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人教版高数必修五第13讲:均值不等式(教师版)

时间:2018-04-25


均值不等式

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教学重点: 掌握均值不等式的证明及应用,会用均值不等式求函数的最大值或最小值; 教学难点: 利用均值不等式的证明。

1. 算术平均值与几何平均值 (1) 算术平均值:对任意两个正实数 a , b ,数

a?b 叫做 a , b 的算术平均值 2

(2) 几何平均值:对任意两个正实数 a , b ,数 ab 叫做 a , b 的几何平均值 2. 均值定理 如果 a , b ? R ,那么
?

a?b ? ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立 2

3. 均值不等式的常见变形
? (1) a ? b ? 2 ab a, b ? R

?

?

(2) ab ? ? (3)

? a?b ? ? ? a, b ? R ? ? 2 ?

2

b a ? ? 2 ( a , b 同号且不为 0) a b 2 (4) ? ab a, b ? R ? 1 1 ? a b

?

?

1

类型一: 均值不等式的理解 例1. 设 a ? 0, b ? 0 ,则下列不等式不成立的是() B. a 4 ? b4 ? 2a 2b2

A.

b a ? ?2 a b

C.

b2 a 2 ? ? a?b a b
1 a

D.

1 1 2 ? ? 2? a b a ?b

解析: 特值法, 令 a ? b ? 1, 则 A,B,C 项都成立, 而 D 项中, ? 故 D 项不成立。 答案:D 练习 1. 若 a、b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( A.a2+b2>2ab 答案:D 练习 2. 设 0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 答案:B 类型二: 均值不等式与最值 例 2. 若正数 x、y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是( 24 A. 5 28 B. 5 C.5 D.6 B.a< ab< a+b <b 2 ) B.a+b≥2 ab 1 1 2 C. + > a b ab

1 2 ? 2, 2 ? ? 3 显然不成立, b a?b

) b a D. + ≥2 a b

a+b C.a< ab<b< 2

a+b D. ab<a< <b 2

)

1 3 1 3 3x 12y 9 4 解析: 由 x+3y=5xy 得 + =1, ∴3x+4y=(3x+4y)· ( + )= + + + ≥2 5y 5x 5y 5x 5y 5x 5 5 12 13 3x 12y + =5,当且仅当 = 时,得到最小值 5. 5 5 5y 5x 答案:C 练习 3. 设 x、y∈R,且 x+y=5,则 3x+3y 的最小值为( A.10 B.6 3 C.4 6 D.18 3

3x 12y 13 · + = 5y 5x 5

)

答案:D 练习 4. 已知正项等差数列{an}中,a5+a16=10 则 a5a16 的最大值为( A.100 答案:D B.75 C.50 D.25

)

2

类型三: 利用均值不等式证明不等式及应用 例 3. 已知 a、b、c∈R,求证: a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥ 2(a+b+c). a+b 解析:∵ ≤ 2 = a2+b2 a+b ,∴ a2+b2≥ 2 2

2 (a+b)(a,b∈R 等号在 a=b 时成立). 2 2 (b+c)(等号在 b=c 时成立). 2

同理 b2+c2≥ a2+c2≥

2 (a+c)(等号在 a=c 时成立). 2

三式相加得 a2+b2+ b2+c2+ a2+c2 ≥ 2 2 2 (a+b)+ (b+c)+ (a+c) 2 2 2

= 2(a+b+c)(等号在 a=b=c 时成立). 答案:见解析 2 练习 5. 已知 a、b 是正数,试比较 与 ab的大小. 1 1 + a b 答案:∵a>0,b>0, 1 1 ∴ + ≥2 a b ∴ 1 >0. ab

2 2 ≤ = ab. 1 1 1 + 2 a b ab 2 1 + ≤ ab. 1



a b
1 1 练习 6.若 x>0,y>0,x+y=1,求证:(1+ )· (1+ )≥9.. x y 1 1 答案:证法一:左边=(1+ )(1+ ) x y x+y 1 1 1 1 =1+ + + =1+ + x y xy xy xy 2 2 =1+ ≥1+ =9=右边. xy x+y 2 ? ? 2 1 当且仅当 x=y= 时,等号成立. 2 证法二:∵x+y=1, 1 1 ∴左边=(1+ )(1+ ) x y
3

x+y x+y y x =(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ ) x y x y y x =5+2( + )≥5+4=9=右边. x y 1 当且仅当 x=y= 时,等号成立. 2 例 4. 在面积为 S(S 为定值)的扇形中,当扇形中心角为 θ,半径为 r 时,扇形周长最小,这时 θ、r 的值分别是( A.θ=1,r= S 1 2S 解析:S= θr2?θ= 2 , 2 r S? 又扇形周长 P=2r+θr=2? ?r+ r ?≥4 S, S 当 P 最小时,r= ?r= S,此时 θ=2. r 答案:D 练习 7. 设计用 32m2 的材料制造某种长方体车厢(无盖),按交通规定车厢宽为 2m,则车厢的最大容 积是( ) B.16m3 C.4 2m3 D.14m3 ) 4 B.θ=2,r= S 3 C.θ=2,r= S D.θ=2,r= S

A.(38-3 73)m3 答案:B

练习 8. 将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,每涨价 1 元,其销售量就 减少 20 个,为获得最大利润,售价应定在( A.每个 95 元 答案:A B.每个 100 元 ) C.每个 105 元 D.每个 110 元

1. 若 x>0,y>0,且 x+y≤4,则下列不等式中恒成立的是( A. 1 1 ≤ x+y 4 1 1 B. + ≥1 x y C. xy≥2

)

1 D. ≥1 xy

答案:B 2. 已知 m、n∈R,m2+n2=100,则 mn 的最大值是( A.100 B.50 C.20 ) D.10

答案:B 3. 若 a>0,b>0 且 a+b=4,则下列不等式恒成立的是( 1 1 A. > ab 2 答案:D
4

) 1 1 D. 2 2≤ a +b 8

1 1 B. + ≤1 a b

C. ab≥2

4. 实数 x、y 满足 x+2y=4,则 3x+9y 的最小值为( A.18 答案:A 5.设 x+3y-2=0,则 3x+27y+1 的最小值为( A.7 答案:A 3 B.3 9 ) B.12 C.2 3

) 4 D. 3

C.1+2 2

D.5

1 1 6. 设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为( a b A.8 答案:B B.4 C.1

) 1 D. 4

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基础巩固 1. 若 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 ab,2ab,a2+b2 中最大的一个是( A.a2+b2 B.2 ab C.2ab ) D.a+b

答案:D 2. 若 2x+2y=1,则 x+y 的取值范围是( A.[0,2] 答案:D B.[-2,0]

) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

x y + 3. 已知 x、y∈R ,且满足 + =1,则 xy 的最大值为________. 3 4 答案:3 4. 已知 a、b 为实常数,函数 y=(x-a)2+(x-b)2 的最小值为__________ 1 答案: (a-b)2 2 5. a、b、c 是互不相等的正数,且 a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是( A.a>b>c B.c>a> b C.b>a>c D.a>c>b )

答案:C 6. 设{an}是正数等差数列,{bn}是正数等比数列,且 a1=b1,a21=b21,则( A.a11=b11 B.a11>b11 C.a11<b11
5

)

D.a11≥b11

答案:D 7. 已知 a>1,b>1,且 lga+lgb=6,则 lga· lgb 的最大值为( A.6 B.9 C.12 ) D.18

答案:B 8. 某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 x 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元. 为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小, 8 每批应生产产品( A.60 件 ) B.80 件 C.100 件 D.120 件

答案:B 2 3 9. 已知 + =2(x>0,y>0),则 xy 的最小值是________. x y 答案:6 10. 若实数 x、y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 2 3 答案: 3 11. 做一个面积为 1 m2,形状为直角三角形的铁架框,在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又 浪费最少)的是( A.4.6 m ) B.4.8 m C.5 m D.5.2 m

答案:C 12. 光线透过一块玻璃,其强度要减弱 1 1 .要使光线的强度减弱到原来的 以下,至少需这样的玻璃 10 3

板________块.(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771) 答案:11 1 13. 一个矩形的周长为 l,面积为 S,给出下列实数对:①(4,1);②(8,6);③(10,8);④(3, ).其中 2 可作为(l,S)的取值的实数对的序号是________. 答案:①④ a b 14. 已知正常数 a、b 和正实数 x、y,满足 a+b=10, + =1,x+y 的最小值为 18,求 a、b 的值. x y a b 答案:x+y=(x+y)· 1=(x+y)· ( + ) x y ay bx =a+b+ + ≥a+b+2 ab=( a+ b)2, x y ay bx y 等号在 = 即 = x y x b 时成立. a

∴x+y 的最小值为( a+ b)2=18, 又 a+b=10,∴ab=16.
6

∴a、b 是方程 x2-10x+16=0 的两根, ∴a=2,b=8 或 a=8,b=2.

能力提升 1 1 15. 已知 x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则 + 的最小值是( x 3y A.2 答案:C 1 16. 设函数 f(x)=2x+ -1(x<0),则 f(x)( x A.有最大值 答案:A ?a+b?2 17. 已知 x>0,y>0,x、a、b、y 成等差数列,x、c、d、y 成等比数列,则 的最小值是( cd A.0 答案:D b d + ,则有( x y D.P>Q B.1 C.2 D.4 ) B.有最小值 ) C.是增函数 D.是减函数 B.2 2 C.4

) D.2 3

18. 若 a、b、c、d、x、y 是正实数,且 P= ab+ cd,Q= ax+cy· A.P=Q 答案:C x2-4x+5 5 19. 已知 x≥ ,则 f(x)= 有( 2 2x-4 5 A.最大值 4 5 B.最小值 4 ) C.最大值 1 B.P≥Q C.P≤Q

)

D.最小值 1

答案: D 20. 已知 y>x>0,且 x+y=1,那么( x+y A.x< <y<2xy 2

) x+y C.x< <2xy<y 2 x+y D.x<2xy< <y 2

x+y B.2xy<x< <y 2

答案:D 21. 设 a、b 是正实数,给出以下不等式: 2ab 2 ① ab> ;②a>|a-b|-b;③a2+b2>4ab-3b2;④ab+ >2,其中恒成立的序号为( ab a+b A.①③ 答案:D 1 ?? 1 ? 22. 已知 a>0,b>0,且 a+b=1,则? ?a2-1??b2-1?的最小值为( A.6 B.7 C.8
7

)

B.①④

C.②③

D.②④

)

D.9

答案:D 1 1 23.若直线 2ax-by+2=0(a>0, b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4, 则 + 的最小值为 a b ( 1 A. 4 答案:D 24. 当 x>1 时,不等式 x+ A.(-∞,2] 答案:D 1 4 25. 已知正数 x、y 满足 + =1,则 xy 有( x y 1 A.最小值 16 答案:C 26. 若正实数 x、y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________ 答案:18 x1+x2 1 + + 27. 已知函数 f(x)=lgx(x∈R ),若 x1、x2∈R ,判断 [f(x1)+f(x2)]与 f( )的大小并加以证明. 2 2 x1+x2 1 答案: [f(x1)+f(x2)]≤f( ) 2 2 ∵f(x1)+f(x2)=lgx1+lgx2=lg(x1· x2), x1+x2 x1+x2 f( )=lg , 2 2 x1+x2 2 + 而 x1、x2∈R ,x1x2≤( ), 2 而 f(x)=lgx 在区间(0,+∞)上为增函数. x1+x2 2 ∴lg(x1x2)≤lg( ), 2 x1+x2 1 ∴ lg(x1x2)≤lg . 2 2 x1+x2 1 即 (lgx1+lgx2)≤lg . 2 2 x1+x2 1 因此, [f(x1)+f(x2)]≤f( ). 2 2 a2 b2 c2 + 28. 已知 a、b、c∈R ,求证: + + ≥a+b+C b c a 2 2 a b c2 + 答案:∵a、b、c∈R , , , 均大于 0, b c a
8

) 1 B. 2 C.2 D.4

1 ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是( x-1 C.[3,+∞)

)

B.[2,+∞)

D.(-∞,3]

) 1 D.最大值 16

B.最大值 16

C.最小值 16

a2 又 +b≥2 b b2 +c≥2 c c2 +a≥2 a

a2 · b=2a, b b2 · c=2b, c c2 · a=2c, a

a2 b2 c2 三式相加得 +b+ +c+ +a≥2a+2b+2c, b c a a2 b2 c2 ∴ + + ≥a+b+C. b c a 3 29.求函数 y=1-2x- 的值域. x 3 3 答案:y=1-2x- =1-(2x+ ). x x 3 ①当 x>0 时,2x+ ≥2 x 3 2x· =2 6. x

3 6 当且仅当 2x= ,即 x= 时取等号. x 2 3 ∴y=1-(2x+ )≤1-2 6. x 3 ②当 x<0 时,y=1+(-2x)+(- ). x 3 ∵-2x+(- )≥2 x 3 ?-2x?· ?- ?=2 6. x

3 6 当且仅当-2x=- 时,即 x=- 时取等号. x 2 3 ∴此时 y=1-2x- ≥1+2 6 x 综上知 y∈(-∞,1-2 6]∪[1+2 6,+∞). 3 ∴函数 y=1-2x- 的值域为(-∞,1-2 6)∪[1+2 6,+∞). x 30. 某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁 栅,每米长造价 40 元,两侧墙砌砖,每米长造价 45 元,顶部每平方米造价 20 元.试求: (1)仓库面积 S 的取值范围是多少? (2)为使 S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计多长? 答案:(1)设正面铁栅长 x m,侧面长为 y m,总造价为 z 元,则 z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+ 20xy,仓库面积 S=xy. 由条件知 z≤3 200,即 4x+9y+2xy≤320. ∵x>0,y>0, ∴4x+9y≥2 4x· 9y=12 xy. ∴6 S+S≤160,即( S)2+6 S-160≤0.
9

∴0< S≤10,∴0<S≤100. 故 S 的取值范围是(0,100]. (2)当 S=100 m2 时,4x=9y,且 xy=100. 20 解之得 x=15(m),y= (m). 3 答:仓库面积 S 的取值范围是(0,100],当 S 取到最大允许值 100 m2 时,正面铁栅长 15 m.

31. 某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船, 第一年各种费用为 12 万元, 以后每年增加 4 万元, 每年捕鱼收益 50 万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后,有两种处理方案:①年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船;②总纯收入获利 最大时,以 8 万元出售该渔船.问哪种方案最合算? 答案:由题设知每年的费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列.设纯收入与年数的关系为 f(n), 则 f(n)=50n-[12+16+…+(8+4n)]-98=40n-2n2-98. (1)由 f(n)>0 得,n2-20n+49<0, ∴10- 51<n<10+ 51, 又∵n∈N,∴n=3,4,…,17. 即从第 3 年开始获利. f?n? 49 (2)①年平均收入= =40-2(n+ )≤40-2×14=12, n n 当且仅当 n=7 时,渔船总收益为 12×7+26=110(万元). ②f(n)=-2(n-10)2+102. 因此当 n=10 时, f(n)max=102, 总收益为 102+8=110 万元, 但 7<10, 所以第一种方案更合算.

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