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高中数学奥林匹克竞赛训练题(11)

时间:2012-04-07


书利华教育网 www.shulihua.net 精心打造一流新课标资料 数学奥林匹克高中训练题(11) 数学奥林匹克高中训练题(11) 第一试
一、选择题(每小题6分,共36分) . 1.(训练题16)一元二次复系数方程 x + ax + b = 0 恰有两个纯虚根,则(C)
2

(A) a 是零, b 是负实数 (B) a 是零, b 是纯虚数 (C) a 是纯虚数, b 是实数 (D) a 是纯虚数, b 是纯虚数 2. (训练题16) n 是一个正整数, x + xy + y = n 的整数组解的数目是(B) .
2 2

(A)4的倍数

(B)6的倍数(C)2的倍数

(D)8的倍数

. 3.(训练题16)满足 2 x ? x + x ? 1 > x + x ? x + 1 的所有实数 x 在(D) (A) ,3 )内 (B) ( (3,+∞)内 (C) (-∞, +∞)内 4 . ( 训 练 题 16) f (x) = x 4 + ax3 + bx2 + cx + d , 这 里 a, b, c, d 是 实 数 . 已 知 . f (1) = 5, f (2) = 10, f (3) = 15, 则 f (8) + f (?4) 是(C) (A)2500 (B)不确定的 (C)2540 (D)860

1 3

1 1 )内 (D) (-∞, )∪(3, 3 3

5.(训练题16)平面内,设函数 f ( x ) 的图象与 y = ?2 x 的图象关于直线 y = 2 x + 3 对称, 则 f ( x ) 的解析表达式是(A) . (A) 3 y + 4 x + 6 = ? (C) 3 y + 4 x = ?

2 (4 y ? 3 x ? 12) 2 5

(B) 3 y + 4 x + 6 = ?10( 4 y ? 3 x ? 12) 2

2 (4 y ? 3x) 2 5

(D) 3 y + 4 x ? 6 = ?

2 (4 y ? 3 x ? 12) 2 5

6.(训练题16) n ≥ 3, 方程

x1 x2 Lxn?1 x1 x2 Lxn?1 xn x x Lxn + + L+ 2 3 = n 的有序整数组解一 xn xn?1 x1
(B) 2 n ?1 组 (D) 2 n +1 组

共有(B) . (A)n 组 (C) 2 n 组

二、填充题(每小题9分,共54分) 1 . ( 训 练 题 16)









x, y , z ,









ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay + bz = x + y + z 的 所 有 实 数 a, b, c 是
(1, 0, 0), (?1, 0, 0), (0,1, 0), (0, ?1, 0), (0, 0,1), (0, 0, ?1) 共6组


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2 .(训练 题16)使得 x + y + z , ( x ≤ y ≤ z) 是

1 1 1 + + 和 xyz 都是整 数的全部正 有理数组( x, y, z ) x y z


(1,1,1), (1, 2, 2), (2,3, 6), (2, 4, 4), (3, 3,3) 共5组

3.(训练题16)圆台上的上底半径 r 与下底半径 R(R.>r)之和是母线 l 的6倍,而上底面积、 侧 面 积 、 下 底 面 积 成 等 比 数 列 , 此 圆 台 的 高 为 20 ? 3r , 此 圆 台 体 积 的 最 大 值 是
2

500 (2 + 3)π 9



4.(训练题16)设 f ( x ) =

x 4 + kx 2 + 1 ( x ∈R) ,对任意三个实数 a,b,c,已知存在一个三角 x4 + x2 +1

形 , 三 边 长 分 别 为 f ( a ), f (b), f (c ), 则 满 足 上 述 条 件 的 所 有 实 数 k 的 范 围 是

1 (? , 4) 2



5. (训练题16)设 f ( z ) = 3 z (cos

π

+ i sin ), 这里 z 是复数,用 A 表示点 f (1 + 3i ), B 表示 6 6

π

点 f (0), C 表示点 f ( 4i ) ,则∠ABC=

π


6

6.(训练题16) a, b 是正实数, x 0 = a, x1 = b, x n +1 =

1 1 ( x n ?1 + ), 这里 x∈N。如果这序列 2 xn


是周期序列,则 a,b 必须满足条件

ab = 1

第二试
一、(训练题16)(满分25分)已知 f (1) = 2, 对于正整数 n, f ( n + 1) = ( f ( n)) 2 ? f ( n) + 1. 求证:当正整数 n ≥ 2 时,有 1 ?

1 2
n ?1

<

1 1 1 1 + +L+ < 1 ? 2n . f (1) f (2) f ( n) 2

*

*

二、(训练题16)(满分25分)给定一个△ABC,A 是点 A 关于直线 BC 的对称点,B 是 B 关于 * * * * 直线 CA 的对称点, 是 C 关于直线 AB 的对称点。 C 求△ABC 的充分必要条件, 使得△A B C 是一个等边三角形。

2

三、(训练题16)(满分35分)是否存在正整数 n>1,使得1,2,3,…,n 能放在一个 n×n

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方格表内,使得每行的乘积是相同的?证明你的结论.

。 四、(训练题16)(满分35分) a1 , a 2 , L , a n 是一个数列,对每个 k,1≤k≤n, a k ∈{1,0} 如果 a k , a k +1 两数不同,写 bk = 1 ;如果 a k , a k +1 两数相同,写 bk = 0 。于是得到一个 新数列 b1 , b2 , L , bn ?1 , 其中 bk ∈{1,0} (1≤k≤n ? 1 ) 。重复上述方法,得到一个由0 及1两个数字组成的三角形数表, 最后一行仅一个数字, 求这张数字表中1的和的最大值.

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