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山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试数学理试题


山东省实验中学 2010 级第二次诊断性测试

数学试题(理科) (2012.10)
说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)共两卷。其中第 I 卷共 60 分,第 II 卷共 90 分,两卷合计 150 分。答题时间为 120 分钟。

第 I 卷(选择题
只有一项是符合题目要求的)

r />共 60 分)

一、选择题目: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,

1.设全集 Q ? x | 2x2 ? 5x ? 0, x ? N ,且 P ? Q ,则满足条件的集合 P 的个数是 A.3 【答案】D B.4 C.7 D.8

?

?

5 Q ? ? x | 2 x 2 ? 5x ? 0, x ? N ? ={x 0 ? x ? ,x ? N }={0,1, 2} 【解析】 , 所以满足 P ? Q 的 2
集合 P 有 2 =8 个,选 D. 2.已知幂函数 f (x) 的图像经过(9,3) ,则 f (2) ? f (1) = A.3 【答案】C 【 解 析 】 设 幂 函 数 为 f ( x)=x , 则 f (9) =9 =3 即 3 ,
?
3

B. 1? 2

C. 2 ? 1

D.1

?

2?

=3 , 所 以 2? =1,? =

1 ,即 2

f ( x) =x2 = x,所以 f (2) ? f (1)= 2 ?1 ,选 C.
3.若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则 A. 0 ? a ? b ? 1 C. a ? b ? 1 【答案】B B. 0 ? b ? a ? 1 D. b ? a ? 1

1

1 1 ? ?0 【 解 析 】 由 l o g 2 ? l o g 2 ? 0 得 log 2 a log 2 b , 即 log2 b ? log2 a ? 0 , 所 以 a b
0 ? b ? a ? 1 ,选 B.
4.由直线 x ? ?

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为

A.

1 2

?
3 ?

B.1

C.

3 2
应 用 可

D. 3

【答案】D 【 解 析
?
3


?
3





















? ? cos xdx ? sin x
? 3

? sin

?

? sin(? ) ? 2sin ? 3 ,选 D. 3 3 3

?

?

5.函数 y ?

lg | x | 的图象大致是 ks5u x

【答案】D 【解析】函数 y ? f ( x)=

lg | x | 为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A,B.当 x =1 时, x

lg | x | ? 0 ,排除 C,选 D. x 6.在 ?ABC 中,若 0 ? tan A ? tan B ? 1 ,那么 ?ABC 一定是 f (1)=
A.锐角三角形 C.直角三角形 【答案】B 【 解 析 】 由 0 ? tan A ? tan B ? 1 , 可 知 tan A ? 0, tan B ? 0 , 即 A, B 为 锐 角 , B.钝角三角形 D.形状不确定

tan A ? tan B ? 0 ,即 tan( ? ? C ? tan ) ? 1 ? tan A tan B 钝角,所以 ?ABC 为钝角三角形,选 B. tan( A ? B) ?

C ? ,所以 tan C ? 0 ,所以 C 为 0

7. 若 f (x) 是 R 上 的 增 函 数 , 且 f (?1) ? ?4, f (2) ? 2 , 设 P ? ?x | f ( x ? t ) ? 1 ? 3? ,

Q ? ?x | f ( x) ? ?4? ,若“ x ? P ”是“ x ? Q 的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是
A. t ? ?1 【答案】D 【 解 析 】 B. t ? ?1 C. t ? 3 D. t ? 3

P ? ?x | f ( x ? t ) ?1 ? 3? ? {x f ( x ? t ) ? 2} ? {x f ( x ? t ) ? f (2)}



Q ? ?x | f ( x) ? ?4? ? {x f ( x) ? f (?1)} , 因 为 函 数 f (x) 是 R 上 的 增 函 数 , 所 以

P ? ?x | x ? t ? 2? ? {x x ? 2 ? t} , Q ? ?x | x ? ?1? ,要使“ x ? P ”是“ x ? Q 的充分不

必要条件,则有 2 ? t ? ?1 ,即 t ? 3 ,选 D. 8. 我 们 常 用 以 下 方 法 求 形 如 y ? f ( x) g ( x ) 的 函 数 的 导 数 : 先 两 边 同 取 自 然 对 数 得 :

ln y ? g ( x) ln f ( x) ,再两边同时求导得到:

1 ' 1 ? y ? g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) ? ? f ' ( x) , y f ( x)
1

于是得到:y ' ? f ( x)

g ( x)

1 运用此方法求得函数 y ? x x [ g ' ( x) ln f ( x) ? g ( x) ? ? f ' ( x)] , f ( x)
C(0, e ) D.(2,3)

的一个单调递增区间是 A.( e ,4) B.(3,6) 【答案】C

? 【 解 析 】 由 题 意 知 f ( x)

1 x, g ( x) , 则 f ' ( x ?) ? x

1 1g, x' (?2 ) , 所 以 ? x

y ' ? x x [?

1

1 1 1 1 1 1 ? ln x 1? l n x ln x ? ? ] ? x x ? 2 , 由 y ' ? x x ? 2 ? 0 得 1 ? ln x ? 0 , 解 得 2 x x x x x

0 ? x ? e ,即增区间为 (0, e) ,选 C.
9. 由 等 式 x4 ? a1x3 ? a2 x2 ? a3 x ? a4 ? ( x ?1)4 ? b1( x ?1)3 ? b2 ( x ?1)2 ? b3 ( x ?1) ? b4 定 义映射 f (a1, a2 , a3 , a4 ) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ,则 f (4,3,2,1) ? A.10 【答案】D 【 解 B.7 析 】 C. -1 由 D.0 定
4 2






4

x4 ? 4

x3 ? 3

x2 ? 2 1

x ?1

? (x

, 3x ) ? ? 1 令 3b ? 0 得 ,x

(2 ?

b

1 ? b1 ? b 2? b 3 b ? 1 ,所以 b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0 ,即 f (4,3, 2,1) ? 0 ,选 D. ? 4
10.方程 log 1 ( a ? 2 ) ? 2 ? x 有解,则 a 的最小值为
x 2

A.2 【答案】B 【解析】 方

B.1

C.

3 2

D.

1 2



l

o g 1 (a ? 2 2

x

) ? 2? x







(

1 2

2? x

)?a?

x

2 ,



a ? 2x ?

1 2? x 1 x1 ( ? ) ? ? 2x ? 2 4 2

1 1 1 1 1 x x ,当且仅当 2 ? ? x ,即 2 ? , ? ? 2xx ? 2 1 4 2 2 4 2

x ? ?1 取等号,所以选 B.
11.已知 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1), f ( x) ? f (? x ? 2) ,方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内有且只有一个

根x?

1 ,则 f ( x) ? 0 在区间 ?0,2013 内根的个数为 ? 2
B.1006 C.2013 D.1007

A.2011 【答案】C

【解析】由 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,可知 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,所以函数 f ( x ) 的周期是 2,由

f ( x) ? f (? x ? 2) 可知函数 f ( x) 关于直线 x ? 1 对称,因为函数 f ( x) ? 0 在[0,1]内有
且只有一个根 x ?

1 ,所以函数 f ( x) ? 0 在区间 ?0,2013 内根的个数为 2013 个,选 C. ? 2

? x3 1 , ? x ?1 ? ? x ?1 2 ? f ( x) ? ? 12. 函 数 和 函 数 g ( x) ? a s i n x ? a ? 1(a ? 0) , 若 存 在 ?? 1 x ? 1 ,0 ? x ? 1 6 ? 6 12 2 ?
x1, x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
( A. , ]
【答案】C

1 3 2 2

B. [1,2)

( 2 C. ,]

1 2

( D. 1, ]

3 2

1 x3 ? x ?1 f ( x )? , x2 x ) 2 x ?1 f ' ( ) = ( 2 ? 3? 【解析】当 时, x 2 (x ? 1 )

函数递增,此时 0

1 0? x? 1 1 1 2 时,函数 f ( ) ? f ( x) ? f (1) ,即 ? f ( x ) ? ,当 1 1 ,单调 2 12 2 f ( x) ? ? x ? 6 12
递 减 , 此 时 0 ? f ( x) ?

1 1 ? ? , 综 上 函 数 0 ? f ( x) ? 。 当 0 ? x ? 1 时 , 0 ? x ? , 12 2 6 6 ? 1 1 1 0 ? sin x ? , ?a ? 1 ? g ( x) ? a ? a ? 1 , 即 ?a ?1 ?g ( x) ? ? a ? 若 存 在 1 , 6 2 2 2

x1, x2 ?[0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,让 g ( x) 的最大值大于等于 f ( x) 的最小值,让 g ( x)

? 1 ?a ? 2 ?? 2 a ? 1 ? 0 1 ? ? 的最小值小于 f ( x ) 的最大值,即 ? ,解得 ? 1 ,即 ? a ? 2 ,选 D. 2 ??a ? 1 ? 1 ?a ? 2 ? ? ? 2

第 II 卷(非选择题
注意事项:

共 90 分)

1、用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上,考试结束后将答题卡和第 II 卷一并交上。 2、答题前将密封线内的项目填写清楚,密封线内答题无效。 题号 分数 二、填空题: (本大题共有 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分.) 13.在 ?ABC 中, tan A ? tanB ? 3 ? 3 tan A ? tanB ,且 sin A ? cos A ? 形为 【答案】等边三角形 【 解 析 】 . 二 17 18 19 20 21 22 总分

3 ,则此三角 4



tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A ? tan B





t

A? a

n

B?

t ? a

tan A ? tan B n , 所 以 tan(B ? B) ?3 ? A 3A ? t a ? ?n 3 , 即 t 1 ? tan A tan B C ?, 3

a

n

t a n? ? C ? ? ( )

?? 3

n tan 所 以 t aC ? C ,

?
3

。 由 s i A?c o A ? n s

3 得 4

sin A ? 0,cos A ? 0

, sin 2 A ?

? 2? ? ? 3 ,得 2 A ? 或 2 A ? ,所以 A ? 或 A ? 。当 3 3 6 3 2
, 此 时 t a nB 不 存 在 , 不 成 立 , 舍 去 。 当 A ?

A?

?
6

时, B ? ? ?

?
3

?

?
6

?

?
2

?
6

时,

B ?? ?

?
3

?

?

? ,此时 A ? B ? C ,三角形为等边三角形。 3 3
.

?

14.若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 【答案】 (?2, 2) 【解析】 f ( x) ? x3 ? 3x ? a ? 0 , f ( x 3 x 23 , f ( x 3 x 23 0 由 得 ') ? ? 当 ') ? ? ?

, x ? ?1 , 得

由图象可知 f极大值 (?1)=2 ? a,f极小值 (1)=a ? 2 , 要使函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有三个不同的 零点,则有 f极大值 (?1)=2 ? a ? 0, f极小值 (1)=a ? 2 ? 0 ,即 ?2 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值 范围是 (?2, 2) 。 15.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a .若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?, 则实数 a 的值 为 .

【答案】 a ? 1 【解析】 因为不等式 f ( x) ? 6 的解集为 ?x | ?2 ? x ? 3?, ?2 是方程 f ( x) ? 6 的两个根, 即 , 3 即 6 ? a ? a ? 6, a ? 4 ? a ? 6 ,所以 6 ? a ? 6 ? a, a ? 4 ? 6 ? a ,即 6 ? a ? a ? 4 ,解 得 a ? 1。 16.若函数对于函数 f ( x) ? x | x | ? px ? q ,现给出四个命题: ① q ? 0 时, f (x) 为奇函数 ② y ? f (x) 的图象关于 (0, q ) 对称 ③ p ? 0, q ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 有且只有一个实数根 ④方程 f ( x) ? 0 至多有两个实数根 其中正确命题的序号为 【答案】①②③ .

【解析】若 q ? 0 ,则 f (x) ? x | x | ?px ?x (x ?p ) ,为奇函数,所以①正确。由①知,当

q ? 0 时 , 为 奇 函 数 图 象 关 于 原 点 对 称 , f ( x) ? x | x | ? px ? q 的 图 象 由 函 数
f ( x) ? x | x | ? px 向上或向下平移 q 个单位,所以图象关于 (0, q ) 对称,所以②正确。当

? x 2 ? q, x ? 0 ? f ( x) ? x | x | ? q ? ? 2 ?? x ? q, x ? 0 ,当 f ( x ) ? 0 ,得 x ? ? q ,只有一 p ? 0, q ? 0 时, ?

? x 2 ? x, x ? 0 ? f ( x) ? x | x | ? x ? ? 2 ?? x ? x, x ? 0 ,由 f ( x) ? 0 ,可 解,所以③正确。取 q ? 0, p ? ?1 , ?
得 x ? 0, x ? ?1 有三个实根,所以④不正确,综上正确命题的序号为①②③。 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 ) 17.(本小题满分 12 分) 已知 cos ? ?

? 1 13 , cos( ? ? ? ) ? ,且 0 ? ? ? ? ? . 2 7 14
(2)求角 ?

(1)求 tan 2? 的值;

ks5u

18.(本小题满分 12 分) 已知命题 p :在 x ? [1,2] 内,不等式 x ? ax ? 2 ? 0 的恒成立;命题 q :函数
2

f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 2ax ? 3a) 是区间 [1,??) 上的减函数,若命题” p ? q “是真命题,求实
3

数 a 的取值范围。

ks5u

19.(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a, b 的值 (2)若对任意的 t ? R ,不等式 f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围。

? 2x ? b 是奇函数。 2 x ?1 ? a

ks5u

20.(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? log3 件:

x 2 ? ax ? b , x ? (0,??) ,是否存在实数 a, b ,使 f (x) 同时满足下列条 x

? ①在(0,1)上是减函数,在 [1, ?) 上是增函数;② f (x) 的最小值是 1 若存在,求出 a, b
的值;若不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

(, 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 2 x 在 x ? ?1 处取得极值, 且在点 1 f (1)) 处的切线斜率为 2.
(1)求 a, b 的值 (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? x3 ? 2x2 ? x ? m ? 0 在区间 [ , 2 ] 上恰有两个不相等的实数 根,求实数 m 的取值范围。

1 2

ks5u

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ?

1? x ,其中 a 为大于零的常数 ax

(1)若函数 f (x) 在区间 [1,??) 内单调递增,求 a 的取值范围; (2)求函数 f (x) 在区间[1,2]上的最小值; (3)求证:对于任意的 n ? N ,且 n ? 1 时,都有 ln n ?
?

1 1 1 ? ? ?? ? 成立。 2 3 n

ks5u


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