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《高等代数》课程教学大纲

时间:2015-04-12


《高等代数》课程教学大纲

(Higher Algebra)
学时数: 72 学分: 4 适用专业: 小学教育(数学与科学方向)

一 课程的性质、目的和任务 1. 课程性质: 高等代数是小学教育本科专业的一门重要的专业基础课程。它不仅是应用 学科的重要工具课,而且在近代数学理论中也是一门很重要的理论基础课。 2. 教学目的: 通过本课程的学习使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基 础理论和基本方法,以加深对初等数学内容的理解,并为进一步学习其它课程 打下良好的基础。同时培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推理和 迅速准确的运算能力, 以及树立辩证唯物论观点。 从而为培养合格的中小学数 学教师和各种高级专门人才奠定基础。 3. 教学任务: 通过本课程的教学与实践,使学生初步系统掌握高等代数的基本内容和利 用代数手段处理问题的基本方法;进一步提高学生的抽象思维能力和严格的逻 辑推理能力;促进学生对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系的 理解;培养和提高学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力及运用所学 理论指导中小学教学实践和其它工作的能力。同时注意加强对学生的数学基本 素养的培养,为今后做一名合格的中小学数学教师和继续学习深造奠定基础。 二 课程教学的基本要求 1. 通过本课程教学的主要环节, 使学生了解多项式、行列式、矩阵、线性方程 组理论、向量空间、线性变换和欧氏空间等高等代数中的基本概念和基本原理. 2. 使学生在了解基本概念和基本原理的基础上, 理解高等代数中各种概念和 原理的深刻内涵和它们之间的相互联系. 3. 要突出传授数学思想和数学方法, 使学生初步掌握运用高等代数的概念和原 理分析问题和解决问题的方法. 三 课程教学的内容和要求 第一章 多项式理论

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【教学内容】 § 1.1 数环与数域 § 1.2 一元多项式 § 1.3 多项式的整除性 § 1.4 最大公因式 § 1.5 多项式的因式分解 § 1.6 重因式和重根 § 1.7 特殊域上的多项式 【教学要求】 (1)了解数环和数域的概念和判别方法,理解数域的最小性; (2)理解一元多项式的定义、运算、运算律、次数和次数定理; (3)掌握带余除法定理及其应用;理解多项式整除概念和性质,了解其与带余 除法的区别 (4)理解最大公因式的存在性,掌握最大公因式的求法和表示法; (5)掌握多项式互素的概念和性质; (6)掌握不可约多项式的概念、性质和唯一分解定理; (7)理解并掌握重因式的概念和多项式有无重因式的判别法; (8) 掌握多项式函数的概念, 理解多项式相等和多项式函数相等的区别与联系; (9)掌握复数和实数域上的多项式的因式分解定理以及不可约多项式的类型。 【教学重点】 数环和数域;多项式的整除性;最大公因式;互素;不可约多项式;多项式的值; 多项式的根 【教学难点】 多项式的整除性;最大公因式;互素;不可约多项式;多项式的值;多项式的根

第二章 行列式 【教学内容】 § 2.1 排列 § 2.2 行列式 § 2.3 n 阶行列式的性质 § 2.4 行列式的展开 § 2.5 Cramer 法则 【教学要求】
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(1)掌握排列、逆序数、对换等概念,理解对换改变排列的奇偶性; (2)理解行列式的定义,掌握行列式的性质并能够计算行列式; (3)理解余子式和代数余子式的概念,掌握行列式依行(列)展开定理的证明 和应用,进而总结出行列式的计算方法; (4)理解并掌握 Cramer 法则及其应用。 【教学重点】 排列;逆序数;行列式的定义;余子式;代数余子式;Cramer 法则 【教学难点】 逆序数;行列式的定义; Cramer 法则

第三章 矩阵 【教学内容】 § 3.1 矩阵的运算和性质 § 3.2 可逆矩阵 § 3.3 初等矩阵和矩阵的初等变换 【教学要求】 (1)掌握矩阵定义和矩阵的加法、数乘和乘法运算及相应运算律,了解矩阵与 行列式的区别; (2) 掌握初等矩阵和矩阵初等变换定义, 理解初等矩阵与矩阵初等变换的关系; (3)掌握可逆矩阵的定义、判别法和求取方法; (4)理解并掌握矩阵乘积行列式及其求法; (5)了解矩阵分块的意义,分块的方法、分块矩阵的初等变换以及矩阵分块的 应用。 【教学重点】 矩阵的运算;初等矩阵;矩阵的初等变换;可逆矩阵 【教学难点】 矩阵的运算;初等矩阵;矩阵的初等变换;可逆矩阵 第四章 向量空间 【教学内容】 § 4.1 n 维向量空间 § 4.2 向量的线性相关性
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§ 4.3 矩阵的秩 § 4.4 基底,维数和坐标 § 4.5 子空间 § 4.6 向量空间的公理化 【教学要求】 (1)理解向量空间的概念; (2)掌握向量线性相关和线性无关的定义、性质和判别方法; (3)理解并掌握极大线性无关组的定义和求取方法; (4)理解并掌握基和维数的概念、求取方法,了解维数定理; (5)掌握向量空间中向量坐标的概念及其意义; (6)掌握过度矩阵的概念、性质和求法; (7)了解并掌握子空间以及子空间的交与和的概念; (8)了解向量空间同构概念的性质和意义,以及同构的充要条件。 【教学重点】 向量空间;向量的线性性质;基;维数;坐标;过度矩阵;子空间; 【教学重点】 向量空间;向量的线性性质;基;过度矩阵;子空间;

第五章 线性方程组 【教学内容】 § 5.1 消元法 § 5.2 线性方程组解的结构 【教学要求】 (1)理解线性方程组的消元法与系数矩阵初等变换的关系; (2)能够熟练地运用初等变换法解线性方程组; (3)理解并掌握矩阵秩的概念,能够用初等变换法求矩阵的秩; (4)掌握线性方程组有解的判定定理及其应用; (5)掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件; (6)熟练掌握线性方程组的解的结构理论 (7)理解并能够求齐次线性方程组的基础解系; (8)掌握齐次线性方程组和非齐次线性方程组的接的结构,会用特解和齐次线 性方程组的基础解系表示非齐次线性方程组的解。

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【教学重点】 线性方程组消元法;线性方程组的有解判别;齐次线性方程组的基础解系;一般 线性方程组解的结构 【教学难点】 线性方程组的有解判别;齐次线性方程组的基础解系 第六章 线性变换 【教学内容】 § 6.1 线性变换的定义和性质 § 6.2 线性变换的运算 § 6.3 矩阵的特征值与特征向量 § 6.4 矩阵的对角化 § 6.5 线性变换的矩阵表示 § 6.6 不变子空间 【教学要求】 (1)理解并掌握线性变换的定义和运算; (2)掌握给定线性变换在一组基下的矩阵的求取方法; (3)理解相似矩阵的概念和性质; (4)理解并掌握特征值、特征向量和特征多项式的概念以及特征值和特征向量 的求取方法; (5)熟练掌握在线性变换取定后,空间的基底与矩阵的关系,即两个矩阵相似 当且仅当它们是同一变换在不同基底下的表示阵; (6)理解并掌握矩阵可以对角化的条件和方法; (7)了解不变子空间的概念和性质。 【教学重点】 线性变换;相似矩阵;特征值;特征向量;对角矩阵;矩阵对角化 【教学重点】 线性变换;相似矩阵;特征值;特征向量;矩阵对角化 第七章 欧几里得空间 【教学内容】 § 7.1 欧氏空间的定义 § 7.2 标准正交基
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§ 7.3 正交子空间 § 7.4 正交变换 § 7.5 实对称矩阵和对称变换 【教学要求】 (1)熟练掌握向量的内积、夹角、长度和距离的概念及计算公式; (2)掌握 Schwarz 不等式及其应用; (3)熟练掌握向量正交和单位向量的定义及向量单位化的方法; (4)理解标准正交基的概念,掌握其求法和应用; (5)理解正交变换和正交矩阵的概念、性质以及它们之间的关系; (6)理解对称变换的概念、性质及其与对称矩阵的关系; (7)熟练掌握对称矩阵化为对角矩阵的正交化方法; (8)熟练掌握实对称矩阵对角化的步骤 【教学重点】 内积;欧氏空间;向量组的正交化;标准正交基;正交变换;对称变换;实对称 矩阵的对角化 【教学难点】 欧氏空间;向量组的正交化;标准正交基;正交变换;实对称矩阵的对角化 第八章 二次型 【教学内容】 § 8.1 二次型及其矩阵 § 8.2 化二次型为标准型 § 8.3 正定二次型 【教学要求】 (1)熟练掌握二次型的定义及矩阵形式; (2)掌握二次型与对称矩阵的一一对应关系; (3)给定二次型能够写出它的矩阵; (4)掌握非退化线性替换,了解线性替换把二次型变为二次型; (5)理解矩阵合同的定义,特别知道合同关系是等价关系。 (6)会化二次型为标准型和规范型; (7)掌握正定二次型和正定矩阵的定义及等价命题。 【教学重点】 二次型;合同矩阵;合同变换;标准型;规范型;正定二次型;正定矩阵
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【教学难点】 二次型;合同变换;标准型;规范型;正定二次型;正定矩阵

四 学时分配与教学方式 理论教学 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 第 四 章 向 量 空 间 第 三 章 第 二 章 行 列 式 §2.1 排列 §2.2 行列式 §2.3 n 阶行列式的性质 §2.4 行列式的展开 §2.5 Cramer 法则 习题课 §3.1 矩阵的运算和性质 矩 §3.2 可逆矩阵 阵 §3.3 初等变换与初等矩阵 习题课 §4.1 n 维向量空间 §4.2 向量的线性关系 §4.3 矩阵的秩 §4.4 基底、维数和坐标 §4.5 子空间 §4.6 向量空间公理化 习题课 1 1 2 2 1 1 讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 2 讨论 10 2 2 2 讲授 讲授 讲授 2 讨论 8 第 一 章 多 项 式 理 论 教 学 内 容 课 时 §1.1 数环与数域 §1.2 一元多项式 §1.3 多项式的整除性 §1.4 最大公因式 §1.5 多项式的因式分解 §1.6 重因式和重根 §1.7 特殊域上的多项式 习题课 1 1 2 2 1 讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 2 讨论 9 2 1 1 2 1 2 2 教学 方法 讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 2 讨论 13 课内实践 课 时 教学 方法 课 时 小 计 备 注

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26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

第 五 章

线 §5.1 消元法 性 §5.2 线性方程组解的结构的讨论 方 程 习题课 组 §6.1 线性变换的定义及性质 §6.2 线性变换的运算 §6.3 特征值与特征向量 §6.4 矩阵的对角化 §6.5 线性变换的矩阵表示 §6.5 不变子空间 习题课 欧 §7.1 欧几里得空间的定义

2 2

讲授 讲授 2 讨论 6

1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1

讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 2 讲授 讲授 讲授 讲授 讲授 2 讲授 讲授 讲授 5 讨论 10 讨论 11

第 六 章

线 性 变 换

第 七 章

几 §7.2 标准正交基 里 §7.3 正交子空间 得 §7.4 正交变换 空 §7.5 实对称矩阵和对称变换 间 习题课 二 §8.1 二次型及其矩阵 次 §8.2 化二次型为标准型 型 §8.3 正定二次型

第 八 章

五 本课程与其它课程的关系 《高等代数》是大学数学中的一门重要的专业基础课,是大学本科小学教育专业 和大学数学专业的学生继续学习其它数学分支课程和与本专业有关的其它课程的的 工具和基础。 同时它也是计算机学科和其它理工科专业所学课程的基础, 为这些学科提供方 法性的指导。

六 教材与教学参考书 1. 使用教材: 张立宏, 《高等代数》 (第一版) ,人民教育出版社,2002 年。 2. 其它教学参考书: (1)张禾瑞,郝丙新, 《高等代数》 (第四版) ,高等教育出版社,1999 年。
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(2)北京大学数学系, 《高等代数》 (第三版) ,高等教育出版社,1999 年。 (3)北京大学几何与代数教研室代数小组, 《高等代数》 (第二版) ,高等教育 出版社,1988 年。 (4)张贤科,汗浦华, 《高等代数》 (第二版) ,清华大学出版社,2004 年。



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