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高中数学必修二第一章1.3 第1课时


1.3 第1课时

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1.3 第1课时

第 1 课时 柱体、锥体、台体的表面积
【读一读学习要求,目标更明确】 1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台体的表面积 的求法; 2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式;能运用柱、锥、台 的表面积公式进行计算和解决有关实际问题; 3.培养

学生空间想象能力和思维能力. 【看一看学法指导,学习更灵活】 通过经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状, 理解几何体的表面积的推导过程,提高空间思维能力和空间 想象能力,增强探索问题和解决问题的信心.

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填一填·知识要点、记下疑难点

1.3 第1课时

1.棱柱、棱锥、棱台是由多个 平面图形 围成的多面体,它 们的表面积就是各个面的面积的 和 . 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 矩形 、 扇形 、

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扇环 .

填一填·知识要点、记下疑难点
3.旋转体的表面积

1.3 第1课时

名称 圆柱

图形

公式

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底面积:S底= πr2 侧面积:S侧= 2πrl 表面积:S=2πr(r+l) 底面积:S底= πr 侧面积:S侧= πrl 表面积:S= πr(r+l)
2 上底面面积:S上底= πr′ 2 下底面面积:S下底= πr 侧面积:S侧= π(r′+r)l 2 2 π ( r ′ + r +r′l+rl) 表面积:S=
2

圆锥

圆台

研一研·问题探究、课堂更高效

1.3 第1课时

问题探究点一

棱柱、棱锥、棱台的表面积

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问题1 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,以及它 们的展开图,你知道正方体和长方体的展开图与其表面积 的关系吗?



正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体,它

们的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积.

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1.3 第1课时

问题2 如何求多面体的表面积?

问题3 答

一般地,我们可以把多面体展成平面图形,利用平面
几何体的表面积等于它的展开图的面积,那么,棱 如下图所示,只需求出各个展开图中的各部分平面图

图形求面积的方法,求多面体的表面积.
柱,棱锥,棱台的侧面展开图是怎样的?你能否计算? 形的面积,然后求和即可.

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例1

1.3 第1课时

已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S—ABC,
由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形,

求它的表面积.
分析 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.

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先求△SBC的面积,过点S作SD⊥BC,

交BC于点D.因为BC=a, SD= SB -BD =
2 2

a2 3 a -? ? = a. 2 2
2

1 1 3 3 2 所以S△SBC= BC· SD= a× a= a . 2 2 2 4
因此,四面体S—ABC的表面积S=4× 3 2 a = 3a2. 4

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小结

在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积问题时往往将

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已知条件归结到一个直角三角形中求解,为此在解此类问 题时,要注意直角三角形的应用.

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跟踪训练1 已知棱长为5,底面为正方形,

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各侧面均为正三角形的四棱锥S—ABCD, 如图所示,求它的表面积.

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∵四棱锥S—ABCD的各棱长均为5,

各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点,则SE⊥AB. 1 ∴S侧=4S△SAB=4× ×AB×SE 2
=2×5× 52 5 -? ? =25 3. 2
2

S表面积=S侧+S底=25 3+25=25( 3+1).

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例2

1.3 第1课时

已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底

面的投影是下底面中心)上底面边长为6,高和下底面边长都 是12,求它的侧面积. 解 如图,E、E1分别是BC、B1C1的中点,O、O1分别是下、
上底面正方形的中心,则O1O为正四棱台的高, 则O1O=12.连接OE、O1E1, 1 1 1 则OE= AB= ×12=6,O1E1= A1B1=3. 2 2 2 过E1作E1H⊥OE,垂足为H,则E1H=O1O=12,

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OH=O1E1=3,HE=OE-O1E1=6-3=3. 在Rt△E1HE中, E1E2=E1H2+HE2=122+32=32×42+32=32×17, 1 所以E1E=3 17.所以S侧=4× ×(B1C1+BC)×E1E 2
=2×(12+6)×3 17=108 17.

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小结

解决有关正棱台的问题时,常用两种解题思路:一

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是把基本量转化到直角梯形中去解决;二是把正棱台还原 成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决.

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跟踪训练2


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在本例中,把棱台还原成棱锥,你能利用棱锥的

有关知识求解吗?
如图,正四棱台的侧棱延长交于一点P. 取B1C1、BC的中点E1、E,则EE1的延长线 必过P点(以后可以证明).O1、O分别是正方 形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心.
由正棱锥的定义,CC1的延长线过P点, 1 1 且有O1E1= A1B1=3,OE= AB=6, 2 2 PO1 O1E1 3 则有 PO = OE = , 6 PO1 1 即 = . PO1+O1O 2

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1.3 第1课时

所以PO1=O1O=12.
2 2 2 2 2 在Rt△PO1E1中,PE2 = PO + O E = 12 + 3 = 3 ×17, 1 1 1 1

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PE2=PO2+OE2=242+62=62×17, 所以E1E=PE-PE1=6 17-3 17=3 17.

1 所以S侧=4× ×(BC+B1C1)×E1E 2
=2×(12+6)×3 17=108 17.

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问题探究点二 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法

1.3 第1课时

问题1 如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积?

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圆柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽

是圆柱的高(母线),设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则 有:S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l),其中r为圆柱底面半 径,l为母线长.

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问题2 如何根据圆锥的展开图,求圆锥 的表面积?

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圆锥的侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧 1 长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形面积为 ×2πrl=πrl, 2

∴S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l),其中r为圆锥底面圆半径,l 为母线长.

画板演示

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问题3 如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积?

1.3 第1课时

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圆台的侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长, 外 x r r 弧长等于圆台下底周长,如图, = ,解得:x= l. x+l R R- r 1 1 S 扇环=S 大扇形-S 小扇形= (x+l)×2πR- x·2πr=π[(R-r)x+Rl] 2 2 =π(r+R)l,所以,S 圆台侧=π(r+R)l,S 圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).

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1.3 第1课时

问题4 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?
答 如下图所示:

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S柱=2πr(r+l)

S台=π(r′2+r2+r′l+rl)

S锥=πr(r+l)

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例3

1.3 第1课时

一圆台形花盆,盆口直径20 cm,盆底直径15 cm,底部

渗水圆孔直径1.5 cm,盆壁长15 cm.为美化外表而涂油漆, 若每平方米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少 油漆?(π取3.14,结果精确到1 mL)
解 如图,由圆台的表面积公式得一个花 15 15 20 盆外壁的表面积S=π×[( )2+ ×15+ 2 2 2 1.5 2 ×15]-π×( ) ≈1 000 (cm2)=0.1 (m2). 2 所以需要的油漆为0.1×100×100=1 000 ml.

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涂100个这样的花盆需要油漆1 000毫升.

小结 解决台体的问题通常要还台为锥,求面积时要注意侧 面展开图的应用,上、下底面圆的周长是展开图的弧长.

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跟踪训练 3 圆台的上、下底面半径分别为 10 cm 和 20 cm.它 的侧面展开图扇环的圆心角为 180° ,那么圆台的表面积是多 少?(结果中保留 π) 解 如图所示,设圆台的上底面周长为 c,
因为扇环的圆心角是 180° ,
故 c=π·SA=2π×10, 所以 SA=20,同理可得 SB=40,

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所以 AB=SB-SA=20,
∴S 表面积=S 侧+S 上+S 下
2 =π(r1+r2)· AB+πr1 +πr2 2

=π(10+20)×20+π×102+π×202=1 100π(cm2). 故圆台的表面积为 1 100π cm2.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.3 第1课时

1.一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位:cm),则该
2 组合体的表面积为________cm . 12 800

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解析 该组合体的表面积为 2S 正视图+2S 侧视图+2S 俯视图=12 800 cm2.

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2.若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积等于

1.3 第1课时

( C )

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A.6 C.3 5π

B.6π D.6 5π

解析

∵圆台的母线长为 ?2-1?2+22= 5,

∴S 圆台侧=π(1+2)· 5=3 5π.

1.3 第1课时

有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面,就是 说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需 要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解.

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