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高二理科数学周考试题(教师版)

时间:2016-12-09


2016 年秋季高二 12 月周考数学试题 (理科)
一、选择题 1.B 【解析】①“在三角形 ABC 中,若 sinA>sinB,则 A>B”的逆命题是:在三角形 ABC 中,若 A>B,则 a>b,由正弦定理得 sinA>sinB,故逆命题为真命题;②命题 p:x≠2 或 y≠3, 命题 q:x+y≠5,则非 p:x=2 且 y=3,非 q:x+y=5,显然非 p?

非 q,∴q? p,则 p 是 q 的 2 2 2 2 必要不充分条件,故正确;③命题“若 a +b =0 则 a,b 都是 0”的否命题是“若 a +b ≠0,则 a≠=或 b≠0”故错误 2.C 【解析】命题“ ?x ?[0,??), x3 ? x ? 0 ”的否定是 ?x0 ?[0, ??), x03 ? x0 ? 0 . 3.B 【解析】 方程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆, 则有 m ? 0, n ? 0, m ? n , 所以“ mn ? 0 ”是“方
2 2

【解析】圆 O 上到直线 l : x cos ? ? y sin ? ? 2 ? cos ? (0 ? ? ?

?
2

) 距离

d?
8.C

| cos ? ? 2 ? cos ? | ? 2 ? 距离为1 的点有 3 个. 1

【解析】 由圆的方程知, 圆 C1 的圆心为 (?a, 0) , 半径为 2, 圆 C2 的圆心为 (0, b) , 半径为 1. 因 为两圆有三条公切线,则两圆外切,所以 | C1C2 |?

a 2 ? b 2 ? 3 ,即 a 2 ? b 2 ? 9 .因为

a 2 ? b2 ? 2ab ,所以 2(a2 ? b2 ) ? a2 ? b2 ? 2ab ? (a ? b)2 ,所以 ?3 2 ? a ? b ? 3 2 ,故
选 C. 9.A 【解析】∵椭圆的离心率 e ?

程 mx ? ny ? 1 的曲线是椭圆”的必要不充分条件
2 2

c 1 1 3 ? ,∴ c ? a , b ? a 2 ? c 2 ? a, a 2 2 2

4.B 【解析】 模拟执行程序可得, s ? 1, k ? 0 ,执行循环体, s ? 2, k ? 2 ,不满足条件 2 ? n ,执行循 环体, s ? 6, k ? 4 ;不满足条件 4 ? n ,执行循环体, s ? 22, k ? 6 ;不满足条件 6 ? n ,执行循 环体, s ? 86, k ? 8 .此时,应该满足条件 8 ? n ,退出循环,输出 s 的值为 86 ,所以, 判断框内 n 的值满足条件: 6 ? n ? 8 ,则判断框内的正整数 n 的所有可能的值为 6, 7 ,故选 B. 5.B 【解析】 该程序框图所表示的算法功能为 S ? log2 3log3 4?logk (k ? 1) ? log2 (k ? 1) ? 3 , 此时, k ? 1 ? 8 ,结束算法时 k ? 8 条件不成立,所以条件应为 k ? 8? ,故选 B. 6.B 【解析】程序运行如下: n ? 3 , x ? 2 ? v ? 1, i ? 2 ? 0 ? v ? 1 ? 2 ? 2 ? 4 , i ? 1 ? 0 ∴ ax 2 ? bx ﹣c ? ax 2 ?

3 1 ax ? a ? 0 ,∵a≠0, 2 2

∴ x2 ?

1 3 1 3 ,x1x2=﹣ , x ? ? 0 ,又该方程两个实根分别为 x1 和 x2 ,∴x1+x2=﹣ 2 2 2 2
2

2 2 ∴ x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ?

3 ? 1 ? 2 .∴点 P 在圆 x2+y2=2 的内部.故选 A. 4

10.B 【 解 析 】 由 4 m ? 3 n , 可 设 m ? 3k ,n ? 4 ,) 又 n ? (tm ? n) , 所 以 k ( k? 0

? ? 1 2 n ? (tm ? n) ? n ? tm ? n ? n ? t m ? n cos m , n ? n ? t ? 3k ? 4k ? ? (4k ) 2 ? 4tk 2 ? 16k 2 ? 0 3 所以 t ? ?4 ,故选 B.
11.C 【解析】在直三棱柱 ABC - A 1B 1C1 中, ?ACB=90 ,可以证得 AC 1 1 ^ 平面BCC1 ,因此直 线A AC 1B 与 平 面 BB 1C1C 所 成 角 为 ?A 1BC1 , 在 RtD 1 1B 中 , AC 1 1 = 1, A 1B = 3 , 因 此
?

? v ? 4 ? 2 ? 1 ? 9 , i ? 0 ? 0 ? v ? 9 ? 2 ? 0 ? 18 , i ? ?1 ? 0 , 结束循环,输出 v ? 18 ,故
选 B. 7.B
1

sin ? A1BC1
12. D

1 3 = 3 3

又 ?BFC ? 90? ,所以 c 2 ? ( 16.15

3 2 b 2 6 a) ? ( ) ? 0 ? 3c 2 ? 2a 2 ? e ? . 2 2 3
2 2

【 解 析 】 连 接 AF1 , 则 ?AF 1F 2 为 直 角 三 角 形 , 由 ?F2 AB 是 等 边 三 角 形 , 得
? ?AF2 F 1 ? 3 0 AF , 2?

【解析】由椭圆方程可知 a ? 25, b ? 16?c ? 9? a ? 5, c ? 3 ,两焦点坐标 ? ?3,0? ,由椭
2

c 3 AF , ? , ? 2 1 c AF 2 AF ?1 a ?

?

c 2 ? 3c e 1? , ? ? a 3 ?1

?

圆定义可得 PM ? PF 1 ? PM ? 2a ? PF 2 ? PM ? PF 2 ? 10 ,结合三角形三边关系可知

? , 3

1

PM ? PF2 ? MF2 ? 5 ,所以 PM ? PF2 ?10 ? 15 ,最大值为 15
三、解答题 17. 【解析】由 m ? 7am ? 12a ? 0(a ? 0) ,则 3a ? m ? 4a ,即命题 p : 3a ? m ? 4a ,由
2 2

故选 D.

x2 y2 3 1? m ? ? ?1 2 ,即命题 m ?1 2 ? m 表示焦点在 y 轴上椭圆可得: 2 ? m ? m ? 1 ? 0 ,∴
q :1 ? m ?
二、填空题 13. (x+2) +y =2. 【解析】设圆心为(a,0) (a<0) ,则 圆的方程是(x+2) +y =2. 14. 【解析】依题意可知 F 坐标为( ,0) ∴B 的坐标为( ,1)代入抛物线方程得 ∴抛物线准线方程为 x=﹣ 15. =1,解得 p= , + = 18. 【解析】 (1)分别以 AD、AB、AP 所在直线为 x、y、z 轴,建立如图所示空间坐标系
2 2 2 2

3 2

由 ? q 是 ? p 的充分不必要条件,则 p 是 q 的充分不必要条件,

,解得 a=﹣2.

?3a ? 1 ? ? 3 4a ? ? 2 从而有 ?

1 3 ?a? 8 ∴3

所以点 B 到抛物线准线的距离为 ,

6 3
则可得 P(0,0,1) ,B(0,1,0) ,F(0, , ) ,D( ,0,0)

3 b 3 b 【解析】 由题意得 B ( a, ),C( ? a, ), ,故 2 2 2 2

3 b (c ? a, ? ) , 2 2

3 b (c ? a, ? ) , 2 2

设 BE=x,则 E(x,1,0)



=(x,1,﹣1)

2



=x?0+1× +(﹣1)× =0,可得 =(

,即 AF⊥PE 成立.

(2)求出

,0,﹣1) ,设平面 PDE 的一个法向量为



,得

∵PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°, ∴sin45°= = ,得

=(0,0,1) = 由题意得 B(0, 2 3,0) , C(?2 3,0,0) ,过点 F 作 FM 垂直OB 于点 M , 所以 FM ?

解之得 x= ∴BE=

或 x=

∵BE=x



FB 2 ? BM 2 ? 3, 可得 F (0, 3,3)

,即当 CE 等于 2 时,PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°.

故 BC ? (?2 3, ?2 3,0), BF ? (0, ? 3,3) .

??? ?

??? ?

19. 【解析】 (Ⅰ)证明:设 FC 的中点为 I ,连接 GI , HI ,在 △CEF ,因为 G 是 CE 的中点, 所 以 GI∥ EF , 又 EF∥OB, 所 以 GI∥ OB , 在 △CFB 中 , 因 为 H 是 FB 的 中 点 , 所 以

??? ? ? ? ?m ? BC ? 0 ??2 3x ? 2 3 y ? 0 , 可得 ? , 设 m ? ( x, y, z ) 是平面 BCF 的法向量, 由 ? ??? ? ? ? ?m ? BF ? 0 ? ? 3 y ? 3z ? 0
可得平面 BCF 的一个法向量 m ? (?1,1, 因为平面 ABC 的一个法向量 n ? (0,0,1), 所以 cos ? m, n ?? 解法二: 连接 OO' ,过点 F 作 FM ? OB 于点 M ,则有 FM∥OO' , 又 OO' ? 平面 ABC ,所以 FM⊥平面 ABC,可得 FM ?

HI∥BC , 又 HI ? GI ? I ,所以平面 GHI∥ 平面 ABC , 因为 GH ? 平面 GHI , 所以 GH∥
平面 ABC .

3 ), 3

m?n 7 7 .所以二面角 F ? BC ? A 的余弦值为 . ? 7 | m || n | 7

FB 2 ? BM 2 ? 3,

(Ⅱ)解法一: 连接 OO' ,则 OO' ? 平面 ABC ,又 AB ? BC , 且 AC 是圆 O 的直径,所以 BO ? AC . 以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,

过 点 M 作 MN 垂直BC 于 点 N , 连 接 FN , 可 得 F N ? B C , 从 而 ?FN M 为 二 面 角

F ? B C? A 的平面角.又 AB ? BC , AC 是圆 O 的直径,所以 MN ? BM sin 45? ?
7 42 7 ,可得 cos ?FNM ? . . 所以二面角 F ? BC ? A 的余弦值为 7 2 7

6 , 2

从而 FN ?

3

20. 【解析】 (1)把点 A ?1, 2 ? 代入拋物线方程得 a ? 4 . ( 2 ) ① 设 点 E ? x1, y1 ? , F ? x2 , y2 ? , 直 线 A E : ?y

S AEBF ?

?

, 则 直 线 k?? 1x ? 2

1 1 3 3 15 ? ? d1 ? d2 ? EF ? ? b ? b ? 6 ? 1 ? 4b ? 1 ? 4b ? ? ? , ?, 2 8 4 ?4 4 ?

1? ? B1 F : y ? ?k ? x ? ? ? 1, 4? ?
联立方程组 ?

? 3 15 ? ? 四边形 AEBF 面积的取值范围是 ? , ? . ?4 4 ?
21. 【解析】 (1)椭圆 C 的方程为

? 2 ? y ? k ? x ? 1? ? 2 2 2 2 ,消去 y 得: k x ? 4k ? 2k ? 4 x ? ? 2 ? k ? ? 0 , 2 ? ? y ? 4x

?

?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
1 1 11 11 ? ( 2 ? 3) 2 ? ? ?2 6 ? ?2 6 ?4 2 2 2 2

?

a 2 ? b2 ? 3 , 2a ? ( 2 ? 3) 2 ?

x1

?2 ? k ? ?
k
2

2

? 2 ? k ? , ?2k 2 ? 4k ) ?2k 2 ? 4k , y1 ? k ? x1 ? 1? ? 2 ? , ? E ( k2 k2 k2
2

所以所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

? 1? ? 2 ? y ? ?k ? x ? ? ? 1 1 2 1 ? ? ? ? 2 2 4 ? ,消去 y 得: k x ? ? k ? 2k ? 4 ? x ? ?1 ? k ? ? 0 , 联立方程组 ? ? ?2 ? ? 4 ? ? y2 ? 4x ?

(2)方法一(1)由题意可知,直线 l 的斜率为 0 时,不合题意. (2)不妨设直线 l 的方程为 x ? ky ? m .
? x ? ky ? m ? , 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

? 4 ? k ? , x ? ? 4 ? k ? , y ? ? k ? x ? 1 ? ? 1 ? k ? 4k , 1 x2 ? 2 2 ? 2 ? 4 16k 2 4k 2 4? k2 ?
2 2 2

消去 x 得 (k 2 ? 4) y 2 ? 2kmy ? m2 ? 4 ? 0 .

? ? 4 ? k ? 2 k 2 ? 4k ? y ?y , 得F? ? .故 kEF ? 1 2 ? ?4 . 2 2 ? 4k ? k x1 ? x2 ? ?

m2 ? 4 2km ??①, y1 y2 ? 2 ???② 2 k ?4 k ?4 ???? ???? 因为以 AB 为直径的圆过点 M ,所以 MA ? MB ? 0 .
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? y2 ? ?

? y ? 4x ? b 2 2 ②设直线 EF : y ? ?4 x ? b ,联立方程组 ? 2 ,消去 y 得:16x ? ?8b ? 4? x ? b ? 0 , ? y ? 4x
1 ? ? ? ?8b ? 4 ? ? 64b ? 16 ? 64b ? 0, b ? ? , ? A, B 两 点 分 别 在 直 线 EF 的 两 4
2 2

???? ???? 由 MA ? ( x1 ? 2, y1 ), MB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,得 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 .
将 x1 ? ky1 ? m, x2 ? ky2 ? m 代入上式, 得 (k 2 ? 1) y1 y2 ? k (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2)2 ? 0 . ??? ③

侧,?? b ? 6? b ? 0 , 故 0 ? b ? 6 ,? x1 ? x2 ?

2b ? 1 b2 17 2 , x1 x2 ? ,? EF ? 1 ? ? ?4 ? x1 ? x2 ? 1 ? 4b , 4 16 4

5m2 ? 16m ? 12 ? 0 6 将①②代入③,得 ,解得 m ? 或 m ? 2 (舍) . 2 5 k ?4
6 综上,直线 l 经过定点 ( ,0). 5

设 d1 , d 2 分别为点 A1 , B1 到直线 EF 的距离, d1 ?

b?6 1 ? ? ?4 ?
2

, d2 ?

b 1 ? ? ?4 ?
2

,

方法二证明:(1) 当 k 不存在时,易得此直线恒过点 ( , 0) . (2)当 k 存在时.设直线 l 的方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , M (2,0) .
4

6 5

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 4 ,可得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 . ? y ? kx ? m ?

式得 c ? 1, b ? 3 , a ? 2 , 故所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ) (i)设 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 D(? x1 , ? y1 ) ,

? ? 16(4k 2 ? m2 ? 1) ? 0
x1 ? x2 ?

4m 2 ? 4 ?8km , x x ? ??① 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

??. ②

3 3 2 (4 ? x2 ) ? (4 ? x12 ) 2 y2 ? y1 y2 ? y1 y2 ? y12 4 3 4 ? ? 2 ? ? ? --(8 分) 于是 k1k2 ? 2 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1 4
(ii)方法一由(i)知, k3 k4 ? k1k2 ? ? 所以,

由题意可知

???? ???? ??? ? ???? MA ? MB ? 0 , MA ? ( x1 ? 2, y1 ), MB ? ( x2 ? 2, y2 ),
y1 ? kx1 ? m, y2 ? kx2 ? m.
可得 ( x1 ? 2) ? ( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 . 整理得 (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? 4 ? m2 ? 0 ③

3 3 ,故 y1 y2 ? ? x1 x2 . 4 4

9 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 x1 x2 ? y12 y2 ? ( 4 ? x2 ) ? ( 4 ? x12 ) 即 x1 ,所以, x2 ? 16 ? 4( x12 ? x2 ) ? x12 x2 16 4 4
2 2 x12 y12 x2 y 2 x 2 ? x2 y 2 ? y2 2 ? )?( 2 ? 2)? 1 ? 1 ? 3. ,故 y12 ? y2 4 3 4 3 4 3

2 x12 ? x2 ? 4 .又 2 ? (

2 2 ? y2 ?7. 所以, OB2 ? OC 2 ? x12 ? y12 ? x2

方法二由(i)知, k3 k4 ? k1k2 ? ? 得 x12 ?

3 x2 y 2 .将直线 y ? k3 x 方程代入椭圆 ? ? 1 中, 4 3 4

12k 2 ? 16km ? 5m 2 ? 0, 由题意可知 12k 2 ? 16km ? 5m2 ? 0, 把①②代入③整理得 2 4k ? 1
解得 m ? ?2k , m ? ?

12 12 2 ? .同理, x2 . 2 2 3 ? 4k 4 3 ? 4k3

6 k. 5

2 所以, x12 ? x2 ?

16k32 12 12 12 12 12 ? ? ? ? ? ? 4. 2 3 ? 4k32 3 ? 4k4 3 ? 4k32 3 ? 4(? 3 )2 3 ? 4k32 3 ? 4k32 4k3

(i) 当 m ? ?2k时,即y ? k ( x ? 2) ,直线过定点(2,0)不符合题意,舍掉.

下同方法一.

6 6 6 k时 ,即 y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0) ,经检验符合题意. 5 5 5 6 综上所述,直线 l 过定点 ( , 0) 5
(ii) m ? ? 22. 【解析】 (Ⅰ)设椭圆 C 的右焦点 F2 (c,0) ,则 c ? a ? b (c ? 0)
2 2 2

由题意,以椭圆

C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
c ? 2 2 ?1 2 ?a

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 , ∴圆心到直线 x ? y ? 2 2 ?1 ? 0 的距离 d ?

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形, ∴ b ? 3c , a ? 2c , 代入 ()

5


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