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《概率论》试卷汇总

时间:2014-02-20


《概率论与数理统计》1
一、填空题: (每题 2 分,共 20 分) 1、设事件 A 、 B 相互独立,且 P( A ? B) ? 0.7, P( A) ? 0.4 ,则 P( B) = .

2、袋中有 5 只球(其中 2 只白球、3 只黑球) ,从中不放回地每次随机取一只球,则第二 次取到白球的概率为 . __.

3、若 X 服从泊松分布 ? (3) ,则 D( X ) ? _

x ? 1, ?0, ? 4、若随机变量 X 的分布函数为 F ( x) ? ?ln x,1 ? x ? e, 则 X 的概率密度为__ ?1, x ? e. ?

.

5、设随机变量 X 的分布律为 P{ X ? 0} ? P{ X ? 1} ? 布,则随机变量 Z = max{ X , Y } 的分布律为

1 , 随机变量 Y 与 X 相互独立且同分 2

。 .

6、 设随机变量 X , Y 的期望值分别为 E ( X ) = 1, E (Y ) = 3, 则 E ( 2 X ? 3Y ? 1) ?

7、在冬季供暖季节,住房温度 X 是随机变量,已知平均温度为 20? C ,标准差 2? C ,试用 切比雪夫不等式估计概率: P{ X ? 20 ? 4} ? .

8、设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 为取自正态总体 N (0,1) 的样本,令 N ? ( X1 ? X 2 )2 ? ( X 3 ? X 4 )2 ,则当

c ? ___

_时, cN 服从 ? 2 分布.

9、设总体 X 服从区间 ? 0, ? ? 上的均匀分布,从中取得样本 X 1 , X 2 ,? , X n ,则参数 ? 的矩估计 量为__ __.

10、设某种保险丝熔化时间 X ~ N (? , 0.36) (单位:秒) ,取 n ? 16 的样本,得样本均值为
x = 12, 则 ? 的置信度为 95%的置信区间是

.(注: Z0.025 = 1.96, Z0.05 = 1.64 )

二、选择题: (每题 2 分,共 10 分) 1、某人射击的命中率为 0.4 ,用 X 表示他在 5 次独立射击中命中目标的次数,则 X 的分布 为( ) A. 0-1 分布 B.二项分布 C.均匀分布 D.泊松分布 )

2、设随机变量 X 的分布函数是 F ( x) ,则随机变量 Y ? 2 X ? 1的分布函数为( A. 2F ( y) ? 1 B. F (2 y ? 1)
1 1 C. F ( y ? ) 2 2

D. )

1 1 F ( y) ? 2 2

3、若随机变量 X , Y 相互独立,则下列结论错误的是( A. E( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y )

B. E ( XY ) ? E ( X ) E (Y )
1

C. D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y )

D. D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) )
1 2

4、已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且 X ~ N (0,1) , Y ~ N (1,1) 下式成立的是( A. P{ X ? Y ? 1} ?
1 2

B. P{ X ? Y ? 0} ?

1 2

C. P{ X ? Y ? 0} ?

1 2

D. P{ X ? Y ? 1} ?

5、设 X 1 , X 2 ,? , X n 为取自正态总体 N (0, ? 2 ) 的样本, 下列统计量能作为 ? 2 的无偏估计量 的是 A. (
1 n X i2 ? n ? 1 i ?1

) B.
1 n X i2 ? n i ?1

C.

1 n2

? X i2
i ?1

n

D.

1 n X i2 ? n ? 1 i ?1

三、解答下列各题: (每题 10 分,共 30 分) 1、甲乙两台机器制造出一批零件,根据长期资料总结,甲机器制造出的零件废品率为 2%, 乙机器制造出的零件废品率为 3%,已知甲机器的制造量是乙机器的两倍.今从该批零件 中任意取出一件, (1) 求取到废品的概率 (2)若取到的零件经检验是废品,求该零件是乙机器制造的概率.

? A ? Be ?4 x , x ? 0 2、设连续型随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ? ? x?0 ?0, (1)求常数 A, B 的值 (2)计算概率 P{?2 ? X ? 1} 1 5 3、 设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 ?1, 0,1 , 已知 E ( X ) ? , D( X ) ? , 求X 3 9
的分布律及分布函数
?e ? y , 四、 (本题 12 分)设二维随机变量 的概率密度为 f ( x, y ) ? ? (X , Y) ?0, 0? x? y 其他

1、求边缘概率密度,并判断 X 与Y 是否相互独立; 2、求概率 P{X ? Y ? 2} 五、数理统计应用题: (每题 12 分,共 24 分) ?? e ? ? x , x ? 0 1、 设总体 X 的密度函数为 f ( x ) ? ? , 其中 ? (>0)为参数,x1 , x2 ,? xn 是 0 ,x ? 0 ? 来自总体的一组样本观测值,求参数 ? 的最大似然估计量. 2、设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机抽取 25 名考生的成绩,算得平均成绩为

73.5 分,标准差为 10 分,问在显著性水平 ? =0.05 下,能否认为这次考试全体考生的平
均成绩高于 70 分?(注: t0.025 (24) = 2.0639, t0.05 (24) = 1.7109 ) 六、证明题: (本题 4 分)
2

? 1, 若A出现, ? 1, 若B出现, Y ?? 设 A, B 是两个随机事件,随机变量 X ? ? ? ?1,若A不出现. ??1,若B不出现.

试证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 独立

《概率论与数理统计》2
(参考数据: F (0.5) = 0.6915 , F (2) = 0.9772 , Z 0.025 = 1.96 , Z 0.05 = 1.64 ,

t0.025 (15) = 2.1315 , t0.05 (15) = 1.7531 , t0.025 (16) = 2.1199 , t0.05 (16) = 1.7459 )
二、填空、选择题: (每题 3 分,共 30 分;请将各题的答案填入下列表格) 1、已知 P( A) = 0.5, P( B) = 0.2, P( B A) = 0.2 ,则 P( A ? B) = .

2、设 X 与 Y 相互独立,且 E ( X ) ? 2 , E (Y ) ? 3 , D( X ) ? D(Y ) ? 1 ,则 E[( X ? Y ) 2 ] ? ___ 3、设 ( X , Y ) 服从区域 G : 0 #x
2,0 #y 1 上的均匀分布,则概率 P{Y ? X }

.

10 4、设 X 1 , X 2 ,? , X 10 是取自总体 N ( ? , ? 2 ) 的样本,则统计量 12 ? ( X i ? ? )2 服从____分布(注 ? i ?1

明分布的自由度). 5、设 X ? U (0,? ) ,且关于 y 的方程 y 2 ? 4 y ? X ? 0 有实根的概率是 0.8 ,则参数 ? ? 6、 设随机变量 X ~ b(10,0.2)(二项分布) , 用切比雪夫不等式估计:P{ X ? 2 ? 4} ?( (A)
1 9

. ) .

(B)

8 9

(C)

1 10

(D)

9 10

7、设事件 A 与 B 互不相容,且 P ? A? ? 0 , P ?B ? ? 0 ,则下面结论正确的是( (A) A 与 B 互不相容 (C) P ? AB? ? P ? A?P ?B ? (B) P ?B A? ? 0 (D) P ?AB ? ? P ? A?
2



8、设两个随机变量 X 和 Y 相互独立,且同分布: P ? X ? ?1? ? P ?Y ? ?1? ? 1 ,
P ? X ? 1? ? P ?Y ? 1? ? 1 ,则 P X ? Y ? ( ? ? 2


1 2

(A) 0

(B)

1

(C)

(D)

1 4

9、设随机变量 ( X , Y ) 的方差 D( X ) ? 4 , D(Y ) ? 1, 相关系数 ? XY ? 0.6 , 则方差 D( 3 X ? 2Y ) ? ( ). (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6

10、若 X 的分布函数为 F ( x) , Y 与 X 相互独立且具有相同分布规律, Z ? max( X , Y ) ,则 Z 的分布函数为( )
3

(A) F ( z )

(B) F 2 ( z )

(C) 1 ? F ( z )

(D) 1 ? (1 ? F ( z ))2

二、概率论应用题: (40 分) 1、 (10 分)某厂有 A、B、C 三条流水线生产同一产品,其产品分别占总产量的 35%、40%、 25%,这三条生产线的次品率分别为 2%、3%、4%,现从出厂的产品中任取一件, (1)求恰好取到次品的概率; (2)若取到次品,求该次品是 B 流水线生产的概率.

? 2 x, 0 ? x ? 1 2、 (15 分)设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ? ? , ? 0, 其他
(1)概率 P{

求:

1 3 ? X ? }; (2) X 的分布函数 F ( x) ; (3) Y ? 2 X ? 1 的概率密度. 2 2

? Ae ? x ?3 y , x ? 0, y ? 0 3、 (15 分)设随机变量 X , Y 的联合概率密度为 f ( x, y ) ? ? , 0, 其他 ?
(1)求常数 A 的值; (2)求边缘概率密度 f X ( x), fY ( y ) ; (3)分析随机变量 X , Y 是否相互独立. 三、数理统计应用题: (25 分) 1、设总体 X 的概率分布律为 P ? X ? x ? ? ?1 ? p ?
x ?1

p,

? x ? 1, 2,?? ,其中 0 ? p ? 1 为未知

参数,取样本 X 1 , X 2 ,? , X n ,记样本观测值为 x1 , x2 ,?, xn ,求参数 p 的矩估计量和最大 似然估计量.(15 分) 2、 随机抽取某班 16 名学生的英语考试成绩, 得平均分数为 x ? 80 分, 样本标准差 s ? 8 分, 若全年级的英语成绩服从正态分布, 且平均成绩为 76 分, 试问在显著性水平 ? =0.05 下, 该班的英语平均成绩是否显著高于全年级的英语平均成绩?(10 分) 四、解答下列问题: (5 分) 某商店出售某种贵重商品. 根据经验,该商品每月销售量服从参数为 ? ? 12 的泊松分布.假定 各月的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内(12 个月)售出该商品件数 在 120 件到 150 件之间的概率

《概率论与数理统计》3
一、填空题: (每题 3 分,共 30 分) 1、设 P( A) ? 0.7 , P( B) ? 0.5 .则 P( AB)的最小值为 .
19 ,则每次试验成功 27
4

2、三次独立的试验中,成功的概率相同,已知至少成功一次的概率为

的概率为 . 3、有甲、乙两人,每人扔两枚均匀硬币,则两人所扔硬币均未出现正面的概率为___. 4、某射手对一目标独立射击 4 次,每次射击的命中率为 0.5,则 4 次射击中恰好命中 3 次的 概率为___.
?0, x ? ?1 ?1 ? X 5、设离散型随机变量 的分布函数为 F ( x) ? ? , ?1 ? x ? 2 ,则 P{ X ? 2} ? ?3 ? ?1, x ? 2

.

1 6、设随机变量 X ? U (?1,1) ,则 P{ X ? } ? ____. 2
1 7、设随机变量 X ? B(4, ) ,则 P{ X ? 0} ? ____. 3

8、设随机变量 X ? N (0, 4) ,则 P{ X ? 0} ? ____. 9、设 X ~ N (0,2), Y ~ N (0,1), 且 X 与 Y 相互独立,则 Z ? X ? Y ~ ___.
?? e ? ? x , x ? 0 10、设总体 X 的概率密度为 f ( x ) ? ? ,来自总体 X 的一个样本平均值 x ? 9 ,则参 x?0 ?0,

? ? ___. 数 ? 的矩估计 ?

二、选择题: (每题 4 分,共 20 分) 1、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? A.1 B.2
?kx 3 , 0 ? x ? 1 ?0, 其他

则常数 k ? ( D.4



C.3

2 2 2、设随机变量 X ~ N (0 , 1) , Y ~ N (0 , 1) ,且 X 与 Y 相互独立,则 X ? Y ~ (



A. N (0 , 2)

2 B. ? (2)

C. t (2)

D. F (1 , 1) )

3、设 X 1 , X 2 ,?, X n 来自正态总体 N ( ? , ? 2 ) 的样本,其中 ? 已知,? 2 未知,则下列( 不是统计量. A. min X i
1?i ? n

B. X ? ?

C. ?
i ?1

n

Xi

?
e
? ( x ? 3) 2 4

D. X n ? X 1

4、 已知随机变量 X 的密度函数为
~ N (0, 1) 。

f ( x) ?

1 2 ?

(?? ? x ? ?) , 则 Y ?(



A.

X ?3 2

B.

X ?3 2

C.

X ?3 2

D.

X ?3 2

5、设 X , Y 是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 FX ( x), FY ( y ) ,则
5

Z ? max( X , Y ) 的分布函数为(

) B. FZ ( z ) ? max{| FX ( z ) |, | FY ( z ) |}

A. FZ ( z ) ? max{FX ( z ), FY ( z )} C. FZ ( z ) ? FX ( z ) FY ( z )

D. 以上都不是

三、解答下列各题: (每题 10 分,共 50 分) 1、已知一批产品中96%是合格品. 检查产品时,一合格品被误认为次品的概率是 0.02 ,一次 品被误认为合格品的概率是 0.05 从中随机抽取一件产品经检查认为是合格品,求这件产 品确实是合格品的概率。 ?12e ?3 x ? 4 y , x ? 0, y ? 0 2、设随机变量 X , Y 的联合概率密度为 f ( x, y ) ? ? ,求边缘概率 0, 其他 ? 密度 f X ( x), fY ( y ) ;随机变量 X , Y 是否相互独立? 3、 设总体 X 服从泊松分布 (参数 ? 未知) , 取样本 X 1 , X 2 ,? , X n , 记样本观测值为 x1 , x2 ,?, xn , 求 ? 的最大似然估计量. 4、随机抽取某班 16 名学生的概率统计考试成绩,得平均分 x ? 71 分,样本标准差 s ? 8 分, 若全年级成绩服从正态分布,且平均成绩为 76 分,试问在显著性水平 ? =0.05 下,该班
t0.05 (15) = 1.7531 的概率统计平均成绩是否显著低于全年级平均成绩? ( t0.025 (15) = 2.1315 , )
X 5、设随机变量 X 服从 N (0,1) 分布,求随机变量 Y ? e 的概率密度函数。

《概率论与数理统计》4
(参考数据: , Z 0.025 = 1.96 , Z 0.05 = 1.64 , t0.025 (15) = 2.1315 , t0.05 (15) = 1.7531 ,
2 2 2 ? 0.05 (16) ? 26.296, ? 0.05 (15) ? 24.996, ? 0.025 (15) ? 27.488. )

一、填空、选择题: (每题 3 分,共 30 分) 1、设 P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.6 , P( B | A) ? 0.8 ,则 A, B 至少发生一个的概率为___. 2、设 X ~ ? (3), Y 在区间 [?2, 2] 上服从均匀分布,且 X 与 Y 相互独立,则

E (2 X ? 3Y ) ? _ .

P{ X ? 4 ? 5} ? 3、 设随机变量 X 服从参数为 4 的泊松分布, 用切比雪夫不等式估计:
4、设随机变量 X 与 Y 独立同分布,已知 X 的分布律为 P{X ? 0} ? 0.3, P{ X ? 1} ? 0.7 ,则
P{ X ? Y } ?

.

.
9 2
2

? Xi ? ? ? 5、设样本 X 1 , X 2 ,? X 9 来自总体 X ~ N ( ? , ? ) ,则 ? ? ~ _.(请注明分布参 ? ? ? i ?1 ?
数) 6、 A, B, C 是任意事件,在下列各式中,不成立的是( )
6

(A) ( A ? B) ? B ? A ? B . (C) ( A ? B) ? AB ? AB ? AB .

(B) ( A ? B) ? A ? B . (D) ( A ? B)C ? ( A ? C ) ? ( B ? C ) )

7、设 A 、 B 、 C 为三个事件, P( AB) ? 0 且 P(C | AB) ? 1 ,则有( (A) P(C ) ? P( A) ? P( B) ? 1. (C) P(C ) ? P( A) ? P( B) ? 1. (B) P(C ) ? P( A ? B). (D) P(C ) ? P( A ? B).

8、设随机变量 X ~ N (0,1), X 的分布函数为 ?( x) ,则 P(| X |? 2) 的值为( (A) 2?(2) . (C) 2?(2) ? 1 . (B) ?(2) . (D) 1 ? 2?(2) . )

)

9、设随机变量 X 和 Y 不相关,则下列结论中正确的是( (A) X 与 Y 独立. (C) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) .

(B) D( XY ) ? D( X ) D(Y ) . (D) D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) . )

10、设随机变量 X 的分布函数为 FX ( x) ,则 Y ? 5 X ? 3 的分布函数为 FY ( y ) ? ( (A) FX (
y ?3 ). 5

(B) 5 FX ( y ) ? 3 .

1 y ?3 (C) FX ( y ? 3) . (D) 1 ? FX ( ) 5 5 二、概率论应用题: (40 分) 1、 (8 分)某商店拥有某产品共计 12 件,其中 4 件次品,已经售出 2 件,现从剩下的 10 件产品中任取一件,求这件是正品的概率. ?2 x, 0 ? x ? 1, 2、 (8 分)设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? 现对 X 进行四次独立重复观 其它 , ? 0,

察,用 Y 表示观察值不大于 0.5 (即 X ? 0.5 )的次数,求 E (Y 2 ) ? ax ? 1, 0 ? x ? 2, 3、 (10 分)设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ? ,求: 其它. ? 0 , (1)常数 a (2) X 的分布函数 F ( x) 4、 (14 分)设二维随机变量 ( X , Y ) 在区域 D ? {( x, y ) | x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1} 上服从均匀分 布. (1)写出 X , Y 的联合概率密度,并求边缘概率密度 f X ( x), fY ( y ) ; (2)分析随机变量 X , Y 是否相互独立. (3)求 Z ? X ? Y 的概率密度. 三、数理统计应用题: (每题 15 分,共 30 分) ? ? x? ?1 , 0 ? x ? 1, 1、设总体 X 的概率密度为 f ( x; ? ) ? ? ,其中 ? ? 0 为未知参数,取样本 其它. ? 0 ,
7

X 1 , X 2 ,? , X n ,记样本观测值

为 x1 , x2 ,?, xn ,求参数 ? 的矩估计量和最大似然估计量.
2 2、设某机器生产的零件长度(单位:cm) X ~ N ( ? , ? ) ,今抽取容量为 16 的样本,测

得样本均值 x ? 10 ,样本方差 s 2 ? 0.16 . (1)求 ? 的置信度为 0.95 的置信区间; (2)检验假设 H 0 : ? 2 ? 0.1 (显著性水平为 0.05 ).

《概率论与数理统计》5
(参考数据: z0.025 ? 1.96 , z0.05 ? 1.64 , t0.025 (15) = 2.1315 , t0.05 (15) = 1.7531 ) 一、填空题: (每题 3 分,共 30 分。请将各题答案填在下列表格) 1、设 A, B, C 为随机事件,则 A, B, C 三个事件都不发生可以表示为 2、已知 P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.8 ,则 P( AB) 的最大值为 . .

3、设事件 A, B ,且 P( A) ? 0.8 , P( AB ) ? 0.3 ,,则 P( AB) ? ___. 4、已知 7 件产品中有 2 件次品,从中任取 3 件产品,则恰好取到 1 件次品的概率是 5、设随机变量 X 服从参数为 3 的泊松分布,则 E ( X ) ?
2

.

.

?0, x ? 1 ? x ?1 ? ,1 ? x ? 3 ,则 E ( X ) ? 6、设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) ? ? 2 ? ? ?1, x ? 3

.

7、设随机变量 X ~ N (1, 2), Y ~ N (0,1), 且 X 与 Y 相互独立,则 X ? Y ~ 8、设随机变量 X ~ b(10,0.2) ,用切比雪夫不等式估计: P{ X ? 2 ? 4} ? 9、设 ( X , Y ) 服从区域 G : 0 #x
1,0 #y

. . .

2 上的均匀分布,则概率 P{Y ? X }

10、已知随机变量 X ~ t (2) ,则 X 2 服从的分布为 二、概率论应用题: (40 分)

.(注明分布参数)

1、甲乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为 0.5 和 0.4,现已知目标被命 中,求它是乙命中的概率. (10 分) 2、 (15 分)设随机变量 X 的概率密度为

0? x?4 ? kx, f ( x) ? ? , ? 0 , others

(1)求常数 k ; (2) X 的分布函数 F ( x) ; (3)求 P{X ? 3} . 3、 (15 分)二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
8

? Ae ? ( x? 2 y ) , f ( x, y ) ? ? 0, ?
求: (1)系数 A ; (2) X , Y 的边缘密度函数; (3)问 X , Y 是否独立? 三、数理统计应用题: (30 分) 1、设总体 X 的概率分布律为 P ? X ? x ? ? ?1 ? p ?
x ?1

x ? 0, y ? 0 others

p? x ? 1,2,?? , p 为未知参数;取样本

X 1 , X 2 ,? , X n , 记样本观测值为 x1 , x2 ,?, xn , 求参数 p 的矩估计量和最大似然估计量. (15 分)

2、设某机器生产的零件长度(单位:cm) X ~ N (? ,0.16) ,机器工作正常时零件的平均长度 为 10cm,今抽取一组容量为 16 的样本,测得样本均值 x ? 10.2 cm. 试问机器工作是否正常? (显著性水平为 0.05 ).(10 分) 3、设测量零件的长度产生的误差 X 服从正态分布 N ( ? , ? 2 ) ,今随机地测量 16 个零件,得 (5 分) ? X i ? 8 , ? X i2 ? 34 . 在置信度 0.95 下,求 ? 的置信区间。
i ?1 i ?1 16 16

《概率论与数理统计》6
(附参考数据: z0.025

= 1.96, z0.05 = 1.64 , t0.025 (24) = 2.0639, t0.05 (24) = 1.7109 )
. . . .

一、填空、选择题: (每题 3 分,共 30 分; ) 1、已知 P( A) =
1 3 , P( B A) = , ,则 P( AB) = 3 4

2、设随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ? ?

?k sin x, 0 ? x ? ? ,则常数 k ? 0 , 其他 ?

3、设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D( X ) ? 2, D(Y ) ? 1 ,则 D( X ? Y ) ?
? 1 1 ? 4、设随机变量 X ~ U (0,1) ,用切比雪夫不等式估计: P ? X ? ? ?? 2 3? ?
H 0 : ? 2 ? 1, H1 : ? 2 ? 1 ,可采用

5、设总体 X ~ N ( ? , ? 2 ), 其中 ? , ? 2 均未知, X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的样本,对于假设 检验法进行统计推断。 ) D. P( AB) ? P( A) P( B)

6、设事件 A, B 互不相容,且 P( A) > 0, P( B) > 0, 则必有( A. P( A) ? 1 ? P( B) B. P( A ? B ) ? 1

C. P( A ? B) ? 1 )

7、任一连续型随机变量的概率密度 f ( x) 一定满足( A.在定义域内单调不减 B. 0 ? f ( x) ? 1

C. lim f ( x) ? 1
x ???

D.

?

??

??

f ( x)dx ? 1

9

8、设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) ,令 Y ? ?2 X ,则 Y 的概率密度为 fY ( y ) ? (

A. 2 f X (?2 y)

y B. f X (? ) 2

C.

1 y f X (? ) 2 2

D. ?

1 y f X (? ) 2 2
1 n X i 2 依概率 ? n i ?1

9、设总体 X ~ ? (2) , X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的样本,则当 n ?? 时,

收敛于( ) A.0 B.2 C.4 D.6 2 10、设总体 X ~ N ( ? , ? ), X 1 , X 2 ,?, X n 是来自总体 X 的样本, X 为样本均值,则

E[? ( X i ? X ) 2 ] ? ( )
i ?1

n

A. ? B. ? 2 C. (n ? 1)? 2 D. n? 2 二、解答下列各题: (每题 8 分,共 40 分) 1、发报台分别以概率 0.6 和 0.4 发出信号“+”和“—” ,由于随机干扰,当发出“+”时, 收报台未必收到信号“+” ,而是分别以概率 0.8 和 0.2 收到信号“+”和“—” ,同样当 发出信号“—”时,收报台以概率 0.9 和 0.1 收到信号“—”和“+” ,求某一时刻: (1)收报台收到信号“+”的概率; (2)当收报台收到信号“+”时,其源发信号是“+”的概率 2、10 件产品中有 3 件次品,从中随机取 2 件,求: (1)至少取到 1 件次品的概率; (2)在取到的 2 件产品中发现 1 件次品的情况下,另 1 件也是次品的概率。 3、某车间生产的圆盘其直径 X 在区间 (a, b) 服从均匀分布, 试求圆盘面积 Y 的数学期望. 4、设随机变量 X , Y 的联合分布律如下 (1)写出 Y 的分布律及 X ? ?1 条件下 Y 的条件分布律 (2)写出 Z ?

Y 的分布律. X
X

Y

-1 0.1 0

0 0.3 0.1

1 0.2 0.3

-1 1

?6 xy 2 , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 5、设随机变量 X , Y 的联合概率密度为 f ( x, y ) ? ? , 其它 ? 0,
(1)求边缘概率密度 f X ( x), fY ( y ) ; (2)分析随机变量 X , Y 是否相互独立、是否不相关。 三、数理统计应用题: (30 分) 1、总体 X 的分布律为 P{ X ? x} ? p (1 ? p)
x 1? x

, x ? 0,1 ,其中 0 ? p ? 1 为未知参数,对给定

的样本( X 1 , X 2 ,?, X n ) ,试求参数 p 的最大似然估计量并判定估计量的无偏性。 (15 分) 2、设某产品的某项质量指标服从正态分布,现从一批产品中随机抽取了 25 个,测得该项指
10

标的平均值为 1657, 样本标准差为 150, 问能否认为这批产品的该项指标的均值为 1600? (取 显著性水平 ? =0.05 ) (10 分) 3、 总体 X 服从方差为 9 的正态分布, 要保证 X 的期望落在区间 ( X - 1, X + 1) 的概率为 0.95 , 其中 X 为样本均值,问样本容量至少应取多大?(5 分) 《概率论与数理统计》1

参考

答案
一、填空题: (每空 2 分共 20 分)

1、 0.5 6、 ?6

2 2、 5

3、3
3 4

?1 ,1 ? x ? e 4、 f ( x ) ? ? ?x ? ?? ?0,

5、 P{Z ? 0} ? , P{Z ? 1} ?

1 4

3 4

7、

8、

1 2

9. 2 X

10. (11.706,12.294)

二、选择题: (每题 2 分共 10 分) 1、B 2、C 3、D 4、A 5、B

三、计算: (每题 10 分共 30 分) 1、解: (1) p1 ? ? 2% ? ? 3% ? 2.33% 分
1 ? 3% 3 3 (2) p2 ? ? ? 43% 2.33% 7
2 3 1 3

5

5分 ( A + Be- 4 x ) = A = 1 2、解: (1)由 F (+ ? ) 1 ,即有 xlim ?
?? ? ?4 Be ?4 x , x ? 0 又 f ( x) ? ? , 而 ??? f ( x)dx ? 1, x?0 ?0,

则 分

?

??

0

(?4Be?4 x )dx ? ? B ? 1 , B = - 1

5 5分

(2) P{?2 ? X ? 1} ? F (1) ? F (?2) ? 1 ? e?4 3、解: (1)设随机变量 X 取 ?1, 0,1 的概率依次为 p1 , p2 , p3 ,则
? ? p1 ? p2 ? p3 ? 1 ? 1 ? ?? p1 ? p3 ? 3 ? 5 1 ? p1 ? p3 ? ? ? 9 9 ?

,解得 p1 = , p2 = , p3 =

1 6

1 3

1 2

5



11

?0, x ? ?1 ?1 ? , ?1 ? x ? 0 6 (2)F ( x) ? P{ X ? x} ? ? ? ?1 ,0 ? x ? 1 ?2 ?1, x ? 1 ?

5



四、解: (本题 12 分) (1) f X ( x) ? ??? 分
fY ( y ) ? ?
?? ?? y ?y ?y ? ? ?0 e dx, y ? 0 ? ye , y ? 0 f ( x, y)dx ? ? ?? ? 0, y ? 0 ? ? 0, y ? 0 ?? ?? ?y ?x ? ? ?x e dy, x ? 0 ?e , x ? 0 f ( x, y)dy ? ? ?? ? 0, x ? 0 ? 0, x ? 0 ?

3

6分 因为 f X ( x) fY ( y) ? f ( x, y) ,所以 X 与 Y 不相互独立。 8分 (2)P{ X ? Y ? 2} ?
x ? y ?2

??

f ( x, y)dxdy ? ? dx?
0

1

2? x

x

e? y dy ? ? (e? x ? e x?2 )dx ? 1 ? 2e?1 ? e?2
0

1

4

分 五、数理统计应用题(本题 24 分) 1、构造似然函数 L (? ) ? ? ? e ? ? x ? ? n e
i

n

??

? xi
i ?1

n

4分

i ?1

取对数 ln L(? ) ? n ln ? ? ? ? xi
i ?1

n

求导,令 9分

n

?

? ? xi ? 0
i ?1

n

? ? 1 , ? 的最大似然估计量为 ? ?? 1 得? x X

12 分 2、解: (1) H 0 : ? ? ?0 ? 70, H1 : ? ? 70 3分
H 0 的拒绝域为

x ? ?0 ? t? (n ? 1) s n

7分 因 x ? 73.5, ?0 ? 70, s ? 10, n ? 25, ? ? 0.05, t0.05 (24) ? 1.7109
12

x ? ?0 73.5 ? 70 ? ? 1.75 ? 1.7109 s 10 5 n

10 分 所以拒绝 H 0 ,认为这次考试全体考生的平均成绩高于 70 分 12 分 六、证明:(本题 4 分) 记 P ? A? ? p1 , P ? B ? ? p2 , P ? AB ? ? p12 ,则 X , Y 的分布律分别为 X P
- 1
1 ? p1

1
p1

Y P

- 1
1 ? P2

1
P2

可见 E ( X ) ? 2 p1 ? 1, E (Y ) ? 2 p2 ? 1. 现在求 E ? XY ? ,由于 XY 只有两个可能值1和 ?1,故
P ? XY ? 1? ? P ? X ? 1, Y ? 1? ? P ? X ? ?1, Y ? ?1? ? P ? AB ? ? P AB ? p12 ? P A ? B ? 2 p12 ? p1 ? p2 ? 1,
P ? XY ? ?1? ? 1 ? P ? XY ? 1? ? p1 ? p2 ? 2 p12 .

? ?

?

?

? p12 ? 1 ? P ? A ? B ? ? p12 ? 1 ? P ? A ? ? P ? B ? ? P ? AB ?

从而 E ( XY ) ? P ? XY ? 1? ? P ? XY ? ?1? ? 4 p12 ? 2 p1 ? 2 p2 ? 1,
Cov ? X , Y ? ? E ( XY ) ? E ( X )?E (Y ) ? 4 p12 ? 4 p1 ?p2 . Cov ? X , Y ? ? 0 当且仅当 p12 ? p1 ?p2 , 因此, 即 X 与 Y 不相关当且仅当 A 与 B 相互独立.

《概率论与数理统计》2 参考答案
一、填空、选择题: (每空 3 分共 30 分) 1、 0.6 2、 3 3、
3 4

4、 c 2 (10) 9、C

5、 5

6、 D 7、D

8、 C

10、B

二、概率论应用题: (40 分) 1、解: (1) p1 ? 35% ? 2% ? 40% ? 3% ? 25% ? 4% ? 2.9% (2) p2 ? 分 2、 解: (1)P{ ? X ? } ? ?1 2 xdx ? 1 ?
2

5分 5

40% ? 3% 12 ? ? 41% 2.9% 29

1 2

3 2

1

1 3 ? 4 4

5
13


F ( x) ? ? (2) ??
x

x?0 ?0, ? ? x f ( x ) dx ? ? ? 2 xdx, 0 ? x ? 1 0 ? x ?1 ? ?1,

5


y ?1 ? y ?1 ? y ?1 ,0 ? ?1 ? ,1 ? y ? 3 y ?1 1 ? )? ? ? 2 ?? 2 (3) fY ( y ) ? f X ( 2 2 2 ? ? 其他 其他 ?0, ?0,

5

分 3、解: (1)根据 ??? ??? f ( x, y)dxdy ? 1 即 ?0 5分 (2) f X ( x) ? ??? 3分
fY ( y ) ? ?
?? ?? ?? ? x ?3 y ? dx, y ? 0 ?3e?3 y , y ? 0 ? ?0 e f ( x, y )dx ? ? ?? ? 0, y ? 0 ? 0, y ? 0 ? ?? ?? ? x ?3 y ? dy, x ? 0 ?e? x , x ? 0 ? ?0 3e f ( x, y)dy ? ? ?? ? 0, x ? 0 ? 0, x ? 0 ?
??

??

??

?

??

0

Ae? x ?3 y dxdy ? A? e? x dx ? e?3 y dy ?
0 0

??

??

A ? 1 ,所以 A ? 3 3

6分 (3)因为 f X ( x) fY ( y) ? f ( x, y) ,所以 X 与 Y 相互独立。 4分 三、数理统计应用题(本题 25 分) 1、 (1)因为 E ( X ) ? ? x(1 ? p) x ?1 p
x ?1 ? 1? p ? q ?

?

? q 1 x ?1 xq p ? p ( q x )? ? p( )? ? ? ? 1? q p x ?1 x ?1

3

分 令 X ? E( X ) ? 5分 (2)构造似然函数 L ( p ) ? ? (1 ? p )
i ?1 n xi ?1

1 1 ?? ,得参数 p 的矩估计量为 p p X

p ? p (1 ? p ) i?1
n

? xi ? n

n

4

分 取对数 ln L( p) ? n ln p ? (? xi ? n) ln(1 ? p)
i ?1 n

xi ? n n ? i ?1 ?0 求导,令 ? p 1? p

n

8分
14

?? 得p

1 1 ? ? , p 的最大似然估计量为 p x X

10 分 2、 解: (1) H 0 : ? ? ?0 ? 76, H1 : ? ? 76 分
H 0 的拒绝域为

2

x ? ?0 ? t? (n ? 1) s n

6分 因 x ? 80, ?0 ? 76, s ? 8, n ? 16, ? ? 0.05, t0.05 (15) ? 1.7531
x ? ?0 80 ? 76 ? ? 2 ? 1.7531 s 8 4 n

8分 所以拒绝 H 0 ,该班的英语平均成绩显著高于全年级的英语平均成绩 10 分 四、解: (本题 5 分) 因为 E ( X i ) ? D( X i ) ? 12 ,由中心极限定理
P{120 ? ? X i ? 150} ? P{
i ?1 12

?X
i ?1

12

120 ? 12 ?12 150 ? 12 ?12 ? } 12 ?12 12 ?12 12 ?12 ? ?(0.5) ? ?(?2) ? 0.6915 ? 1 ? 0.9772 ? 0.6687
i

? 12 ?12

?

《概率论与数理统计》3 参考答案
一、填空: (每空 3 分共 30 分) 1 1 1 2 1、 0.2 2、 3、 4、 5、 3 16 4 3 二、选择: (每空 4 分共 20 分) 1、 D 2、B 3、 C 4、B 5、C 6、
1 2

7、

65 81

8、 0.5

9、 N (0,3) 10、

1 9

三、解答下列各题: (每题 10 分,共 50 分) 1、解: (1) p1 ? 96% ? 0.98 ? 4% ? 0.05 ? 0.9428 96% ? 0.98 (2) p2 ? ? 0.9979 0.9428 ?? ?3 x ? 4 y ? ?? dy, x ? 0 ?3e?3 x , x ? 0 ? ?0 12e 2、解: (1) f X ( x) ? ? f ( x, y )dy ? ? ?? ?? ? 0, x ? 0 ? 0, x ? 0 ?
?? ?4 x ?3 y ? dx, y ? 0 ?4e?4 y , y ? 0 ? ?0 12e fY ( y) ? ? f ( x, y)dx ? ? ?? ?? ? 0, y ? 0 ? 0, y ? 0 ? (3)因为 f X ( x) fY ( y) ? f ( x, y) ,所以 X 与 Y 相互独立。 ??

5分 5分 4分

8分 2分 4分
15

3、解:构造似然函数 L (? ) ? ?
i ?1

n

? x e??
i

xi !

e ? n? ? x1 !? xn !
i ?1

?

? xi

n

取对数 ln L(? ) ? ? xi ln ? ? n? ? ln( x1 ? xn )
i ?1

n

求导,令

?x
i ?1

n

i

? ? x , ? 的最大似然估计量为 ? ??X 得? 4、解: (1) H 0 : ? ? ?0 ? 76, H1 : ? ? 76 x ? ?0 H 0 的拒绝域为 ? ?t? (n ? 1) s n 因 x ? 71, ?0 ? 76, s ? 8, n ? 16, ? ? 0.05, t0.05 (15) ? 1.7531 x ? ?0 71 ? 76 ? ? ?2.5 ? ?1.7531 s 8 4 n 所以拒绝 H 0 ,该班的英语平均成绩显著低于全年级的英语平均成绩
5、解: y ? 0 时, FY ( y ) ? P{Y ? y} ? P{e ? y} ? P{ X ? ln y} ? FX (ln y)
X

?

?n ?0

8分 10 分 2分 6分

8分 10 分

y ? 0 时, FY ( y) ? 0

? 1 1 ? ln y e 2 ,y?0 ? 所以 fY ( y ) ? [ FY ( y )]? ? [ FX (ln y)]? ? ? y 2? ?0, y ? 0 ?
2

10 分

《概率论与数理统计》4 参考答案
一、填空、选择题: (每空 3 分共 30 分) 1、 0.7 2、6 3、
21 25

4、 0.58

5、 ? 2 (9)

6、B 7、C 8、 C

9、D

10、A 二、概率论应用题: (40 分) 1、解: p1 ? 分 2、解: P{X ? 0.5} ? ?0 2xdx ? 0.25 ,则 Y ~ b(4,0.25) , 分
E (Y ) ? 1, D(Y ) ? 0.75, E (Y 2 ) ? D(Y ) ? [ E (Y )]2 ? 1.75
0.5
1 1 2 C82 6 C8 C4 7 C4 8 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C12 10 C12 10 C12 10 3

8

4 8分

3、解: (1)因为 ??? f ( x)dx ? 1
2 即 ?0 (ax ? 1)dx ? x 2 0 解得 a ? ? ? 2 ? 2a ? 2 ? 1 , 2

??

a 2

1 2

5

分 (2) F ( x) ? ???
x

x?0 ? 0, 0, x?0 ? ? ? x 2 1 x ? ? f ( x)dx ? ? ? (1 ? x)dx, 0 ? x ? 2 ? ? x ? , 0 ? x ? 2 0 2 4 ? ? 1, x?2 x?2 ? ? 1, ? ?

5分

16

4、 解: (1)f ( x, y ) ? ? 分
f X ( x) ? ? fY ( y ) ? ?
?? ??

?2, x ? 0, y ? 0, x ? y ? 1 others ?0,

2

??

??

1? x ? ? ?0 2dy, 0 ? x ? 1 ?2(1 ? x), 0 ? x ? 1 f ( x, y )dy ? ? ?? 0, others ? ? 0, others ? 1? y ? ? ?0 2dx, 0 ? y ? 1 ?2(1 ? y), 0 ? y ? 1 f ( x, y)dx ? ? ?? 0, others ? ? 0, others ?

8分

(2)因为 f X ( x) fY ( y) ? f ( x, y) ,所以 X 与 Y 不相互独立。 2分 (3) f Z ( z ) ? ???
?? z ? ? ?0 2dx, 0 ? z ? 1 ?2 z, 0 ? z ? 1 f ( x, z ? x)dx ? ? ?? ? 0, others ? ? 0, others

4

分 三、数理统计应用题(本题 30 分) 1、解: (1)因为
E( X ) ? ?
?? ??

x f ( x; ? )dx ? ? x? x? ?1dx ?
0

1

? ? ?1

X 令 X ? E( X ) ? ,得 ? 的矩估计量为 ?? ? 1? X ? ?1

?

5分 (2)构造似然函数 L(? ) ? ?? xi? ?1 ? ? n ( x1 x2 ? xn )? ?1
i ?1 n

4

分 取对数 ln L(? ) ? n ln ? ? (? ? 1) ln( x1 x2 ? xn ) 求导,令 8分
1 1 ? ??? 得? ? ? 1 n , ? 的最大似然估计量为 ? n 1 ln xi ? ? ln X i n i ?1 n i ?1
n ? ? ln xi ? 0
i ?1 n

?

10 分 2、解: (1) n ? 16, x ? 10, s 2 ? 0.16, ? ? 0.05, t0.025 (15) ? 2.1315 代入 ? x ?
? ? s s ? t0.025 (15), x ? t0.025 (15) ? , n n ?

得 ? 的置信度为 0.95 的置信区间为 (9.787,10.213) 5分 (2) H 0 : ? 2 ? 0.1 2分
H1 : ? 2 ? 0.1

H 0 的拒绝域为

(n ? 1) s 2

? 02

? ? 2? (n ? 1)
17

6分 因 s ? 0.16, n ? 16, ? ? 0.05, ? 20.05 (15) ? 24.996
(n ? 1) s 2 ? 15 ? 0.16 ? 24 ? 24.996 0.1

?0

2

8分 所以接受 H 0 : ? 2 ? 0.1 10 分

《概率论与数理统计》5 参考答案
一、填空题: (每题 3 分,共 30 分)
1. ABC 6. 2 2. 0.5 7. N(1,3) 3. 0.5 8. 0.9 4 7 1 9. 4 4. 5.12 10.F(1,2)

二、概率论应用题: (40 分) 1. 解: 设 A 表示事件 “甲命中目标” ,B 表示事件 “乙命中目标” , 则 A ? B 表示 “目标被命中” , 且 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P ( AB) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.4 ? 0.7 P[ B( A ? B )] P( B) 0.4 所求概率为 P ( B / A ? B ) ? ? ? ? 0.57 P( A ? B) P ( A ? B ) 0.7 4 ?? k 1 2. 解: (1)依据 ? f ( x)dx ? 1, 即 ? kxdx ? ? 1, 得 k ? 0 ?? 8 8 ?0, x ? 0 0, x ? 0 ? ? 2 ? x1 x ? ? x (2) F ( x) ? ? f (t )dt ? ? ? xdt , 0 ? x ? 4 ? ? , 0? x?4 ?? 0 ? 8 ? 16 1, x ? 4 ? ?1, x ? 4 ? ? 41 7 (3) P{ X ? 3} ? ? xdx ? . 3 8 16 3.解: (1)依据 ?
?? ??

?

??

??

f ( x, y)dxdy ? 1,
?? ?? 0 0



? ?
0

??

??

0

Ae? ( x ? 2 y ) dxdy ? A? e? x dx ? e?2 y dy ?
??

A ? 1, 得 A ? 2 2

?? ? x ?2 y ? dy, x ? 0 ?e? x , x ? 0 ? ?0 2e (2) f X ( x) ? ? f ( x, y )dy ? ? ?? ?? ? 0, others ? 0, others ? ?? ? x?2 y ? ?? dx, y ? 0 ?2e?2 y , y ? 0 ? ?0 2e fY ( y ) ? ? f ( x, y )dx ? ? ?? ?? ? 0, others ? 0, others ? (3) 因为 f X ( x) fY ( y) ? f ( x, y) ,所以 X 与 Y 相互独立

三、数理统计应用题(30 分) 1.解:因为 E ( X ) ? ? x(1 ? p) x ?1 p ? p{? (1 ? p) x }? ?
x ?1 x ?1 ? ?

1 p

1 1 ?? 令 X ? ,解得 p 的矩估计量为 p p X

7分

18

似然函数为: L? p ? ? ? P ? X i ? x i ? ? ? ?1 ? p ?
i ?1 i ?1

n

n

x i ?1

xi ?n p ? p ?1 ? p ?? 1 ?1 n

n

? ? ln L? p ? ? n ln p ? ? ? ? xi ? n ? ? ln?1 ? p ? ? i ?1 ?
n

d ln L? p ? n ? ? 令 dp p

?x
i ?1

n

i

?n ?0
1 X

1? p

?? 得参数 p 的极大似然估计为: p

2.解: H 0 : ? ? ?0 ? 10, H1 : ? ? 10
H 0 的拒绝域为

2分 6分

x ? ?0 ? z? s 2 n 因 x ? 10.2, ?0 ? 10, ? ? 0.4, n ? 16, ? ? 0.05, z0.025 ? 1.96 x ? ?0

n 所以拒绝 H 0 ,认为机器工作不正常。

?

?

10.2 ? 10 ? 2 ? 1.96 0.4 4

8分 10 分

3.解: ? 的置信度 1 ? ? 下的置信区间为 S S ( X ? t? / 2 (n ? 1) , X ? t? / 2 (n ? 1) ) n n 1 16 X ? 0.5, S 2 ? [? X i2 ? 16 X 2 ] ? 2, S ? 1.4142, n ? 16 15 i ?1 t0.025 (15) ? 2.1315. 代入得置信区间为 (7.25,8.75)

《概率论与数理统计》6 参考答案 一、填空、选择题: (每空 3 分共 30 分) 1、
1 3

2、

1 2

3、3

4、

1 4

5、? 2

6、B

7、D

8、C 9. D

10.

C 二、计算: (每题 8 分共 40 分) 1、解: (1) p1 ? 0.6 ? 0.8 ? 0.4 ? 0.1 ? 0.52 (2) p2 ? 4分 2、 解: (1)p1 ? 1 ? 分
C32 C2 (2) p2 ? 10 ? 0.13 0.53
C72 ? 0.53 2 C10

4分

0.6 ? 0.8 ? 0.923 0.52

4

19

4分 3、解: X ? U (a, b), Y ?
E (Y ) ? ?
??

?
4

X2
b

?
4

??

x 2 f ( x)dx ? ?

?
4

a

x2

1 ? 1 1 3 3 ? (b2 ? ab ? a 2 ) dx ? (b ? a ) ? b?a 4 b?a 3 12

8分 4、解: (1) Y P
- 1 0.1

0
0.4

1
0.5

Y

- 1 1 P|X=-1 6

0
1 2

1
1 3

5、 解:

Z=Y/ - 1 X P 0.2
??

0
0.4

1 0.4

(2)

1 2 ? ? ?0 6 xy dy, 0 ? x ? 1 ?2 x, 0 ? x ? 1 (1) f X ( x) ? ??? f ( x, y)dy ? ? ?? ? 0, others ? 0, others ? 1 2 2 ? ?? ? ?0 6 xy dx, 0 ? y ? 1 ?3 y , 0 ? y ? 1 fY ( y ) ? ? f ( x, y )dx ? ? ?? ?? ? 0, others ? 0, others ?

2分 4分

(2)因为 f X ( x) fY ( y) ? f ( x, y) ,所以 X 与 Y 相互独立,从而不相关。 4分 三、数理统计应用题(本题 30 分) 1、 解: 构造似然函数 L ( p ) ? ? p x (1 ? p )1? x ? p
i i

n

? xi
i ?1

n

(1 ? p )

n?

? xi
i ?1

n

4

i ?1

分 取对数 ln L( p) ? ? xi ln p ? (n ? ? xi ) ln(1 ? p)
i ?1 i ?1 n n

求导,令 8分

?x
i ?1

n

i

p

?

n ? ? xi
i ?1

n

1? p

?0

? ? x , p 的最大似然估计量为 p ? ?X 得p

10 分
? ) ? E ( X ) ? p ,所以是无偏估计量。 因为 E ( p 2、解: (1) H 0 : ? ? ?0 ? 1600, H1 : ? ? ?0

2分

20

H 0 的拒绝域为

x ? ?0 ? t0.025 (24) s n

6分 因 x ? 1657, ?0 ? 1600, ? ? 150, n ? 25, ? ? 0.05, t0.025 (24) ? 2.0639
x ? ?0 1657 ? 1600 ? ? 1.9 ? 2.0639 s 150 5 n

8分 所以接受 H 0 ,可以认为这批产品的该项指标的均值为 1600。 10 分 3、解: 已知
?
n
X ? N (0.9)

z0.025 ? 1, n ? 0.96 ? 3 ? 5.88 ,

n ? 5.88 2 ? 34.57 ,至少取 n ? 35 。

5分

21


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