nbhkdz.com冰点文库

08第八章 第八节 曲线与方程

时间:2017-08-10


第 八 章

第 八 节 曲 线 与 方 程

高考成功方案第一步

高考成功方案第二步

解 析 几 何

高考成功方案第三步

高考成功方案第四步

考纲点击 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系

1.动点

P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2,则

点P的轨迹是
A.双曲线 C.两条射线

(

)

B.双曲线的一支 D.一条射线

解析:|PM|-|PN|=2,而|MN|=2,∴点P在 MN的延长线上. 答案:D

2.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之积为-1的动点 P的轨迹方程是 A.x2+y2=1 C.x2+y2=1(x≠0) ( B.x2+y2=1(x≠± 1) )

D.y= 1-x2 y y 解析:设P(x,y)则kPA= ,kPB= (x≠± 1) x+1 x-1

y y ∴kPA·PB= k · =-1,即y2=1-x2, x+1 x-1 ∴x2+y2=1(x≠± 1).

答案:B

3.|y|-1= 1-?x-1?2表示的曲线是 A.抛物线 C.两个圆 B.一个圆 D.两个半圆

(

)

解析:由已知得|y|-1≥0,
∴y≥1或y≤-1, 将原方程两边平方, 得(x-1)2+(|y|-1)2=1, 即(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1)或

(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1).
∴原方程表示的曲线为两个半圆(如图所示). 答案:D

4.已知点A(-2,0)、B(-3,0),动点P(x,y)满足 ??? ??? ? PB PA· =x2+1,则点P的轨迹方程是________. ??? ??? ? 解析:由题意得 PA=(-2-x ,-y), PB =(-3-x, ??? ??? ? -y)∴ PA· =(-2-x)(-3-x)+(-y)2=x2+1. PB
即y2+5x+5=0

答案:y2+5x+5=0

5.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点

M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=
|MQ|,则Q点的轨迹方程是________.

解析:设Q(x,y),P(x0,y0) ?x+x0 ? 2 =-1, ? 则? ?y+y0=2, ? 2 ?
?x0=-2-x, ? 即? ?y0=4-y ?

又∵P(x0,y0)在直线2x-y+3=0上, ∴2(-2-x)-(4-y)+3=0,即2x-y+5=0.

答案:2x-y+5=0

1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一

个二元方程方程 F(x,y)=0 之间具有如下关系:
(1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 . (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线上的点 .那么这个 方程叫做曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线.

2.直接法求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上 任意一点M的坐标;

(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};
(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

[做一题] [例1] 已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0) 连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0). (1)求动点P的轨迹C的方程:

(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状.

[自主解答]

(1)由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零, y y · =λ, x+1 x-1

所以kPM·PN= k
2

y2 整理得x - λ =1(λ≠0,x≠± 1). y2 即动点P的轨迹C的方程为x2- λ =1(λ≠0,x≠± 1).

(2)①当λ>0时,轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双

曲线(除去顶点);
②当-1<λ<0时,轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的 椭圆(除去长轴两个端点); ③当λ=-1时,轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除 去点(-1,0),(1,0)); ④当λ<-1时,轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭 圆(除去短轴的两个端点).

保持例题条件不变,若λ=-2,过定点F(0,1)的直线l与轨迹C交 于A、B两点,求△AOB的面积的最大值.
y2 解:由例1(2)知,当λ=-2时,轨迹C为椭圆,其方程为x2+ 2 = 1(x≠± 1). 由题意知,l的斜率存在. 设l的方程为y=kx+1,代入椭圆方程中整理得 (k2+2)x2+2kx-1=0(*)

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个实根, ∴x1+x2=- 2k 1 ,x1x2=- 2 . k +2 k +2
2

设d为点O到直线AB的距离, 1 则S△OAB=2|AB|· d 1 1 1 =2 1+k2|x1-x2|· 2 =2|x1-x2| k +1

1 1 2 = (x1+x2) -4x1x2= 2 2 k2+1 = 2· 2 2= 2· (k +2)

4k2 4 + (k2+2)2 k2+2 1 1 (k +1)+ 2 +2 k +1
2

2 ≤ , 2

当且仅当 k=0,上式取等号. 2 ∴当 k=0 时,△OAB 的面积取最大值为 . 2

[悟一法]

如果动点满足的几何条件就是一些与定点、定直
线有关的几何量的等量关系,而该等量关系又易于表 达成含x,y的等式,从而可直接得到轨迹方程,这种 求轨迹方程的方法称为直接法.

[通一类] 1.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对 1 称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于- .求动点 P 3 的轨迹方程.

解:(1)因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,所以点 B 的 坐标为(1,-1). y-1 y+1 1 设点 P 的坐标为(x,y),由题意得 · =- , 3 x+1 x-1 化简得 x2+3y2=4(x≠± 1). 故动点 P 的轨迹方程为 x2+3y2=4(x≠± 1).

[做一题] [例2] 如图,已知定点F(-1,0)、N(1,0),以

线段FN为对角线作周长是4 2的平行四边形 ??? ? MNEF.平面上的动点G满足| OG |=2(O为坐标 原点). 求点E、M所在曲线C1的方程及动点G的轨迹C2的方程.

[自主解答]

因为四边形MNEF为周长为4 2 的平行四边形,所以

点E到点F、N的距离之和是2 2, 又|NF|=2<2 2, 由椭圆的定义知,曲线C1为椭圆,a= 2,c=1,b=1. x2 2 故椭圆C1的方程为 2 +y =1. ??? ? 由| OG | =2知,动点G的轨迹为以坐标原点O为圆心、2为半径 的圆,其方程为x2+y2=4.

[悟一法]
1.求轨迹方程时,若动点与定点、定线间的等量关系 满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以直 接根据定义先定轨迹类型,再写出其方程,这种求 轨迹方程的方法叫做定义法,其关键是解析几何中 有关曲线的定义. 2.利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整

的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的曲
线,则应对其中的变量x或y进行限制.

[通一类] 2.已知圆 F1:(x+1)2+y2=16,定点 F2(1,0),动圆 M 过点 F2 且 与圆 F1 相内切. 求点 M 的轨迹 C 的方程. 解:由题意可知:|MF2|为动圆M的半径.
根据两圆相内切的性质得:4-|MF2|=|MF1|, 即|MF1|+|MF2|=4. 所以点M的轨迹C是以F1、F2为左、右焦点的椭圆,设其方程 x2 y2 为a2+b2=1( a>b>0).则2a=4,c=1,故b2=a2-c2=3, x2 y2 所以点M的轨迹C的方程为 4 + 3 =1.

[做一题] [例 3] (2011· 安徽高考)设 λ>0,点 A 的坐标为(1,1),点 B 在抛物线 ??? ? ??? ? 2 y=x 上运动, Q 满足 BQ =λ QA , 点 经过点 Q 与 x 轴垂直的直线交 ???? ???? 抛物线于点 M,点 P 满足 QM = λ MP ,求点 P 的轨迹方程.

???? ???? [自主解答] 由 QM =λ MP 知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x
轴的直线上,故可设 P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则 x2-y0 =λ(y-x2),即 y0=(1+λ)x2-λy.① ??? ? ??? ? 再设 B(x1,y1),由 BQ =λ QA , 即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0),解得
?x1=?1+λ?x-λ, ? ? ?y1=?1+λ?y0-λ. ?



将①式代入②式,消去y0,得
?x1=?1+λ?x-λ, ? ? ?y1=?1+λ?2x2-λ?1+λ?y-λ. ?



又点B在抛物线y=x2上,所以y1=x2, 1 再将③式代入y1=x2,得 1 (1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=[(1+λ)x-λ]2, (1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2, 2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0. 因λ>0,两边同除以λ(1+λ),得2x-y-1=0. 故所求点P的轨迹方程为 y=2x-1.

[悟一法] 1.动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点

P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律地运动,
且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得,则可先将x′、 y′表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理 得点P的轨迹方程,此法称为代入法,也称相关点法.

2.用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式:x′=f(x, y),y′=g(x,y),然后代入已知曲线.求对称曲线(轴 对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点 法)解题.

[通一类] 3.由抛物线y2=2x上任意一点P向其准线l引垂线,垂 足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的 直线交于点R,求点R的轨迹方程.

1 1 解:设P(x1,y1),R(x,y)则Q(- ,y1),F( ,0), 2 2 y1 ∴直线OP的方程为y= x,① x1 1 直线FQ的方程为y=-y1(x- ),② 2 2x 2y 2 则①②得x1= ,y1= ,将其代入y1=2x1, 1-2x 1-2x 可得y2=-2x2+x.即点R的轨迹方程为y2=-2x2+x.

[热点分析] 轨迹方程的有关问题是高考的一个重要考向,通 常以解答题的形式出现,一般第一问求轨迹方程,第

二问考查直线与所求轨迹的位置关系.2011年天津高考
以椭圆为载体,结合向量,单纯考查轨迹方程的求法, 是高考命题的一个新方向.

[考题印证] (2011· 天津高考) (13分)在平面直角坐标系xOy中,点

x2 y2 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1、F2分别为椭圆 2 + 2 =1的 a b 左、右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率e; (2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上 ???? ???? ? 的点,满足 AM · =-2,求点M的轨迹方程. BM

[考题纠错]———————————(前人之鉴,后人之师) [错解] (1)设F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).

c c 由题意,可得|PF2|=|F1F2|,即 ?a-c?2+b2 =2c,整理得2( a )2+ a -1= c c 1 1 0,得a=-1(舍),或a= .所以e= . 2 2

(2)由(1)知a=2c,b= 3c, 可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2, 直线PF2的方程为y= 3(x-c). A,B两点的坐标满足方程组
?3x2+4y2=12c2, ? ? ?y= 3?x-c?. ?

消去y并整理,得

8 5x2-8cx=0,解得x1=0,x2=5c.

? ?x =8c, ?x =0, ? 2 5 ? 1 ? 得方程组的解? ?y1=- 3c, ? 3 3 ? ?y2= 5 c. ?

8 3 3 不妨设A( c, c),B(0,- 3c). 5 5
???? ? 8 3 3 设点M的坐标为(x,y),则 AM =(x- c,y- c),

5

5

???? BM =(x,y+ 3c).

由y= 3(x-c),得c=x-

3 y. 3

???? 8 3 3 8 3 3 ? ???? 于是 AM =( 15 y-5x,5y- 5 x), BM =(x, 3x).
???? ???? ? 由 AM · =-2, BM
8 3 3 8 3 3 即( 15 y-5x)· 5y- 5 x)· 3x=-2, x+( 化简得18x2-16 3xy-15=0. ∴点M的轨迹方程为18x2-16 3xy-15=0.

[错因]
2

3 由上述求解过程可知,c>0,故c=x- 3 y>0.所以轨迹方程

3 18x -16 3 xy-15=0中的x,y必需满足x- 3 y>0,因此必须限制x 或y的取值范围.

[正解] (1)同错解. (2)由(1)知a=2c,b= 12c2, 直线PF2的方程为y= 3(x-c).
?3x2+4y2=12c2, ? A,B两点的坐标满足方程组? ?y= 3?x-c?. ?

3 c,可得椭圆方程为3x2+4y2=

消去y并整理,得5x2-8cx=0,

8 解得x1=0,x2=5c.得方程组的解 8 ? x2=5c, ?x1=0, ? ? ? ? ?y1=- 3c, ? ?y2=3 3c. 5 ? B(0,- 3c).

8 3 3 不妨设A(5c, 5 c),

???? ? 8 3 3 设点M的坐标为(x,y)则 AM =(x-5c,y- 5 c). ???? BM =(x,y+ 3c).
3 由y= 3(x-c),得c=x- 3 y.

???? 8 3 3 8 3 3 ? ???? 于是 AM =( 15 y-5x,5y- 5 x), BM =(x, 3x). ???? ???? ? 由 AM · =-2, BM
8 3 3 8 3 3 即( 15 y-5x)· 5y- 5 x)· 3x=-2, x+( 化简得18x2-16 3xy-15=0. 18x2-15 10x2+5 3 将y= 代入c=x- 3 y,得c= 16x >0, 16 3x 所以x>0. 因此,点M的轨迹方程是18x2-16 3xy-15=0(x>0).

1. 方程(x-y)2+(xy-1)2=0 的曲线是 A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线 C.两个点 D.以上答案都不对
?x-y=0, ? 解析:原方程化为? ?xy-1=0, ? ?x=1, ? 解得? ?y=1, ?

(

)

?x=-1, ? 或? ?y=-1. ?

答案:C

2.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹 方程为 A.y2=2(x-1) C.y2=x-1 B.y2=4(x-1) 1 D.y2=2(x-1) ( )

x1+2 ? x= 2 ? 解析:设P(x1,y1),AP中点M(x,y),则有? ?y=y1+0, 2 ? 解得
?x1=2x-2, ? ? ?y1=2y, ?
2

代入y12=x1中,得M点的轨迹方程为4y2=2x-

1 2,即y =2(x-1).

答案:D

3.在平面直角坐标系中,O是坐标原点,若动点P(x,y)与定点 ???? ? ??? ??? ? 2 A(3,4)满足 OP =5- OP · ,则点P的轨迹方程是________. PA
??? ? ??? 解析:由于 OP =(x,y), PA =(3-x,4-y),依题意有x2+y2=5

-x(3-x)-y(4-y)整理得3x+4y-5=0.

答案:3x+4y-5=0

4.如图,在Rt△ABC中∠CAB=90° , 2 AB=2,AC= 2 .一曲线E过点C, 动点P在曲线E上运动,且保持 |PA|+|PB|的值不变,直线l经过A 与曲线E交于M、N两点. (1)建立适当的直角坐标系,求曲线E的方程; (2)设直线l的斜率为k,若∠MBN为钝角,求k的取值范围.

解:(1)以AB所在直线为x轴,AB的中点O为原点建立直角坐标系, 则A(-1,0),B(1,0), 由题设可得 2 |PA|+|PB|=|CA|+|CB|= + 2 = 2 3 2 + =2 2, 2 2 22 2 +? ? 2
2

∴动点P的轨迹为椭圆,设它的方程为 x2 y2 + =1(a>b>0), a2 b2 则a= 2,c=1,b= a2-c2=1, x2 2 ∴曲线E的方程为 +y =1. 2

(2)由题设得直线MN的方程为y=k(x+1), 设M(x1,y1),N(x2,y2),
?y=k?x+1?, ? 由? 2 ?x +2y2-2=0 ?

得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0,

∵Δ=8k2+8>0,∴方程有两个不等的实数根. 2?k2-1? 4k2 ∴x1+x2=- ,x1x2= . 1+2k2 1+2k2 ???? ??? ? ∴ BM =(x1-1,y1), BN =(x2-1,y2),

???? ??? ? BM · =(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1) BN
=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+1+k2 2?k2-1? 4k2 2 2 =(1+k )× 2 +(k -1)(- 2)+1+k 1+2k 1+2k
2

7k2-1 = , 1+2k2

???? ??? ? 7k2-1 ∵∠MBN是钝角,∴ BM · <0.即 <0, BN 1+2k2

7 7 解得- 7 <k< 7 .

???? ??? ? 又 M、B、N 三点不共线,即 cos? BM , BN ?≠-1,
∴k≠0. 7 7 综上所述,k 的取值范围是(- 7 ,0)∪(0, 7 ).

点击下图片进入


第八章 圆锥曲线方程

08--第八章 圆锥曲线方程 31页 2财富值 第八章 圆锥曲线方程 阶段... 10...本节主要通过方程的思想方法讨论椭圆的几何性质,为继续学习奠定基础; 2、确定...

第八章 圆锥曲线的方程

08--第八章 圆锥曲线方程 31页 2财富值 第八章 圆锥曲线方程 阶段... 10页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点...

...平面解析几何(含答案)8 第八节 曲线与方程夯基提能...

2018课标版理数一轮(9)第九章-平面解析几何(含答案)8 第八节 曲线与方程夯基提能作业本_数学_高中教育_教育专区。第八节 曲线与方程 A 组 基础题组 1....

...年高考全国试题分类解析08--第八章圆锥曲线的方程

备战高考数学专题:2006年高考全国试题分类解析08--第八章圆锥曲线方程 备战高考数学专题:2006年全国各地高考试题分类解析备战高考数学专题:2006年全国各地高考试题分类...

...08--第八章 圆锥曲线方程_752

十年高考分类解析与应试策略 08--第八章 圆锥曲线方程_752 十年高考试题分类解析与应试策略十年高考试题分类解析与应试策略隐藏>> 第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐...

...A版)基础巩固:第8章 第8节 曲线与方程(理)

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第8章 第8节 曲线与方程(理)_数学_高中教育_教育专区。第八章 第八节 一、选择题 1.方程(2x+3y-1)(...

...B版)基础巩固:第8章 第8节 曲线与方程(理)

【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固:第8章 第8节 曲线与方程(理)_数学_高中教育_教育专区。第八章 第八节 一、选择题 1.平面 α 的斜线 ...

8数学教案电子稿之第08章圆锥曲线方程

8数学教案电子稿之第08章圆锥曲线方程_高三数学_数学_高中教育_教育专区。中国现代教育网 www.cn21edu.com 百万资源库,天天在更新! 第八章圆锥曲线方程教材分析 ...

2010届高考数学总结精华版第八章-圆锥曲线方程

高中数学第八章高中数学第八章-圆锥曲线方程考试内容: 考试内容: 椭圆及其标准方程...的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. §08....

2012届高考数学总结精华版第八章-圆锥曲线方程wuhao......

高中数学第八章jfdfhdoisfdsofj 高中数学第八章-圆锥曲线方程考试内容: 考试内容...的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. §08....