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黑龙江省齐齐哈尔市2013届高三第二次高考模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

时间:2013-05-28


齐齐哈尔市 2013 届高三第二次高考模拟考试数学(文)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.其中第 II 卷第(22)-(24) 题为选考题,其它题为必考题.全卷共 150 分,考试时间 120 分钟.考生作答时,将答案答在 答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1. 答题前,考生先将自己的姓名

、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码 区域内. 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草 稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 参考公式: 锥体体积公式: V ?

1 Sh (其中 S 为底面面积, h 为高) 3

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一. 选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? x x ? 1 ? 2, x ? Z , B ? y y ? x 3 ,?1 ? x ? 1 ,则 A ? B ? A. ?? ?,1? 2.若 B. ?? 1,1? C. ? D. ?? 1,0,1? ) )

?

?

?

?





1 ? 7i ? a ? bi ( a, b ? R, i 为虚数单位) ab 等于 ,则 ( 2?i A. ?15 B. ?3 C. 3 D. 15 ? 3.废品率 x % 和每吨生铁成本 y (元)之间的回归直线方程为 y ? 2 x ? 256 ,这表明 ( A. y 与 x 的相关系数为 2 B. y 与 x 的关系是函数关系的充要条件是相关系数为 1
C.废品率每增加 1%,生铁成本增加 258 元 D.废品率每增加 1%,生铁成本平均每吨增加 2 元 4.已知等差数列 ?an ? 中, a4 ? a7 ? 42,则前 10 项和 S10 ?

( D. 140



x ?1 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 等于 x ?1 1 1 A. 2 B. C. ? D. ? 2 2 2 6. 某 程 序 框 图 如 图 所 示 , 该 程 序 运 行 后 输 出 的 k 的 值 是 (
5.设曲线 y ?

A. 420

B. 380

C. 210







A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

7.某几何体的三视图如图所示,俯视图是边长为 4 的正三角形, 则此几何体的表面积为 A. 24 ? 8 3 B. 4 3 C. 12 ? 2 3 D. 24 ? 4 3
x

( 2 正视图 4 俯视图 侧视图



8.已知函数 f ( x) ? 2 的反函数 g ( x) 满足 g (a) ? g (b) ? 4 , 则

1 1 ? 的最小值为 a b
B.



) D.

A. 1

1 3

C.

1 2

1 4

9.定义运算:

a1

a2 a4

3 cos
将函数 f ( x ) ? ? a1a4 ? a2 a3 ,

a3

1

x 2 的图像向左平移 m m ? 0 ) ( x sin 2
( )

2? 4? 7? B. C. D. 3 3 3 2 10.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c ,其中 0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ,记事件 A 为 “函数 f ( x ) 满足 ? f (2) ? 12 条件:? ” 则事件 A 发生的概率为 , ( ) ? f (?1) ? 1 4 1 1 1 A. B. C. D. 9 3 2 9 2 2 x y 11.已知 F1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点, P 为双曲线左支上的 a b

个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则 m 的最小值是

? A. 3

| PF2 |2 的最小值为 8a ,则双曲线离心率 e 的取值范围是 ( ) | PF1 | A. (1, ??) B. (0,3] C. (1,3] D. (1, 2] 12.定义域为 R 的偶函数 f ( x ) , ?x ? R , f (x ?2 ? f ( x) ?f () 对 有 , 且当 x ? [2,3] 时, ) 1
任意一点,若

f ( x) ? ?2x2 ? 12x ?18 ,若函数 y ? f ( x) ? loga ( x ? 1) 在 ? 0, ??? 上至少有三个零点, 则 a 的取值范围是 ( ) 3 2 5 6 A. (0, B. (0, C. (0, D. (0, ) ) ) ) 3 2 5 6 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答.第(22)题~(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知圆 C 与直线 x ? y ? 4 ? 0 及 x ? y ? 0 都相切,且圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的方程为 . 14.某高中在校学生 2000 人,高一年级与高二年级人数相同并且都比高三年级多 1 人,为了 响应市教育局“阳光体育”号召,该校开展了跑步和跳绳两项比赛,要求每人都参加而 且只参加其中一项,各年级参与项目人数情况如下表: 高一年级 高二年级 高三年级 b 跑步 a c y 跳绳 x z 其中 a : b : c ? 2 : 3 : 5 ,全校参与跳绳的人数占总人数的

2 ,为了了解学生对本次活动 5

的满意度,采用分层抽样从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则高二年级中参与跑步 的同学应抽取 人. 15.已知向量 a ? (? , 面积为

?

? ? 1 3 ??? ? ? ??? ? ? ), OA ? a ? b, OB ? a ? b ,若 ?OAB 是等边三角形,则 ?OAB 的 2 2
.

16. 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1 , 且 对 任 意 的 正 整 数 m, n 都 有 am? n ? a m ? a n ? m n 则 ,

1 1 1 1 = ? ?? ? ? a1 a2 a2 0 1 2 a 2 0 1 3

.

三. 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

已知向量 m ? sin x, 3 sin x , n ? ? sin x,cos x ? ,设函数 f ?x? ? m ? n . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式,并求 f ? x ? 在区间 ??

??

?

?

?

? ? ?? 上的最小值; , ? 4 6? ?
3 , 2

(Ⅱ) ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,A 为锐角, f ? A ? ? f ? ? A ? ? 在 若

b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求 a . 18.(本小题满分 12 分) 甲、乙两个盒子中各有 3 个球,其中甲盒中有 2 个黑球 1 个白球,乙盒中有 1 个黑球 2 个白球,所有球之间只有颜色区别. (Ⅰ)若从甲、乙两个盒子中各取一个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率; S (Ⅱ)将这两个盒子中的球混合在一起,从中任取 2 个,
E C D A B

求取出的 2 个球中至少有一个黑球的概率. 19.(本小题满分 12 分) 四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD , E 为 SD 的中点,已知

?ABC ? 45?,AB ? 2,BC ? 2 2 , SB ? SC ? 3. (Ⅰ)求证: SA ? BC ; (Ⅱ)在 BC 上求一点 F ,使 EC / / 平面 SAF ; (Ⅲ)求三棱锥 D ? EAC 的体积.
20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,离心率 e ?

2 ,且经过点 A(?2,1) . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)斜率为 ?1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,求证:直线 AP 与 AQ 的倾斜角互 补. 21.(本小题满分 12 分) 1? a 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? , (a ? R). x (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若在区间 ?1,e?( e ? 2.718? )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的 取值范围. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,已知 A, B, C , D, E 均在⊙O 上,且 AC 为⊙O 的直径。 (1)求 ?A ? ?B ? ?C ? ?D ? ? E 的值; (2)若⊙O 的半径为

3 , AD 与 EC 交于点 M ,且 E 、 2 D 为弧 AC 的三等分点,求 MD 的长.

23.(本小题满分 10 分) 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 已知极坐标系的极点为直角坐标系 xoy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的 长度单位相同,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) . (1)求 C 的直角坐标方程;

1 ? ?x ? 2 t ? (2)直线 l : ? ( t 为参数)与曲线 C 交于 A , B 两点,与 y 轴交于 E ,求 ? y ? 1? 3 t ? ? 2 1 1 ? 的值. | EA | | EB |
24.(本小题满分 10 分) 【选修 4-5: 不 等 式 选 讲 】 设 f ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 4 | . (1)解不等式 f ( x) ? 2 ; (2)若对任意实数 x ? [5,9] , f ( x) ? ax ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.

齐齐哈尔市 2013 年高三第二次模拟考试

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 C 9 C 10 B 11 C 12 A 答案 D B D C D A A 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

?x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 2

14. 36

15.

3 3

16.

2013 1007

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

18.(本小题满分 12 分) 解:将甲盒中的 2 个黑球 1 个白球分别记为 A1 , A2 , B1 ; 乙盒子中的 1 个黑球 2 个白球分别记为 A3 , B2 , B3 . 分 (Ⅰ) “从甲、乙两个盒子中各取一个球”的基本事件有: 共 ( A1, A3 ) ( A1, B2 ) ( A1, B3 ) ( A2 , A3 ) ( A2 , B2 ) ( A2 , B3 ) ( B1, A3 ) ( B1, B2 ) ( B1, B3 ) , 9 个. ????3 分 记取出的 2 个球颜色相同为事件 M,则事件 M 包含的基本事件有: ????5 ( A1, A3 ) ( A2 , A3 ) ( B1, B2 ) ( B1, B3 ) ,共 4 个. 分 ????1

? P(M ) ?

4 . 9

????6

分 (Ⅱ)从 6 个球中任取两个球” “ 的基本事件有: A , A2 ) ( A , A3 ) ( A1 , B1 ) ( A , B2 ) ( A , B3 ) ( 1 1 1 1

( A2 , A3 ) ( A2 , B1 ) ( A2 , B2 ) ( A2 , B3 ) ( A3 , B1 ) ( A3 , B2 ) ( A3 , B3 ) ( B1, B2 ) ( B1, B3 ) ( B2 , B3 ) ,
共 15 个. 分 ????8

设“取出的 2 个球中至少有一个黑球”为事件 N,则事件 N 包含的基本事件有:

( A1, A2 ) ( A1, A3 ) ( A1 , B1 ) ( A1, B2 ) ( A1, B3 ) ( A2 , A3 ) ( A2 , B1 ) ( A2 , B2 ) ( A2 , B3 ) ( A3 , B1 ) ???? ( A3 , B2 ) ( A3 , B3 ) 共 12 个.
10 分

? P( N ) ?

12 4 ? . 15 5

????

12 分 (也可用间接法) 19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:连接 AC, ??ABC ? 45 ,AB ? 2 BC ? 2 2 , , AC ? 2 ,? AC ? AB ???1 分 由余弦定理得 取 BC 中点 G ,连接 SG, AG ,则 AG ? BC .
?

? SB ? SC,? SG ? BC,? SG ? AG ? G, ? BC ? 面 SAG,? BC ? SA. ????4 分 (Ⅱ)当 F 为 BC 的中点 G 时, EC / / 面 SAF ??5 分 证明:取 SA 中点 M ,连接 EM , MG . ? E 为 SD 的中点, 1 1 ? EM / / DA,? CG / / DA,? EM / /CG 2 2 ? 四边形 EMGC 为平行四边形,? EC / / MG .


????7

? MG ? 面 SAG, EC ? 面 SAG ,? EC / / 面 SAG ,即 EC / / 面 SAF . ????8
分 (Ⅲ)? 面 SBC ? 面 ABCD, SG ? 面 SBC ,面 SBC ? 面 ABCD ? BC , SG ? BC ,

? SG ? 面 ABCD ,且 SG ? 1,? E 为 SD 的中点,? E 到面 ABCD 的距离为


1 . ?10 2

1 1 1 1 ?VD ? EAC ? VE ? DAC ? ? ? 2 ? 2 ? ? . 3 2 2 3
12 分 20. (本小题满分 12 分)

????

x2 y 2 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为: 2 ? 2 ? 1 , a ? b ? 0 ) ( a b c 2 2 2 2 2 2 2 由e ? ? ,得 a ? 2c , b ? a ? c ? c a 2
分 ∵ 椭圆经过点 (?2,1) ,则 分

????2

4 1 ? 2 ? 1 ,解得 c 2 ? 3 2 2c c

????3

∴ 椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 6 3

????4

分 (Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? ? x ? m . P( x1 , y1 ), Q( x1 , y1 )

? y ? ?x ? m ? 2 2 由 ? x2 y 2 联立得: 3x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 ?1 ? ? 3 ?6 令 ? ? 0 ,得 ?3 ? m ? 3 4m 2m 2 ? 6 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 3 3


????6

y1 ? 1 y2 ? 1 ( x2 ? 2)( y1 ? 1) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) x y ? x y ? ( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 (m ? 3)( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 4m ? 4 ? 2 1 1 2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) k AP ? k AQ ?
????10 分

4m 4m 2 ? 12 (m ? 3) ? ? 4m ? 4 3 3 ? ?0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
11 分

????

?kAP ? ?kAQ ,所以,直线 AP 与 AQ 的倾斜角互补.
分 21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ,定义域为 (0,??) ,

????12

1 x ?1 ' ' ? ,当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? 0 . x x 所以单调减区间为 (0,1) ;单调增区间为 (1,??) , 故 x ? 1 时, f (x) 有极小值,极小值为 1. ????3 f ' ( x) ? 1 ?
分 (Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? a ln x ?

1? a ,则 x a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1 ? a)(x ? 1) h ' ( x) ? 1 ? ? 2 ? ? , x x x2 x2

????4

分 因为 x ? 0, 所以 x ? 1 ? 0, 令 x ? 1 ? a ? 0, 得 x ? 1 ? a .
' 若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ,则 h ( x) ? 0 恒成立,则 h(x) 在 (0,??) 上为增函数; ' ' 若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ,则 x ? (0,1 ? a) 时, h ( x) ? 0 , x ? (1 ? a,??) 时 h ( x) ? 0 ,

所以此时单调减区间为 (0,1 ? a) ;单调增区间为 (1 ? a,??) 分 (Ⅲ)由第(Ⅱ)问的解答可知只需在 [1, e] 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 .

????7

若 a ? ?1 时,只需 h?1? ? 2 ? a ? 0 ,解得 a ? ?2 ,又 a ? ?1 ,所以 a ? ?2 满足条件.?8 分 若 0 ? 1 ? a ? 1 ,即 ? 1 ? a ? 0 时,同样可得 a ? ?2 ,不满足条件. ????9

分 若 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, h(x) 在 1 ? a 处取得最小值, 分 令 h(1 ? a) ? 1 ? a ? a ln( ? a) ? 1 ? 0 , 1 即 1 ? a ? 1 ? a ln( ? a) ,所以 1 分 设 a ? 1 ? t ,考察式子 立. 当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h(x) 在 [1, e] 上单调递减,只需 h(e) ? e ? a ?

????10

a ?1?1 ? ln( a ? 1) a

????11

t ?1 ? ln t ,由 1 ? t ? e ,所以左端大于 1,而右端小于 1,所以不成 t ?1 1? a ?0得 e

e2 ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1 ?2e ? ? 0 ,所以, a > ,又因为 (e ? 1) ? 或 a ? ?2 ???12 a> e ?1 e ?1 e ?1 e ?1


23. (本小题满分 10 分) 【选修 4—4:坐标系与参数方程】 解: (1)? ? ? 2(cos? ? sin ? ),? ? ? 2( ? cos? ? ? sin ? )
2

则 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ,即 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 .??????5 分
2 2 2 2

(2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,得 t ? t ? 1 ? 0 , 设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 1, t1t2 ? ?1 ??????7
2



(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 | t1 ? t2 | 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 5 . ??????10 | EA | | EB | | t1 | | t2 | | t1t2 | | t1t2 |


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