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2015年高考全国新课标1卷理科数学试卷


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 I 卷)

理 科 数 学
第Ⅰ卷
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 (1)设复数 z 满足 (A) 1 (B)
1? z ? i ,则| z |? 1? z

2


(C)

3

(D)2

(2) sin 20? cos 10? ? cos 160 ? sin 10? ? (A) ?

3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D)

1 2

(3)设命题 p : ?n ? N , n 2 ? 2 n , 则 ? p 为 (A) ?n ? N , n 2 ? 2 n (B) ?n ? N , n 2 ? 2 n (C) ?n ? N , n 2 ? 2 n (D) ?n ? N , n 2 ? 2 n

(4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试,已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次 投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A) 0.648 (B) 0.432 (C) 0.36 (D) 0.312

x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是 C 的两个焦点,若 MF1 ? MF2 ? 0 ,则 (5)已知 M ( x0 , y0 ) 是双曲线C : 2

y0 的取值范围是
(A ) (?

3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 , ) (B) (? , ) (C) (? , ) (D) (? , ) 3 3 6 6 3 3 3 3

(6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周八尺, 高五尺。问积及为米几何?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米堆 底部的弧长为 8 尺, 米堆的高为 5 尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少?已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方 尺,圆周率约为 3,估算出墙角的米约有 (A)14 斛 (B) 22 斛 (C )36 斛 (D) 66 斛

(7)设 D 为 ?ABC 所在平面内一点, BC ? 3CD ,则 (A) AD ? ?

1 4 AB ? AC 3 3

(B) AD ?

1 4 AB ? AC 3 3

(C) AD ?

4 1 AB ? AC 3 3

(D) AD ?

4 1 AB ? AC 3 3

(8)函数 f ( x) ? cos( ?x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x) 的单调递减区间为 (A) ( k? ?

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4
1 3 ,2k? ? ), k ? Z 4 4

(B)( 2k? ?

(C) ( k ?

1 3 , k ? ), k ? Z 4 4
1 3 ,2k ? ), k ? Z 4 4

(D) ( 2k ?

(9)执行右面的程序框图,如果输入的t ? 0.01 则输出的 n ? (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (10) ( x 2 ? x ? y) 5 的展开式中, x 5 y 2 的系数为 (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 (11) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r ) 组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为16 ? 20? , 则r ? (A)1 (B)2 (C)4 (D)8
x (12)设函数 f ( x) ? e (2 x ? 1 ) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x0 使得

f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是
(A)[ ?

3 ,1) 2e

(B)[?

3 3 , ) 2e 4

(C)[

3 3 , ) 2e 4

(D)[

3 ,1) 2e

第Ⅱ卷
二.填空题:本大题共四小题,每小题 5 分。 (13)若函数 f ( x) ? x ln( x ? a ? x 2 ) 为偶函数,则 a ? ____________ (14)一个圆经过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为___________ 16 4

? x ?1 ? 0 y ? (15)若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值为___________ x ?x ? y ? 4 ? 0 ?

(16)在平面四边形 ABCD 中, ?A ? ?B ? ?C ? 75?, BC ? 2 ,则 AB 的取值范围是___________ 三 . 解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)

S n 为数列{an } 的前 n 项和,已知 an ? 0, an ? 2an ? 4Sn ? 3
(I)求数列{an } 的通项公式(II)设 bn ? (18) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形, ?ABC ? 120 ? , E , F 是

2

1 ,求数列{bn } 的前 n 项和. a n a n ?1

BE ? 平面 ABCD , DF ? 平 平面 ABCD 同一侧的两点,
面 ABCD , BE ? 2DF, AE ? EC (I)证明:平面 AEC ? 平面 AFC (II)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值。 (19) (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售量 y (单位:t ) 和年利润 z (单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 yi (i=1,2,……8)数据作了初步处 理,得到下面的散点图及一些统计量的值

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方 程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x , y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问题:

(i)年宣传费 x ? 49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据 ( ?1 ,? 1 ) , (? 2 ,? 2 ) ,?, (? n ,? n ) ,其回归直线? ? ? ? ?? 的斜率和截距的最小二

? ? ?( ? i ? ? )(? i ? ? ) 乘估计分别为: ? ?( ? i ? ? ) 2
(20) (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C : y ?

?? ? ?? ? ?

x2 与直线 l : y ? kx ? a(a ? 0) 交于 M , N 两点. 4

(I)当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (II) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN ?说明理由。 (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ?
2

1 , g ( x) ? ? ln x 4

(I)当 a 为何值时, x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (II)用 min{ m, n} 表示 m, n 中的最小值,设函数 h( x) ? min{f ( x), g ( x)} ( x ? 0) ,讨论 h( x) 零点的 个数。 请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框 涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, AC 是⊙ O 的切线, BC 交⊙O 于点 E 。 (I)若 D 为 AC 的中点,证明: DE 是⊙ O 的切线; (II)若 OA ?

3CE ,求 ?ACB 的大小。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 C1 : x ? ?2 , 圆 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建 C2 : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 , 立极坐标系。 (I)求C1 , C2 的极坐标方程; (II)若直线 C3 的极坐标方程为? ? ? ( ? ? R) ,设 C 2 与 C3 的交点为 M , N ,求 ?C 2 MN 的面积。 4 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 1 | ?2 | x ? a | , a ? 0 (I)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 1 的解集; (II)若 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6 ,求 a 的取值范围。


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