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如何快速解答抽象函数对称性与周期性问题

时间:2012-11-03


如何快速解答抽象函数对称性与周期性的问题? 高考对抽象函数的考察中经常结合对称性与周期性一同考察, 下面我们看看函数的对称 性与周期性究竟有什么样的关系? 若 函 数 f (x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称 , 也 关 于 直 线 x ? b 对 称 , 则 f (x) 是 以
T ? 2 | a ? b | 为周期的周期函数

证明: 因为 f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称,所以有 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) 即
f ( 2 a ? x ) ? f ( ? x ) ,同理 f ( 2 b ? x ) ? f ( ? x ) 。所以有 f ( 2 b ? x ) ? f ( 2 a ? x ) ,

即有 f ( x ) ? f ( x ? 2 a ? 2 b ) 所以函数 f ( x ) 是以 T ? 2 | a ? b | 为周期的周期函数. 定理 1:一般地我们有,若函数 f ( x ) 满足对于任意的实数 x 都有 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) 和
f ( b ? x ) ? f ( b ? x ) 都成立 (其中 a ? b )即函数 f ( x ) 的图象关于两条直线 x ? a 和 x ? b ,

都对称,则 f ( x ) 是周期函数,且周期是 T ? 2 | b ? a | .。 同样的思路我们也可以得出: 定理 2:若函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称,关于点 (m , 0 ) (其中 a ? m )中心对称, 那么函数 f ( x ) 是周期函数,且周期是 T ? 4 | a ? m | 证明 因为 f ( x ) 关于直线 x ? a 对称所以有 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ,即有:
f ( x) ? f (2a ? x)

又 f ( x ) 关于点 (m , 0 ) 对称所以有式子 f ( m ? x ) ? ? f ( m ? x ) 成立,即有:
f ( x) ? ? f (2m ? x)

由上述两个式子得到: f ( 2 a ? x ) ? ? f ( 2 m ? x ) ,即有: f ( x ) ? ? f ( x ? 2 a ? 2 m ) 令 x 为 x ? 2 a ? 2 m 所以又得到 f ( x ? 2 a ? 2 m ) ? ? f ( x ? 4 a ? 4 m ) 所以有: f ( x ) ? f ( x ? 4 a ? 4 m ) 所以 f ( x ) 是周期函数,且周期是 T ? 4 | a ? m | 。 推论 若函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? a ( a ? 0 ) 和原点 O 对称,则函数 f ( x ) 是周期函

数,且周期为 T ? 4 | a | . 定理 3:若函数 f ( x ) 的图象关于点 ( n , 0 ) ,关于点 (m , 0 ) (其中 n ? m )中心对称,那么函 数 f ( x ) 是周期函数,且周期是 T ? 2 | n ? m | 证明:由 f ( x ) 的图象关于点 ( n , 0 ) 对称,得到 f ( n ? x ) ? ? f ( n ? x ) , 即: f ( x ) ? ? f ( 2 n ? x )

同理可得: f ( x ) ? ? f ( 2 m ? x ) 所以有 f ( 2 n ? x ) ? f ( 2 m ? x ) ,即: f ( x ) ? f ( x ? 2 n ? 2 m ) 所以 f ( x ) 是周期函数,且周期是 T ? 2 | n ? m | 经过上面的分析我们知道,一个函数只要关于两条直线,或者两个点,或者一条直线 一个点对称,那么这个函数一定是周期函数。熟悉的理解上述 3 个定理有助于我们快速解 答高考题。 下面举两道高考题来看看上述定理的应用。 例题 1.(2009 全国卷Ⅰ理)函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数, 则( ) (B) f ( x ) 是奇函数 (D) f ( x ? 3) 是奇函数

(A) f ( x ) 是偶函数 (C) f ( x ) ? f ( x ? 2)

解: ? f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,? 函数 f ( x ) 关于点 (1, 0) ,及点 ( ? 1, 0) 对称,根据 定理 3,函数 f ( x ) 是周期 T ? 2[1 ? ( ? 1)] ? 4 的周期函数.,所以有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 3 ) 即
f ( x ? 3) 是奇函数。故选 D

例题 2.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,且在区间 [0,2] 上 是 增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8 ,8 ? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x 2 , x 3 , x 4, 则
x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

解:因为 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,所以 f ( x ? 4 ) ? f ( ? x ) ,所以, 函数图象关于直线 x ? 2 对称, 根据定理 2 函数 f ( x ) 是以 8 为周期的周期函数, f (0 ) ? 0 , , 且 又因为 f ( x ) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f ( x ) 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方 程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8 ,8 ? 上有四个不同的根 x1 , x 2 , x 3 , x 4 ,不妨设 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 由对称 性知 x1 ? x 2 ? ? 1 2 x 3 ? x 4 ? 4 所以 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? ? 12 ? 4 ? ? 8 答案:-8

y f(x)=m (m>0) -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x


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