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2-5第二章 函数、导数及其应用


第二章

函数、导数及其应用

第 5讲

指数与指数函数

考纲展示 1.通过具体实例, 了解指数函数模型的实际 背景.

三年高考总结 从近三年高考情况来看,本讲在高考中时有出现,

2.理解有理指数幂的含义, 通过具体实 通常以考查指数的运算以及指数函

数的图象、性质 例了解实数指数幂的意义, 掌握幂的运算. 的应用为主,多以指数函数为载体,与函数的性质、 3.理解指数函数的概念, 理解指数函数 方程、不等式等知识综合命题.比较大小、简单的 的单调性,掌握指数函数的图象及其通过 指数方程、不等式等为常考内容,一般以选择题为 的特殊点. 4.体会指数函数是一类重要的函数模 型. 主,解题时要熟练运用指数函数的图象与性质进行 转化求解,注意数形结合思想的运用.

考点多维探究

考点 1 回扣教材 1.根式
n 概念 如果 x =a

指数幂的化简与求值

n 次 方 根 性 质

,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n>1,n∈N* n 当 n 是奇数时,a 的 n 次方根 x= a n ± a (a>0);负数的偶次方根没有意 当 n 是偶数时,正数 a 的 n 次方根 x= 义 0 的任何次方根都是
0

n ,记作 0= 0

n 式子 a叫做根式, 其中 n 概念 a 叫做被开方数 根 式 性 质

叫做根指数,

n 当 n 为任意正整数时,( a)n= a n 当 n 为奇数时, an= n
n

a

?a?a≥0? 当 n 为偶数时, a =|a|=? ?-a?a<0?

2.有理数指数幂 m n m 正分数指数幂:a n = a 概 念 m n m * - 1 1/ a ( a >0 , m , n ∈ N , n 负分数指数幂:a = = m 且 n>1) an 0 的正分数指数幂等于 0 数指数幂 没有意义 运 算 性 质
r a a· a= rs r s a (a ) =
r s r
+s

;0 的负分

a>0,b>0,r,s ∈Q

r r (ab) = a b

3.无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指 数幂.

小题快做 1.思考辨析 n n (1) an与( a)n 都等于 a(n∈N*).( × ) n (2)当 n∈N*时,( -3)n 都有意义.( × ) 2 (3)(-1) 4 =(-1) 1 2 = -1.( × )

3 3 - 1 1 2 2 +x 2 +2 - x 2 =3,则 5 2.[教材改编]若 x 2 +x =________. -2 2 x +x +3

解析

1 1 1 1 3 - - 2 =3 得 x+x-1=(x 2 +x 2 )2-2=7,x2+x-2=(x+x-1)2-2=47,∴x 2 + 由 x 2 +x

3 1 1 - - 18+2 20 2 -1 2 2 2 x = (x +x )(x+x -1)=3×(7-1)=18,∴原式= = = . 47+3 50 5

2 1 1 1 1 5 4a 3.(2a 3 b 2 )(-6a 2 b 3 )÷ (-3a 6 b 6 )=________.

解析

7 5 -12a 6 · b 6 原式= =4a. 1 5 - 3a 6 b 6

1 2 3 3 -2.5 0 4.[(0.064 5 ) ] 3 - 3 -π0=________. 8

解析

? ?? 64 ? 原式=??? ? ? ? ? ???1000?

2 1 1 ? 5? 2 1 1 ? -5 ? ? ? ? - × × ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 27 4 3 ? 3 -? ? 3 -1=?? ?3?5 ? 2? 3 -?? ?3? 3 -1=5-3-1=0. 2 ? 5 ? 2 2 ?8? ??10? ? ??2? ? ?
? ?

典例1 (1)0.027 -

化简与求值: 1 1 ?1?-2 ? 7? -45 3 -? ? +?2 ? 2 -( 2-1)0=______. ?7? ? 9?

5 1 1 2 1 - - 5 - - 4b 2 b-1)÷ (2) a 3 b 2(-3a (4a 3 b 3) 2 · ab=______. 6

解析

1 1 - ?25? 10 5 (1)原式=(0.33) 3 -72+? 9 ? 2 -1= -49+ -1=-45. 3 3 ? ?

1 3 1 1 ? 1 ? - 5 -6 -3?÷ 3 b 2 · (2)原式=? a 2 b 2 ?- a b ? 2a ? 2 ? 1 3 1 1 5 - 2 -2 5 =- a b · a 2 b 2 =- . 4 4b

指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分 数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解 答. (5)有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于零,否则不能用性质来运算. (6)将根式化为指数运算较为方便,对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示.如 果有特殊要求,要根据要求写出结果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既 有分母又含有负指数.

【跟踪训练】 化简与求值:
?3 ? - ? 7? 1 4 3 1.?2? 3 ×?-6?0+8 × 2+( 2× 3)6- 4 ? ? ? ?

1

? 2? ?- ? ? 3?

2 3 =________. 110

解析

?2? ?2? 6 3 4 4 3 2 ? ? 原式= 3 ×1+2 ×2 +(2 ×3 ) -?3? 3 =2+4×27=110. ? ? ? ?

1

3

1

1

1

1

2.

a 5

3

3 ·

5 4

b3 a3

4 a a =________.

b2

解析

3 3 3 2 5 - - 4 原式=a2 12 · b15 10 =a 4 =a a.

考点多维探究

考点 2 回扣教材 指数函数的图象及特征 函数

指数函数的图象及应用

y=ax(a>0,且 a≠1) 0<a<1 a>1

图象

图象特 征

在 x 轴 上方 下降

,过定点 (0,1) 象逐渐上升

当 x 逐渐增大时, 图象逐渐 当 x 逐渐增大时,图

指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示,其中 0<c<d<1<a<b,在 y 轴右 侧,图象从上到下相应的底数由大变小,在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在 y 轴 的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.

小题快做 1.思考辨析
+ (1)函数 y=3· 2x 与 y=2x 1 都不是指数函数.( √ )

(2)函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与 x 轴有且只有一个交点.( × ) (3)函数 y=ax 与 y=-ax(a>0 且 a≠1)的图象关于 x 轴对称.( √ )

?1 ? 2.[2015· 绵阳模拟]函数 y=ax 与 y=?a ?x(a>0,且 a≠1)的图象关于( ? ?

)

A.x 轴对称 C.原点对称
解析

B.y 轴对称 D.直线 y=x 对称

?1?x - y=?a? =a x,故选 B. ? ?

1 3.[2015· 西安模拟]函数 y=ax- (a>0,a≠1)的图象可能是( a

)

解析

? 1? 1 当 a>1 时,函数单调递增,且函数图象过点?0,1-a?,因为 0<1- <1,故 A、B 均不正确;当 a ? ?

? 1? 1 0<a<1 时,函数单调递减,且函数恒过点?0,1-a ?,因为 1- <0,所以选 D. a ? ?

? 1? 2 ? 4.[教材改编]若函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象经过点 P 2,2?,则 f(-1)=________. ? ?
x

解析

? 2?x ? 2?-1 1 2 ? ? 由已知 a = ,又 a>0 解得 a= ,故 f(x)= ,所以 f(-1)=? ? = 2. 2 2 2 ? ? ? 2?
2

典例2

(1)[2015· 烟台模拟]函数 f(x)=ax

-b

的图象如图, 其中 a, b 为常数, 则下列结论正确的是(

)

A.a>1,b<0 C.0<a<1,b>0

B.a>1,b>0 D.0<a<1,b<0 1 成立,则实数 a 的取值范围是( x-1 )

(2)若存在负实数 x 使得方程 2x-a= A.(2,+∞) C.(0,2) B.(0,+∞) D.(0,1)

解析


(1)由 f(x)=ax b 的图象可以观察出, 函数 f(x)=ax b 在定义域上单调递减, 所以 0<a<1, 函数 f(x)
- -

=ax b 的图象是在 y=ax 的基础上向左平移得到的,所以 b<0.故选 D. (2)在同一坐标系内分别作出函数 y= 1 和 y=2x-a 的图象知,当 a∈(0,2)时符合要求. x-1

指数函数图象的画法及应用
? 1? (1)画指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),?-1,a ?. ? ?

(2)指数函数图象的应用 ①已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不 满足则排除.②对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入 手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应 注意分类讨论.③有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象, 数形结合求解.

【跟踪训练】 3.函数 f(x)=1-e|x|的图象大致是( )

解析

将函数解析式与图象对比分析,因为函数 f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有 A

满足上述两个性质.故选 A.

(0,1) . 4.[2015· 聊城模拟]若方程|3x-1|=k 有两个解,则实数 k 的取值范围是________

解析 曲线 y=|3x-1|与直线 y=k 的图象如图所示,由图象可知,如果 y=|3x-1|与直线 y=k 有两个 公共点,则实数 k 应满足 0<k<1.

考点多维探究

考点 3 回扣教材 指数函数的性质 y=ax 图象 a>1

指数函数的性质及应用

0<a<1

定义域 值域

R

(0,+∞)
过定点(0,1) 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 在 R 上是单调增函数 当 x>0 时,

性质

0<y<1 ;

当 x<0 时,y>1 在 R 上是单调减函数

小题快做 1.思考辨析 (1)若 am<an(a>0 且 a≠1),则 m<n.( × )
?1?x (2)函数 y=?a? (a>0,且 a≠1)是 R 上的增函数.( × ) ? ? ?1? (3)函数 y=?4?|x|的值域是(-∞,1].( × ) ? ?

2.[2014· 陕西高考]下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( A.f(x)=x3 1 C.f(x)=x 2 B.f(x)=3x
?1?x D.f(x)=?2? ? ?

)

解析 选 B.

∵f(x+y)=f(x)f(y),∴f(x)为指数函数模型,排除 A、C.又∵f(x)为单调递增函数,∴排除 D,故

3.已知函数 f(x)=ax(0<a<1),对于下列命题: ①若 x>0,则 0<f(x)<1;②若 x<1,则 f(x)>0; ③若 f(x1)>f(x2),则 x1<x2. 其中正确的命题( A.有 3 个 C.有 1 个 ) B.有 2 个 D.不存在

解析 由 0<a<1 知函数 f(x)为减函数,结合指数函数的图象及性质易知,选 A.

(- 2,-1)∪(1, 4. [教材改编]若函数 y=(a2-1)x 在(-∞, +∞)上为减函数, 则实数 a 的取值范围是________________ .2)

解析 由已知可得 0<a2-1<1,故 1<a2<2 解得- 2<a<-1 或 1<a< 2.

指数函数的性质主要是其单调性,高考中常以选择题或填空题的形式呈现,难度一般不大,且主要有 以下几种命题角度.

命题角度 1 典例3

比较指数幂的大小
-m |

[2015· 天津高考]已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x )

-1(m 为实数)为偶函数.记 a=f(log0.53),b

=f(log25),c=f(2m),则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c C.c<a<b B .a < c< b D. c < b < a

解析

∵f(x)=2|x
2

-m|

-1 为偶函数,∴m=0.

∵a=f(log1 3)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,而函数 f(x)=2|x|-1 在(0,+∞)上为增 函数,∴f(log25)>f(log23)>f(0),即 b>a>c,故选 C.

命题角度 2 典例4 [2015· 江苏高考]不等式 2x
2-x
2-x

解指数方程或不等式

(-1,2) . <4 的解集为________

解析 不等式 2x

<4?x2-x<2?-1<x<2,故原不等式的解集为(-1,2).

命题角度 3

求指数型函数中参数的取值或范围

3典例5 - 2 ________.

[2015· 山东高考]已知函数 f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0] ,则 a+b=
?f?-1?=0 ?a-1+b=0 (1)当 0<a<1 时,函数 f(x)在[-1,0]上单调递减,由题意可得? ,即? 0 , ?f?0?=-1 ?a +b=-1

解析

1 ? ?a=2 3 解得? ,此时 a+b=- . 2 ? ?b=-2
?f?-1?=-1 ?a-1+b=-1 (2)当 a>1 时,函数 f(x)在[-1,0]上单调递增,由题意可得? ,即? 0 ,显然无解. f ? 0 ? = 0 a + b = 0 ? ?

3 所以 a+b=- . 2

命题角度 4 典例6


探究指数型函数的性质

设函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数.

(1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集;

解 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数, 所以 f(0)=0,所以 k-1=0,即 k=1,f(x)=ax-a x.


1 (1)因为 f(1)>0,所以 a- >0, a 又 a>0 且 a≠1,所以 a>1.
?1 ? ∴y=ax,y=-?a?x 均为增函数. ? ?

所以 f(x)在 R 上为增函数, 原不等式可化为 f(x2+2x)>f(4-x), 所以 x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0,所以 x>1 或 x<-4. 所以不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}.

3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2

3 1 3 解 (2)因为 f(1)= ,所以 a- = , 2 a 2 1 即 2a2-3a-2=0,所以 a=2 或 a=- (舍去). 2 所以 g(x)=22x+2
-2x

-4(2x-2 x)=(2x-2 x)2-4(2x-2 x)+2.
- - -

3 - 令 t(x)=2x-2 x(x≥1),则 t(x)在[1,+∞)为增函数(由(1)可知),即 t(x)≥t(1)= , 2 所以原函数为 ω(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2, 所以当 t=2 时,ω(t)min=-2,此时 x=log2(1+ 2). 即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2.

指数函数的性质及应用问题解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特 别注意底数 a 的取值范围,并在必要时进行分类讨论. (3)指数型函数中参数的取值或范围问题,应利用指数函数的单调性进行合理转化求解, 同时要特别注意底数 a 的取值范围,并当底数不确定时进行分类讨论. (4)解决指数函数的综合问题时,要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质 (如奇偶 性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时,对底数的分类讨论.

【跟踪训练】 1 1 ?1 ? ?1? 3 5.[2015· 陕西质检]设 a=?2? 3 ,b=?3? 2 ,c=ln ,则( π ? ? ? ? A.c<a<b C.a<b<c B.c<b<a )

解析

D .b < a < c 1 1 ?1 ? ?1 ? 解法一:设 d=?2? 2 ,由指数函数 f(x)=?2?x 的单调性知,a>d;再由幂函数 g(x)=x 2 的单调
? ? ? ?

3 性知,d>b,所以 a>b>0,又 0< <1,所以 c<0,故选 B. π 3 a 解法二:因为 0< <1,故 c<0,又易知 a>0,b>0,排除 C、D;又 3= π b 故选 B.
3

1 2

27 = >1,即 a>b,排除 A, 2 1 27

6.[2015· 郑州模拟]设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( A.{x|x<-2 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6}
解析 f(x)为偶函数,


)

B.{x|x<0 或 x>4} D.{x|x<-2 或 x>2}

当 x<0 时,f(x)=f(-x)=2 x-4.
?2x-4,x≥0, ∴f(x)=? -x ?2 -4,x<0.

当 f(x-2)>0 时,
?x-2≥0, ?x-2<0, 有? x-2 或? -x+2 2 - 4>0 -4>0, ? ?2

解得 x>4 或 x<0.

1 ? ?x3,x≥8 (-∞,27] 7.[2015· 陕西二模]设函数 f(x)=? ,则使得 f(x)≤3 成立的 x 的取值范围是__________ . ? ?2ex-8,x<8

解析 ∞,27].

1 - 当 x≥8 时,x 3 ≤3,∴x≤27,即 8≤x≤27;当 x<8 时,2ex 8≤3 恒成立,故 x<8.综上,x∈(-

?1?x -2<m<3 . 8.若不等式(m -m)2 -?2? <1 对一切 x∈(-∞,-1]恒成立,则实数 m 的取值范围是___________ ? ?
2 x

解析

?1?x ?1?x ??1?x?2 ?1?x 2 ? ? ? ? ? ? ? ? (m -m)2 - 2 <1 可变形为 m -m< 2 + 2 ,设 t=?2? ,则原条件等价于不等式 m2-m<t ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
2 x

+t2 在 t≥2 时恒成立,显然 t+t2 在 t≥2 时的最小值为 6,所以 m2-m<6,解得-2<m<3.

[方法与技巧] 1.根式与分数指数幂的实质是相同的,分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的 化简运算. 2.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令 x=1 得到底数的值再进行比较. 3.比较两个指数幂大小时,尽量化同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后 比较大小;当指数相同,底数不同时,构造两个指数函数,利用图象比较大小. 4.指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关,一定要分清 a>1 与 0<a<1. 5.对与复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成.

[失误与防范] 1.指数幂的运算容易出现的问题是误用指数幂的运算法则,或在运算中变换的方法不当,不注意运算 的先后顺序等. 2.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 3.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 4.对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0(≤0)形式的方程或不等式,常借助换元法解决,但应注 意换元后“新元”的范围.

微专题——自我纠错

忽略对底数的讨论失误 若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x 1 在[0,+∞)上是增函数,则 a=________. 4 1 - 错解 由函数 f(x)=ax 在 R 上单调递增,故有 a2=4,a 1=m,解得 a=2,m= ,故 a=2. 2 典例 错因分析 ①对条件 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,没有进行限制,确定出 m 的取值范围; ②误认为底数 a>1,f(x)为增函数,而忽略了 0<a<1 这种情况,从而造成失误.
1 解析 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,应有 1-4m>0,即 m< . 4 当 a>1 时,f(x)=ax 为增函数, ?a2=4, 1 1 ? 由题意知 -1 ?a=2,m= ,与 m< 矛盾. 2 4 ?a =m 当 0<a<1 时,f(x)=ax 为减函数, ?a2=m, 1 1 1 1 由题意知? -1 ?a= ,m= ,满足 m< .故 a= . 4 16 4 4 ?a =4

答题启示

当所给条件中含有参数时,不要忽略对参数的分类讨论,否则易造成漏解或错解.

课后课时作业


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