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抛物线及其标准方程导学案


2.3.1 一、 【学习目标】

抛物线及其标准方程

1.理解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的推导; 2.掌握抛物线标准方程的四种形式,会求抛物线的焦点坐标及准线方程; 3.能利用定义解决简单的应用问题. 二、 【复习引入】 1.椭圆的第二定义 :
王新敞
奎屯 新疆

2. 双曲线的第二定义:

3.问题:到定点距离与到定直线距离之比是定值 e 的点的轨迹,当 0<e<1 时是( ) ,当 e>1 时是( ).此时自然想到,当 e=1 时轨迹是什么? 若一动点到定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离之比是一个常数 e ? 1 时, 那么这个点 的轨迹是什么曲线? 三、 【新知探究】 1. 抛物线定义: 2.推导抛物线的标准方程:
D y M

K O (1)

F

x

3.抛物线的四种标准方程:

图形

方程 焦点 准线 说明: 1.方程形式与图形之间的关系: 2. p 的几何意义: 四、 【例题精讲】 例 1: (1)已知抛物线标准方程是 y ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程.
2

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F (0,?2) ,求它的标准方程.

例 2: 已知抛物线的标准方程是 (1) y 2 ? 12x (2) y ? 12x 2 求它的焦点坐标和准线方程.

例 3:求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是 F (?5,0) (2)经过点 A(2,?3)

五、 【随堂练习】 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1) y ? 8x
2

王新敞
奎屯

新疆

(2) x ? 4 y
2

(3) 2 y ? 3x ? 0
2

(4) y ? ?

1 2 x 6
王新敞
奎屯 新疆

2.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是 F (?2,0) (2)准线方程是 y ?

1 3
王新敞
奎屯 新疆

(3)焦点到准线的距离是 4,焦点在 y 轴上 (4)经过点 A(6,?2)

3.抛物线 x 2 ? 4 y 上的点 P 到焦点的距离是 10,求 P 点坐标

王新敞
奎屯

新疆

4.P67 1、2、3 5.P72 习题 2.4 A 组 1、2

2.3.2 一、 【学习目标】

抛物线的简单几何性质(一)

1.巩固抛物线定义和标准方程; 2.掌握抛物线简单几何性质,会利用性质求方程. 二、 【新知探究】 抛物线的几何性质: 标准方程 图形 顶点 对称轴 焦点 准线 离心率

y 2 ? 2 px ? p ? 0?

y 2 ? ?2 px ? p ? 0?

x 2 ? 2 py ? p ? 0?

x 2 ? ?2 py ? p ? 0?
三、 【例题精讲】 例 1 :已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2,?2 2 ) ,求它的 标准方程,并用描点法画出图形.

例 2 :探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆 的直径 60cm,灯深为 40cm,求抛物线的标准方程和焦点坐标.

四、 【随堂练习】 1.P72 1 2.P73 习题 A 组 4

2.3.2 一、 【学习目标】
1.掌握与弦中点相关的性质;

抛物线的简单几何性质(二)

2.掌握与 OA ? OB 相关的性质. 二、 【新知探究】 1.抛物线的焦半径(定义)及其应用: 定义: 焦半径公式: 2.抛物线的焦点弦: (1)弦长公式: ① AB ? ________________________ ② AB ? ________________________ (2)通径: (3) y A

y 2 ? 2 px

S ?AOB ?

O B y

F

x

(4)

y 2 ? 2 px
A F B x

| AF |? m, | BF |? n ,

1 1 2 ? ? m n p

O

(5) x1 x 2 ?

y1 y 2 ?
3. OA ? OB y A

(1) x1 x 2 ? x

y1 y 2 ?

F O (2)恒过定点 B

(3) S ?AOB 的最小值 三、 【例题精讲】 例 1:过抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 任作一条直线 m ,交这抛物线于 A, B 两点, 求证:以 AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切.

例 2:过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两点,如果

x1 ? x2 ? 6 ,那么 | AB | =(
A.10 B.8

) C.6 D.4

例 3: 过抛物线 y ? ax2 ?a ? 0? 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 、Q 两点, 若线段 PF 、QF 的长分别是 p 、 q ,则

1 1 ? =( p q
1 2a



A. 2 a

B.

C. 4 a

D.

4 a

例 4:直线 y ? x ? 2 与抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A, B 两点,求证: OA ? OB .

四、 【随堂练习】
2 1 . 已 知 M 为 抛 物 线 y ? 4 x 上 一 动 点 , F 为 抛 物 线 的 焦 点 , 定 点 P?3 , 1? , 则

| MP | ? | MF | 的最小值为(
A.3 2.P73 3、5 B.4

) C.5 D.6

2.3.3

专题:直线与抛物线的位置关系

一、 【知识要点】 1.如何确定直线和抛物线的位置关系? ________ ? 直线与抛物线有两个公共点 ________ ? 直线与抛物线有且只有一个公共点 ________ ? 直线与抛物线没有公共点 2.弦长公式: AB ? ________________________ 3.点差法: 4. OA ? OB ? ________________________

二、 【典型例题】

1 ) 例 1:已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,直线 l 过定点 P( ? 2, ,斜率为 k . k 为何值时,
直线 l 与抛物线只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.

例 2:过点 M (2,0) 作斜率为 1 的直线 l ,交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A, B 两点,求 | AB | .

例 3:过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线 l 与它交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点的轨迹方程 是 _____________.

例 4:直线 y ? x ? 2 与抛物线相交于 A 、 B 两点,求证: OA ? OB .

三、 【巩固练习】 1. 垂直于 x 轴的直线交抛物线 y 2 ? 4 x 于 A, B 两点, | AB |? 4 3 , 且 求直线 AB 的方程. 2.顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y ? 2 x ? 1 截得的弦长为 15 ,求抛物 线的方程. 3.以双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右准线为准线,以坐标原点 O 为顶点的抛物线截双曲线的左准 16 9

线得弦 AB ,求△ OAB 的面积. 4.定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y ? x 上移动,求 AB 中点 M 到 y 轴距离
2

的最小值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标.
2 5.在抛物线 y ? 4 x 上求一点 P ,使得 P 到直线 y ? x ? 3 的距离最短.

6.已知直角 ?OAB 的直角顶点 O 为原点, A 、 B 在抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 上. (1)分别求 A 、 B 两点的横坐标之积,纵坐标之积; (2)直线 AB 是否经过一个定点,若经过,求出该定点坐标,若不经过,说明理由; (3)求 O 点在线段 AB 上的射影 M 的轨迹方程. 7.已知直角 ?OAB 的直角顶点 O 为原点, A 、 B 在抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 上,原点在 直线 AB 上的射影为 D?2 , 1? ,求抛物线的方程. 8.已知抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 与直线 y ? ? x ? 1 相交于 A 、 B 两点,以弦长 AB 为直径 的圆恰好过原点,求此抛物线的方程. 9. 已知直线 y ? x ? b 与抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 相交于 A 、B 两点, OA ? OB , O 为 若 ( 坐标原点)且 S?AOB ? 2 5 ,求抛物线的方程. 10. (1)正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 求 这个正三角形的边长. (2)正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 上, 求正三角形外接圆的方程. 11.已知 ?ABC 的三个顶点是圆 x 2 ? y 2 ? 9 x ? 0 与抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的交点,且

?ABC 的垂心恰好是抛物线的焦点,求抛物线的方程.
12.顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过点 P(4,2)的抛物线方程是( A. x 2 ? 8 y
2



B.

x2 ? 4y

C.

x2 ? 2y

2 D. x ?

1 y 2
)

13.抛物线 y ? 8x 上一点 P 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点坐标是( A. (2,4) B.(2,± 4) C.(1, 2 2 ) D.(1,±2 2 )

14.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长等于 8,则抛物线 方程为 __________. 15.抛物线 y 2 ? 6 x ,以此抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程是 ________________.

3.1.1

变化率问题

一、 【学习目标】 理解函数平均变化率的概念,会求已知函数的平均变化率。 二、 【新知探究】 平均变化率概念: 思考:观察函数 f(x)的图象 平均变化率

?f f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表示什么? ?x x2 ? x1

y y=f(x)

f(x2) △y =f(x2)-f(x1) 直线 AB 的斜率 f(x1) O 三、 【例题精讲】 例 1:已知质点按照规律 s ? 2t ? 4t (距离单位: m ,时间单位: s )运动,求:
2

△x= x2-x1 x1 x2 x

(1)质点开始运动后 3 秒内的平均速度; (2)质点在 2 秒到 3 秒内的平均速度。

例 2:求函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间 ?
2

? 23 ? ? 25? ,2? 和 ?2, ? 的平均变化率。 ?12 ? ? 12 ?

变式 1:求函数 y ? x 在区间 ?x0 , x0 ? ?x?(或 ?x0 ? ?x, x0 ? )的平均变化率,并探索表达
2

式的值(平均变化率)与函数图象之间的关系。

变式 2:过曲线 y ? f ?x ? ? x 3 上两点 P(1,1) 和 Q?1 ? ?x,1 ? ?y ? 作曲线的割线,求出当

?x ? 0.1 时割线的斜率。

四、 【课后巩固】 1. 设 函 数 y ? f ?x ? , 当 自 变 量 x 由 x0 改 变 到 x0 ? ?x 时 , 函 数 的 改 变 量 ?y 为 ( ) B. f ?x0 ? ? ?x
2

A. f ?x0 ? ?x ?

C. f ?x0 ? ? ?x D. f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? )

2.一质点运动的方程为 s ? 1 ? 2t ,则在一段时间 ?1,2? 内的平均速度为( A.-4 B.-8 C.6 D.-6

3.将半径为 R 的球加热,若球的半径增加 ? R ,则球的表面积增加 ? S 等于( A. 8?R?R C. 4?R?R ? 4? ??R?
2



B. 8?R?R ? 4? ??R?
2

2

D. 4? ??R ?

2

4. 在 曲 线 y ? x ? 1 的 图 象 上 取 一 点 ( 1,2 ) 及 附 近 一 点 ?1 ? ?x,2 ? ?y ? , 则 ( )

?y 为 ?x

A. ?x ?

1 ?2 ?x

C. ?x ? 2

1 ?2 ?x 1 D. 2 ? ?x ? ?x
B. ?x ?
2

5.在高台跳水运动中,若运动员离水面的高度 h(单位:m)与起跳后时间 t(单位:s)的 函 数 关 系 是 h?t ? ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 , 则 下 列 说 法 不 正 确 的 是 ( ) 0 ? t ? 1 这段时间里,平均速度是 1.6m / s A.在 B.在 0 ? t ?

65 这段时间里,平均速度是 0m / s 49

C.运动员在 ?0,

? 65? ? 时间段内,上升的速度越来越慢 ? 49?

D.运动员在 ?1,2? 内的平均速度比在 ?2,3? 的平均速度小 6.函数 y ? f ?x ? 的平均变化率的物理意义是指把 y ? f ?x ? 看成物体运动方程时,在区间

?t1 ,t 2 ? 内的
7.函数 y ? f ?x ? 的平均变化率的几何意义是指函数 y ? f ?x ? 图象上两点 P ?x1 , f ?x1 ?? 、 1

P2 ?x2 , f ?x2 ?? 连线的

8.函数 y ? 3x 2 ? 2x ? 8 在 x1 ? 3 处有增量 ?x ? 0.5 ,则 f ?x ? 在 x1 到 x1 ? ?x 上的平均变 化率是 9.正弦函数 y ? sin x 在区间 ?0,

? ? ? ?? ? ? ? 和 ? , ? 的平均变化率哪一个较大? ? 6? ?3 2?

10.在受到制动后的 t 秒内一个飞轮上一点 P 旋转过的角度(单位:孤度)由函数

? ?t ? ? 4t ? 0.3t 2 (单位:秒)给出
(1)求 t=2 秒时,P 点转过的角度

( 2 ) 求 在 2 ? t ? 2 ? ?t 时 间 段 内 P 点 转 过 的 平 均 角 速 度 , 其 中 ① ?t ? 1 , ② ?t ? 0.1 ③ ?t ? 0.01

3.1.2

导数的概念

一、 【学习目标】 1.了解瞬时速度,瞬时变化率(导数)的定义。 2.掌握瞬时速度,瞬时变化率的求法。 二、 【复习引入】 1.瞬时速度: 物体在 t 0 时的瞬时速度 v 就是运动物体在 t 0 到 t 0 ? ?t 一段时间内的平均速度,当

?t ? 0 时的极限,即 v ? lim
2.导数的概念:

?t ? 0

?s ? ?t

在 x ? x0 处的导数的定义:一般地, y ? f (x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是 我们称之为 y ? f (x) 在 x ? x0 处的 3.求导数的步骤: ①求函数的增量: ?y ? ②求平均变化率:
'

lim

?x ? 0

?y ? ?x

记作

f ' ( x0 ) 或 y | x ? x0 即 f ' ( x0 ) ?

?y ? ?x

③取极限,得导数: f ' ( x0 ) ? 上述求导方法可简记为:一差、二比、三极限。 三、 【新知探究】 1.掌握求导方法: 例: 以初速度为 v0 (v0 ? 0) 做竖直上抛运动的物体, 秒时的高度为 s (t ) ? v 0 t ? (1) t 求物体在时刻 t 0 处的瞬时速度。 (2)求 y ? 2x ? 1 在 x0 到 x0 ? ?x 之间的平均变化率。
2

1 2 gt , 2

(3)设 f ( x) ? x 2 +1,求 f ' ( x) , f ' (?1) , 2.掌握瞬时变化率的求法及实际意义: 例:将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需对原油进行冷却和加热。如果在第

x h 时原油的温度 ( ? C ) 为 f ( x) ? x 2 ? 7 x ? 15 (0 ? x ? 8) .计算第 2 h 和第 6 h 时,原油的
瞬时变化率,并说明意义。

四、 【随堂练习】 1.自变量由 x0 变到 x1 时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( A.在区间 [ x0 , x1 ] 上的平均变化率 C.在 x1 处的变化率 2.下列各式中正确的是( A. ) B.在 x0 处的变化率 D.在区间 [ x0 , x1 ] 上的导数 )

y ' | x ? x0 ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

B.

f ' ( x0 ) ? lim
'

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f (?x) ?x

C. y | x ? x0 ?

lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x
f ( x0 ) ? f ( x0 ? ?x) ?x
) D.-3
2

D.

f ' ( x0 ) ? lim

?x ?0

3.设 f ( x) ? ax ? 4 ,若 f ' (1) ? 2 ,则 a 的值( A.2 B.-2 C .3

4.任一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s ? 3t ? t ,则物体的初速度是 ( ) A.0 5.函数 y ? x ? D. 3 ? 2t

B.3

C.-2

1 , 在 x ? 1 处的导数是 x

6. y ? x 3 ? 1,当 x ? 2 时 ,

lim

?x ? 0

?y ? ?x

7.设圆的面积为 A,半径为 r ,求面积 A 关于半径 r 的变化率。

3.掌握导数定义及变形: 8 .( 1 ) 已 知 f (x) 在 x ? x0 处 的 导 数 为 A , 求

lim

?x ?0

f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) 及 ?x

lim

?x ?0

f ( x 0 ? 2?x) ? f ( x 0 ) 的值。 ?x

(2)若 f ?( x0 ) ? 2 ,求

lim
h ?0

f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? h) 的值. h

9.枪弹在枪筒中运动可以看作匀速运动,如果它的加速度是 a ? 5 ? 10 m / s ,枪弹从枪
5 2

口,射出的时间为 1.6 ? 10 s ,求枪弹射出枪口时的瞬时速度。

?3

4.掌握瞬时速度的求法: (选作)某一物体的运动方程如下: S ? ? 时的瞬时速度。

? 3t 2 ? 1 (0 ? t ? 3) ,求此物体在 t ? 1 和 t ? 3 2 ?2 ? 3(t ? 3) (t ? 3)

五、 【课后巩固】 1 . 一 物 体 的 运 动 方 程 是 s ? 3 ? t , 则 在 一 小 段 时 间 [2,2.1] 内 相 应 的 平 均 速 度 为
2

( ) A.0.41

B.3

C.4

D.4.1 ( )

2.设函数 f (x) 可导,则

lim

?x ?0

f (1 ? ?x) ? f (1) 等于 3?x

A. f (1) C.

/

B.不存在 D.以上都不对

1 / f (1) 3

3.设 f ( x) ?

f ( x) ? f (a) 1 ,则 lim 等于 x?a x x ?a
B.





A. ?

1 a
3

2 a

C. ?

1 a2

D.

1 a2
( )

4.若 f ( x) ? x , f ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值是
/

A.1

B.-1
3 /

C. ? 1

D. 3 3

5.设函数 f ( x) ? ax ? 2 ,若 f (?1) ? 3 ,则 a ? __________。 6.求函数 y ? 2m x ? n 的瞬时变化率。

7.设一物体在 t 秒内所经过的路程为 s 米,并且 s ? 4t ? 2t ? 3 ,试求物体分别在运动开
2

始及第 5 秒末的速度。

8.已知 f ( x) ? x 2 , g ( x) ? x 3 ,求适合 f / ( x) ? 2 ? g / ( x) 的 x 的值。

3.1.3
一、 【学习目标】

导数的几何意义

1.通过作函数 f (x) 图像上过点 P( x0 , f ( x0 )) 的割线和切线,直观感受由割线过渡到切线 的变化过程。 2.掌握函数在某一处的导数的几何意义,进一步理解导数的定义。 3.会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程。 二、 【复习引入】 1.对于函数 f (x) 的曲线上的定点 P( x0 , y 0 ) 和动点 Pn ( xn , f ( xn )) ,直线 PPn 称为这条函 数曲线上过 P 点的一条__________;其斜率 k n =_________________;当 Pn ? P 时,直线

PPn 就无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线 PT 称为过 P 点的__________;其
斜 率 k = ________________=___________________ ( 其 中 ?x ? x n ? x0 ) 切 线 方 程 为 , ________________________________;过函数曲线上任意一点的切线最多有__________条, 而割线可以作_______条。 2. 函数的平均变化率的几何意义是___________________________; 函数的导数的几何意义 是______________________________。
/ 3 . 当 函 数 f (x) 在 x ? x0 处 的 导 数 f ( x0 ) ? 0 , 函 数 在 x0 附 近 的 图 像 自 左 而 右 是

__________的, 并且 f / ( x0 ) 的值越大, 图像上升的就越________; 当函数 f (x) 在 x ? x0 处 的导数 f ( x0 ) ? 0 ,函数在 x0 附近的图像自左而右是__________的,并且 f / ( x0 ) 的值越
/

小,图像下降的就越________; f ( x0 ) ? 0 ,函数在 x0 附近几乎______________________。
/

三、 【例题精讲】 例 1.如图(见课本 p11 .5) ,试描述函数 f (x) 在 x ? ?5,?4,?2,0,1 附近的变化情况。 变式 :根据下列条件,分别画出函数图像在这点附近的大致形状: (1) f (1) ? ?5, f / (1) ? ?1 ; (2) f (5) ? 10, f / (5) ? 15; (3) f (10) ? 20, f / (10) ? 0 。

例 2. 如图 (见课本 p11 .6) 已知函数 f (x) 的图像, 试画出其导函数 f / ( x) 图像的大致形状。

变式:根据下面的文字叙述,画出相应的路程关于时间的函数图像的大致形状。 (1)汽车在笔直的公路上匀速行驶; (2)汽车在笔直的公路上不断加速行驶; (3)汽车在笔直的公路上不断减速行驶;

例 3.已知曲线 y ? 方程。

1 3 8 x 上的一点 P(2, ) ,求(1)点 P 处切线的斜率; (2)点 P 处的切线 3 3

变式:已知曲线 y ?

1 3 x ,求与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,并与该曲线相切的直线方程。 3

四、 【随堂练习】 1.曲线 y ? x 2 在 x ? 0 处的 A.切线斜率为 1 C.没有切线 B.切线方程为 y ? 2 x D.切线方程为 y ? 0 ) ( )

2.已知曲线 y ? 2x 2 上的一点 A(2,8) ,则点 A 处的切线斜率为( A.4 B.16 C.8 D.2 (

3.函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的导数 f / ( x0 ) 的几何意义是 A.在点 x ? x0 处的函数值 B.在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 C.曲线 y ? f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 D.点 ( x0 , f ( x0 )) 与点(0,0)连线的斜率



4.已知曲线 y ? x 3 上过点(2,8)的切线方程为 12 x ? ax ? 16 ? 0 ,则实数 a 的值为 ( ) A.-1

B.1

C.-2

D.2 ( D.-12 )

5.若 f / ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? 3h) = h
C.-9

A.-3

B.-6

f (1) ? f (1 ? x) ? ?1 ,则曲线 y ? f (x) 在点(1, 6.设 f (x) 为可导函数,且满足条件 lim x ?0 2x
1)处的切线的斜率为 A.2 B.-1
2

( C.

) D.-2

1 2

7. 已知曲线 y ? x ? 1 上的两点 A(2,3) B(2 ? ?x,3 ? ?y) ,当 ?x ? 1 时,割线 AB , 的斜率是__________,当 ?x ? 0.1 时,割线 AB 的斜率是__________,曲线在点 A 处的切 线方程是________________________。 8.如果函数 f (x) 在 x ? x0 处的切线的倾斜角是钝角,那么函数 f (x) 在 x ? x0 附近的变化 情况是__________________。 9.在曲线 y ? x 上过哪一点的切线, (1)平行于直线 y ? 4 x ? 5 ;
2

(2)垂直于直线 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 ; (3)与 x 轴成 135 的倾斜角;
?

(4)求过点 R(1,-3)与曲线相切的直线。

五、 【课后巩固】 1. 一木块沿某一平面自由下滑, 测得下滑的水平距离 s 与时间 t 之间的函数关系为 s ? 则 t ? 2 秒时,此木块在水平方向上的瞬时速度为( A.2 B.1 C. )

1 2 t , 8

1 1 D. 2 4 1 2 3 2.已知曲线 y ? x ? 2 上一点 P (1,? ) ,则过点 P 的切线的倾斜角为( 2 2
A. 30
?



B. 45

?

C. 135

?

D. 165

?

3 . 曲 线 y ? x 3 ? x ? 2 在 P 点 处 的 切 线 平 行 于 直 线 y ? 4x ? 1 , 则 此 切 线 方 程 为 ( ) B. y ? 4 x ? 4 D. y ? 4 x 或 y ? 4 x ? 4

A. y ? 4 x C. y ? 4 x ? 8 4.已知曲线 y ? 为

4 在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为 17 ,则直线 l 的方程 x
( ) B. 4 x ? y ? 9 ? 0 D.以上都不对

A. 4 x ? y ? 9 ? 0 或 4 x ? y ? 25 ? 0 C. 4 x ? y ? 9 ? 0 或 4 x ? y ? 25 ? 0 5.曲线 y ?

1 2 与 y ? x 在他们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积为_______。 x 1 3 3 6. 曲线 y ? x 在点 (a, a )(a ? 0) 处的切线与 x 轴、 直线 x ? a 所围成的三角形的面积为 , 6
则 a 的值为___________。 7.已知曲线 C : y ? x 。
3

(1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线的方程; (2)第(1)小题中的切线与 C 是否还有其它的公共点。

8.已知曲线 y ?

1 1 上两点 P ( 2,?1), Q ( ?1, ) 。 t?x 2

求: (1)曲线在 P 点、Q 点处的切线的斜率; (2)曲线在 P、Q 点的切线方程。

9.已知点 M(0,-1) ,F(0,1) ,过点 M 的直线 l 与曲线 y ? 的切线平行。 (1)求直线 l 的方程; (2)求以点 F 为焦点, l 为准线的抛物线 C 的方程。

1 3 x ? 4x ? 4 在 x ? 2 处 3

10.判断下列函数在 x ? 0 的切线是否存在,若存在,求出切线方程,否则说明理由。 (1) y ? x 3 ; (2) y ? 3 x ; (3) y ?| x | ; (4) y ?

x。


§2.3.1抛物线及其标准方程学案

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