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(理科)2008年高考数学试题分类汇编——数列

时间:2014-04-11


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2008 年高考数学试题分类汇编 数列
一. 选择题:
1. (全国一 5) 已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 4 , 则它的前 10 项的和 S10 ? a3 ? a5 ? 10 , ( C ) A.138 B.135 C.95 D.23
<

br />3 2.(上海卷 14) 若数列{an}是首项为 1,公比为 a- 的无穷等比数列,且{an}各项的 2 和为 a,则 a 的值是(B A.1 ) B.2 1 C. 2 5 D. 4

3.(北京卷 6)已知数列 ?an ? 对任意的 p,q ? N* 满足 a p?q ? ap ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么

a10 等于( C )
A. ?165 B. ?33 C. ?30 D. ?21 4.(四川卷 7)已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是(D ) (A) ? ??, ?1? (C) ?3, ?? ? (B) ? ??,0? ? ?1, ??? (D) ? ??, ?1? ? ?3, ???

5.(天津卷 4)若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? B (A)12 (B)13 (C)14 (D)15
1 6.(江西卷 5)在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? A n

A. 2 ? ln n

B. 2 ? (n ? 1) ln n

C. 2 ? n ln n

D. 1 ? n ? ln n

7. (陕西卷 4) 已知 {an } 是等差数列,a1 ? a2 ? 4 ,a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( B A.64 ) B.100 C.110 D.120

8.(福建卷 3)设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项 的和为 C

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找家教,到阳光 A.63 B.64 C.127

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D.128
1 , S4 ? 20 ,则 S6 ?( 2

9.(广东卷 2)记等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? A.16 B.24 C.36 D.48 10.(浙江卷 6)已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a5 ? (A)16( 1 ? 4 ? n ) (C)
32 (1 ? 4 ?n ) 3

D



1 ,则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =C 4

(B)16( 1 ? 2 ? n ) (D)
32 (1 ? 2 ?n ) 3

11.(海南卷 4)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,则 A. 2 B. 4 C.
15 2

S4 ?( C a2



D.

17 2

二. 填空题:
1.(四川卷 16)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值 为______ 4 _____。
5 安徽卷(14)在数列 {an } 在中,an ? 4n ? ,a1 ? a2 ? ?an ? an2 ? bn ,n ? N * ,其中 a , b 2

为常数,则 lim

a n ? bn 的值是 n ?? a n ? b n

1

2.(江苏卷 10)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 . . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 .
n2 ? n ? 6 2

3. ( 湖 北 卷 14 ) 已 知 函 数 f ( x )? x2 , 等 差 数 列 {ax } 的 公 差 为 2 . 若

f (a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ) ? 4 ,则 log2 [ f (a1 ) ? f (a2 ) f (a3 ) ??? f (a10 )] ?
4.(湖北卷 15)观察下列等式:

.-6

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?i ? 2 n
i ?1

n

1

2

1 ? n, 2

?i
i ?1

n

2

1 1 1 ? n3 ? n2 ? n, 3 2 6

?i
i ?1

n

3

1 1 1 ? n 4 ? n3 ? n 2 , 4 2 4
1 1 1 1 ? n5 ? n4 ? n3 ? n, 5 2 3 30

?i
i ?1

n

4

?i
i ?1

n

5

1 1 5 1 ? n 6 ? n5 ? n 4 ? n 2 , 6 2 12 12
1 1 1 1 1 ? n7 ? n6 ? n5 ? n3 ? n, 7 2 2 6 42

?i
i ?1

n

6

……………………………………

?i
i ?1

n

k

? ak ?1nk ? 2 ? ak n k ? ak ?1nk ?1 ? ak ?2 n k ?2 ? ??? ? a1n ? a0 ,
1 1 , ak ? , ak ?1 ? k ?1 2 k 12

可以推测,当 x ≥2( k ? N * )时, ak ?1 ?

ak ?2 ?

.,0 .-72

5.(重庆卷 14)设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=

三. 解答题:
1.(全国一 22) . (本小题满分 12 分)

(注意:在试题卷上作答无效 ) .........
设函数 f ( x) ? x ? x ln x .数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, an?1 ? f (an ) .

1) 是增函数; (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0,
(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ; (Ⅲ)设 b ? (a1, 1) ,整数 k ≥ 解析:

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

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(Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x , f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0 故函数 f ? x ? 在区间(0,1)上是增函数; (Ⅱ)证明: (用数学归纳法) (i)当 n=1 时, 0 ? a1 ? 1, a1 ln a1 ? 0 ,

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
由函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 是增函数,且函数 f ( x) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x) 在区间 (0, 1] 是增函数,

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立;
(ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x ) 在区间 (0, 1] 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) ,

ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ) 、 (ⅱ)可得对任意的正整数 n , an ? an?1 ? 1 恒成立. (Ⅲ)证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . an?1 ? f (an ) 可得

a ? b ? a ? b ? a ln a ? a1 ? b ? ? ai ln ai k ? 1 k k k
i ?1

k

1, 若存在某 i ≤ k 满足 ai ≤ b ,则由⑵知: ak ?1 ? b ? ai ? b ≥ 0

? b ? a ? b ? a ln a 2, 若对任意 i ≤ k 都有 ai ? b ,则 a k ? 1 k k k

a ? b ? ka ln b ? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b ? 1 1
i ?1 i ?1 i ?1

k

k

k

? 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. ? a ? b ? ka ln b ? a ? b ? ( a ? b ) 1 1 1 1
2.(全国二 20) . (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

(Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式;

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(Ⅱ)若 an?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.
*

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解: (Ⅰ)依题意, Sn?1 ? Sn ? an?1 ? Sn ? 3n ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 3n , 由此得 Sn?1 ? 3n?1 ? 2(Sn ? 3n ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 因此,所求通项公式为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N* .① · (Ⅱ)由①知 Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N ,
*

于是,当 n ≥ 2 时,

an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,

an?1 ? an ? 4 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2
?2
n?2

? ? 3 ?n?2 ? ?12? ? ? ? a ? 3? , ? ?2? ? ? ?
n?2

当 n ≥ 2 时,

?3? an?1 ≥ an ? 12? ? ? ?2?
? a ≥ ?9 .
又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .

? a ? 3≥ 0

综上,所求的 a 的取值范围是 ??9, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? ?? . · 3.(四川卷 20) . (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 (Ⅰ)证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

(Ⅱ)求 ?an ? 的通项公式

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【解】 :由题意知 a1 ? 2 ,且

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ban ? 2n ? ?b ?1? Sn

ban?1 ? 2n?1 ? ?b ?1? Sn?1
两式相减得 b ? an?1 ? an ? ? 2 ? ?b ?1? an?1
n

即 an?1 ? ban ? 2n



(Ⅰ)当 b ? 2 时,由①知 an?1 ? 2an ? 2n 于是 an?1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2
n n n

? 2 ? an ? n ? 2n ?1 ?
n ?1 又 a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 an ? n ? 2 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

?

?

(Ⅱ)当 b ? 2 时,由(Ⅰ)知 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 当 b ? 2 时,由由①得

n?1

an ?1 ?

1 1 ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 2?b 2?b b ? ban ? ? 2n 2?b

1 ? ? ? b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ?
因此 an ?1 ?

1 1 ? ? ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? 2?b 2?b ? ?

?

2 ?1 ? b ? n ?b 2?b

n ?1 ? 2 ? 得 an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? b n ?1 ? n?2 ? ? ? 2 ? b ?
4.(天津卷 20) (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2, q ? 0 ) .

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(Ⅰ)设 bn ? an?1 ? an ( n ? N ) ,证明 {bn } 是等比数列;
*

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(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)若 a3 是 a6 与 a9 的等差中项,求 q 的值,并证明:对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的等
*

差中项. 本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前 n 项和公式,考查 运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. (Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? (1 ? q)an ? qan?1 ( n ? 2 ) ,得

an?1 ? an ? q(an ? an?1 ) ,即 bn ? qbn?1 , n ? 2 .
又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 , q ? 0 ,所以 {bn } 是首项为 1,公比为 q 的等比数列. (Ⅱ)解法:由(Ⅰ)

a2 ? a1 ? 1 ,
a3 ? a2 ? q ,
…… (n ? 2) . an ? an?1 ? q2 , 将以上各式相加,得 an ? a1 ? 1 ? q ? ?? qn?2 ( n ? 2 ) .

? 1 ? q n ?1 , ?1 ? 所以当 n ? 2 时, an ? ? 1? q ? n, ?
上式对 n ? 1 显然成立.

q ? 1, q ? 1.

(Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,当 q ? 1 时,显然 a3 不是 a6 与 a9 的等差中项,故 q ? 1 . 由 a3 ? a6 ? a9 ? a3 可得 q ? q ? q ? q ,由 q ? 0 得 q ?1 ? 1 ? q ,
5 2 2 8 3 6 3 2 3 3 3



整理得 (q ) ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? ?2 或 q ? 1 (舍去) .于是 q ? ? 3 2 . 另一方面, an ? an?3 ?

q n? 2 ? q n?1 q n?1 3 ? (q ? 1) , 1? q 1? q

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an?6 ? an ?

q n?1 ? q n?5 q n?1 ? (1 ? q 6 ) . 1? q 1? q
*

由①可得 an ? an?3 ? an?6 ? an , n ? N . 所以对任意的 n ? N , an 是 an ?3 与 an?6 的等差中项.
*

5.(安徽卷 21) . (本小题满分 13 分)
3 设数列 ?an ? 满足 a0 ? 0, an?1 ? can ? 1 ? c, c ? N * , 其中c 为实数

(Ⅰ)证明: an ?[0,1] 对任意 n ? N 成立的充分必要条件是 c ? [0,1] ;
*

1 ,证明: an ? 1 ? (3c)n?1, n ? N * ; 3 1 2 2 2 2 ,n? N* (Ⅲ)设 0 ? c ? ,证明: a1 ? a2 ? ? an ? n ? 1 ? 3 1 ? 3c
(Ⅱ)设 0 ? c ? 解 (1) 必要性 :∵a1 ? 0,∴a2 ? 1 ? c , 又 ∵a2 ?[0,1],∴0 ? 1 ? c ? 1 ,即 c ? [0,1] 充分性 :设 c ? [0,1] ,对 n ? N 用数学归纳法证明 an ?[0,1]
*

当 n ? 1 时, a1 ? 0 ?[0,1] .假设 ak ?[0,1]( k ? 1)
3 3 则 ak ?1 ? cak ? 1 ? c ? c ? 1? c ? 1,且 ak ?1 ? cak ? 1 ? c ? 1 ? c ?? 0

∴ak ?1 ?[0,1] ,由数学归纳法知 an ?[0,1] 对所有 n ? N * 成立
(2) 设 0 ? c ?

1 ,当 n ? 1 时, a1 ? 0 ,结论成立 3

当 n ? 2 时,
3 2 ∵an ? can ?1 ? 1 ? c,∴1 ? an ? c(1 ? an?1 )(1 ? an?1 ? an?1 )

∵0 ? C ?

1 2 ,由(1)知 an?1 ?[0,1] ,所以 1 ? an?1 ? an ?1 ? 3 且 1 ? an ?1 ? 0 3

∴1 ? an ? 3c(1 ? an?1 )

∴1 ? an ? 3c(1 ? an?1 ) ? (3c)2 (1 ? an?2 ) ? ? ? (3c)n?1 (1 ? a1 ) ? (3c)n?1 ∴an ? 1 ? (3c)n?1 (n ? N * )

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找家教,到阳光 阳光家教网 1 2 2 (3) 设 0 ? c ? ,当 n ? 1 时, a1 ? 0 ? 2 ? ,结论成立 3 1 ? 3c
当 n ? 2 时,由(2)知 an ? 1 ? (3c) n?1 ? 0
2 ∴an ? (1 ? (3c)n?1 )2 ? 1 ? 2(3c)n?1 ? (3c)2( n?1) ? 1 ? 2(3c)n?1

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2 2 2 2 2 n?1 ∴a 2 ] 1 ?a2 ? ? ? an ? a2 ? ?? an ? n ? 1 ? 2[3c ? (3c) ? ?? (3c)

? n ?1?

2(1 ? (3c)n ) 2 ? n ?1? 1 ? 3c 1 ? 3c

6.(山东卷 19)。(本小题满分 12 分) 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a7
……

a5 a8

a6 a9 a10

记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1. Sn 为数列{bn}的前 n 项和,且 满足=

2bn 1=(n≥2). bn S N ? S 2 n
1 }成等差数列,并求数列{bn}的通项公式; Sn
4 时,求上表中第 k(k≥3)行所有项和的和. 91

(Ⅰ)证明数列{

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为 同一个正数.当 a81 ? ?

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(Ⅰ)证明:由已知,
2bn ? 1, 2 bn S n ? S n 又 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , ( 2 S n ? S n ?1 ) 所以   ? 1, ( S n ? S n ?1 ) S n ? S 2 n ( 2 S ? S n ?1 ) 即    n ? 1, ? S n ?1 S n 1 1 1 所以  ? ? , S n ?1 2 Sn 又S1 ? b1 ? a1 ? 1.

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? 1 ? 1 所以数列 1 ,公差为 的等差数列 . ? ?是首项为 S 2 ? n ? 1 1 n ?1 由上可知  = 1 + (n ? 1 ) ? , Sn 2 2 即  S n ? 2 . n ?1 2 2 2 ? ? ? n ?1 h n ( n ? 1).

所以  当 n ? 2时,bn ? ? S n ?1 ?

?1, n ? 1 ? bn ? ? 2 ? ? n(n ? 1) , n ? 2 ?
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q,且 q>0. 因为

1 ? 2 ? ??? ? 12 ?

12 ?13 ? 78, 2

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列{an}的前 78 项, 故 a82 在表中第 13 行第三列, 因此 a82 ? b13 ?q ? ?
2

4 . 91



b13 ? ?

2 , 13 ?14

所以 q=2. 记表中第 k(k≥3)行所有项的和为 S, 则S ?

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 ? ? ? (1 ? 2k ) (k≥3). 1? q k (k ? 1) 1 ? 2 k (k ? 1)

7.(江苏卷 19).(Ⅰ)设 a1 , a2 ,??, an 是各项均不为零的等差数列( n ? 4 ) ,且公差 d ? 0 , 若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:

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①当 n =4 时,求

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a1 的数值;②求 n 的所有可能值; d

(Ⅱ)求证:对于一个给定的正整数 n(n ≥ 4) ,存在一个各项及公差都不为零的等差数列

b1 , b2 ,??, bn ,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用. (Ⅰ)①当 n=4 时, a1 , a2 , a3 , a4 中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数 列,则推出 d=0. 若删去 a2 ,则有 a32 ? a1 ? a4 , 即 ? a1 ? 2d ? ? a1 ?? a1 ? 3d ?
2

化简得 a1d ? 4d 2 =0,因为 d ≠0,所以

a1 =4 ; d
2

若删去 a3 ,则有 a2 ? a1 ? a4 ,即 ? a1 ? d ? ? a1 ?? a1 ? 3d ? ,故得 综上

a1 =1. d

a1 =1 或-4. d

②当 n=5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 中同样不可能删去首项或末项. 若删去 a2 ,则有 a1 ? a5 = a3 ?a4 ,即 a1 ? ? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? 2d ??? a1 ? 3d ? .故得 若删去 a3 ,则 a1 ? a5 = a2 ?a4 ,即 a1 ? ? a1 ? 4d ? ? ? a1 ? d ??? a1 ? 3d ? . 化简得 3 d =0,因为 d≠0,所以也不能删去 a3 ; 若删去 a4 ,则有 a1 ? a5 = a2 ga3 ,即 a1 g (a1 + 4d ) = (a1 + d )g (a1 + 2d ) .故得
2

a1 =6 ; d

a1 =2 . d

当 n≥6 时,不存在这样的等差数列.事实上,在数列 a1 , a2 , a3 ,…, an?2 , an ?1 , an 中, 由于不能删去首项或末项,若删去 a2 ,则必有 a1 ? an = a3 ?an?2 ,这与 d≠0 矛盾;同样若删 去 an?2 也有 a1 ? an = a3 ?an?2 ,这与 d≠0 矛盾;若删去 a3 ,…, an?2 中任意一个,则必有

a1 ?an = a2 ?an?1 ,这与 d≠0 矛盾.
综上所述,n∈{4,5}. (Ⅱ)略 8.(江西卷 19) . (本小题满分 12 分) 数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 为等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 ,

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数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 . (1)求 an , bn ; (2)求证

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1 1 1 3 ? ??? ? . S1 S2 Sn 4

解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ?1)d , bn ? qn?1
? ban?1 q 3? nd ? ? q d ? 64 ? 26 ? 3? ( n ?1) d q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ? 由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8
故 an ? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1, bn ? 8n?1 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) ∴

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4 ?
9.(湖北卷 21).(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 和 {bn } 满足: a1 ? ? , an ?1 ? 数, n 为正整数. (Ⅰ)对任意实数 ? ,证明数列 {an } 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列 {bn } 是否为等比数列,并证明你的结论; (Ⅲ)设 0 ? a ? b , Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和.是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有

2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21), 其中 ? 为实 3

a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.

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本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想,考查 综合分析问题的能力和推理认证能力, (满分 14 分) (Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ ,使{an}是等比数列,则有 a22=a1a3,即

2 4 4 4 ( ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ?2 ? 4? ? 9 ? ?2 ? 4? ? 9 ? 0, 矛盾. 3 9 9 9
所以{an}不是等比数列. (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1( =

2 an-2n+14) 3

2 2 (-1)n· (an-3n+21)=- bn 3 3

又 b1x-(λ +18),所以 当λ =-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列: 当λ ≠-18 时,b1=(λ +18) ≠0,由上可知 bn≠0,∴

ba ?1 2 ? ? (n∈N+). bn 3
2 为公比的等比数列. 3

故当λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ =-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求. ∴λ ≠-18,故知 bn= -(λ +18) · (- Sn=- (? ? 18)·   ?1-(- )?. 要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

2 n-1 ) ,于是可得 3

3 5

? ?

2 n? 3 ?

3 2 (λ +18)· [1-(- )n] 〈b(n∈N+) 5 3



a 2 1 ? (? ) n 3

3 ? ? (? ? 18) ? 5 2

b 2 1 ? (? ) n 3

          


令f (n) ? 1 ? (? ),则
5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9 5 5 ∴f(n)的最大值为 f(1)= ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9
当 n 为正奇数时,1<f(n) ?

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于是,由①式得

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5 3 3 a<- (λ +18),< b ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18 . 9 5 5

当 a<b ? 3a 时,由-b-18 ? =-3a-18,不存在实数满足题目要求; 当 b>3a 存在实数λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b,且λ 的取值范围是(-b-18,-3a-18). 10.(湖南卷 18).(本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos (Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?
2

n? n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3,?. 2 2

1 a2 n?1 Sn ? 2 ? . , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn . 证明:当 n ? 6时, n a2 n
2

解: (Ⅰ)因为 a1 ? 1, a2 ? 2, 所以 a3 ? (1 ? cos

?
2

)a1 ? sin 2

?
2

? a1 ? 1 ? 2,

a4 ? (1 ? cos2 ? )a2 ? sin 2 ? ? 2a2 ? 4.
一般地,当 n ? 2k ?1(k ? N* ) 时, a2 k ?1 ? [1 ? cos = a2k ?1 ? 1 ,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 1. 所以数列 ?a2k ?1? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k.
* 当 n ? 2k (k ? N ) 时, a2 k ? 2 ? (1 ? cos
2 2

(2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? sin 2 ? 2 2

2 k? 2 k? )a2 k ? sin 2 ? 2a2 k . 2 2

所以数列 ?a2 k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2 k ? 2k.

? n ?1 * ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N ), 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? n * 2 ?2 , n ? 2k (k ? N ).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

1 2 3 n a2 n ?1 n ? 2 , Sn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , 2 2 2 2 a2 n 2



1 1 2 3 n S n ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得, S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2



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1 1 [1 ? ( )2 ] 2 ? n ? 1? 1 ? n . ?2 1 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n?2 所以 S n ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2 1 n( n ? 2) ? 1 成立. 要证明当 n ? 6 时, Sn ? 2 ? 成立,只需证明当 n ? 6 时, n 2n
证法一

6 ? (6 ? 2) 48 3 ? ? ? 1 成立. 26 64 4 k ( k ? 2) ? 1. (2)假设当 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 2k
(1)当 n = 6 时, 则当 n=k+1 时,

(k ? 1)(k ? 3) k (k ? 2) (k ? 1)(k ? 3) (k ? 1)(k ? 3) ? ? ? ? 1. 2k ?1 2k 2k (k ? 2) (k ? 2)?2k
n(n ? 1) 1 ? 1 .即当 n≥6 时, S n ? 2 ? . 2 2 n

由(1)、(2)所述,当 n≥ 6 时, 证法二 令 cn ?

n(n ? 2) (n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 ( n ? 6) c ? c ? ? ? n?1 ? 0. ,则 n ?1 n 22 2n?1 22 2 6?8 3 ? ? 1. 64 4

所以当 n ? 6 时, cn?1 ? cn .因此当 n ? 6 时, cn ? c6 ? 于是当 n ? 6 时,

n( n ? 2) ? 1. 22
1 . n

综上所述,当 n ? 6 时, S n ? 2 ?

11.(陕西卷 22) . (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ?

3 3an , 2, ?. , an ?1 ? ,n ?1 5 2an ? 1

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 , an ≥

1 1 ?2 ? 2, ?; ? ? x ? , n ? 1, 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

(Ⅲ)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ?

n2 . n ?1

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解法一: (Ⅰ)? an ?1 ?

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? 1 1? 1 3an 1 2 1 ? 1 ? ? ? 1? , ,? ,? ? ? an ?1 3 ? an 2an ? 1 an?1 3 3a n ?



? 1 ? 2 1 1 2 ? 1 ? ,? ? ? 1 ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. 3 3 an 3 ? an ?

3n 1 2 1 2 . ? ? 1 ? ? n?1 ? n ,? an ? n 3 ?2 an 3 3 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ?

3n ? 0, 3n ? 2

1 1 ?2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?
? 1 1 ?2 ? ? ? 1 ?1 ? x ? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

?

1 1 ? 1 ? x (1 ? x) 2

?1 ? ? ? (1 ? x) ? ? an ?

??

1 1 2 ? ? 2 an (1 ? x) 1 ? x

??

1? 1 ? ? an ? ? an ≤ an ,? 原不等式成立. ? an ? 1 ? x ?

2

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,对任意的 x ? 0 ,有

a1 ? a2 ? ? ? an ≥

1 1 ?2 ? 1 1 ?2 1 1 ?2 ? ? ? ? x? ? ? ? x ? ?? ? ? ? x? 2 ? 2 ? 2 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ?

?

n 1 ?2 2 2 ? ? ? 2 ? ? ? n ? nx ? . 2 ? 1 ? x (1 ? x) ? 3 3 3 ?

2? 1? 1? n ? ? 1?2 2 2? 3 1? 3 ? 1? ? ?1 ? n ? , ?取 x ? ? ? 2 ? ? ? n ? ? ? n?3 3 3 ? ? 1? n? 3 ? n ?1 ? ? ? 3?

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则 a1 ? a2 ? ? ? an ≥

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n n2 n2 . ? ? 1 n ?1 1? 1? 1 ? ?1 ? n ? n ? 1 ? n 3 n? 3 ?

? 原不等式成立.
解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)设 f ( x) ?

1 1 ?2 ? ? ? x? , 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

?2 ? ?2 ? ?(1 ? x) 2 ? ? n ? x ??2(1 ? x) 2 ? n ? x ? 1 3 ?3 ? ? 则 f ?( x) ? ? ? ? ? 2 2 (1 ? x) (1 ? x) (1 ? x) 2
? x ? 0, 2 2 ? 当 x ? n 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? n 时, f ?( x) ? 0 , 3 3 1 2 ? 2? ? an . ? 当 x ? n 时, f ( x) 取得最大值 f ? n ? ? 3 ? 3 ? 1? 2 3n

? 原不等式成立.
(Ⅲ)同解法一. 12.(重庆卷 22) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分.)
2 设各项均为正数的数列{an}满足 a1 ? 2, an ? aa ?1aa ?2 (n ? N*) . 3

(Ⅰ)若 a2 ?

1 ,求 a3,a4,并猜想 a2cos 的值(不需证明) ; 4

(Ⅱ)记 bn ? a3a2 ? ? ? an (n ? N*), 若bn ? 2 2 对 n≥2 恒成立,求 a2 的值及数列{bn}的通项公 式. 解:(Ⅰ)因 a1 ? 2, a2 ? 2?2 , 故

a3 ? a1a2

?

3 2 3 2

? 24 , ? 2?8.
0 2 2 3

a4 ? a2 a3

?

由此有 a1 ? 2( ?2) , a2 ? 2( ?2) , a3 ? 2( ?2) , a4 ? 2( ?2) ,故猜想 an 的通项为

an ? 2( ?2) (n ? N* ).
(Ⅱ)令 xn ? log2 an , Sn表示xn的前n项和,则bn ? 2 n .
S

n?1

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由题设知 x1=1 且

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xn ?

3 xn ?1 ? xn ? 2 (n ? N* ); 2 3 (n ? 2). 2



Sn ? x 1 ? x2 ? ? ? xn ?
因②式对 n=2 成立,有



3 ? x1 ? x2 , 又x1 ? 1得 2

1 x2 ? . ③ 2 1 1 下用反证法证明: x2 ? .假设x2 ? . 2 2 3 1 由①得 xn ? 2 ? 2 xn ?1 ? ( xn ? 2 ? xn ?1 ) ? ( xn ?1 ? 2 xn ). 2 2 1 因此数列 xn?1 ? 2 xn 是首项为 x2 ? 2 ,公比为 的等比数列.故 2 1 1 1 xn ?1 ? xn ? ( x2 ? ) n ?1 (n ? N* ). ④ 2 2 2 1 3 1 1 又由①知 xn ? 2 ? xx ?1 ? ( xn ? xn ?1 ) ? xn ?1 ? ?2( xn ?1 ? xn ), 2 2 2 2
因此是 xn ?1 ?

1 1 xn 是首项为 x2 ? ,公比为-2 的等比数列,所以 2 2
1 1 xn ? ( x2 ? )(?2) n ?1 (n ? N* ). 2 2


xn ?1 ?
由④-⑤得

5 1 1 Sn ? ( x2 ? 2) n ?1 ? ( x2 ? )(?2) n ?1 (n ? N* ). 2 2 2
对 n 求和得



5 1 1 1 ? (?2)2 xn ? ( x2 ? 2)(2 ? n?1 ) ? ( x2 ? ) (n ? N* ). ⑦ 2 2 2 3
由题设知 S2 k ?1 ?

3 1 , 且由反证假设x2 ? 有 2 2

(x2 ? 2)(2 ?

1 1 22 k ?1 ? 1 15 ) ? ( x ? ) ? (k ? N* ). 2 22 k 2 3 4 2 k ?1 1 2 ?1 1 15 1 从而( x2 ? )? ? ( x2 ? 2)(2 ? 2 k ) ? ? 2 x2 ? (k ? N* ). 2 3 2 4 4

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3 2k+1 4 ?1 即不等式 2 < 1 x2 ? 2 * 对 k ? N 恒成立.但这是不可能的,矛盾. 1 1 *2 因此 x2≤ ,结合③式知 x2= ,因此 a2=2 = 2. 2 2 1 将 x2= 代入⑦式得 2 1 Sn=2- n ?1 (n ? N*), 2 1 S 2- 所以 bn=2 n=2 2 n ?1 (n ? N*) 6 x2 ?
13.(广东卷 21) . (本小题满分 12 分) 设 p, q 为 实 数 , ?,? 是 方 程 x2 ? px ? q ?0 的 两 个 实 根 , 数 列 {xn } 满 足 x1 ? p ,

4, …) . (1) 证明:? ? ? ? p ,?? ? q ; (2) 求数列 {xn } x2 ? p2 ? q ,xn ? pxn?1 ? qxn?2( n ? 3,
的通项公式; (3)若 p ? 1 , q ?

1 ,求 {xn } 的前 n 项和 Sn . 4

【解析】 (1)由求根公式,不妨设 ? ? ? ,得 ? ?

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ,? ? 2 2

p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q p ? p 2 ? 4q ?? ? ? ? ? ? p , ?? ? ? ?q 2 2 2 2
( 2 ) 设 xn ? sxn?1 ? t ( xn? 1? sxn? ) 2 , 则 xn ? (s ? t ) xn?1 ? stxn?2 , 由 xn ? pxn?1 ? qxn ?2 得

?s ? t ? p , ? ? st ? q
消去 t ,得 s ? ps ? q ? 0 ,? s 是方程 x ? px ? q ? 0 的根,由题意可知, s1 ? ? , s2 ? ?
2 2

①当 ? ? ? 时,此时方程组 ?

? s1 ? ? ? s2 ? ? ?s ? t ? p 或? 的解记为 ? ? t1 ? ? ? t2 ? ? ? st ? q

? xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ), xn ? ? xn?1 ? ? ( xn?1 ? ? xn?2 ),
即 ?xn ? t1xn?1? 、 ?xn ? t2 xn?1? 分别是公比为 s1 ? ? 、 s2 ? ? 的等比数列,

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由等比数列性质可得 xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 , 两式相减,得 (? ? ? ) xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2

? x2 ? p2 ? q, x1 ? p ,? x2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? , x1 ? ? ? ?

?( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? ? n?2 ? ? n , ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? 2 ? ? n ?2 ? ? n ?(? ? ? ) xn?1 ? ? n ? ? n ,即? xn?1 ?

? n ?? n ? n?1 ? ? n?1 ,? xn ? ? ?? ? ??

②当 ? ? ? 时,即方程 x2 ? px ? q ? 0 有重根,? p2 ? 4q ? 0 , 即 (s ? t ) ? 4st ? 0 ,得 (s ? t ) ? 0,? s ? t ,不妨设 s ? t ? ? ,由①可知
2 2

xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ,?? ? ? ,? xn ? ? xn?1 ? ( x2 ? ? x1 )? n?2 ? ? n
即? xn ? ? xn?1 ? ? n ,等式两边同时除以 ? ,得
n

?

xn
n

?

?

xn ?1
n ?1

? 1 ,即


?

xn
n

?

? n ?1


xn ?1

?1
数 列 ,

?
?





{

?n

xn

} 2?





1









?

xn
n

?

?

x1

? (n ? 1) ? 1 ?

?

? n ? 1 ? n ? 1 ,? xn ? n? n ? ? n

? ? n?1 ? ? n?1 , (? ? ? ) ? 综上所述, xn ? ? ? ? ? ? n? n ? ? n , (? ? ? ) ?
(3)把 p ? 1 , q ?

1 1 1 2 2 代入 x ? px ? q ? 0 ,得 x ? x ? ? 0 ,解得 ? ? ? ? 4 4 2

1 1 ? xn ? n?( ) n ? ( ) n 2 2

1 1 1 ? ? 1 1 1 1 ? ? 1 Sn ? ? ( ) ? ( )2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? ? ? ( ) ? 2? ( ) 2 ? 3? ( )3 ? ... ? n? ( )n ? 2 2 2 ? ? 2 2 2 2 ? ? 2 1 1 1 1 ? ? 1 ? 1 ? ( )n ? ? ( ) ? 2? ( ) 2 ? 3? ( )3 ? ... ? n? ( )n ? 2 2 2 2 ? ? 2
1 1 1 1 ? 1 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ?1 ? n( ) n ? 3 ? ( n ? 3)( ) n 2 2 2 2
14.(浙江卷 22) (本题 14 分)

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已 知 数 列

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2

?an ?



an ? 0 , a1 ? 0 , an?1 ? an?1 ? 1 ? an (n ? N ? ) . 记
2

S n ? a1 ? a2 ? ? ? an . Tn ?
求证:当 n ? N 时, (Ⅰ) an ? an ?1 ; (Ⅱ) S n ? n ? 2 ; (Ⅲ) Tn ? 3 。
?

1 1 1 . ? ??? 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? a n )

本题主要考查数列的递推关系,数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能,同时考查逻辑 推理能力.满分 14 分. (Ⅰ)证明:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,因为 a2 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的正根,所以 a1 ? a2 .
2

②假设当 n ? k (k ? N* ) 时, ak ? ak ?1 ,
2 因为 ak ?12 ? ak ? (ak ?22 ? ak ?2 ?1) ? (ak ?12 ? ak ?1 ?1)

? (ak ?2 ? ak ?1 )(ak ?2 ? ak ?1 ? 1) ,
所以 ak ?1 ? ak ?2 . 即当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 也成立. 根据①和②,可知 an ? an?1 对任何 n ? N 都成立.
*

, 2, ?, n ?1 ( n ≥ 2 ) (Ⅱ)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ?1 ? ak 2 , k ? 1 ,
2 得 an ? (a2 ? a3 ? ?? an ) ? (n ?1) ? a12 .

因为 a1 ? 0 ,所以 Sn ? n ?1 ? an .
2

由 an ? an?1 及 an?1 ? 1 ? an ? 2an?1 ? 1得 an ? 1 ,
2 2

所以 Sn ? n ? 2 .

(Ⅲ)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 ≥ 2ak ,得

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a 1 ≤ k ?1 (k ? 2, 3, ?, n ? 1 ,n ≥ 3) 1 ? ak ?1 2ak
所以

a 1 ≤ n?2n (a ≥ 3) , (1 ? a3 )(1 ? a4 )?(1 ? an ) 2 a2

于是

an a 1 1 ≤ n?2 2 ? nn ? n?2 (n ≥ 3) , ?2 (1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) 2 (a2 ? a2 ) 2 2
1 1 ? ? ? n?2 ? 3 , 2 2

故当 n ≥ 3 时, Tn ? 1 ? 1 ?

又因为 T1 ? T2 ? T3 , 所以 Tn ? 3 . 15.(辽宁卷 21) . (本小题满分 12 分) 在数列 | an | , a1=2, b1=4, 且 an, | bn | 中, bn , an
?1 成等差数列, n
* (n?N ) b ,an?1,bn?1 成等比数列

(Ⅰ )求 a2,a3,a4 及 b2,b3,b4,由此猜测 | an | , | bn | 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ )证明:

1 1 1 5 ? ?…? ? . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用数 学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分 12 分.
2 解: (Ⅰ)由条件得 2bn ? an ? an?1 ,an ?1 ? bnbn?1

由此可得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 a2 ? 6,b2 ? 9,a3 ? 12,b3 ? 16,a4 ? 20,b4 ? 25 . · 猜测 an ? n(n ? 1),bn ? (n ? 1)2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由上可得结论成立. ②假设当 n=k 时,结论成立,即

ak ? k (k ? 1),bk ? (k ? 1)2 ,
那么当 n=k+1 时,

ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2(k ? 1)2 ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2),bk ?1 ?
所以当 n=k+1 时,结论也成立.

2 ak ?2 ? (k ? 2) 2 . bk

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由①②,可知 an ? n(n ? 1),bn (n ?1)2 对一切正整数都成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (Ⅱ)

1 1 5 ? ? . a1 ? b1 6 12

n≥2 时,由(Ⅰ)知 an ? bn ? (n ? 1)(2n ? 1) ? 2(n ? 1)n . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分



1 1 1 1 1? 1 1 1 ? ? ? …? ? ? ? ? ? …? ? a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 6 2 ? 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) ?
1 1?1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ?…? ? ? 6 2?2 3 3 4 n n ?1 ? 1 1?1 1 ? 1 1 5 ? ? ? ?? ? ? 6 2 ? 2 n ? 1 ? 6 4 12

?

?

综上,原不等式成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

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2008年高考数学理科试题分类汇编—数列

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2008年高考数学试题分类汇编——立体几何理科

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2008年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

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