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能力提升训练:导数及其应用


一、选择题 ( 本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 若函数 f(x)在定义域 R 内可导, f(1+x)=f(1-x), 且当 x∈(-∞, 1)时,( x ??) f ?( x) 设 a ? f (?), b ? f ( ), c ? f (?) ,则( A. a ? b ? c 【答案】D 2.已

知函数 B. c ? a ? b

??

? ?

) C. c ? b ? a D. b ? a ? c

f ( x) 的定义域为 ? ?1,5? ,部分对应值如下:

x:

?1 0 4 5 2 2 1

f ( x) : 1

f ( x) 的导函数的图像如图:

下列关于函数 (1)函数 y ? (2)函数

f ( x) 的命题.

f ( x) 是周期函数.
[来源:学科网]

f ( x) 在 ? 0, 2 ? 上是减函数

(3)若当 x ?

? ?1, t ? 时,

f ( x) 的最大值是 2,则 t 的最大值为 4. y ? f ( x) ? a 有四个零点.
) B. 3 C. 2 D. 1

(4)当 1 ? a ? 2 时.函数 其中真命题的个数是( A. 【答案】D 3.设 4

f0 ( x) ? cos x , f1 ( x) ? f 0/ ( x) , f 2 ( x) ? f1/ ( x) ,……, f n ?1 ( x) ? f n/ ( x) ,(n∈N),
) B. ? sin x C. cos x D.

则 f2011(x) =( A. sin x 【答案】A 4.由直线 x ? ?

? cos x
)

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0与曲线y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为(
3 C. 2

1 A. 2
【答案】D
3

B.1

D. 3

5.曲线 y ? x ? 2 x ? 4 在点 A.30° 【答案】B

?1,3? 处的切线的倾斜角为(
C.60°

) D. 120°

B.45°

6.下图中阴影部分的面积是(

)

A.

B.

C. 【答案】C 7.若 a ? A. 【答案】B 8.若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,则 f '(?1) ? (
3 2

D.

?

2 2

?

sin xdx , b ? ? cos xdx ,则 a 与 b 的关系(
0

1

) D.

a?b

B.

a?b

C.

a?b
)

a?b ? 0

A. ?7 【答案】B

B. ?1

C. 1

D. 7

9.若函数 f ( x) 的导数为 ?2 x ? 1 ,则 f ( x) 可以等于(
2

) D. ?4x

A. ?2 x ? 1
3

B. ?

2 3 x ?x 3
)

C. x ? 1

【答案】B 10.计算 A. C.1 【答案】A 11.若 a>0, b>0, 且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于( A. 2 C. 6 【答案】D 12.已知函数 f ( x) ? 2ln 3x ? 8x, 则 lim A.-20 【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题 共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) B.-10
?x ?0
3 2

?

e

1

1 ( ? 1)dx 等于( x

e

B. D.e+1

1 e2

)

B. 3 D. 9

[来源:学科网 ZXXK]

f (1 ? 2?x) ? f (1) 的值为( ?x
C.10 D.20

)

13.如图,矩形 ABCD 中,AB=2,BC=2 3 ,以 BC 的中点 E 为圆心,以 AB 长为半径作 N 与 AB 及 CD 交于 M、N,与 AD 相切于 H,则图中阴影部分的面积是 .

【答案】

4? 3

14.已知三次函数 f (x) ?

1 3 b 2 x ? x ? x 在 R 上有极值,则实数 b 的范围为____________ 3 2

【答案】 (??, ?2) ? (2, ??) 15.若函数 f ( x) ? ax ? x 恰有 3 个单调区间,则 a 的取值范围为
3

【答案】 ?? ,0) ( 16.函数 f ( x) ?| x ? 3x ? t | , x ?[0,4] 的最大值记为 g(t),当 t 在实数范围内变化时 g(t)
3 2

最小值为 【答案】10 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知函数 f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a(a, b ? R) ,且其导函数 f ?( x) 的图像过原点. 3 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图像在

x ? 3 处的切线方程;

(2)若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的零点个数。 【答案】 f ( x) ? 由 f ?(0) ? 0 得

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a , f ?( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? b 3 2

b ? 0 , f ?( x) ? x( x ? a ?1) .
1 3 x ? x 2 ? 1 , f ?( x) ? x( x ? 2) , f (3) ? 1 , f ?(3) ? 3 3

(1) 当 a ? 1 时, f ( x) ?

所以函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即 3x ? y ? 8 ? 0 (2) 存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? x( x ? a ? 1) ? ?9 ,

?a ? 1 ? ? x ?

9 9 9 ? ( ? x) ? ( ? ) ? 2 ( ? x ) ? ( ? ) ? 6 , a ? ?7 , x x x

当且仅当 x ? ?3 时, a ? ?7. 所以 a 的最大值为 ?7 .

(3) 当 a ? 0 时, x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

f ( x) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,

1 1? 1 1? f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ? a 3 ? 3(a ? ) 2 ? ? ? 0 6 6? 2 4?
又 f (?2) ? ?a ?

1 ? 3 14 3 ? ? 0, f ( x) ? x 2 ? x ? (a ? 1) ? ? a , f ( (a ? 1)) ? a ? 0 . 3 ? 2 3 2 ?

所以函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 0 ? , (0, a ? 1), (a ? 1, 故函数 f ( x) 共有三个零点。 18.已知函数 f ( x) ? e ? kx( x ? R)
x

3 (a ? 1)) 内各有一个零点, 2

(Ⅰ)若 k (Ⅱ)若 k

? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; ? 0 且对任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;
n ?1

(Ⅲ) 设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , 求证:F (1) ? F (2) ? F (3)...F (n) ? (e 【答案】(Ⅰ)

? 2) ,n ? N*

n 2

k ? e , f ( x) ? e x ? ex

f ?( x) ? e x ? e

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ??) 单调递增 当 x ? (??,1) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??,1) 单调递减 所以,

k ? e 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) ,减区间为 (??,1)

(Ⅱ)因为 f (| x |) 为偶函数, f (| x |) ? 0 恒成立等价于 f ( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立 当 x ? 0 时, f ?( x) ? e ? k ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ln k
x

(i)当 ln k

? 0 ,即 k ? 1 时, f ( x) 在 (0, ln k ) 减,在 (ln k , ??) 增

f ( x)min ? f (ln k ) ? k ? k ln k ? 0 ,解得 1 ? k ? e ,所以 1 ? k ? e
(ii)当 ln k

? 0 ,即 0 ? k ? 1时, f ?( x) ? e x ? k ? 0 , f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增, ?1

所以 f ( x)min ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合,所以 0 ? k 综合(i) (ii),若 k (Ⅲ) F ( x) ? e ? e
x

? 0 且对任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,实数 k ? (0, e)
, F (1) ? e ? e ?1 , F (n) ? e n ? e ? n

?x

F (1) ? F (n) ? en?1 ? e?1? n ? e1?n ? e?1?n ? en?1 ? 2
F (2) ? F (n ? 1) ? en?1 ? e?2? n ? e2?n ? e?1?n ? en?1 ? 2
[来源:学科网 ZXXK]

F (n) ? F (1) ? en ?1 ? 2
将上述 n 个式子相乘,可得: 所以 F (1) F (2)? F (n) ? (en?1 ? 2) 2
n

f ( x) ?
19.已知函数

4x ? a 1 ? x 2 的单调递增区间为 ? m, n ? ,

(Ⅰ)求证: f (m) f (n) ? ?4 ; (Ⅱ) n ? m 取最小值时, P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )(a ? x1 ? x2 ? n) 是函数 f ( x) 图象上的两点, 当 点 若存在 x0 使得 f ( x0 ) ?
'

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求证: x1 ? x0 ? x2 x2 ? x1

【答案】 (Ⅰ) f ?( x ) ?

?4 x 2 ? 2ax ? 4 (1 ? x 2 ) 2

a ? ?m ? n ? ? 依题意 m, n 是方程 ?4 x ? 2ax ? 4 ? 0 的两根有: ? 2 ?mn ? ?1 ?
2

f ( m) f ( n ) ?

4m ? a 4n ? a 16mn ? 4a(m ? n) ? a 2 ?(16 ? a 2 ) ? ? ? ? ?4 a2 1 ? m2 1 ? n 2 (mn 2 ) ? (m ? n) 2 ? 2mn ? 1 ?4 4

(Ⅱ)? n ? m ?

(m ? n) ? 4mn ?
2

a2 ?4 ?2 4

?n ? m 取最小值时, a ? 0, n ? 1, m ? ?1 ,

? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上是增函数,? 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,
? f ' ? x0 ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,从而 x0 ? ? ?1,1?

x ?x ?1 ? x ? ?1 ? x ? ? 1 ? x x 即 ?1 ? x ? ?1 ? x ??1 ? x ?
2 2 0 2 2 0 1 2 2 2 0 2 1 2 2

f ?( x0 ) ?

2 4 ?1 ? x0 ?

?

f ? x2 ? ? f ? x1 ?
1

?

?1 ? x ??1 ? x ?
2 1 2 2

4 ?1 ? x1 x2 ?

2 2 2 ? (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ? x12 x2 ? x12 ? x2 ? 1 ? ( x1 x2 )2 ? 2 x1 x2 ? 1 ? (1 ? x1 x2 ) 2

?1 ? x ?
0

1 ? x0 2

2 2

?

1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 ? 2 2 ?1 ? x1 ??1 ? x2 ? ?1 ? x1x2 ?2
1? x

考虑函数 g ? x ? ?

?1 ? x ?

2

,因 g

'

? x ? 1? ? 2 ,故当 x ? 0,1 时,有 g ' x ? 0 , ? ? ? ? ? x? ? 4 ?1 ? x ?
2

所以 g ( x ) 是 (0,1) 上是减函数.
2 2 ?由 g ( x0 ) ? g ( x1 x2 ) ,得 x0 ? x1 x2 ? x12 . ? x0 ? x1.



2 1 ? x0 1 ? x1 x2 2 ? 及 0 ? 1 ? x0 ? 1 ? x1 x2 得 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )
2 2 2 2 2 2

?1 ? x ? ? ?1 ? x ??1 ? x ? ? ?1 ? x ?
0 1 2 2

故 1 ? x0 ? 1 ? x2 ,即
2 2

x0 ? x2 .

? x1 ? x0 ? x2
20.已知函数 f(x)=e
x-k

-x,(x∈R) 1 的定义域是 R,求实数 m 的取值范围; f?x?+m
x x
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(1)当 k=0 时,若函数 g(x)=

(2)试判断当 k>1 时,函数 f(x)在(k,2k)内是否存在零点. 【答案】(1)当 k=0 时,f(x)=e -x,f ′(x)=e -1, 令 f ′(x)=0 得,x=0,当 x<0 时 f ′(x)<0,当 x>0 时,f ′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,0)上单调减,在[0,+∞)上单调增. ∴f(x)min=f(0)=1, ∵对? x∈R,f(x)≥1,∴f(x)-1≥0 恒成立, ∴欲使 g (x)定义域为 R,应有 m>-1. ∴实数 m 的取值范围是(-1,+∞). (2)当 k>1 时,f(x) =e 又 f(k)=e
k-k x-k

-x,f ′(x)=e

x-k

-1>0 在(k,2k)上恒成立.

∴f(x)在(k,2k)上单调增. -k=1-k<0,

f(2k)=e

2k-k

-2k=e -2k,令 h(k)=e -2k,
k

k

k

∵h′(k)=e -2>0,∴h(k)在 k>1 时单调增, ∴h(k)>e-2>0,即 f(2k)>0, ∴由零点存在定理知,函数 f(x)在(k,2k)内存在零点. 21.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间为圆柱形,左 右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l≥2r .假设该容器的建 3

造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方 米建造费用为 c(c>3) .设该容器的建造费用为 y 千元.

(Ⅰ)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的 r . 【答案】 (I)设容器的容积为 V, 由题意知 V ? ? r l ?
2

4 3 80? ? r , 又V ? , 3 3

4 V ? ? r3 80 4 4 20 3 故l ? ? 2 ? r ? ( 2 ? r) 2 ?r 3r 3 3 r 由于 l ? 2r 因此 0 ? r ? 2.
所以建造费用 y ? 2? rl ? 3 ? 4? r c ? 2? r ?
2

因此 y ? 4? (c ? 2)r ?
2

160? , 0 ? r ? 2. r

4 20 ( ? r ) ? 3 ? 4? r 2c, 3 r2

(II)由(I)得 y ' ? 8? (c ? 2)r ?

160? 8? (c ? 2) 3 20 ? (r ? ), 0 ? r ? 2. r2 r2 c?2

[来源:学.科.网]

由于 c ? 3, 所以c ? 2 ? 0,

当r ?
3

20 20 ? 0时, r ? 3 . c?2 c?2

令3

20 ? m, 则 c?2

所以 y ' ?

8? (c ? 2) (r ? m)(r 2 ? rm ? m2 ). 2 r 9 (1)当 0 ? m ? 2即c ? 时, 2

当r=m时,y'=0; 当r ?(0,m)时,y'<0; 当r ?(m,2)时,y'>0.
所以 r ? m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点。 (2)当 m ? 2 即 3 ? c ?

9 时, 2

当 r ? (0, 2)时, y ' ? 0, 函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点, 综上所述,当 3 ? c ?

9 时,建造费用最小时 r ? 2; 2

当c ?

20 9 . 时,建造费用最小时 r ? 3 c?2 2
1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a(a, b ? R) ,且其导函数 f ?( x) 的图像过原点. 3 2

22.已知函数 f ( x) ?

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程; (2)若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的零点个数。 【答案】

f ( x) ?

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a , f ?( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? b 3 2

由 f ?(0) ? 0 得

b ? 0 , f ?( x) ? x( x ? a ? 1) .
1 3 x ? x 2 ? 1 , f ?( x) ? x( x ? 2) , f (3) ? 1 , f ?(3) ? 3 3

(1) 当 a ? 1 时, f ( x) ?

所以函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即 3x ? y ? 8 ? 0 (2) 存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? x( x ? a ? 1) ? ?9 ,

?a ? 1 ? ? x ?

9 9 9 ? ( ? x) ? ( ? ) ? 2 ( ? x ) ? ( ? ) ? 6 , a ? ?7 , x x x

当且仅当 x ? ?3 时, a ? ?7. 所以 a 的最大值为 ?7 . (3) 当 a ? 0 时, x, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

f ( x) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,

1 1? 1 1? f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ? a 3 ? 3(a ? ) 2 ? ? ? 0 6 6? 2 4?
又 f (?2) ? ?a ?

1 ? 3 14 3 ? ? 0, f ( x) ? x 2 ? x ? (a ? 1) ? ? a , f ( (a ? 1)) ? a ? 0 . 3 ? 2 3 2 ?

所以函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 0 ? , (0, a ? 1), (a ? 1, 故函数 f ( x) 共有三个零点。 注:①证明 f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? 设 g (a) ? a ?

3 (a ? 1)) 内各有一个零点, 2

1 (a ? 1)3 ? 0(a ? 0) 也可这样进 行: 6

1 1 (a ? 1)3 ? ? (a3 ? 3a 2 ? 6a ? 1) , 6 6 1 1 2 则 g ?(a) ? ? (3a ? 6a ? 6) ? ? (a ? 3)(a ? 1) 6 2
当 0 ? a ? 1时, g ?(a) ? 0 ,当 a ? 1 时, g ?(a) ? 0 , 函数 g ( a ) 在区间 ? 0,1 上是增函数,在区间

?

?1, ?? ? 上是减函数,
1 1 (1 ? 1)3 ? ? ? 0 , 6 3

故函数 g ( a ) 在区间 ? 0, ?? ? 上的最大值为 g (1) ? 1 ? 从而 f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ?

1 (a ? 1)3 ? 0(a ? 0) . 6

②证明函数 f ( x) 共有三个零点。也可这样进行: f ( x) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,

1 1? 1 1? f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ? a 3 ? 3(a ? ) 2 ? ? ? 0 , 6 6? 2 4?
当 x 无限减小时, f ( x) 无限趋于 ??; 当

x 无限增大时, f ( x) 无限趋于 ??.

故函数 f ( x) 在区间 ? ??, 0 ? , (0, a ? 1), ( a ? 1, ??) 内各有一个零点,故函数 f ( x) 共有三个零 点。


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