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浙江省诸暨中学2011-2012学年高二上学期期中考试试卷


诸暨中学 2011 学年高二数学期中试卷(理)
一、选择题(36 分) 1.若方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ? 1 ? 0 表示圆, a 的取值范围是 则
2 2 2





A. a ? ?2或a ?
2

2 3

>B. ?

2 ?a?0 3

C. - 2 ? a ? 0

D. ? 2 ? a ?

2 3
( )

2.命题“ x ? 9 ? 0 的解是 x ? ?3 ” ,在这个命题中,使用的逻辑联结词的情况是 A.没有使用逻辑联结词 B.使用了“且” C.使用了“或” D.使用了“非”

3.设定点 F1 (0, 3), F2 (0,3), 动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? ? 是 A.椭圆 B.线段 C.不存在

9 (a ? 0), 则点 P 的轨迹 a
( D.椭圆或线段 ( ) )

4.若 a ? R, 则“ a ? 2是(a ? 1)( a ? 2) ? 0 ”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 ?ABC 的平面直观图 ?A B C 是边长为 a 的正三角形, 那么原 ?ABC 的面积为 (
' ' '



A.

3 2 a 4

B.

3 2 a 2
2 2 2

C.

6 2 a 2

D.

6a 2

6.已知点 M (a, b) (ab ? 0) 是圆 x ? y ? r 内一点, 直线 g 是以 M 为中点的弦所在的直 线,直线 l 的方程为 ax ? by ? r ? 0 ,则
2

( B. l ? g 且与圆相切 D. l ? g 且与圆相离



A. l // g 且与圆相离 C. l // g 且与圆相交
?

7.经过空间一点 P 作与直线 a 成 90 角的直线有 A.0 条 B.1 条 C.有限条 D.无数条





8.在空间直角坐标系 O ? xyz 中, (-2,0,4) 点 关于 y 轴的对称点是 A.(-2,0,-4) 9.椭圆 B.(2,0,-4) C.(4,0,-2) D.(2,0,4)





x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则 a 的值是 4 a a 2
B.1 C.





A.2

2

D.3 ( )

10.已知直线 a, b 与平面 ? , ? , ? ,下列条件中能推出 ? // ? 的是 A. a ? ? , 且a ? ? B. ? ? ? , 且? ? ?

C. a ? ? , b ? ? , a // b

D. a ? ? , b ? ? , a // ? , b // ?

11.已知曲线

x2 y2 ? ? 1 和直线 ax ? by ? 1 ? 0 ( a, b 为非零实数)在同一坐标系中,它 a b
( )

们的图象可能为

A. B. C. D. 12.“嫦娥一号”卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为左焦点的椭圆,测得近地点 A 距离地 面 m 千米,远地点 B 距地面 n 千米,地球的半径为 k 千米,关于椭圆以下 3 种说法正确 的是 ( ) ①焦距为 (n ? m) 千米 ②短轴长为 2 (m ? k )( n ? k ) 千米 ③离心率 e ? A.① B.①② C. ③ 二、填空题(20 分) 13.已知命题“面积相等的三角形是全等三角形” ,该 命题的否定是________________________________, 该命题的否命题是 ______________________________________________. 14.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得 该几何体的表面积是___________。 15.双曲线的渐近线为 y ? ? D. ①②③

n?m m ? n ? 2k

2

3

e ? ______________。

3 x ,则双曲线的离心率 4
2

2 正视图 P

2 侧视图

16.从点 P(4,5) 向圆 ( x ? 2) ? y ? 4 引切线,
2

俯视图 则圆的切线方程为______________________________ 17.如图, PA ? 圆 O 所在平面, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上的一点, E 、 F 分别是点 A 在 PB 、 PC 上 的射影,给出下列结论:① AF ? PB ;② EF ? PB ; ③ AF ? BC ;④ AE ? 平面 PBC , A 其中正确的结论是____________。 三、解答题(44 分)
2 2 ?

E F C O B

18.设 p : 2 x ? 3x ? 1 ? 0 , q : x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 ,若 p 是 q 的必要不充分 条件,求实数 a 的取值范围。 分) (8

?

19.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 , O 是底面 ABCD 对角线的交点, D1 (1)求证: C1O //面 AB1 D1 ; A1 (2)求二面角 A ? B1 D1 ? C1 的正切值。 分) (8

C1

B1

D O A B

C

20.若动点 P 到定点 F (1,0) 的距离比到直线 x ? ?2 距离小 1,求点 P 的轨迹方程。 分) (8

21. 如图, 在底面是矩形的四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 面ABCD, PA ? AB ? 1 ,BC ? 2 . (1)求证:平面 PDC ? 平面PAD ; (2)若 E 为 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值; (3)在 BC 上是否存在一点 G ,使得 D 到平面 PAG 的距离为 1?若存在,求出 BG ,若 不存在,请说明理由。 (10 分) P E D C

A B

x2 y2 22.如图,从椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦 a b
点 F1 ,且它的长轴端点 A 及短轴端点 B 的连线 AB 平行于 OM , (1)求椭圆的离心率; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F2 是右焦点,求 ?F1QF2 的取值范围; (3)设 Q 是椭圆上一点,当 QF2 ? AB 时,延长 QF 2 与椭圆交于另一点 P ,若 ?F1 PQ 的 面积为 4 3 ,求此时的椭圆方程。 (10 分) M B Q O P F2 A x y

F1

诸暨中学 2011 学年高二数学期中试卷答案(理)
二、选择题(36 分)

DCDAC

A D B B A CD

二、填空题(20 分) 13.面积相等的三角形不一定是全等三角形; 若两个三角形的面积不相等,则这两个三角形不是全等三角形。 14.12 ? 15.

5 5 或 4 3

16. x ? 4 或 21x ? 20 y ? 16 ? 0 17.①②③ 三、解答题(44 分) 18.解: p : A ? {x

2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 } ? { x

1 ? x ? 1} , 2

(1 分)

q : B ? {x x 2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 } ? {x a ? x ? a ? 1}
因为 p 是 q 的必要不充分条件,即 p 所以 A? B
≠ B 由数形结合得
? ?

(2 分) ( 3 分) (4 分) (5 分)



a?

1 2

? ?q , ?q ? ? p 也即 q ? p , p ? q ? ?
?

1+ a ? 1 , 即0 ? a ?

(7 分) (8 分)

1 2.

19.证明: (1)连接 A1C1 交 B1 D1 于点 O1 ,连 AO1, 由 C1O1 // AO , C1O1 = AO ,知四边形

AOC1O1 为平行四边形,得 AO1 // C1O 。 AB1 D1 ,故 C1O //面 AB1 D1 。

(2 分)又 AO1 ? 面 AB1 D1 , C1O ? 面 (4 分) (5 分) 而

(2) 解:连接 A1C1 交 B1 D1 于点 O1 ,显然 A1O1 ? D1 B1 ,

AA1 ? 面 A1 B1C1 D1 , B1 D1 ? 面 A1 B1C1 D1 ,故 B1 D1 ? 面 AA1O1 , AO1 ? B1 D1 ,故 ?A1O1 A 的 补角为二面角 A ? B1 D1 ? C1 的平面角。
(7 分)

AA1 = a ,则 O1 A1 =

AA1 2 a ,则 tan ?AO1 A1 ? = 2, A1O1 2

故所求的二面角的正切值为 ? 2 。 分) (8 20.解:画出平面直角坐标系,设点 P 的坐标为( x, y ) , 则点 P 满足集合{ P PF ? 1 ? d } (2 分) (3 分) (4 分) (6 分)

( x ? 1) 2 ? y 2 +1= x ? (?2)

2 2 由图可知 x ? ?2 ,故方程可化为 ( x ? 1) ? y +1= x ? 2

两边平方得 ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1)
2 2

2

整理得 y ? 4 x
2

( ( x ? 0)

(8 分)

21. 证明:1) ( CD ? AD, CD ? PA, AD ? PA ? A, 所以 CD ? 面 PAD , CD ? 面 PCD , 而 故平面 PCD ? 平面 PAD 。 (3 分) (2)取 CD 的中点 F ,连接 EF ,则 EF // PC ,故 ?AEF 为异面直线 AE 与 PC 所成的角或其补角。 (4 分) 在三角形 AEF 中, AE ?

5 1 6 17 , EF ? PC ? , AF ? ,由余弦定理得: 2 2 2 2

5 6 17 ? ? 30 cos ?AEF ? 4 4 4 ? 10 5 6 2? ? 2 2

(6 分)

(3)因为平面 PAC ? 平面 DAC ,且交线为 AC ,点 D 到平面 PAC 的距离小 于 1,故在 BC 上存在一点 G ,使得 D 到平面 PAG 的距离为 1。 (8 分) 具体找法:在平面 ABCD 中,以 D 为圆心,1 为半径作圆,过 A 做圆的切线与 BC 的交 点便是, BG ?

3。

(10 分)

b2 b2 b 22.解: (1) F (?c,0) , M ( ?c, ) ,因为 AB // OM , a ? ,得 b ? c , a c a
则e ?

c 2 ? 。 a 2
(2)在三角形 F1QF2 中,由余弦定理得:

(2 分)

cos ?F1QF2 ?
2b 2 QF1 QF2

QF1 ? QF2 ? F1 F2
2 2

2

?

( QF1 ? QF2 ) 2 ? 2 QF1 QF2 ? 4c 2 2 QF1 QF2

2 QF1 QF2
2b 2 QF1 ? QF2 2

=

?1 ?
(

?1 ?
)2

2b 2 ? 1 , 又 因 为 a 2 ? 2b 2 , 所 以 a2

c o ?F1QF2 ? 0 ,即 ?F1QF2 ? [0, ] 。 s 2

?

(5 分 )

x2 y2 2 (3) (1) 由 知,b ? c , 故设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,k AB ? ? , 因为 QF2 ? AB, 2 2c c
所以 k PQ ?

2 ,故直线 PQ 的方程为 y ? 2 ( x ? c) ,

(6 分)

? y ? 2 ( x ? c) ? 2 2 2 联立方程组 ? x 2 ,整理得 5x ? 8cx ? 2c ? 0 ,记 ? ? 24c ? 0 ,设 y2 ? 2 ? 2 ?1 c ? 2c

2c 2 8c , x1 ? x 2 ? , Q( x1 , y1 ), P( x2 , y 2 ) ,由韦达定理得: x1 ? x2 ? 5 5
QP ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? 1 ? ( 2 ) 2 ? x 2 ? x1 =

6 2 c 5

(8 分)

又点 F1 到 QP 的距离 d ?

2 6 1 6 2 2 6 4 3 2 c? c? c ?4 3。 c ,所以 S ? ? 3 2 5 3 5

所以 c ? 5 ,故椭圆方程为
2

x2 y2 ? ? 1. 10 5

(10 分)

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