数列 B.是等比数列而不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列又不是等比数列

1 4n

(9n ? 4n ) (n∈N*),那这个数列

9 9 5 答案: B 指导:∵Sn= ( )n ? 1 ∴n=1 时,a1= ? 1 ? , 4 4 4 9 9 ∴当 n≥时,an=Sn-Sn-1= ( )n ? 1 ? [( )n?1 ? 1] 4 4
1=

5 9 n?1 ( ) . n=1 时,a1 也适合 an 4 4
∴an=

5 9 n ?1 ( ) .(n ? N 4 4

*

).且

an an ?1

?

9 4

(n ? 2).

4(典型例题)已知数列{an}中,a1=

1 1 * ,Sn 为数列的前 n 项和,且 Sn 与 的一个等比中项为 n(n∈N ),则 lim S n 的值为 n ?? 2 an
D.1

A.

3 4

B.

3 2

C.

2 3

答案: D 指导:∵Sn=
2

Sn 1 an

即 Sn=n an, ①又 Sn?1 ? (n ? 1)2 an?1 ? n2an ② ②-①得 an+1=(n+1) an+1-n an 即 n(n+2)an+1-n an=0 ∴
2 2 2

an ?1 n a a a ? 由an ? n ? n ?1 ... 2 . an n?2 an ?1 an ?2 a1
a1 1 n ? S n ? n 2 an ? ? limn ? 1. n( n ? 1) n ?1 n??
n

5(典型例题)数列{an}的前 n 项和 Sn=3?2 -3,求{an} 的通项公式. 答案:∵Sn=3×2 -3, ∴当 n=1 时,a1=S1=3×2 -3=3。 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3×2 -3×2 =3×2 , 对 n=1 也成立。∴an=3×2 , n ? N *
n-1

n

1

n

n-1

n-1



新高考命题探究

1 在数列{an},{bn}中 a1=1,b1=-1,an+1=8an-6bn,bn+1 =6an-4bn,求 an 和 bn

?an ?1 ? 8an ? 6bn , 答案: ? ?bn ?1 ? 6an ? 4bn
①-②得 an+1-bn+1=2(an-bn). ∴an-bn=2(an-1-bn-1)=2 (an-2-bn-2) =…=2 (a1-b1)
n-1 2

80

∴an-bn=2(an-bn)=2an+6×2 .

n

an ? 2 ? an ?1 ? 6 ? 2n ?1 ? 2 ? an ?1 ? 6 ? 2n ?1 ? 22 an ? 2 ? 6 ? 2n ?1 ? 6 ? 2n ?1 ? 22 an ? 2 ? 6 ? 2n ? 2 ? 6 ? 2n ?1


? 22 ( 2an ?3 ? 6 ? 2n ?3 ) ? 2 ? 6 ? 2n ?1 ? 23 an ?3 ? 6 ? 2n ?1 ? 2 ? 6 ? 2n ?1 ? 23 an ?3 ? 3 ? 6 ? 2n ?1 ? ... ? 2n ?1 a1 ? ( n ? 1) ? 6 ? 2 ?n ?1 . ? (6n ? 5) 2n ?1

把 an=(6n-5)2 代入 an-bn=2n 得 bn=(6n-7)2 . 2 已知数列{an}的前 n 项的和为 Sn,且满足 a1= (1)数列{

n-1

n-1

1 ,an=-2SnSn-1(n≥2). 2

1 }是否为等差数列?请证明你的结论; Sn

(2)求 Sn 和 an; 答案:(1)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1, ∴Sn-Sn-1=-2SnSn-1,Sn(1+2Sn-1),显见,若 Sn-1≠0,则 Sn≠0 ∵S1=a1= ∴ ∴{

1 ≠0, ∴由递推关系知 Sn≠0(n ? N * ), 2

1 1 1 1 ? ? ?2, ? ? 2(n ? 0), S n?1 S S n S n?1

1 }是等差数列。 Sn

(2)由(1)知, ∴Sn=

1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ? ? 2n ? 2 ? 2n, Sn S1 a1 1 . 2n(n ? 1)

1 . 2n

n ? 2 1 时,an=Sn-Sn-1= ?

?1 (n ? 1) ? ?2 ∴ an ? ? 1 ?? (n ? 2). ? 2n(n ? 1) ?
3 已知数列{an}满足 an+1=2an+1,a1=1,求 an 答案:由已知 an+1=2(an+1) ∴{an+1}是等比数列∴an+1=2?2 命题点 3
n-1

命题点 3 等差数列与等比数列的综合问题及应用 等差数列与等比数列的综合问题及应用 本类考题解答锦囊 解答“等差数列与等比数列的综合”一类试题,主要掌握以下几点: 1.注意分类讨论思想的运用,等比前 n 项和公式最容易忽视公比等于 1 的情况. 2.方程(组)思想是解决数列问题的通性通法.要仔细体会等差数列、等比数列两种情形中解方程的方法的不同之处. 3.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角、不等式等知识相互联系,优化组合.要深刻领悟数列概念和方法?中蕴藏

81

的数学思想方法.常用的有“函数与方程” “数形结合”

《高中数学总复习四十三讲》(上)

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