nbhkdz.com冰点文库

函数的单调性(第一课时)


莱阳市第九中学 数学组

情 景 引 入

观察下列两个函数的图象,并说说它们

分别反映了相应函数的哪些变化规律: y y
1
-1 o 1 1

x

-1 o -1

1

x

1 .从左向右

图象有什么变化趋势?

函数的单调性
2 .函数图象是否具有某种对称性?

新课探究 思考1:画出下列函数的图象,根据图象思考当

(1) f ( x) ? x ?1 (2) f ( x) ? x
y

自变量x的值增大时,函数值 f ( x) 是如何变化的? 2 y
4

1

o

x

x
1 2

-2 -1

O

上升 1.从左至右图象———— 2.在区间 (-∞, +∞)上, 随着x的增大,f(x)的值 增大 随着 ————

1.(-∞,0]上从左至右图象 下降 当x增大时f(x)随着减小 2.(0,+∞)上从左至右图象上升, 当x增大时f(x)随着增大

(1) f ( x) ? x ?1
y

(2) f ( x) ? x
y
4

2

1 o

x

-2 -1

O

1 2

x

思考2:通过上面的观察,如何用图象上动点P(x,y) 的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势?

函数的这种性质称为函数的单调性
在某一区间内,
当x的值增大时,函数值y也增大——图象在该区间内逐渐上升; 当x的值增大时,函数值y反而减小——图象在该区间内逐渐下降。

y
f (x2) 图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大,y也增大 对区间D内

f (x1)

2

2
1

任意

x1,x2 ,
f(x1)<f(x2)

当x1<x2时,都有

0

1 2

x1x2

x

方案1:在区间(0,+ ∞ )上取自变量1,2,∵1<2, f(1)<f(2) ∴f(x)在

思考 3 :如何用数学符号描述这种上 (0,+∞ )上, 图象逐渐 上升 升趋势? 方案2:(0,+ )取无数组自变量,验证随着x的增大,f(x)也增大。


方案3:在(0,+∞)内取任意的x1,x2 且x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)

f (x2)

y
图象在区间D逐渐上升 区间D内随着x的增大,y也增大

f (x1)

2

2
1

对区间D内 任意

x1,x2 ,

都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时,

0

1 2

x1

定 义

设函数y=f(x)的定义域为I,区间D ? I. 如果对于区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2, 当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ), 那么就说 f (x)在区间D上 是单调增函数,D称为 f (x)的单调 增区间.

类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)

x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间D ? I. 如果对于属于定义域I内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2, 的任意两个自变量的值x1,x2,

x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D ? I.

当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ) ,

当x1<x2时,都有 f (x1 )

>

f(x2 ) ,

那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数,D称为f(x)的单调增 区间. 减函数,D称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间 如果函数 y =f(x)在区间D 是单调增函数或单调减函 数,那么就说函数 y =f(x)在区间D上具有单调性。

质发 例1. 如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及 疑展 在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数? 答思 y 3 y ? f ( x) 辩维 2
-3 -2 -1
-5 -4 1
O

-1
-2

1

2 3 4 5

x

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1) ,[1,3), [3,5].
其中y=f(x)在区间[-2,1),[3,5]上是增函数; 在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数. 说明:1.区间端点处若有定义写开写闭均可. 2.图象法判断函数的单调性:从左向右看图象的升降情况

? 练一练 根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调 区间上,函数是增函数还是减函数.
4 3 2 1 -1 y

y ? f ( x)

O

2

4

5 x

解:函数y=f(x)的单调区间有[-1,0),[0,2) ,[2,4), [4,5] 其中y=f(x)在区间[0,2),[4,5]上是增函数; 在区间[-1,0),[2,4)上是减函数.

对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大。试用函 数的单调性证明之。 证明: 1 2 1.取值(规定大小); 2.作差; 3.变形整理; 4.结论 3 4

k 例2、物理学中的玻意耳定律 p ? (k为正常数 ) 告诉我们, V

练 习:
2x (1)用定义证明,函数 y= 在(-1,+∞)上为增函数. x+1

证明:(1)设 x1>x2>-1,

2?x1-x2? 2x1 2x2 y1-y2= - = >0, x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1?

2x ∴y1>y2,∴函数 y= 在(-1,+∞)上为增函数. x+1

用定义证明函数单调性的四步骤:
(1)取值:
在所给区间上任意设两个实 数 x1 , x2且x1 ? x2 .
f ( x1 ) ? f ( x2 )

(2)作差 作差 (3)变形

常通过“因式分解”、“通分”、“配方 ”等

手段将差式变形为因式乘积或平方和形式 (4)结论: 判断 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的符号并作出单调性的结论

(2)利用定义证明函数的单调性时,常用的变形 技巧有哪些? ①因式分解.当原函数是多项式函数时,作差后 的变形通常进行因式分解.如f(x)=x3-1. ②通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进 行通分,然后对分子进行因式分解.如本例. ③配方.当原函数是二次函数时,作差后可以考 虑配方,便于判断符号.

④分子有理化.当原函数是根式函数时,作差 后往往考虑分子有理化.如 f(x)= x+1.

拓展探究
画出函数

y

1 y ? 图象,写出定义域并写出单调区间: x

x
y? 1 x

1 函数 y ? 定义域为 (??,0) ? (0,??) x ? 1 (??, 0) , (0, ??) y ? 的单调减区间是 _____________ x

讨论:根据函数单调性的定义
1 能不能说y ? ( x ? 0)在定义域( ??,0) (0, ??)上 x 是单调减函数?

y

f ( x1 )
f ( x2 )
O

f ( x) ? 1 x
x

x1 x 2

在 (0,+∞) 上任取 x1、 x2

当x1< x2时,都有f(x1) > f(x2)

y

取自变量-1< 1,

-1

1
O

1 f ( x) ? x
-1 1

而 f(-1) < f(1)

x

1 ∴不能说 y ? 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数 x 要写成(-∞,0),(0,+∞)的形式。
逗号 隔开

课堂检测:
? 1、定义在R上的函数对任意两个不相等实数总有 ?0 a ?b 成立,则必有( c ) A、函数是先增加后减少 B、函数是先减少后增加 C、在R上是增函数 D、在R上是减函数 2 ? 2.函数y= x -6x+10在区间(2,4)上是( c ) A.递减函数 B.递增函数 C.先递减再递增 D.选递增再递减
f ( a ) ? f (b)

? 3.设函数f (x)是R上的减函数,又若a ? R,则 (D ) 2 A. f (a)>f (2a) B .f ( a )<f (a) 2 2 C .f (a +a)<f (a) D.f ( a +1)<f (a)

课堂小结
1. 两个定义:增函数、减函数的定义; 2:两种方法 ①图象法判断函数的单调性: 增函数的图象从左到右 上升 下降 结论

减函数的图象从左到右

②(定义法)证明函数单调性,步骤: 设量 作差 变形整理 3.一个数学思想:数形结合

布置作业 作业:(必做)课本39页A组第1、 2题 选做题:

4 如何确定函数 f ( x) ? x ? , x x ?[1,5]的单调区间?


函数单调性教案(第一课时)

1.3.1 教学目标 函数的单调性 知识与技能:理解函数单调性,单调区间的概念,掌握证明函数单调性的方法 和步骤。 过程与方法:通过观察图像,归纳,概括出函数的单调...

第一课时 函数的单调性

第一课时 函数的单调性_数学_高中教育_教育专区。1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 【选题明细表】 知识点、方法 函数单调性概念 函数单调性...

函数的单调性第一课时

函数的单调性第一课时_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数的单调性第一课时 §1.3.1 单调性与最值班级 【使用说明与学法指导】 姓名 组别 第 2 课时...

函数的单调性第一课时

函数的单调性第一课时_数学_高中教育_教育专区。2.下图中是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),则下列关于函数 f(x)的说 法错误的是 导学号 22840321 ( ...

函数单调性第一课时

函数单调性第一课时_数学_高中教育_教育专区。围场一中 高一数学必修一导学案 编写:赵景彦 §1.3.1 单调性与最大(小)值 第一课时 函数的单调性 一、学习目标...

函数的单调性第一课时

函数的单调性第一课时_数学_高中教育_教育专区。1.3.1 函数的单调性一. 教学目标 1. 知识与技能:通过已经学过的函数图像来理解函数的单调性及其几何意义;能够...

函数单调性教案(第1课时)

函数单调性教案(第1课时)_中职中专_职业教育_教育专区。《函数单调性》教案教学目标 (1)知识与技能目标: ①理解函数单调性的概念 ; ②能指出一些简单基本初等...

函数单调性第一课时教学分析

函数单调性第一课时教学分析_数学_高中教育_教育专区。《函数单调性第一课时教学分析一、 教学目标 1、 知识目标:理解单调性概念,掌握判断函数单调性的方法,会...

函数单调性(第一课时)

函数单调性(第一课时)函数单调性(第一课时)隐藏>> 函数单调性(第一课时) 教学目标 1.使学生理解函数单调性的概念,并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性....