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平面向量练习题集答案

时间:2012-08-14


平面向量练习题集答案
典例精析
题型一 向量的有关概念 【例 1】 下列命题: ①向量 AB 的长度与 BA 的长度相等; ②向量 a 与向量 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点的单位向量,其终点必相同; ④向量 AB 与向量 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 必在同一直线上. 其中真命题的序号是 .

【解

析】①对;零向量与任一向量是平行向量,但零向量的方向任意,故②错;③显然错; AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 可在同一直线上,也可共面但不在同一直线上,故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键,注意到特殊情况,否定某个命题只要举出一个 反例即可. 【变式训练 1】下列各式: ①|a|= a ? a ; ②(a ? b)
?

c=a ? (b ? c);

③ OA - OB = BA ; ④在任意四边形 ABCD 中,M 为 AD 的中点,N 为 BC 的中点,则 AB + DC =2 MN ; ⑤a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且 a 与 b 不共线,则(a+b)⊥(a-b). 其中正确的个数为( A.1 ) B.2
?

C.3

D.4

【解析】选 D.| a|= a ? a 正确;(a ? b)

c≠a ? (b ? c); OA - OB = BA 正确;如下图所示,

MN

= MD + DC + CN 且 MN = MA + AB + BN ,

两式相加可得 2 MN = AB + DC ,即命题④正确; 因为 a,b 不共线,且|a|=|b|=1,所以 a+b,a-b 为菱形的两条对角线, 即得(a+b)⊥(a-b). 所以命题①③④⑤正确. 题型二 与向量线性运算有关的问题 【例 2】如图,ABCD 是平行四边形,AC、BD 交于点 O,点 M 在线段 DO

上,且 DM =
MN .

1 3

DO ,点 N 在线段 OC 上,且 ON =

1 3

OC ,设 AB =a, AD =b,试用 a、b 表示 AM , AN ,

【解析】在?ABCD 中,AC,BD 交于点 O, 1 1 1 所以 DO = DB = ( AB - AD )= (a-b), 2 2 2
AO = OC = AC = ( AB + AD )= (a+b).

1 2

1 2

1 2

1 1 又 DM = DO , ON = OC , 3 3 1 所以 AM = AD + DM =b+ DO 3 1 1 1 5 =b+ × (a-b)= a+ b, 3 2 6 6
AN = AO + ON = OC + OC

1 3

4 4 1 2 = OC = × (a+b)= (a+b). 3 3 2 3 所以 MN = AN - AM 2 1 5 1 1 = (a+b)-( a+ b)= a- b. 3 6 6 2 6 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表 示,即平面向量基本定理的应用,在运用向量解决问题时,经常需要进行这样的变形. 【变式训练 2】O 是平面 α 上一点,A、B、C 是平面 α 上不共线的三点,平面 α 内的动点 P 满足 OP =
OA

1 +λ( AB + AC ),若 λ= 时,则 PA 2

?

( PB + PC )的值为

.

【解析】由已知得 OP - OA =λ( AB + AC ), 1 1 即 AP =λ( AB + AC ),当 λ= 时,得 AP = ( AB + AC ), 2 2 所以 2 AP = AB + AC ,即 AP - AB = AC - AP , 所以 BP = PC , 所以 PB + PC = PB + BP =0, 所以 PA
?

( PB + PC )= PA

?

0=0,故填 0.

题型三 向量共线问题 【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线. (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A,B,D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

【解析】(1)证明:因为 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 所以 BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5 AB , 所以 AB , BD 共线.又因为它们有公共点 B, 所以 A,B,D 三点共线. (2)因为 ka+b 和 a +kb 共线, 所以存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 所以(k-λ)a=(λk-1)b. 因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量, 所以 k-λ=λk-1=0,所以 k2-1=0,所以 k=± 1. 【点拨】(1)向量共线的充要条件中,要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量 共线且有公共点时,才能得出三点共线. 【变式训练 3】已知 O 是正三角形 BAC 内部一点, OA +2 OB +3 OC =0,则△ OAC 的面积与△OAB 的面积之比是( 3 A. 2 C.2 2 B. 3 1 D. 3 )

【解析】如图,在三角形 ABC 中, OA +2 OB +3 OC =0,整理可得 OA + OC +2( OB + OC )=0. 1 令三角形 ABC 中 AC 边的中点为 E,BC 边的中点为 F,则点 O 在点 F 与点 E 连线的 处,即 OE=2OF. 3 1 h h 1 设三角形 ABC 中 AB 边上的高为 h,则 S△OAC=S△OAE+S△OEC= ? OE ? ( + )= OE·h, 2 2 2 2 1 1 1 S△OAB= AB ? h= AB·h, 2 2 4 2 由于 AB=2EF,OE= EF,所以 AB=3OE, 3 S△OAC 2 OE 所以 = S△OAB 1
4 1
? h

AB ? h

2 = .故选 B. 3

总结提高
1.向量共线也称向量平行,它与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合)的情形,而向量平行 则包括共线(即重合)的情形. 2.判断两非零向量是否平行,实际上就是找出一个实数,使这个实数能够和其中一个向量把另外一个 向量表示出来. 3.当向量 a 与 b 共线同向时,|a+b|=|a|+|b|;

当向量 a 与 b 共线反向时,|a+b|=||a|-|b||; 当向量 a 与 b 不共线时,|a+b|<|a|+|b|.

典例精析 题型一 平面向量基本定理的应用 【例 1】如图?ABCD 中,M,N 分别是 DC,BC 中点.已知 AM =a, AN =b,试用 a,b 表示 AB , AD 与 AC 【解析】易知 AM = AD + DM 1 = AD + AB , 2
AN

1 = AB + BN = AB + AD , 2

1 ? ? AD ? 2 AB ? a , ? 即? ? AB ? 1 AD ? b . ? 2 ?

2 2 所以 AB = (2b-a), AD = (2a-b). 3 3 2 所以 AC = AB + AD = (a+b). 3 【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算,平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运 用值得仔细领悟. 【变式训练 1】 已知 D 为△ABC 的边 BC 上的中点, △ABC 所在平面内有一点 P, 满足 PA + BP + CP =0,则 1 A. 3
| PD | | AD |

等于(

) 1 B. 2

C.1

D.2

【解析】由于 D 为 BC 边上的中点,因此由向量加法的平行四边形法则,易知 PB + PC =2 PD ,因 此结合 PA + BP + CP =0 即得 PA =2 PD ,因此易得 P,A,D 三点共线且 D 是 PA 的中点,所以 =1,即选 C. 题型二 向量的坐标运算 【例 2】 已知 a=(1,1),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b. (1)若 u=3v,求 x;(2)若 u∥v,求 x. 【解析】因为 a=(1,1),b=(x,1), 所以 u=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1,3), v=2(1,1)-(x,1)=(2-x,1). (1)u=3v?(2x+1,3)=3(2-x,1)
| PD | | AD |

?(2x+1,3)=(6-3x,3), 所以 2x+1=6-3x,解得 x=1. (2)u∥v ?(2x+1,3)=λ(2-x,1) ??
? 2 x ? 1 ? ? ( 2 ? x ), ?3 ? ?

?(2x+1)-3(2-x)=0?x=1. 【点拨】对用坐标表示的向量来说,向量相等即坐标相等,这一点在解题中很重要,应引起重视. nπ nπ 【变式训练 2】已知向量 an=(cos ,sin )(n∈N*),|b|=1.则函数 y=|a1+b|2+|a2+b|2+|a3+b|2+… 7 7 +|a141+b|2 的最大值为 .

π 【解析】设 b=(cos θ,sin θ),所以 y=|a1+b|2+|a2+b|2+|a3+b|2+…+|a141+b|2=(a1)2+b2+2(cos , 7 π 141π 141π π sin )(cos θ,sin θ)+… +(a141)2+b2+2(cos ,sin )(cos θ,sin θ)=282+2cos( -θ),所以 y 的最大 7 7 7 7 值为 284. 题型三 平行(共线)向量的坐标运算 【例 3】已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,设向量 m=(a,b),n=(sin B,sin A),p= (b-2,a-2). (1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C= ,求△ABC 的面积. 3 【解析】(1)证明:因为 m∥n,所以 asin A=bsin B. 由正弦定理,得 a2=b2,即 a=b.所以△ABC 为等腰三角形. (2)因为 m⊥p,所以 m·p=0,即 a(b-2)+b(a-2)=0,所以 a+b=ab. 由余弦定理,得 4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab, 所以(ab)2-3ab-4=0. 所以 ab=4 或 ab=-1(舍去). 1 1 3 所以 S△ABC= absin C= × 4× = 3. 2 2 2 【点拨】设 m=(x1,y1),n=(x2,y2),则 ①m∥n?x1y2=x2y1;②m⊥n?x1x2+y1y2=0. 【变式训练 3】已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=(2cosC-1,-2),n= (cos C,cos C+1).若 m⊥n,且 a+b=10,则△ABC 周长的最小值为( A.10-5 3 C.10-2 3 B.10+5 3 D.10+2 3 )

1 【解析】 m⊥n 得 2cos2C-3cos C-2=0, 由 解得 cos C=- 或 cos C=2(舍去), 所以 c2=a2+b2-2abcos 2

C=a2+b2+ab=(a+b)2-ab=100-ab,由 10=a+b≥2 ab?ab≤25,所以 c2≥75,即 c≥5 3,所以 a +b+c≥10+5 3,当且仅当 a=b=5 时,等号成立.故选 B.

典例精析
题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题 【例 1】 已知 a,b 夹角为 120° ,且|a|=4,|b|=2,求: (1)|a+b|; (2)(a+2b) ·(a+b); (3)a 与(a+b)的夹角 θ. 【解析】(1)(a+b)2=a2+b2+2a·b 1 =16+4-2× 2× =12, 4× 2 所以|a+b|=2 3. (2)(a+2b) ·(a+b)=a2+3a·b+2b2 1 =16-3× 2× +2× 4× 4=12. 2 1 (3)a·(a+b)=a2+a·b=16-4× =12. 2× 2 所以 cos θ= 12 3 π = = ,所以 θ= . 2 6 4× 3 2 | a || a ? b |
a ? ( a ? b)

【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题. 【变式训练 1】 已知向量 a, c 满足: b, |a|=1, |b|=2, c=a+b, c⊥a, a 与 b 的夹角大小是 且 则 【解析】 由 c⊥a?c·a=0?a2+a·b=0, 1 所以 cos θ=- ,所以 θ=120° . 2 题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题 【例 2】 在 △ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 的值. 【解析】①当∠A=90° 时,有 AB · AC =0, 2 所以 2× 1+3·k=0,所以 k=- ; 3 ②当∠B=90° 时,有 AB · BC =0, 又 BC = AC - AB =(1-2,k-3)=(-1,k-3), 11 所以 2× (-1)+3× (k-3)=0?k= ; 3 ③当∠C=90° 时,有 AC · BC =0, 所以-1+k·(k-3)=0, .

3± 13 所以 k2-3k-1=0?k= . 2 2 11 3± 13 所以 k 的取值为- , 或 . 3 3 2 【点拨】因为哪个角是直角尚未确定,故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积,应注意方向 及两向量的夹角. 【变式训练 2】△ABC 中,AB=4,BC=5,AC=6, 求 AB · BC + BC · CA + CA · AB . 【解析】因为 2 AB · BC +2 BC · CA +2 CA · AB =( AB · BC + CA · AB )+( CA · AB + BC · CA )+( BC · CA + BC · AB ) = AB ·( BC + CA )+ CA ·( AB + BC )+ BC ·( CA + AB ) = AB · BA + CA · AC + BC · CB =-42-62-52=-77. 77 所以 AB · BC + BC · CA + CA · AB =- . 2 题型三 平面向量的数量积的综合问题 π 【例 3】数轴 Ox,Oy 交于点 O,且∠xOy= ,构成一个平面斜坐标系,e1,e2 分别是与 Ox,Oy 同向 3 的单位向量,设 P 为坐标平面内一点,且 OP =xe1+ye2,则点 P 的坐标为(x,y),已知 Q(-1,2). (1)求| OQ |的值及 OQ 与 Ox 的夹角; (2)过点 Q 的直线 l⊥OQ,求 l 的直线方程(在斜坐标系中). 1 【解析】(1)依题意知,e1·e2= , 2 且 OQ =-e1+2e2, 所以 OQ 2=(-e1+2e2)2=1+4-4e1·e2=3. 所以| OQ |= 3. 又 OQ ·1=(-e1+2e2) ·e1=-e2+2e1 ? e2=0. e 1 所以 OQ ⊥e1,即 OQ 与 Ox 成 90° 角. (2)设 l 上动点 P(x,y),即 OP =xe1+ye2, 又 OQ ⊥l,故 OQ ⊥ QP , 即[(x+1)e1+(y-2)e2] ·(-e1+2e2)=0. 1 所以-(x+1)+(x+1)-(y-2) · +2(y-2)=0, 2 所以 y=2,即为所求直线 l 的方程. 【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算,并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解

析几何等相交汇 ,体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势. 【变式训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(5,0).对于某个正实数 k,存在函数 f(x)=ax2(a>0), 使得 OP =λ ? (
OA | OA |



OQ | OQ |

)(λ 为常数),其中点 P,Q 的坐标分别为(1,f(1)),(k, ) B.(3,+∞) D.(8,+∞)
OA

f(k)),则 k 的取值范围为( A.(2,+∞) C.(4,+∞) 【解析】如图所示,设

= OM ,

OQ | OQ |

= ON , OM + ON = OG ,则 OP =λ OG .因为 P(1,

| OA |

a),Q(k,ak2), OM =(1,0), ON =(

k ak2 k ak2 , 2 2 4), OG =( 2 2 4+1, 2 2 4),则直线 k2+a2k4 k +a k k +a k k +a k

ak2 ak2 OG 的方程为 y= x,又 OP =λ OG ,所以 P(1,a)在直线 OG 上,所以 a= ,所以 k+ k2+a2k4 k+ k2+a2k4 2 a2=1- . k 2 因为| OP |= 1+a2>1,所以 1- >0,所以 k>2. 故选 A. k


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