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2015高三数学一轮复习039向量的坐标运算


2015 级高三数学一轮复习学案(理)

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编号:039

第三十九课时

平面向量的分解与坐标运算 课前预习案

考纲要求 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用

坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 基础知识梳理 1.平面向量基本定理 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个__________向量,那么对于这一平面内的任意向量

a,

____一对实数 ?1 , ?2 使 a =__________,其中,__________叫做表示这一平面内所有向量的一组基

底,记为{ e1 , e2 }. 2.平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底,对于平面内的一个 向量 a , 有且只有一对实数 x, y 使 a = xi ? yj , 把有序数对__________叫做向量 a 的坐标, 记作 a =____, 其中______叫做 a 在 x 轴上的坐标, ______叫做 a 在 y 轴上的坐标, 显然 0 =(0,0), i =(1,0),j =(0,1). → → (2)设OA=x i +y j ,则______就是终点 A 的坐标,即若OA=(x,y),则 A 点坐标为(x,y),反之亦成立(点 0 是坐标原点). 3.平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 向量 坐标

a

b

a?b

a ?b
( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

?a

( x1 , y1 )

( x2 , y2 )

( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

(? x1 , ? y1 )

(2)向量坐标的求法 → 已知 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则AB=_________,即一个向量的坐标等于_________. (3)平面向量共线的坐标表示设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,其中 b ≠ 0 , 则 a 与 b 共线 ? a =__________ ? __________.

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预习自测 1. (2013 辽宁)已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB 同方向的单位向量为( A. ? ,)

?3 ?5

4? ? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

D. ? ? , ?

? 4 3? ? 5 5?

2. (2013 大纲)已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = ( ) A. ? 4 B. ? 3 C. ?2 D. -1

?

? ?

?

3 3. (2013 辽宁卷)已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a . 若 ?OAB 为直角三角形,则必有 (

?

?



A. b ? a 3 C. b ? a3 ? b ? a 3 ?

3 B. b ? a ?

1 a

?

?? ?

1? ??0 a?

D. b ? a 3 ? b ? a 3 ?

1 ?0 a

, k ) , b ? (9, 4. (2013 上海春季))已知向量 a ? (1 k ? 6) .若 a // b ,则实数 k ? _______.

课内探究案 典型例题 考点 1 平面向量基本定理的应用

→ → → → 【典例 1】 已知梯形 ABCD, 如图所示, 2DC=AB, M, N 分别为 AD, BC 的中点. 设AD= e1 , , AB= e2 , 试用 e1 , e2 → → → 表示DC,BC,MN.

【变式 1 】如图,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若 AD ? x AB? y AC,则 x ?



y?

. 45°

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【变式 2】 (2012 江苏) 如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 2 , 点 F 在边 CD 上, BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, 若 AB ? AF ?

2 ,则 AE ? BF 的值是



考点 2

平面向量的坐标运算

→ → → 【典例 2】已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB= a ,BC= b ,CA= c . (1)求 3 a + b -3 c ; (2)求满足 a =m b +n c 的实数 m,n.

考点 3 平面向量共线的坐标表示 【典例 3】 已知向量 a =(1,2), b =(1,0), c =(3,4).若 λ 为实数,( a +λ b )∥ c , 则 λ =( A. 1 4 ). B. 1 2 C .1 D.2

【变式 3】已知 a =(1,0), b =(2,1), (1)当 k 为何值时,k a - b 与 a +2 b 共线; → → (2)若AB=2 a +3 b ,BC= a +m b 且 A,B,C 三点共线,求 m 的值.

考点 4

平面向量垂直

【典例 4】(2012·安徽)设向量 a =(1,2m), b =(m+1,1), c =(2,m).若( a + c )⊥ b ,则| a |= ________.

?

?

?

?

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2 → → → → → 【变式 4】设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC =16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM|=

(

).A.8 当堂检测

B.4

C.2

D.1

1. e1 , e 2 是平面内一组基底,那么(

).

A.若实数 λ 1,λ 2 使 λ 1 e1 +λ 2 e 2 =0,则 λ 1=λ 2=0 B.空间内任一向量 a 可以表示为 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 (λ 1,λ 2 为实数) C.对实数 λ 1,λ 2,λ 1 e1 +λ 2 e 2 不一定在该平面内 D.对平面内任一向量 a ,使 a =λ 1 e1 +λ 2 e 2 的实数 λ 1,λ 2 有无数对. → → → → → 2.在△ABC 中, 点 P 在 BC 上,且BP=2PC,点 Q 是 AC 的中点,若PA=(4,3), PQ=(1,5), 则BC等于( A.(-6,21) B.(-2,7) C.(6,-21) D.(2,-7) ).

3. ( 2013 山东卷) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1, t ) , OB ? (2, 2) ,若 ?ABO ? 90o ,则实数 t 的 值为______.

课后拓展案 A 组全员必做题 1.已知直角坐标平面内的两个向量 a =(1,3), b =(m,2m-3),使得平面内的任意一个向量 c 都可以唯 一的表示成 c =λ a +μ b ,则 m 的取值范围是__________. 2. 已知向量 a =(1,0), b =(0,1), c =k a + b , d = a -2 b .如果 c ∥ d ,则 k=________.&XB 3.(2013 重庆)在 OA 为边, OB 为对角线的矩形中, OA ? (?3,1) , OB ? (?2, k ) ,则实数 k ? B 组提高选做题 1. (2013 浙江)设 e1.e2 为单位向量,非零向量 b = xe1 ? ye 2 ,x.y∈R..若 e1 , e 2 的夹角为 值等于_______. 2.平面内给定三个向量 a =(3,2), b =(-1,2), c =(4,1)。则: .

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

x ? ,则 的最大 6 b

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③设 d =(x,y)满足( d - c )∥( b + a )且| d - c |=1,求 d .
? ?

①求满足 a = m b + n c 的实数 m,n 的值;②若( a +k c )∥(2 b - a ) ,求实数 k;

?

?

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参考答案 预习自测 1.A2.B3.C4. ?

3 4

典型例题 【典例 1】 DC ?

1 1 3 3 3 e2 ; BC ? e1 ? e2 ; MN ? e2 .【变式 1】 1 ? ; .【变式 2】 2 2 2 4 2 2

【典例 2】 (1) (6, ?42) ; (2) m ? n ? ?1. 【典例 3】B【变式 3】 (1) k ? ? 【典例 4】 2 【变式 4】C 当堂检测 1.A2.A3.5 A 组全员必做题 1. m ? ?3 2. ?

1 3 ; (2) m ? . 2 2

1 2

3.4

B 组提高选做题 1.2 2.① m ? ③ (4 ?

5 8 16 , n ? ;② k ? ? ; 9 9 13

5 2 5 5 2 5 ,1 ? ) 或 (4 ? ,1 ? ). 5 5 5 5

5


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