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高2017届数学第十一周周练试题


高 2017 届数学第十一周周练试题 第 I 卷(选择题) 一、选择题 1.过点(1,2) ,且与原点距离最大的直线方程是() A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 4 ? 0 C. x ? 3 y ? 7 ? 0
2 2

D. x ? 2 y ? 3 ? 0

x y ? 2 ? 1 ( m ? 0

)的左焦点为 F 1 ? ?4,0 ? ,则 m ? () 25 m A. 9 B. 4 C. 3 D. 2 ? ? ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (1,1,0) , b ? (?1,0, 2) ,且 ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是() 1 3 7 A.1 B. C. D. 5 5 5 1 4.已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? a ? 2n ?1 ? ,则 a 的值为( ) 6 1 1 1 1 A. ? B. C. ? D. 3 3 2 2 2 2 x y ? 1(a ? 5) 的两个焦点为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB 过点 F1,则△ABF2 的周长为() 5.已知椭圆 2 ? a 25
2.已知椭圆 A.10 B.20 C. 6.将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )( ? ?

?
2

D.

) 的图象向左平移

? 个单位后的图形关于原点对称,则函数 f ( x ) 在 6

上的最小值为( ) 0, ? ? 2? ? 1 1 3 3 ? ? A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 7.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,直线 l : x ? ky ? 1 ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A, B 两点, ???? ? ??? ? ??? ? OM ? OA ? OB .若点 M 在圆 C 上,则实数 k ? () A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 1 8. 《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,如图 2, 在鳖臑 PABC 中,PA ⊥平面 ABC,AB⊥BC,且 AP=AC=1,过 A 点分别作 AE 1⊥ PB 于 E、AF⊥PC 于 F,连接 EF 当△AEF 的面积最大时,tan∠BPC 的值是() A. 2 B.

? ??

2 2

C. 3

D.

3 3

9.设 a ? b ? 0 ,则 a ? A.2
2

1 1 ? 的最小值为() b a?b
C.4 D. 3 ? 2 2

B.3
2

x y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的焦点为 F1 ,F2 ,若点 ? 在椭圆上,且满足 ?? ? ?F1 ? ?F2 2 a b ? (其中 为坐标原点) ,则称点 ? 为“ ? ”点,则此椭圆上的“ ? ”点有()个 A. 0 B. 2 C. 4 D. 8
10.已知椭圆 C : 11.棱长均为 3 的三棱锥 S ? ABC ,若空间一点 P 满足 SP ? x SA ? y SB ? z SC ( x ? y ? z ? 1) 则 SP 的最 小值为( A、 6 12.过椭圆 C : ) B、

6 3

C、

3 6

D、 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B,且点 B 在 x a 2 b2

轴上的射影恰好为右焦点 F,若 A. ( , ) 题号 答案 1 2

1 9 4 4

1 1 ? k ? ,则椭圆离心率的取值范围是() 3 2 2 1 2 1 B. ( ,1) C. ( , ) D. (0, ) 3 2 3 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

第 II 卷(非选择题) 二、填空题 13.若 ? ? ? , ? , sin 2? = 8 ?4 2?

?? ? ?

3 7

,则 sin ? ? _________

?x ? 2 y ? 4 ? 14.在约束条件 ? x ? y ? 1 下,目标函数 z ? 3x ? 2 y ? 1 取最大值时的最优解为_______. ?x ? 2 ? 0 ?
15.设椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A、右焦点为 F,B 为椭圆 E 在第二象限上的点,直线 a 2 b2

BO 交椭圆 E 于点 C,若直线 BF 平分线段 AC,则椭圆 E 的离心率是. 16 . 已 知 单 位 向 量 i, j , k 两 两 的 夹 角 均 为 ? (0 ? ? ? ? , 且 ? ?

?? ?

?

2 ? ? ? ? ? ,则有序实数组 ( x, y, z ) 称为向量 a 在“仿射”坐标系 O-xyz(O 为坐标原点) a ? x i? y ? j (z k , x , y ?z ) R ? 下的“仿射”坐标,记作 a ? ( x, y, z)? 有下列命题: ? ? ? ? b =0; ①已知 a ? (1,3, ?2)? , b ? (4,0,2)? ,则 a · ? ? ? ? ②已知 a ? ( x, y,0)? , b ? (0,0, z) ? 其中 xyz≠0,则当且仅当 x=y 时,向量 a , b 的夹角取得最小值;
3 3 ? ? ? ? ③已知 a ? ( x1, y1, z1 )? , b ? ( x2 , y2 , z2 )? , 则a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 )? ; ??? ? ??? ? ??? ? ④已知 OA ? (1,0,0)? , OB ? (0,1,0) ? , OC ? (0,0,1) ? , 则三棱锥 O—ABC 的表面积 S ? 2 ,

), 若 空 间 向 量 a 满 足

?

3

3

3

其中真命题有(写出所有真命题的序号) 三、解答题 2 2 17. (本题满分 10 分) 已知锐角 ?ABC 中内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,a ? b ? 6ab cos C , 2 且 sin C ? 2sin A sin B . (Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x) ? sin(? x ? 的取值范围.

?

6

) ? cos ? x(? ? 0) ,且f ( x) 图象上相邻两最高点间的距离为 ? , 求 f ( A)

18. (本小题满分 12 分)已知 {an } 为等差数列,且满足 a1 ? a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 12 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,求正整数 k 的值.

19. (本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 所在平面与直角梯形 ABEF 所在平面互相垂直,且

1 ? AF ? 1, BE // AF , AB ? AF , ?CBA ? , BC ? 2, P 为 DF 中点. 2 3 (1)求异面直线 DA 与 PE 所成的角; (2)求平面 DEF 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的余弦值. AB ? BE ?

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 离为 1 . (1)求椭圆 C 的标准方程; 若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由.

1 ,右焦点到右顶点的距 2

(2) 是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : 使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立? y ? kx ? m(k ? R) ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

21. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是平行四边形,PA ? 平面 ABCD , 点 M , N 分别为 BC, PA 的中点,且 AB ? AC ? 1 , AD ? 2 . (Ⅰ)证明: MN // 平面 PCD ; (Ⅱ) 设直线 AC 与平面 PBC 所成角为 ? , 当 ? 在 (0,

?
6

) 内变化时, 求二面角 P ? BC ? A 的取值范围.
P

N A B M C D

22. (本小题满分 12 分)已知椭圆的焦点坐标为

(-1,0) ,

(1,0) ,过

垂直于长轴的直线交椭

圆于 P、Q 两点,且| PQ |=3, (1)求椭圆的方程; (2)过 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△

MN 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在

求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

参考答案 1.A 【解析】 试题分析:由分析可知当直线 l 过点 P ?1, 2 ? 且与 OP 垂直时原点 O 到直线 l 的距离最大.? kOP ?

2 ? 2, 1

? kl ? ?

1 1 ,所以所求直线 l 方程为 y ? 2 ? ? ? x ? 1? ,即 x ? 2 y ? 5 ? 0 .故 A 正确. 2 2

考点:直线方程. 2.C 【解析】由题意得: m2 ? 25 ? 42 ? 9 ,因为 m ? 0 ,所以 m ? 3 ,故选 C. 考点:椭圆的简单几何性质. 3.D 【解析】 试题分析: k a ? b ? (k ? 1, k ,2),2a ? b ? (3,2,?2) , ka ? b 与 2a ? b 互相垂直,则 (k a ? b) ? (2a ? b) =

? ?

? ?

3(k ? 1) ? 2k ? 4 ? 0 ? k ?

7 ,选 D 5

考点:空间向量的坐标运算; 4.A 【解析】 试题分析:根据题意有 S n ? 考点:等比数列的性质. 5.D 【解析】 试题分析:设半焦距为 c,则 c=4,从而得 a= 41 ,所以△ABF2 的周长为 4a= 4 41 .故选 D. 考点:椭圆基本量运算及椭圆定义的运用. 6.D 【解析】 试题分析:根据题意可知, f ( x) ? sin(2 x ? 值为 ?

a n 1 a 1 1 ? 2 ? ,结合等比数列的性质,可知 ? ? 0 ,解得 a ? ? ,故选 A. 2 6 2 6 3

?

? ? ? 2? ) ,当 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [? , ] ,所以函数的最小 3 2 3 3 3

3 ,故选 D. 2

考点:函数图像的变换,函数在某个区间上的最值问题. 7.C 【解析】 试题分析:设 AB 的中点为 D,有 OM ? OA ? OB ? 2OD ,∴ | OM |? 2 | OD |? R ? 2 ,∴ | OD |? 1 , 由点到直线的距离公式得 1 ?

???? ?

??? ? ??? ?

????

???? ?

??? ?

????

| 0 ? 0 ? 1| k 2 ?1

,解得 k ? 0 .

考点:直线与圆相交问题、平面向量的基本定理及其意义. 8.B

【解析】
C ? A E 试题分析: 显然 BC ? 平面PAB , 则B

, 又P B ? A E

E ? 平面 P B C , 则A

且AE ? PC , , 于是 AE ? EF ,

结合条件 AF ? PC 得 PC ? 平面AEF ,所以 △ AEF 、 △ PEF 均为直角三角形,由已知得 AF ?
S△AEF ?

2 2

,而

1 1 1 1 1 当且仅当 AE ? EF 时, 取 “=” , 所以, 当 AE ? EF ? 时, AE ? EF≤ ( AE 2 ? EF 2 ) ? (AF )2 ? , 2 4 4 8 2

1 EF 2 △ AEF 的面积最大,此时 tan ?BPC ? ,故选 B. ? 2 ? PF 2 2 2

考点:基本不等式、三角形面积. 9.C 【解析】 试题分析: 原式变形为:a ? b ? b ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ?a ? b? ? ? b ? ? 2 ?a ? b? ? 2 b? ? 4 , b a ?b a ?b b a ?b b

1 ? a?b ? ? ? a?b 等号成立的条件是当且仅当 ? ,解得 a ? 2, b ? 1 1 ?b ? ? b ?
考点:基本不等式求最值 10.C 【解析】

?? ? ?F1 ? ?F2 ,则有 试题分析:设椭圆上的点 P( x0 , y0 ) ,可知 PF 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 ,因为

2

a2 ? e2 x02 ? x02 ? y02 ? x0 2 ? b 2 (1 ?
考点:新定义,椭圆的焦半径公式. 11.A 【解析】

x0 2 2a ) ,解得 x0 ? ? ,因此满足条件的有四个点,故选 C. 2 a 2

试题分析:∵空间一点 P 满足 SP ? x SA ? y SB ? z SC ( x ? y ? z ? 1) , ∴点 P 在平面 ABC 内. 因此当 SP⊥平面 ABC,P 为垂足时, SP 取得最小值. ∵三棱锥 S-ABC 的棱长均为 3,∴点 P 为底面 ABC 的中心.如图:

∴ AP ?

2 3 3 3 AD, AD ? ?3 ? ,? AP ? 3 3 2 2

在 Rt△APS 中, SP ?

SA2 ? AP 2 ? 32 ? ( 3) 2 ? 6 ;

故选 A. 考点:1.向量在几何中的应用;2.平面向量的基本定理及其意义. 12.C 【解析】 试题分析:如图所示: | AF2 |? a ? c , | BF2 |?

a2 ? c2 | BF2 | a 2 ? c2 ,∴ k ? tan ?BAF2 ? , ? a | AF2 | a(a ? c)

又∵

1 1 ? e2 1 1 a2 ? c2 1 1 1 1 2 ? k ? ,∴ ? ? ,∴ ? e ? ,故选 C. ? ,∴ ? 3 2 2 3 3 1? e 2 3 a( a ? c) 2

考点:椭圆的简单性质. 13.

3 4

【解析】

?? ? ? ?? ? 试题分析: 由 ? ? ? , ? 可知 2? ? ? , ? ? , 所以 cos 2?<0 , 则c o s 2? ? ? 1 ?n i s ?4 2? ?2 ?

2

?3 7 ? ? 2? ? ? 1 ? ? ? 8 ? ? ?

2

1 ? cos 2? 3 1 ? ? ,由 cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? 变形得: sin ? ? ? 。 8 2 4
考点:三角恒等变换。 14. (2,1) 【解析】 试题分析: 根据约束条件画出可行域, 再由目标函数 z ? 3x ? 2 y ? 1 可得 y ?

3 3 1? z x? , 平移直线 y ? x 2 2 2

可知在点 (2,1) 处目标函数取得最大值. 考点:线性规划问题. 15.

1 3

【解析】 试题分析:如图 3,设 AC 中点为 M,连接 OM,则 OM 为 △ ABC 的中位线,于是 △OFM ∽△AFB ,且 | OF | 1 c 1 c 1 ? ,即 ? ? ? . | FA | 2 a?c 2 a 3

考点:椭圆的离心率. 16.②③ 【解析】 试 题 分

















? ? a? ? (

b ? ?1?

,? ?

?

? ? ? ? ? ? ? 3 ? , ?i ? 2 ? ? k? )

??

?

?? i ? ( ? ?? ? 4 k?

?
2

? ? ? ,? ? , i0 故①

,k

错;②由 a ? ( x, y,0)? , b ? (0,0, z) ? ,则 a ? ? b ,而 xyz ? 0 ,根据仿射”坐标的定义可知②正确;③根据
3
3

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? 仿射”坐标的定义可得 a ? b ? ( x1, y1, z1 )? ? ( x2 , y2 , z2 )? ? ( x1i ? y1 j ? z1 k ) ? ( x2 i ? y2 j ? z2 k )
? ? ? ? ? x1 ? x2 ? i ? ? y1 ? y2 ? j ? ? z1 ? z2 ? k ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 ?? , 故 ③ 正 确 ; ④ 由 已 知 可 知 三 棱 锥
O—ABC 为正四面体,棱长为 1,其表面积为 S ? 4 ? 1 ? 3 ? 3 ,即④不正确

2

2

考点:新定义概念 17. (1) C ?

?
3

; (2) 0 ? f ( A) ? 3 .

【解析】 试题分析:本题主要考查正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的图 象、三角函数的值域等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问, 由已知条件和余弦定理相结合,得出 cosC ? 出 cos C ?

c2 2 ,再结合已知条件和正弦定理得 c ? 2ab ,两式结合求 4ab

1 ? ,即得到特殊角 C 的值;第二问,用两角差的正弦公式将 sin(? x ? ) 展开,合并同类项,再 2 6

利用两角差的的正弦公式化简 f ( x ) ,使之成为 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式,利用 f ( x ) 图象上相邻

两最高点间的距离为 ? ,计算 T,得到 ? ,从而得到 f ( A) 的解析式,利用 C ? 角的范围,代入解析式,数形结合,得到函数 f ( A) 的值域.

?
3

,B ?

2? ? A ,得到 A 3

试题解析: (Ⅰ)因为 a 2 ? b 2 ? 6ab cosC ,由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab cosC 所以 cosC ?

c2 4ab

又因为 sin 2 C ? 2 sin A sin B ,则由正弦定理得: c 2 ? 2ab ,

c2 2ab 1 ? ? ? ,所以 C ? 所以 cosC ? 3 4ab 4ab 2
(Ⅱ) f ( x) ? sin(? x ? 由已知

?
6

) ? cos ? x ?

3 3 ? sin ? x ? cos ? x ? 3 sin(? x ? ) , 2 2 3

? ? , ? ? 2 ,则 f ( A) ? 3 sin(2 A ? ), ? 3 ? 2? ? ? ? ? ? A ,由于 0 ? A ? , 0 ? B ? ,所以 ? A ? , 因为 C ? , B ? 3 3 2 2 6 2
所以 0 ? 2 A ?

2?

?

?
3

?

2? ,根据正弦函数图象,所以 0 ? f ( A) ? 3 . 3

考点:正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的图象、三角函数的值 域. 18. (Ⅰ) an ? 2n ;(Ⅱ) k ? 2 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由基本量法,列出方程组,解之求出首项与公差即可求通项公式; (Ⅱ)由等差数列的求
2 和求出前 n 项和,由题意列出方程 ak ?1 ? a3 Sk 解之即可.

试题解析: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,由题意知 ? 解得 a1 ? 2, d ? 2 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ,得 an ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn ?

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) ? n 2 ? n 2 2

∴ a3 ? 2 ? 3 ? 6 , ak ?1 ? 2(k ? 1) , Sk ? k 2 ? k
2 2 2 因 a3 , ak ?1 , Sk 成等比数列,所以 ak ?1 ? a3 Sk ,从而 (2k ? 2) ? 6(k ? k ) ,



k 2 ? k ? 2 ? 0 , k ? N * ,解得 k ? 2 或 k ? ?1 (舍去)

∴ k?2 考点:1.等差数列的性质及求和公式;2.等比数列的定义及性质. 19. (1) 【解析】 试题分析: 根据题意,可建立空间直角坐标系 {AB, AF , AC} , (1) 设异面直线 DA 与 PE 所成的角为 ? ,

? 5 (2) 6 5
??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ? DA? PE ? ??? ? | 求得所异面直线 DA 与 PE 所成的角为 ; 可由 cos? ? | ??? ( 2 )易得 AF ? (0, 2, 0)是平面 6 | DA | ? | PE | ? ???? ? ? ?n ? DE ? 0 ? ABCD 的一个法向量, 设平面 DEF 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,由 ? ? ???? ,得 n ? (1,1, 3) 是平 ? ?n ? DF ? 0
面 DEF 的 一 个 法 向 量 , 设 平 面 D E F 与 平 面 A B C D 所成的二面角(锐角)为 ? ,

??? ? ? AF ? n 5 ? ? |? . cos ? ?| ??? 5 | AF | ? | n |
试题解析:

在 ?ABC 中, AB ? 1, ?CBA ?

?
3

, BC ? 2 ,

2 2 2 所以 AC ? BA ? BC ? 2BA ? BC cos ?CBA ? 3 2 2 2 所以 AC ? BA ? BC ,所以 AB ? AC

又因为平面 ABCD ? 平面 ABEF ,平面 ABCD ? 平面 ABEF ? AB ,

AC ? 平面 ABCD ,所以 AC ? 平面 ABEF ??? ? ??? ? ??? ? 如图,建立空间直角坐标系 {AB, AF , AC} ,则

1 3 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C (0, 0, 3), D(?1, 0, 3), E (1,1, 0), F (0, 2, 0), P(? ,1, ) 2 2
(1) DA ? (1, 0, ? 3), PE ? ( , 0, ?

??? ?

??? ?

3 2

3 ) 2

??? ? ??? ? DA ? PE 3 3 ? ??? ? |?| 设异面直线 DA 与 PE 所成的角为 ? ,则 cos ? ?| ??? |? 2 | DA | ? | PE | 2 ? 3
所以异面直线 DA 与 PE 所成的角为

? ; 6

(2) AF ? (0, 2,0) 是平面 ABCD 的一个法向量, 设平面 DEF 的一个法向量 n ? ( x, y, z) , DE ? (2,1, ? 3), DF ? (1, 2, ? 3)

??? ?

?

??? ?

????

? ???? ? n ? ? DE ? ( x, y, z ) ? (2,1, ? 3) ? 2 x ? y ? 3z ? 0 则 ? ? ???? , n ? DF ? ( x , y , z ) ? (1, 2, ? 3) ? x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? ?
得 z ? 3x ? 3 y ,取 x ? 1 ,则 y ? 1, z ? 3 , 故 n ? (1,1, 3) 是平面 DEF 的一个法向量, 设平面 DEF 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)为 ? ,

?

??? ? ? AF ? n 2 5 ? ? |?| 则 cos ? ?| ??? . |? 5 | AF | ? | n | 2 ? 5
考点:空间向量的应用. 20. (1)

x2 y 2 ? ? 1; 4 3
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

( 2 ) 存 在 直 线 l , 使 得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成 立 , 且 实 数

m 的取值范围是

(??, ?

2 2 21] ? [ 21, ??) . 7 7

【解析】 试题分析: (1)首先设出椭圆 C 的标准方程,然后分别根据离心率和椭圆的定义可列出方程组,并结合

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? b2 ? a 2 ? c 2 即可求出所求; (2)首先假设存在直线 l ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立,然后联立直

线

l 方程与椭圆方程并消去参数 y 整理得到一元二次方程 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ,再由韦达定理
可得 x1 ? x2 , x1 x2 ,于是根据假设成立等式可变形整理得 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,将上述所求 直 接代入即可得到 m 与 k 之间的等式关系,最后结合判别式即可得出所求参数 m 的取值范围.

??? ? ??? ?

x2 y 2 c 1 试题解析: (1)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c .依题意 e ? ? ,由右焦点到 a 2 a b
2 2 2 右顶点的距离为 1 ,得 a ? c ? 1 .解得 c ? 1 , a ? 2 .所以 b ? a ? c ? 3 .所以椭圆 C 的标准方程是

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
(2)存在直线 l ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立.理由如下:

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? y ? kx ? m, ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 . ? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ? 12) ? 0 ,化简得 ? 1, ? ? 3 ?4
4m 2 ? 12 8km , x1 x2 ? . 3 ? 4k ? m .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2 2

若 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成 立 , 即 OA ? 2OB ? OA ? 2OB

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?2

??? ?

??? ?2

,等价于 OA ? OB ?0 . 所 以

??? ? ??? ?

2 2 x1 x2? y1 y ? 2 0 . x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 , (1 ? k ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? 0 ,

(1 ? k 2 ) ?

4m2 ? 12 8km 7 ? km ? ? m2 ? 0 , 化 简 得 , 7m2 ? 12 ? 12k 2 . 将 k 2 ? m 2 ? 1 代 入 2 2 12 3 ? 4k 3 ? 4k

7 3 12 3 ? 4k 2 ? m2 中, 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 ,解得, m 2 ? .又由 7m2 ? 12 ? 12k 2 ? 12 , m 2 ? ,从而 4 7 12 12 2 2 2 2 m2 ? , m ? 21 或 m ? ? 21 .所以实数 m 的取值范围是 (??, ? 21] ? [ 21, ??) . 7 7 7 7 7
考点:1、椭圆的标准方程;2、直线方程;3、直线与椭圆综合问题; 21. (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ)二面角 P ? BC ? A 取值范围为 ? 0, ? . 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据直线与平面平行的判定定理,需在平面 PCD 内找一条与 MN 平行的直线.结合题设 可取取 PD 中点 Q ,连接 NQ, CQ , 易得四边形 CQNM 为平行四边形,从而得 MN / /CQ ,问题得证. (Ⅱ)思路一、首先作出二面角的平面角,即过棱 BC 上一点分别在两个平面内作棱 BC 的垂线 .因为

? ?

π? 4?

AB ? AC ? 1 ,点 M 分别为 BC 的中点,则 AM ? BC .连接 PM ,因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 AM 是 PM 在面 ABC 内的射影, 所以 PM ? BC , 所以 ? PMA 即为二面角 P ? BC ? A 的平面角.再作出直线 AC
与平面 PBC 所成的角, 即作出 AC 在平面 PBC 内的射影.由 PM ? BC ,AM ? BC 且 AM ? PM ? M 得

BC ? 平面 PAM ,从而平面 PBC ? 平面 PAM .过点 A 在平面 PAM 内作 AH ? PM 于 H ,根据面面 垂直的性质知 AH ? 平面 PBC .连接 CH ,于是 ?ACH 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角.在 Rt△ AHM 及 Rt△ AHC 中, 找出 ? PMA 与 ? 的关系, 即可根据 ? 的范围求出 ? PMA 的范围.思路二、
以 AB,AC,AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量亦可求解. 试题解析: (Ⅰ)证明:取 PD 中点 Q ,连接 NQ, CQ , 因为点 M , N 分别为 BC, PA 的中点,所以 NQ / / AD / / CM , NQ ?

1 AD ? CM 2

四边形 CQNM 为平行四边形,则 MN / /CQ 所以 MN // 平面 PCD .

又 MN ? ? 平面 PCD , CQ ? 平面 PCD

P

N A B M C D

(Ⅱ)解法 1:连接 PM ,因为 AB ? AC ? 1 ,点 M 分别为 BC 的中点,则 AM ? BC 又 PA ? 平面 ABCD ,则 PM ? BC 所以 ? PMA 即为二面角 P ? BC ? A 的平面角 又 AM ? PM ? M ,所以 BC ? 平面 PAM ,则平面 PBC ? 平面 PAM 过点 A 在平面 PAM 内作 AH ? PM 于 H ,则 AH ? 平面 PBC . 连接 CH ,于是 ?ACH 就是直线 AC 与平面 PBC 所成的角,即 ?ACH = ? . 在 Rt△ AHM 中, AH ?

2 sin ?AMH ; 2 2 sin ?AMH ? sin ? . 2

在 Rt△ AHC 中, CH ? sin ? ,∴

∵0 ? ? ?

π , 6 1 2 , 0 ? sin ?AMH ? . 2 2

∴ 0 ? sin ? ?

又0 <? <

π π ,∴ 0 ? ? ? . 2 4

即二面角 P ? BC ? A 取值范围为 ? 0, ? . 解法 2:连接 PM ,因为 AB ? AC ? 1 ,点 M 分别为 BC 的中点,则 AM ? BC 又 PA ? 平面 ABCD ,则 PM ? BC 所以 ? PMA 即为二面角 P ? BC ? A 的平面角,设为 ? 以 AB,AC,AP 所 在 的 直 线 分 别 为

? ?

π? 4?

x 轴、 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则

? ? 2 ?1 1 ? A(0, 0,, 0) B(1, 0,, 0) C (0, 1,, 0) M ? , , 0 ?,P ? 0, 0, tan ? ? ? ?, 2 ?2 2 ? ? ?

? 于是, PM ? ? ? ,,

???? ?

?1 1 ?2 2

? ? 1 1 ? ??? ? ? ???? 2 tan ? ? AM ? , , 0 BC ? (?11 , , 0) . , , ? ? ? 2 ?2 2 ? ?

设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x,y,z ) ,

· BC ? 0,n · PM ? 0 . 则由 n
?? x ? y ? 0, ? 得 ?1 1 2 z tan ? ? 0. ? x? y? ?2 2 2
, , 可取 n ? (11

??? ?

???? ?

??? ? 2 ) ,又 CA ? (0, ?1 , 0) , tan ?
1 1 · 2? 2 tan 2 ? ? 2 sin ? , 2

??? ? n · CA 于是 sin ? ? ??? ? ? n· CA
π , 6

∵0 ? ? ?

∴ 0 ? sin ? ?

1 2 , 0 ? sin ?AMH ? . 2 2

又0 <? <

π π ,∴ 0 ? ? ? . 2 4

即二面角 P ? BC ? A 取值范围为 ? 0, ? . 考点:1、空间直线与平面的位置关系;2、二面角.

? ?

π? 4?

x2 y2 ? ? 1; 22. (1) (2)详见解析. 4 3
【解析】 试题分析: (1)此题为待定系数法求椭圆方程, c ? 1 ,当 x ? c 时,求得 P 点坐标,表示出 PQ =3,结 合椭圆基本量的基本关系,最后解出 a , b ; (2)第一步,首先设内切圆的半径为 R ,将面积转化为三个小 三角形的面积和 S ? 4 R ,得到半径面积最大,即半径最大,第二步,设直线 x ? m y ? 1 与椭圆方程联立,

得到关于 y 的根与系数的关系,第三步,表示面积 S ?F MN
1

1 12 m 2 ? 1 ,并根据换 ? F1 F2 ? y1 ? y2 ? 2 3m 2 ? 4

元,设 t ?

m2 ? 1 ,求出面积的最大值,和内切圆的半径的最大值,以及方程.

试题解析: (1)设椭圆方程为

=1(a>b>0) ,由焦点坐标可得 c=1

由 PQ|=3,可得

=3,

解得 a=2,b=

,故椭圆方程为

=1

(2)设 M

,N

,设 ?F1 MN 的内切圆的径 R,

则 ?F1 MN 的周长=4a=8, S ?F1MN 因此 S ?F1MN 最大,R 就最大

1 ? ( MF1 ? NF1 ? MN ) ? R ? 4 R 2

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1, 由 得 +6my-9=0,

得 y1

? y2 ?

? 6m ?9 , y1 y 2 ? 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

则 S ?F MN
1

1 12 m 2 ? 1 ? F1 F2 ? y1 ? y2 ? 2 3m 2 ? 4
,则 t≥1,

令 t= 则 S ?F1MN

12 m 2 ? 1 12t 12 ? ? 2 ? ?3 2 1 3m ? 4 3t ? 1 3t ? t
? 3 ,∴
= ,

当且仅当 t=1,m=0 时, S ?F1MN

这时所求内切圆面积的最大值为

π ,此时直线方程为 x=1.

考点:1.椭圆的方程;2.椭圆的性质;3.直线与椭圆相交的综合问题.


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