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不等式选讲


一、填空题 ?x-2? x-2 ?> 1.不等式? x 的解集是________. ? x ? 解析 x-2 由绝对值的意义知,原不等式同解于 x <0,

即 x(x-2)<0,∴0<x<2. 答案 (0,2)

2.设集合 A={x| |x-a|<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R}.若 A?B,则实数 a, b 必满足__

______. 解析 由|x-a|<1 得 a-1<x<a+1.

由| x-b|>2 得 x<b-2 或 x>b+2.[来源:学|科|网] ∵A?B,∴a-1≥b+2 或 a+1≤b-2, 即 a-b≥3 或 a-b≤-3,∴|a-b|≥3.[来源 XK] 答案 |a-b|≥3

3.对于 x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8 的解集为________. 解析 法一 (零点分段法)由题意可知,

?x≤-10, ?-10<x<2, ?x≥2, ? 或? 或? ?-x-10+x-2≥8 ?x+10+x-2≥8 ?x+10-x+2≥8, 解得 x≥0,故原不等式的解集为{x|x≥0}. 法二 (几何意义法)如图,在数轴上令点 A、B 的坐标分别为-10,2,在 x 轴

上任取一点 P,其坐标设为 x,则|PA|=|x+10|,|PB|=|x-2|,观察数轴可知, 要使|PA|-|PB|≥8,则只需 x≥0.故原不等式的解集为{x|x≥0}.

答案

{x|x≥0}

4.若不等式|x+1|+|x-2|≥a 对任意 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是________. 解析 答案 由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3.所以只需 a≤3 即可. (-∞,3]

5.若 logx y=-2,则 x+y 的最小值是________. 解析 1 ∵logxy=-2,∴y=x2,

1 x x 1 ∴x+y=x+x2=2+2+x2[来源:学科网 ZXXK] ≥3 3 1 33 4=2 2. 33 2 2

答案

6.设不等式 x+ y≤a x+y对一切 x>0,y>0 恒成立,求实数 a 的最小值为 ________. 解析 原题即 a≥ x+ y , x+y x+ y 对一切 x>0,y>0 恒成立. x+y

设 A=

x+y+2 xy 2 xy A2= =1+ ≤2, x+y x+y 当 x=y 时等号成立,∵A>0, ∴0<A≤ 2.即 A 有最大值 2. ∴当 a≥ 2时, x+ y≤a x+y对一切 x>0,y>0 成立.[来源:Zxxk.Com] ∴a 的最小值为 2. 答案 2

x 7.若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 解析 x ∵a≥ 2 = x +3x+1 1 1 对任意 x>0 恒成立,设 u=x+ x+3, 1 x+ x +3

1 ∴只需 a≥u恒成立即可. ∵x>0,∴u≥5(当且仅当 x=1 时取等号). 1 1 1 由 u≥5,知 0<u≤5,∴a≥5. 答案 ?1 ? ?5,+∞? ? ?

8.已知 h>0,a,b∈R,命题甲:|a-b|<2h:命题乙:|a-1|<h 且|b-1|<h, 则甲是乙的________条件.

解析

|a-b|=|a-1+1-b|≤|a-1|+|b-1|<2h,故由乙能推出甲成立,但甲

成立不能推出乙成立,所以甲是乙的必要不充分条件. 答案 必要不充分

二、解答题 9.已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 (2)若 a,b,c∈R+,且a+2b+3c=m,求证:a+2b+3c≥9. 解 (1)因为 f(x+2)=m-|x|,

所以 f(x+2)≥0 等价于|x|≤m, 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2)由(1)知a+2b+3c=1,又 a,b,c∈R+,由柯西不等式得 ?1 1 1 ? a+2b+3c=(a+2b+3c)?a+2b+3c? ? ? 1 1 1 ? ? ≥? a· + 2b· + 3c· ?2=9. a 2b 3c ? ? ?1 1 1?2 10.已知 a,b,c 均为正数,证明:a2+b2+c2+?a+b+ c? ≥6 3,并确定 a,b, ? ? c 为何值时,等号成立. 证明
2 2

法一:因为 a,b,c 均为正数,由均值不等式得
2

2 a +b +c ≥3(abc)3,① 1 1 1 1 + + ≥ 3( abc ) - a b c 3, 2 ?1 1 1?2 所以?a+b+c? ≥9(abc)-3.② ? ? 2 2 ?1 1 1?2 故 a +b +c +?a+b+c? ≥3(abc)3+9(abc)-3. ? ?
2 2 2

2 2 又 3(abc)3+9(abc)-3≥2 27=6 3,③ 所以原不等式成立.

2 2 当且 仅当 a=b=c 时,①和②式等号成立.当且仅当 3(abc)3=9(abc)-3时, ③式等号成立. 1 即当且仅当 a=b=c=34时,原式等号成立. 法二:因为 a,b,c 均为正数,由基本不等式得 a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac. 所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac① 1 1 1 1 1 1 同理a2+b2+c2≥ab+bc+ac② ?1 1 1?2 故 a2+b2+c2+?a+b+c? [来源:学|科|网] ? ? 1 1 1 ≥ab+bc+ac+3bc+3ab+3ac≥6 3.③ 所以原不等式成立. 当且仅当 a=b=c 时,①式和②式等 号成立,当且仅当 a=b=c,(ab)2=(bc)2 =(ac)2=3 时,③式等号成立. 1 即当且仅当 a=b=c =34时,原式等号成立.


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