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2.1.1随机事件的概率


数学3

第三章 3.1.1节

随机事件的概率

1名数学家=10个师
在第二次世界大战中,美国曾经宣布:一名优秀数学 家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来 历. 1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国 潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的 护航舰,一时间,德军的“

潜艇战”搞得盟军焦头烂额. 为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家, 数学家们运用概率论分析后,舰队与敌潜艇相遇是一个随 机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律 性.一定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多 (为每次20艘,就要有5个编次),编次越多,与敌人相遇 的概率就越大. 美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域 集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口.结 果奇迹出现了:盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25% 降为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应.

问题情境:

木材燃烧,产生热量

投一粒骰子,出现的点数小于7

从这些球中取出一个红球

在0o C下,这些雪融化

在一定条件下,事先就能断定发生或不发生 某种结果,这种现象就是确定性现象.

抛一枚硬币,出现正面

抛一粒骰子,出现的点为1

转盘转动后

指针指向白色区域

买1张彩票中奖了

在一定条件下,某种现象可能发生也可能不 发生,事先不能断定出现哪种结果,这种现象就 是随机现象.

一、事件的含义 像前面,对于某个现象,如果能让其条件 实现一次,就说是进行了一次试验。 试验和试验的结果,都是一个事件。

试判断这些事件发生的可能性:
1、木材燃烧,产生热量 2、 投一粒骰子,出现的点数小于7 必然发生

3、从装有黄、白球的袋子中1个红球
4、在0o C下,冰雪融化

不可能发生

5、抛一枚硬币,出现正面
6、买1张彩票中奖了

可能发生也 可能不发生

二、事件分类: 必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件。
如:木柴燃烧,产生热量

不可能事件:在一定条件下,不可能发生的事件。
如:在0o C下,冰雪融化

随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生
的事件叫随机事件。
如:某人买1张彩票中奖了

三、事件的表示: 以后我们用A、B、C等大写字母表示事件.
如: A={抛一枚硬币,出现正面}

B={抛一粒骰子,出现的点数为1}

练习:判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不 可能事件,哪些是随机事件?

1、抛一枚硬币,反面向上

随机事件

2、抛一枚骰子,出现点数为6 随机事件

3、抛一枚硬币,出现正面或者出现反面 必然事件
4、抛一枚骰子,同时出现5点和6点 不可能事件

5、从一副扑克牌中抽出一张牌是红桃 随机事件
6、某人投篮一次投中2分 随机事件

7、做一道单项选择题,随便选中正确答案 随机事件

四、频数与频率 在相同条件下重复 n 次试验,观察某一事
件 A 是否出现,称 n 次试验中事件A出现的次 数 nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例 nA 为事件A出现的频率. f n ( A) ? n 如:从装有9个白球和1个红球的口袋中每次摸 出1个球,看完颜色后又放回去。如果摸10次, 有7次摸到白球,3次摸到红球,记 A={摸到白球} B={摸到红球} C={摸到黑球} 则 7 3 0 f n ( A) ? f n ( B) ? f n (C) ? ? 0 10 10 10

抛掷一枚硬币试验

结论:
频率m/n
1

当模拟次数很大时,硬币正面向上的频率值 接近于常数0.5,并在其附近摆动.

0.5

抛掷次数n
2048 4040 12000 24000 30000 72088

五、概率
一般地,如果随机事件A在n次试验中发生了nA次, 当试验的次数n很大时,我们可以将事件A发生的频率 f ( A) 作为事件A发生的概率P(A)的近似值。
n



P ( A) ?

nA f n ( A) ? n

其中P(A)为事件A发生的概率. 由事件A发生的频率 f n ( A) 的范围可知: 任何事件A发生的概率P(A)满足: 0 ?

P( A) ? 1

1 ; 思考:1、必然事件发生的概率是____ 0 ; 2、不可能事件发生的概率是____ 0 ? P( A) ? 1 。 3、随机事件A发生的概率满足________________

六、频率与概率的关系
1 事件A发生的频率f n ( A) 是(不变,变化)的; 2 事件A发生的概率P ( A) 是(不变,变化)的; 3 随着试验次数的增加,可以用事件A发生的

频率fn(A)稳定于概率P(A)来估计它发生的概
率。即有

P ( A) ? f n ( A)

应用举例
例.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数,如下:

时间 出生婴儿数 出生男婴数

2010年 21840 11453

2011年 23070 12031

2012年 20094 10297

2013年 19982 10242

(1)试计算男婴各年出生频率(精确到0.001);
(2)试估计该市男婴出生的概率约是多少? 解: (1) 2010年男婴出生的频率为:

11453 ? 0.524. 21840

同理可求得2011年、2012年和2013年男婴出生的频率 分别为: 0.521, 0.512, 0.512. (2) 各年男婴出生的频率在0.51~0.53之间,故该市男 婴出生的概率约是 0.52.

练习
某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习,结果如下表:

投篮次数 进球次数
进球频率

8 6
0.75

10 8
0.80

15 12
0.80

20 17
0.85

30 25
0.83

40 32
0.80

50 39
0.78

(1)计算表中进球的频率; (2)这位运动员投篮一次,进球的概率约是多少? 概率约是0.8 (3)这位运动员进球的概率是0.8,那么他投10次篮一定能 投中8次吗?

不一定. 投10次篮相当于做10次试验,每次试验的结 果都是随机的, 所以投10次篮的结果也是随机的.

小结:

随 机 事 件 的 概 率

事件的含义、分类、表示

事件发生的频数与频率
事件发生的概率 频率与概率的关系


随机事件的概率1.21

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