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2009年高考数学二轮复习专题讲座5——数列(徐永忠)

时间:2012-11-07


2009 年高考数学二轮复习数列专题讲座
南京九中震旦校区 一、试题特点
1、近四年高考各试卷数列解答题考查情况统计 2005 年高考各地的 16 套试卷中, 每套试卷均有 1 道数列解答题试题,处于压轴位置的有 6 道.数列 解答题属于中档题或难题.其中,涉及等差数列和等比数列的试题有 11 道,有关递推数列的有 8 道,关 于不等式证明的有 6 道.另外,

等比求和的错位相减法,广东卷的概率和数列的交汇,湖北卷的不等式型 的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点. 2006 年高考各地的 18 套试卷中,有 18 道数列解答试题.其中与函数综合的有 6 道,涉及数列不等式 证明的有 8 道,北京还命制了新颖的“绝对差数列”,值得一提的是,其中有 8 道属于递推数列问题,这在高 考中是一个重点. 2007 年高考各地的各套试卷中都有数列题,有 7 套试卷是在压轴题的位置,有 9 套是在倒数第二道的 位置,其它的一般在第二、三的位置,几乎每道题涉及到递推数列,有 9 道涉及到数列、不等式或函数的综 合问题,安徽省还出现了一道数列应用题. 2008 年高考各地的各套试卷中都有数列题,也都是几乎每道题涉及到递推数列, 数列、不等式或函数 的综合问题. 综上可知,数列解答题是高考命题的一个每年必考且难度较大的题型,其命题热点是与不等式交汇、 呈现递推关系的综合性试题.当中,以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体,有着高等数学背 景的数列解答题仍将是未来高考命题的亮点,而以考查学生归纳、猜想、数学试验等能力研究性试题也将 成为高考命题的一个新亮点. 2、主要特点 数列是高中代数的重要内容之一,也是与大学衔接的内容,由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维 水平,以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用,所以在历年高考中占有重要地位,近 几年更是有所加强. 数列解答题大多以数列为考查平台,综合运用函数、方程、不等式等知识,通过运用递推思想、函数 与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法,考查学生灵活运用数学知识分析问题和 解决问题的能力,其难度属于中、高档难度. 高考对本章的考查比较全面,等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏.一般情况下都是一个客观 题和一个综合解答题,数列的综合题难度都很大,甚至很多都是试卷的压轴题,它不仅考查函数与方程、 转化与化归、分类讨论等重要思想,还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法.其 中的高考热点——探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中. 3、考查知识 (1)考查数列、等差数列、等比数列等基本知识、基本技能. (2)常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合,考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、 组合、融会,进而考查学生的学习潜能和数学素养.

徐永忠

(3)常以应用题或探索题的形式出现,为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间.

二、教学要求
1、了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) ,了解数列是一种特殊函数.理解数 列的通项公式的意义. 2、理解等差数列的概念;掌握等差数列的通项公式、前 n 项和公式,能运用公式解决一些简单问题. 能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列与一 次函数的关系. 3、理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式、前 n 项和公式,能运用公式解决一些简单问题. 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.了解等比数列与指 数函数的关系. 探索等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式. 4、数列教学,要注意的问题: (1)教学中,应使学生了解数列是一种特殊函数. (2)会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式. (3)教学中,要掌握数列中各量之间的基本关系.但训练要控制难度和复杂程度,避免繁琐的计算、人 为技巧化的难题. (4)等差数列和等比数列有着广泛的应用,教学中应重视在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或 等比关系.这样做,即突出了问题意识,也有助于学生理解数列的本质.

三、考试要求:
内容 A 数列有关概念 数 列 等差数列 等比数列 √ √ √ 要求 B C

四、2008 年高考数列试题类型
类型一:考查等差、等比数列的基本问题 等差、等比数列是两类最基本的数列,它们是数列部分的重点,也是高考考查的热点.等差、等比数 列的定义、通项公式、前 n 项的和等基本知识一直是高考考查的重点,这方面考题的解法灵活多样,技巧 性强,考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力,这个“灵活”就集中在“转化”的水平上. 1. (全国数学Ⅰ文科 19)在数列 ? a n ? 中, a1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 2 .
n

(Ⅰ)设 b n ?

an 2
n ?1

.证明:数列 ? b n ? 是等差数列; (Ⅱ)求数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n .

a (全国数学Ⅱ文科 18) 等差数列 ? a n ? 中, 4 ? 1 0 且 a 3, a 6, a1 0 成等比数列, 求数列 ? a n ? 前 20 项的和 S 20 .

类型二:考查递推数列的通项公式问题 对于由递推式所确定的数列的通项公式问题,通常可对递推式进行变形,从而转化为等差、等比数列 问题来解决.这类问题一直是高考久考不衰的题型,尤其以 2007 年高考试题最为明显。

全国卷近三年理科所考查六个解答题中有四道(2006 年全国Ⅰ理科第 22 题、2007 年全国Ⅰ理科第 22 题 、2007 年全国Ⅱ理科第 21 题 、2008 年全国Ⅱ理科第 20 题)(占了三分之二)都是形如:a n ? 1 ? ca n ? d
( c ? 0, c ? 1, d ? 0) 或者 a n ? c ?a n ?1 ? d ?b ( c ? 0, c ? 1, d ? 0, b ? c ) 的递推数列求其通项公式的问题.
n

2. (全国数学Ⅰ理科 22)设函数 f ( x ) ? x ? x ln x .数列 ? a n ? 满足 0 ? a1 ? 1 , a n ? 1 ? f ( a n ) . (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数; (Ⅱ)证明: a n ? a n ? 1 ? 1 ; 1)
1) (Ⅲ)设 b ? ( a1, ,整数 k ≥
a1 ? b a 1 ln b

.证明: a k ? 1 ? b .

3. (全国数学Ⅱ理科 20)设数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n .已知 a 1 ? a , a n ? 1 ? S n ? 3 , n ? N .
n
*

(Ⅰ)设 b n ? S n ? 3 ,求数列 ? b n ? 的通项公式; (Ⅱ)若 a n ? 1 ≥ a n , n ? N ,求 a 的取值范围.
n
*

类型三:考查数列与不等式的综合问题 数列与不等式都是高中数学重要内容,一些常见的解题技巧和思想方法在数列与不等式的综合问题中 都得到了比较充分的体现.以两者的交汇处为主干,构筑成知识网络型代数推理题,在高考中出现的频率 相当高,占据着令人瞩目的地位. 4. (陕西卷理科数学 22)已知数列 { a n } 的首项 a 1 ?
3 5

, a n ?1 ?

3an 2an ? 1
1 1? x

2 ? , n ? 1,, .

(Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 , a n ≥

?

? 2 ? 2 ? ? n ? x ? , n ? 1,, ; (1 ? x ) ? 3 ? 1
2

(Ⅲ)证明: a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

n

2

n ?1



类型四:考查考察存在性和探索性问题 课程改革突出强调培养学生的探究、发现和创造能力,2008 年江苏卷对此考查全面且达到了一定的深 度,特别是第 19 题数列题使这样的考查达到了相当的水平,体现了研究性学习思想. 5. (08 江苏卷 19) (Ⅰ)设 a1 , a 2 , ? ? , a n 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 ) ,且公差 d ? 0 ,若将此 数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列: ①当 n =4 时,求
a1 d

的数值;②求 n 的所有可能值;

(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数 n(n≥4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列 b1 , b 2 , ? ? , b n ,其 中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列. 6. (2007 年江苏卷)已知 { a n } 是等差数列, {b n } 是公比为 q 的等比数列, a1 ? b1 , a 2 ? b 2 ? a1 ,记 S n 为 数列 {b n } 的前 n 项和. (1)若 b k ? a m ( m , k 是大于 2 的正整数 ) ,求证: S k ?1 ? ( m ? 1) a1 ;

(2)若 b3 ? a i ( i 是某一正整数 ) ,求证: q 是整数,且数列 {b n } 中每一项都是数列 { a n } 中的项; (3)是否存在这样的正数 q ,使等比数列 {b n } 中有三项成等差数列?若存在,写出一个 q 的值,并加以 说明;若不存在,请说明理由.

五、二轮复习建议:
1、填充题力争确保 (1)填充题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和等内容,对基本的计算技能要 求不是很高,建议要强化方程思想在解题中的作用(基本量) ,知道前 n 项和与通项的关系,对中等及偏 下的学生不必介绍过多解题技巧,对基础较好的学生,可适当介绍. (2)填充题有可能出现与归纳推理有关的问题,此类题的难度不大,但对阅读问题及思路要求很高,情 境也可能相对比较新颖. 2、解答题要有所为有所不为 (1)从江苏近几年的试题来看,数列题在最后两题中出现的可能性较大. (2)对试卷中放在最后的压轴数列题,重点应放在前二问,基础较好的应冲刺最后一问,要加强 1~2 问 的训练,不能刻意求全,能做到分步得分就好.同时不能放弃数列常规题的复习教学,这仍是一个重点, 这是一项“根深叶茂”的基础工程,至关重要. 3、数列是考查学生自主探索、自主发现、数学试验、归纳猜想等直觉思维的良好载体,复习中建议多让 学生猜猜、算算、证证,反朴归真,回归数学的本源. 4、对于递推数列问题,生源好的学校可以适当加强,生源一般的学校无须舍本求末得不偿失. 5、培养学生主动学习数学的习惯 让学生想一想做一做尝试尝试,不要题目一出来就分析,那是教师在分析,学生很难分析起来.不要 用教师过早的“引导”限制、代替学生的思维,一旦学生养成了等待的习惯,学生离开了你该这么办,可以 师生共做.要让学生首先熟悉题意,重视思维过程的指导,暴露如何想?怎么做?谈来龙去脉,重视通性 通法的运用. 题目一出来,学生就立即做立即画,这是主动学习表现;若学生抬着头等你讲,那是思维懒惰的表现. 多让学生感到自然,与你共鸣.少让学生感到突然,强加给学生.努力使学生觉得,你老师想到的, 我也差不多能够想到.少让学生感到,只有你老师自己能够想到,我怎么想也想不到.学生总觉得“老师 你真聪明”不是一件好事. 6、评讲试卷建议 (1)教师自己亲自做一遍,与学生交流思维过程; (2)请学生讲.不是简单的说答案,讲怎么想的,这不论对学生本人还是其他人都有教育意义.还可以 讲“一题多解”,表扬一些学生的独特解法; (3)不必面面俱到.分类归纳,集中讲评.抓住主要的、带有普遍的问题; (4)抓大放小,居高临下; (5)抓学生的解题规范.