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空间中的垂直关系习题课


空间中的垂直关系习题课
一、知识梳理: (一).线线垂直的定义: (二)直线与平面垂直(线面垂直) 1.定义: 做 2.性质定理: 3.判断定理: 推论 1: 推论 2 (三)面面: 1.定义: 如果 则这两个平面互相垂直。记作 如果 ,这个平面叫做 ,交点叫做 则这条直线和这个平面垂直。这条直线叫 ,记作 l

(3)平面

A

C1D ? 平面 A1BD

??

? ??
【例 3】 .如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中 点,PA=AD=a. (1)求证:MN⊥平面 PCD; (2)求证:平面 PMC⊥平面 PCD.

2.判定定理: 3.性质定理: 二、典型例题 【例 1】判断题 (1)过平面外一点只可做一个平面与已知平面垂直。 ( (3)平行于同一条直线的两条直线平行( (4)平行于同一条直线的两个平面平行( (5)平行于同一平面的两条直线平行( (6)平行于同一个平面的两个平面平行( (7)垂直于同一条直线的两条直线平行( (8)垂直于同一条直线的两个平面平行( (9)垂直于同一平面的两条直线平行( (10)垂直于同一个平面的两个平面平行( 【例 2】.如图,在正方体 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) (2)过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直。 (

ABCD ? A1B1C1D1 中,求证:
(2)

(1) BD ? 面ACC1

AC1 ? BD ;

三、巩固练习: 1、 若平面 ? 外一条直线 l 与 ? 内两条直线都垂直, l 与 ? 位置关系是 ( 则 C、 l 与 ? 相交 D、无法确定 2、.关于直线 m,n 与平面 ? , ? ,有下列四个命题: (1)若 m / /? , n / / ? 且? (3)若 m ? ? , n / / ? 且? 其中真命题的序号是( ) ) A、l // ? B

l ??

8、如图,长方体 ABCD?

A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , AA1 ? 2 ,点 P 为 DD1 的中点。
D1 C1 P

(1)求证:平面 PAC ? 平面 BDD ; 1 (2)求证:直线 PB1 ? 平面 PAC .

A1 B1

/ / ? , 则m / / n / / ? , 则m ? n
A.(1) (2)

(2)若 m ? ? , n ? ? 且? (4)若 m / /? , n ? ? 且? B.(3)(4) ( C.(1)(4) )

? ? , 则m ? n ? ? , 则m / / n
D.(2)(3)

D C B

A

3.已知直线 m,n 和平面 ? , ? 满足 m

? n, m ? a, ? ? ? ,则
C.n ? ?


A. n ? ?

B.n // ? , 或 n ? ?

D.n // ? , 或 n ? ?
9、

4、.已知平面 ? , ? , ? ,则下列命题中正确的是(

A.? ? ? , ? ? ? , 则? // ? . C.? ? ? ? a, ? ? ? ? b,? ? ? , 则a ? b

B. ? // ? , ? D. ?

? ? , 则? ? ?

如 图 所 示 , 直角 梯 形 ACDE 与 等腰 直 角 △ABC 所 在 平面 互 相 垂直 , F 为 BC 的 中 点 ,

? ? ,? ? ? ? a, a ? b, 则b ? ?


?BAC ? ?ACD ? 90? ,AE∥CD,DC=AC=2AE=2.
(Ⅰ)求证:平面 BCD ? 平面 ABC (Ⅱ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅲ)求四面体 B-CDE 的体积.

5、已知直线 a,b 和平面 ? , ? ,有下列命题,其中假命题的个数是(

(1)a ? ? , b // a, ? b ? ? ;(2)a // ? , b ? ? , ? a // b; (3)a // b, b ? ? ? a // ? (4)a ? ? , a ? ? ? ? // ?
A.4 B.3 C.2 D.1

6.如图所示,平面

? 、?

互相垂直,棱 l 上有两点 A、B,AC ? ? ,BD ?

?


A1 D1

且 AC⊥l,AB=8cm,AC=6 cm,BD=24 cm,则 CD=_________. 7、 如图,在直四棱柱

A1B1C1 D1-ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 _________时,有 A1 B⊥B1 D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有

B1 C1

D

C

A B

8、解: (1)长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , 底面 ABCD 是正方形,则 AC ? BD 又 DD1 ? 面 ABCD,则 DD1 ? AC, 所以 AC ? 面 BDD ,则平面 PAC ? 平面 BDD 1 1
D A C1 P D1 A1 B1

(2)PC2=2,PB12=3,B1C2=5,所以△PB1C 是直角三角形。 PB1 ? PC, B C 连结 AO1 ,? ABCD ? A B1C1D1 是正方体 1

? A1 ACC1 是平行四边形

分 9(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵面 ABC ? 面 ACDE,面 ABC ? 面 ACDE=AC,CD ? AC, ∴DC ? 面 ABC,………………………………………………2 分 又∵DC ? 面 BCD,∴平面 BCD ? 平面 ABC. ………………4 分 (Ⅱ)取 BD 的中点 P,连结 EP、FP,则 PF 又∵EA

1 DC, 2

1 DC,∴EA PF,……………………………6 分 2

∴四边形 AFPE 是平行四边形,∴AF∥EP, 又∵EP ? 面 BDE,∴AF∥面 BDE.…………………8 分 (Ⅲ)∵BA ? AC,面 ABC ? 面 ACDE=AC,∴BA ? 面 ACDE. ∴BA 就是四面体 B-CDE 的高,且 BA=2. ……………10 分 ∵DC=AC=2AE=2,AE∥CD, ∴ S梯形ACDE ? ∴ S?CDE

1 1 (1 ? 2) ? 2 ? 3, S?ACE ? ? 1 ? 2 ? 1, 2 2 1 4 ∴ VE ?CDE ? ? 2 ? 2 ? . ………………………12 分 ? 3 ? 1 ? 2, 3 3


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