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中国人民大学附中特级教师梁丽平 高考数学综合能力题30讲第02讲 函数的基本性质

时间:2012-04-04


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数学高考综合能力题选讲 2

函数的基本性质
100080 北京中国人民大学附中 题型预测
函数的性质主要包括:函数的单调性、奇偶性和周期性。函数是中学数学的重要内容, 函数的性质也是高考考查的重中之重。 高考对本部分内容的要求较高, 不仅要求熟练

掌握这 些性质,还要求能够运用定义去证明和判断,以及能够灵活运用这些性质解题。

梁丽平

范例选讲 例1 对于满足 0 ≤ p ≤ 4 的一切实数,不等式 x 2 + px > 4 x + p ? 3 恒成立,试 求 x 的取值范围。 不等式 x 2 + px > 4 x + p ? 3 很容易让我们联想到二次函数: f ( x ) = x 2 + ( p ? 4 )x + 3 ? p 基于这种认识, 本题实质上就是: 对于二次曲线系 f ( x ) = x 2 + ( p ? 4 )x + 3 ? p (0 ≤ p ≤ 4 ) ,考虑使得 f ( x ) > 0 恒成立的 x 的取值范围。 对 于 每 一 个 给 定 的 p , 由 于 f ( x ) = 0 的 二 根 分 别 为 1,3 ? p , 记

讲解

u ( p) = max(1,3 ? p ) , v( p ) = min(1,3 ? p ) ,则 f ( x ) > 0 的解集为: M ( p ) = (? ∞, v( p )) ∪ (u ( p ),+∞ )
所以,当 p 在区间 [0,4] 上变化时,使得 f ( x ) > 0 恒成立的 x 的取值范围就是 所有 M ( p ) 的交集。 因为 0 ≤ p ≤ 4 ,所以, u ( p ) 的最大值为 3, v( p ) 的最小值为 ? 1 。 所以,本题的答案应该为: (? ∞,?1) ∪ (3,+∞ ) 。 上述解法实际上源于我们思维的一种定势,即习惯于把 x 当作变量,而把其

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余的字母作为参数。而事实上,在上面的不等式中, x 与 p 的地位是平等的。如 果我们换一个角度看问题,即把 p 作为自变量,而把 x 作为参数,则可以得到下 面的另一种较为简洁的解法: 考虑关于 p 的函数: g ( p ) = ( x ? 1) p + x 2 ? 4 x + 3 , 可以看到:g ( p ) 是关于 p 的一次函数或常数函数,要使得对于满足 0 ≤ p ≤ 4 ? g (0 ) > 0 的一切实数, g ( p ) > 0 恒成立,由函数的单调性可知,需且只需: ? ? g (4 ) > 0 解之得: x > 3 或 x < ?1 。 点评 (1)不等式与函数有着千丝万缕的联系,通过适当的转化,可以使 得问题的表述更接近于我们熟悉的知识,从而得解。 2)注意利用函数的性质解 ( 题。 3)注重问题的本质。在熟悉通性通法的同时,也要敢于打破思维定势,换 ( 一个角度看问题。

(

)

例2 设 f (x ) 是定义在[-1, 上的偶函数, (x ) 与 f (x ) 的图象关于直线 x ? 1 = 0 1] g 对称。且当 x ∈ [2,3] 时, g ( x ) = 2a ? ( x ? 2 ) ? 4( x ? 2 )3 (a为实数 ) (1)求函数 f (x ) 的表达式; (2)在 a ∈ (2,6] 或 (6,+∞ ) 的情况下,分别讨论函数 f (x ) 的最大值,并指出 a 为何值时, f (x ) 的图像的最高点恰好落在直线 y = 12 上。 (1)注意到 g ( x ) 是定义在区间 [2,3] 上的函数,因此,根据对称性,

讲解

我们只能求出 f (x ) 在区间 [? 1,0] 上的解析式, f (x ) 在区间 [0,1] 上的解析式,则可 以根据函数的奇偶性去求。 当 ? 1 ≤ x ≤ 0 时, 2 ≤ 2 ? x ≤ 3 ,由于 g (x ) 与 f (x ) 的图象关于直线 x ? 1 = 0 对 称,所以, f ( x ) = g (2 ? x ) = 2a ? (2 ? x ? 2 ) ? 4(2 ? x ? 2 ) = 4 x 3 ? 2ax
3

当 0 ≤ x ≤ 1 时, ? 1 ≤ ? x ≤ 0 ,由 f (x ) 为偶函数,可知:
f ( x ) = f (? x ) = 4(? x ) ? 2a (? x ) = ?4 x 3 + 2ax
3

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3 ? ?? 4 x + 2ax ? 1 ≤ x ≤ 0 所以, f ( x ) = ? ?? 4 x 3 + 2ax 0 ≤ x ≤ 1 ?

(2)因为 f ( x ) 为偶函数,所以, f ( x ) ( ? 1 ≤ x ≤ 1 )的最大值,必等于 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最大值。故只需考虑 0 ≤ x ≤ 1 的情形,此时, f ( x ) = ?4 x 3 + 2ax 。 对于这个三次函数, 要求其最大值, 比较容易想到的方法是: 考虑其单调性。 因此,我们不妨在区间 [0,1] 上任取 x1 , x 2 ,设 x1 < x 2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = ? 4 x1 + 2ax1 ? ? 4 x 2 + 2ax 2
3 3

(

) (
2

) )

= 2( x 2 ? x1 ) 2 x 2 + 2 x1 x 2 + 2 x1 ? a
2 2 2

(

如果 a ∈ (6,+∞ ) ,则 2 x 2 + 2 x1 x 2 + 2 x1 ? a < 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) <0,即 f ( x ) 在 区间 [0,1] 上单调递增。所以, f ( x ) 的最大值在 x = 1 取得,为 f (1) = 2a ? 4 。 令 f (1) = 2a ? 4 =12 可解得: a = 8 如果 a ∈ (2,6] ,则 2 x 2 + 2 x1 x 2 + 2 x1 ? a 的符号不能确定,为确定 f ( x ) 的单
2 2

调区间,可令 2 x 2 + 2 x1 x 2 + 2 x1 ? a <0
2 2

由于 x1 < x 2 ,要使上式成立,只需:2 x 2 + 2 x 2 x 2 + 2 x 2 ? a ≤ 0 ,即 x 2 ≤
2 2

a , 6

由此我们不难得知:
? ? a ? a? f ( x ) 在区间 ?0, (证明略) ? 上单调递增,在区间 ? ,1? 上单调递减。 6? 6 ? ? ? ? a ? 2a 6 a ? 所以, f ( x ) 在区间 [? 1,1] 上的最大值为 f ? 。 ? 6?= 9 ? ? ? a ? 2a 6 a ? 令 f? =12,解之得: a = 33 18 > 6 ,与 a ∈ (2,6] 矛盾。 ? 6?= 9 ? ? ? a ? 2a 6 a ?= 综上可知: a ∈ (2,6] 时, f ( x ) 的最大值为 f ? ± 当 , a ∈ (6,+∞ ) 当 ? 6? 9 ? ?

时, f ( x ) 的最大值为 f (± 1) = 2a ? 4 。 并且,当 a = 8 时,函数 f (x ) 的图像的最高点恰好落在直线 y = 12 上。

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点评

(1)本题中, a ∈ (2,6] 时,运用单调性去求 f (x ) 的最值显然较为复 )

杂。 其实, 如果我们注意到 f ( x ) = ?4 x 3 + 2ax = 2 x a ? 2 x 2 , x,a ? 2x 2 均非负, 且
则可利用基本不等式得到下面较为简洁的解法:

(

)

f (x ) = 4 x 2 a ? 2 x 2

(

)

2

= 4x 2 a ? 2x 2 a ? 2x 2

(

)(

)

? 4x 2 + a ? 2x 2 + a ? 2x 2 ≤ ? ? 3 ?
等号当且仅当 x =

(

) (

)? ?

2a ? = 9 6a ?

3

a 时成立。 6

然而,这种解法并不适用于 a ∈ (6,+∞ ) 的情形。也就是说:单调性与基本不 等式在处理函数的最值问题时各有所长, 对于本题来说, 并没有一种普适的方法, 只能分而治之。 (2)奇偶性可以使得我们在研究函数性质时,将问题简化到定义域的对称 区间上。

高考真题

1.

(2002年北京春季高考)已知 f ( x ) 是偶函数,而且在 (0,+∞ ) 上是减函数, 判断 f ( x ) 在 (? ∞,0) 上是增函数还是减函数,并加以证明。

2. (1989 年全国高考) f ( x ) 是定义在 R 上以 2 为周期的函数, k∈Z, I k 设 对 用 ①求 f ( x ) 在 I k 上的解析表达式; 根} 表示区间(2k-1,2 k+1),已知当 x ∈ I 0 时, f ( x ) = x 2 .

②对自然数 k,求集合 M k ={a|使方程 f ( x ) =ax 在 I k 上有两个不相等的实

[答案与提示:1.增函数,证明略。2. ①当 x ∈ I k 时, f ( x ) = ( x ? 2k ) ;②对自然
2

? 1 ? 数 k,集合 M k = ?a 0 < a ≤ ?] 2k + 1 ? ?

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