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一元二次方程判别式及根与系数的关系


一元二次方程判别式及根与系数的关系 学习目标:掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理,并会灵活运用 它们解决问题. 重点难点: 重点 难点 中考热点: 这一内容在中考中主要体现在: 1.判断一元二次方程的根的情况(两不等实根、两相等实根、无 实根) ; 2.由根的情况,确定方程系数中字母的取值范围或取值; 3.不解方程,求与方程两根有关代数式的值; 4.应用根与系数的关系求作一个一

元二次方程; 5.根的判别式和根与系数的关系与其它知识的综合运用. 教 一、知识归纳 1.判别式: 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)根的判别式为:△=b2-4ac 作用:不解方程判断根的情况,解决与根的情况有关的问题. 主要内容: 判别式的值 △ >0 △=0
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一元二次方程根的判别式和韦达定理. 灵活运用根的判别式和韦达定理解决问题.



过 程

根的情况 有两个不相等的实根 有两个相等的实根

△<0

没有实数根

2.根与系数的关系(韦达定理) (1)方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为x1, x2,则x1+ x2= b a

x1 x2=

c a

特殊情况:当a=1时,x2+px+q=0 ,x1+ x2= -p,x1 x2=q (2) 以x1, x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2 –(x1+ x2)x+ x1 x2=0 3.综合运用:如何去解决“存在性”问题. 二、典型问题一:判别式的作用 1、对于数字系数方程,可直接计算其判别式的值,然后判断根的 情况; 2、对于字母系数的一元二次方程,若知道方程根的情况,可以确 定判别式大于零、等于零还是小于零,从而确定字母的取值范围; 3、运用配方法,并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系 数的一元二次方程的根的有关问题. 例题讲解: 例一、m分别满足什么条件时,方程2x2-(4m+1)x +2m2-1=0, (1) 有两个相等实根; (2)有两个不相实根; (3)无实根; (4)有两个实根. 解:△=(4m+1)2-4×2×(2m2-1)=8m+9

(1)当△=8m+9=0,即m= -

9 时,方程有两个相等的实根; 8
2

9 时,方程有两个不等的实根; 8 9 (3)当△=8m+9<0,即m< - 时,方程没有实根. 8

(2)当△=8m+9>0,即m>-

三、典型问题二:不解方程,求方程两根所组成的某些代数式的值 例二、 (1)已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为x1 ,x2,求 值. 分析:已知方程,求两根组成代数式的值。这里主要说明解题格 式,学生完成过程. (2)已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1 ,x2,且
1 1 2 2 ? ? 3 ,求 ①m的值;②求x1 +x2 的值. x1 x 2
1 1 的 ? x1 x 2

分析:第(1)题是已知方程,求两根组成代数式的值,而第(2) 题的第一问就反来了,也就是已知代数式的值求方程。第②问,再进 一步,已知代数式的值,求另一个代数式的值.但是,无论是哪一个 问题,所要用到的都是根与系数的关系. 小结:1.求方程两根所组成的代数式的值,关键在于把所求代数 式变形为两根的和与两根的积的形式. 2.常见的形式: (1)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 (2) x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) (3) x1-x2= ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
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四、综合应用问题 例三、 若关于x的一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0有两个实数根,
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又已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边,∠C=90°,且 cosB= ,b-a=3, 是否存在整数 m, 使上述一元二次方程两个实数根的 平方和等于Rt△ABC的斜边的平方?若存在,请求出满足条件m的值; 若不存在,说明理由.“存在性”问题) 分析: (1)提问:此题与哪些知识有关?(勾股道理、解直角 三角形、根与系数的关系、根的判别式) (2)如何利用条件cosB= ? (3) “使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜 边的平方”通过这句话,你能明白什么?你先必须求什么? (4)然后按照解决“存在性”问题的过程去解题. (5)求出m后,要考虑它是否符合题意. 通过此题,使学生明白解决这类问题,一般遵循“三步曲” ,即 假设存在——推理论证——得出结论(合理或矛盾两种情况).
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板书设计 1. 判别式: △ >0 △=0 △<0 有两个不相等的实根 有两个相等的实根 没有实数根

2.根与系数的关系(韦达定理) x1+ x2= b a

x1 x2=

c a

常见的形式: (1)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 (2)x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) (3)x1-x2= ? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
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